장음표시 사용
81쪽
triangulo HAG ostensum est triangulum AH esse aequiangulum, aequiangula igitur sunt triangula ACH. CF. Igitur ut AC ad CH ita CH ad F. aequale igitur actu Qv idratum HC rectangulo ACF sed etiam rectangulum ACF. aequale est Quadrato CD aequalia igitur sunt Quadrata I C. DC aequales igitur sunt reci ae ΗC DC. triare cum recta BH sit sumpta aequalis ipsi BA. MC ostensa sit aequalis ipsi CD. erit tota BC aequalis duabus simul DC. BA.sed CD. DB.maiores sunt quam CB. Igitur sunt etiam
maiores quam CD. B demptae igitur communi CD.remanebit DB maior quam BA. Igitur arcus DA. maior est quam ut sit duplex arcus BA. dupla antem est FA. ipsius EB maior igitur ratio est arcus DA ad arcum AB quam rediae A. ad rectam EB Rursus quoniam arcus BA. est Quadrante minor maior erit ratio A. sinus versi arcus DA ad AF sinum versum arcus BA.quam DA. ad BA.
82쪽
THEO REMA I. PROPOS. monans tria naulo angulorum inaequalium maior est ratio anguli maioris ad minorem, quam lateris oppositi maior angulo, ad latus oppositum minori.
I triangillo ABG sit angulus B maior angulo C. Dico angulum B.ad angulum
Cla iiiis p. i. .maiorem habere rationem,
Nam ea est proportio lateris AC ad latus AB quae est si Enus recti anguli B. ad sinunia, Cctum anguli C. At sinus rectus anguli B. ad sinum rectum ' μ Τ anguli C. minorem habctrationem, quam angulus B ad angulum C. Igitur latus AC. adlatus AB. minorem habet rationem quam angulus B ad angulum C. ideoque maiorcstratio angulii ad angulum C. tuam AC. ad AB. Qu9d ostendere oportebat. THEO-
83쪽
S ex trianguli angulo, in basim perpendicula
ris demittatur, ex angulis quos cum lateribus facit maior ad minorem , minorem habet rationem, quam aut maius segmentum basis ad mi nus aut composita ex basi, Lasiumpta inter per
pendicularem, lasim ad ipsam assumptam.
SI triangulum quodcumque ABC. ex cuius angulo B. in basim AC perpendicularis demittatur AD qua cadat
primo intra triangulum, faciatque cum lateribus an ultis ABD.CBD. itq; ABD. maior, DBC. minor. Dico maiorem esse rationem AD ad DC. quam anguli ABD ad angulum DBC. Vt enim AD. ad C. ita tangens anguli ABD. ad tangentem anguli DBC. at tangens anguli maioris ABD. ad tangentem minoris DBC. maiorem habet rationem,quam angulus maior ad minorena Igitur AD ad DC. maiorem habet rationem, quam angulus ABD. ad an guliim DBC. Sit secundo triangulum ABC obtus angulum ad C. statuatur AC. basis cin quam productam cadat perpendicularis BD. Dico maiorem esse rationem AD ad DC quam anguli DB A. ad angulum CBD. Suinatur enim ipsi DC aequalis E. connectatur E. Quoniam duo triangula circa angulos re ructos ad D. habent latera BD. DC.aequalia lateribus BD. DE aequiangula erunt, cinoi
gulus EBD erit aequalis angulo DBC. Cum igitur AD sit
84쪽
6 8 Curtii ac recti proportio promota.
tangens anguli DBA. DE. tangens anguli DBE. maior crit proportio AD.ad DE. id est DC quam anguli ABD ad angulum EBD idest CBD. Qu9d secundo ostendendum
THEO REMA III. PROPOS. III. ex triangilli angulo, in basim perpendicula
ris demitatur, reliquorum angulorum maior ad nainorem minorem laabet rationem, quam maius segmentum ad minus. SIT trianghilum ABC. in quo ab angulo ABC perpen
dicularis demittatur BD. quae cadat intra triangulum in basim AC. sitque angulus BAC maior angulo BCA. Dico minorem efferationem anguli AC ad angulum BCA. quam CD. maioris segmenti ad DA .minus Ducatur AF. parallela ipsi BD. quae occurrat protracta CB. in F.
ipsi AC. sit parallela BF. erit ΑΕ tangens anguli EB A. id es anguli AC ME F. tan gens anguli FBE. id est antacguli BCA posito nimirum eodem sinu toto BE ELAE. quidem maior erit quam EF cum angulus AC id cst EBA. Onatur maior, quam angulus BCA. dcst, BF igitur malo es alio AE ad EF id est, CB. ad BF idcst, CD ad A quam anguli AC ad angulum BCA. Q iod probandum erat. THEO
85쪽
S in trianguli obtusanguli latus ex angulo
acuto demissa perpendi eularis cadat extra triangulum, sitque anguli obtusi comple mentum maius reliquo angulori maior erit ratio lateris, in quod cadit perpendicularis, cum assumpta inter latus perpendicularem, ad assumptam;
quam anguli complement , ad reliquum angu-
luntas SI triangulum ABC.obtusangulum ad C. inprotractum latus AE cadat perpendicularis BD. su matur E aequalis DC. ac connectatur BE. Dico maiorem esse rationem AD ad DC. quam anguli BCD. qui complementum est ob tusi ad angulum reliquum BAC. Rursus enim BED BCD anguli sunt aequales,oblatera BD DE. aequalia lateribus BD DC circa angultum rectum. Igitur,e praecedenti imaior erit ratio AD ad DE.
id est,DC.quam anguli BEA id est BCD ad reliquum an 'gulum BAC. THEOREM A V. PROPOS. V.
S trianguli angulum inaequalibus lateribus
contentum, bifariam diuidens recta in basim intra triangulum cadat s segmentum maius ad minus, minorem habet rationem, quam reliquorum angulorum maior ad minore: n. SIT
86쪽
Curui ac recti proportio promota.
Eri trianguli ABC angulo ABC duobus inaequalibus lateribus AB.maiori BC minori contento,in basim AC cadat recta BE quae angulum ABC. bifariam secet, lasim
s. s. in C in E. Cum sit ut AB.latus maius ad BC. minus,ita AE ad EC erit AE maius, Qgmentum, EC minus,&' angulus C.maior, A. minor. - Dico minorem esse rationem E. ad EC. quam anguli C. ad angulum A. Vt enim AE .i hV'μβ' ad EC.ita AB. ad BC. Sed AB. ad BC. minorem habet rationem quam angulus C. ad angulum A. Igitur AE ad EC minorem habet rationem quam angulus C. ad angulum A. Quod erat probandum.
In concta si ducatur ad basim C perpendicularis AD punctum E cadere in maius segmensum D. 3.1. Ihuius nam si caderet in punctum D aut inter maior esse proportio AE ad C. quam anguis C. ad anguum A. quod es contra paulo ante demon Irata.
Colligitκ etiam basM C. in puncZo inrer . . disrari posse ita ut eadem si ratio angi ii ad angulum A.
quae menti maioris ad minus. Non enim in D. aut puncto intra D.o C. nam ibi semper,mnor est ratio a s limatoris ad aethum minorem quam 'meni maioris ad minus,neque in . aut puncto inter . O E. nam illic maior est ratio anguli maioris ad minorem , quom segment maioris . ad
87쪽
HInc etiam esset ars in triangulo , recta ex uno in
bas m protris m extra triangulum ducta, crat cum viciniori ter angulum , dicto angulo aequalem; maiorem esse rationem maioris angulis adiacentis ad minorem quam ha- , ad inter fis inter has , se rectam ex angulo rictam. Si enim laeta um EB in cuius assim AE protra- ripam , acator C. faciens angulum Sc angulo BA. arualem minor erit ratio AE ad C. nam anguli C. ad avreum A. sed anguli C. ad angulum A. minor est ratio quam anguli AEE. ad eundem angulum A. minor enimes C internus externo ES. Igitur minor est ratio AE ad EC quam anguli AEB ad angulum A.
S ex trianguli Isoscclis angulo, recta in basim
demissa, eam in partes inaequales diuidat minor erit ratio maioris segmenti ad minus,
quam anguli maior segmento oppositi, ad oppo
situm minori. EX trianguli AGH. aequalium angulorum ad G. H. angulo A. ducatur in basim GH recta AF secanseamixta partes inaequales ΗF. maiorem FG minorem. Dico min rem esse rationem HF. ad FG. quam anguli AF. ad angulum FAG. Ducatur expuncto A in Id. perpendicularis AB. distantia AB centro A. describatur circulus secans AH F.
88쪽
Curtii ac recti proportio promota.
ΚD. horde, sumaturaequalis XL diuidaturque anguliis I KD. bifariam recta AKF.&angulus CKD. bifariam recta Scilol. 1 .a. N. cum angulus DKC. maior sit angulo DXL. erit,&eius medietas DK N. maior medietate DKE linea igitur ΚN. cadet inter E. C. in . erit igitur CN. minor quam CE. Quare maior erit proportio DN. ad C. quam DE.ad EC. Sed vi DN. ad C. ita DK. ad KC. maior igitur ratio est Corol. 1.18. DK ad AC quam DE. ad ΕΚ. est autem etiam maior ratio Samii: arcus Dic ad arcum C. quam chorde DK ad chordam KC. Igitur multo maior ratio erit arcus DR .ad arcum XC. schol. ij.; quam UE-ad EC.id est quam F.ad FG. Nam redia AB. arcum CD. bifariam secans secat CD. bifariam , quares
ad angulos rectos in I sed recti sunt positi anguli ad B.; sis igitur sunt CD. H. igitur ut DE. ad C. ita F. ad FG. Quare si X trianguli Isoscetis an
THEOREM A VIL PROPOS. VILI ex angulo tri anguli in aequalibus lateribus
contento in oppositam basina demisia perpendicularis intra triangulum cadat,&alia in maius segmentum ex eodem angulo ducatur recta inter ductam, de angulum minorem contenta, ad reliquam partem basis, maiorem habet rationem
quam angulus oppositus, ad reliquum angulum.
SIT triangulum AUG. cuius latus AH minus G. maius,basis HG inquam ca A schol 47 i dat perpendicularis AB.quar basim diuidet in duo segmenta maius BG. minus BH. in maius ex A. ducatur recta AF Dico maiorem esse ratio
89쪽
nem GF ad FH. quam anguli GAF. ad angulum FAH. Qu9niam minor est B. tangens anguli HAB quam BG. tangens anguli BAG. minor erit ratio HB.ad BG. quam an hWguli HAB ad angulum BAG. componendo, minor ratio HG.ad B.quam HAG.ad BAG. sed BG ad GF minor est ratio quam BAG. ad FAG. cum enim maior sit ratiotan a 6.I. Inuus. gentis maioris B. ad minorem BF quam anguli BAG ad angulum BAF erit per conuersionem rationis minor ratio BG.ad GF.quana BAG.ad FAG. Igitur ex aequali minor est ratio F. ad FG. quam HAF ad FAG.&conuertendo maior ratio GF ad FH. quam anguli F. ad angulum FAH. Qu9d erat c.
IN omni triangulo amblygonio, si ex angulo
acuto in latus protractum , etpendicularis ducatur,4 ex eodem angulo oppositum latus recta secetur segmentum vicimius perpendiculari, ad remotius, minorem habet rationem, quam an
gulus oppositus, ad oppositum.
SI triangulum ABC amblygonium ad B.in cuius la tus protractum B ex angulo acuto A perpendicularis ducatur AD.4 ducatur AE se cans C. Vtcumque Dico minorem esse rationem segmenti BE. vicinioris ipsi AD. ad EC remotiu quam anguli BAE.ad angulum EA C. sunt enim E. EC. differentiae tangentium CD. ED. BD. estque EC.remotior a puncto contactus D.quam BE. Igitur minor est ratio BE. ad EC quam anguli BAE ad angulun y hμ RΤ'EAC. Qu9derat probandum.
90쪽
Curui ac recti proportio promota.
acuto recta in oppositum latus ducatur: minorem esses rationem segmenti icinioris perpen rculari, ad remotiusquam anguli oppositi viciniori segmenti ad oppositum, moriori. In tria Aio enim rectangolo ADE. Duc a vicumque AS.min res ratio DB ad SE quam anguli DAB ad angulum BAE.
nem , ut duo AF cadat in majus segmentum BG quias cariret in minus VR. posset contingere ut proportio HF-AE F G odo et minora nodo maior,quam anga inoppo iti ad oppo trem Ducatur enim in minus segment m HB. recia AF ρ-cans arcum UB. bifariam in L. se rectae HF. accipiatur aequalis in I. M. MG.or arcus BN. NO. nt aequales ius L. LB. Erit HF. maior quam FB maior enim es ratio F ad FS. quam A L. ad Z.aequalis antem V KL ipse LB igitur maior es HF. quam FB ct CP quam CS.Cum igitur tangentium differentiae respondentes arcubus VL.LB EN.NO.componentes re Iam,C. .e mi aequales ipsHF.videlicet HF.PC duae minores FE. EP. componenses vero HG. ne omnes aeqώales HF. erit tota HG. maior toti C. Igitur uncZώmi cades inter . r .es sunditum C inter G. 9H. . catu AG secans circulum In S. Cumst vi OH adHL. ia GH adHF. trobigre enim ratio en qua