장음표시 사용
71쪽
FK igitur maior ratio est FE ad DG quam FK. id est,LD ad DG.4 IB ad HB. Quod demonstrandum erat. THEOREM A XL PROPOS. XLIII.
ARcitum continuorum in circulo sese quali ex
cessu superantium, chorda inter se, sinus item recti, sunt in continua proportione minori secantes vero in continua proportione maiori.
IN circulo ABCD. cuiuScentrum Η.4 diameter HA. sint tres arcus aequaliter inferentes,ac continui AB AC. AD.quorum chordi: AB AC. AD.& secantes HE. HF.HG. Dico primo minorem esse rationem chordae AD ad chordam AC quam chordae AC ad chordam AB. In triangulis enim BAC. CAD aequales sunt anguli AC CAD. aequali 1 . bus arcubus BC CD insistentes Angulus vero CDA .ma isthol λ7iori arcui A. insistens erit maior angulo BCA minori arcui
BA. insistente. minor igitur est angulus DC A. angulo CEA. Ergo minor est ratio ΒΑ ad AC quam A. ad AD ut con is huius stat ex 23.huiUS. Rursus quoniam sinus recti dimidi sunt chordarum sint autem chordae in continua proportione minori , erunt etiam . sinus recti in continua proportione minori. Denique dico maiorem esse rationem secantis UA .ad secantem HE. quam secantis ΗΕ ad secantem H F nam cum in triangulisAME EI F aequales sint anguli AHE. EHF. maior autem si angulus ΑΕΗ.externus,interno lata maior eritia coroll. Σtio AH. adHE. quam HE. ad ΗF. Atq; eodem modo ostenta μ/μβ deturmaiorem esse rationem HE. ad ΗF quam HF ad HG.
72쪽
ue Curui ac recti proportio promota THEOREM A XLI PROPOS. LXIV. TAngentium differentia quibus aequales arcus
continui respondent, sunt in continua proportione maiori. IN figura superioris propositionis, sint tres, aut plures a
cus AB. BC CD aequales , ac continui in tangentium differentiae illis respondentes AE EF. FG. Dico maiorem esse rationem AE ad EF quam EF ad FG. Nam quoniam angulus AH F diuisus est bifariam recta HE. ob arcus AB. BC aequales, erit ut AbI ad F. ita AE ad EF. Atq; eodem modo cum diuisus sit angulus EHG. bifariam recta HF. ob aequaleia cus qui assumpti sunt BC. D. erit viri H ad HG. ita EF ad FG. Rursus quia in triangulis AHF. EHG. quorum anguliis., AH F. HG. sunt aequales, cx hypothesi, angulus HI A. et . huius minor angulo HGE. maior erit ratio AH. ad HF. quam ΕΗ.adHG. sed ut AH. adHF. ita ostensum est AE. ad EF. ut EH ad HG. ita EF ad FG. Igitur maior est ratio AE ad EF. quam EF ad FG. Quod erat demonstrandum.
THEOREM A XLII. PROPOS. XLV. Sinuum versorum, ac rectorum differentiae a qualibus arcubus continuis subtensae, striat a continua proportione minori. I circulo ABC. cuius centrum E duae diametri sese perpendiculam ter secent in E quae sint AO TR sumantur quotlibet arcus aequalcsacco AB. BC. D. sintque a
cuum AB AC AD sinus recti BL CK. D L. sinus comple mentorum BF. G. H. producti in peripheriae puncta O P.
ciunt EI. FG.GH sinuum versorum differentiae. Dico minὀ-
73쪽
Quoniam vero arcus BRO. CI P. DR sese aequali excessu superant, aequales enim sumpti sunt arcus AB. BQ CD. tum inter se, tum arcubus P. PQ in minor erit ratio chordae OB ad chordam PC quam chorda PC ad chordam D. Igitur rectae EF FG GH quae eandem rationem cum dictis chordis obtinent , ita se habebunt riminor sit ratio EF.ad F quam FG ad GH. Qu9d fuit probandum
Vadrantem ita secare, ut sinus versus maioris arcus, ad sinum versum minotis, maiorem habeat rationem, quam tangens maioris, ad
tangentem minoris. SIT aiadrans ABC. cuius centrum L latera perpendicularia I A. D. quorum unum I A. ita secetur, ut pars LE sit aut aequalis, aut maior quam EA. ducatur EG perpendicularis ad I A. Marcus A. quem EC abscindit ex quadrante, diuidatur bifariam in B. ducaturque arcus BA sinus re stus B R. connectatur chorda AC secans B R. in I. Ilcm semidiameter L. B. secans CE in Κ.4 A. in . denique per
74쪽
8 Curui ac recti proportio promota.& DL in N. Constat EA. esse sinum versum arcus A. C
RA sinum versum arcus BA. Item CEcesse tangentem anguli CLE. idest arcus A. KE tangentem anguli ΚLE. seu arcus B A. Posito nimirum sinu toto LE. Dico maiorem esse rationem EA. ad A R. quam C E ad EΚ. Nam aequalium arcuum CB. BA aequales sunt sinus versi BS AR. Igitur triangula BSI ARI. rectangula adiun Acta S. I. habentia angulos ad Verticem. I. aequales aequiangula sunt quia praeterea latera AR. BS aequalia sunt, aequalia etiam erunt SI IR. at ipsi I R. aequalis est NL. Igitur,cu rursus in duobus tria-gulis rectangulis ad . . ctiam anguli ad aerticem M. sint aequaleS, aequalia latera L. I. eodem modo, quo paulo ante Ostendemus in dietis triangulis latus SM. lateri N. basim I M. basi ML. csse aequalem, maior autem L. quam MN. Igitur maior est I M. quam MN. ac proinde NM. minor quam dimidia ipsius I. at LE. aut dimidia est, aut maior quam dimidia ipsius I A. quae multo maior est quam I. Igitur maior est LE. id est HN quam MN. cadet igitur punctum M. inter punctam. .ac LM. producta secabit CE in K. inter puncta C. H. maior igitur est EK. quam PH. Ruisum cum in triangulo CEA recita IH sit parallella lateri AE MI R. ipsi HE.cx descriptione erit vi CE ad EH. ut est CA GIA. ita EA. nus Versus arcus A. ad RA sinum versum arcus B A. sed E. tangens anguli CLE. ad Κ E. tangentcnaanguli ΚLE. in rem habet rationem quam C E a d EH. Igitur CE tangens anguli CLE. seu arcusCA. ad ΚΕ. tangentem anguli ΚLE. scit arcus BA minorem habet rationem quam EA. sinus versus arcus A. ad A. sinum versum arcus A. Qu9d
75쪽
ut tangens maioris ad tangentem mino ris, maiorem habeat rationem, quam sinus versus maioris ad sinum versum minoris.
SININ B arcus AB. utcunque acceptum secet horda quadrantis A O. in P. ex quo puncto P. ipsi AL parallelia PK. ducta secet semidiametrum .LB.in puncto Κ; ad L. ducatur perpendicul iris KC. Dico
maiorem esse rationem tangentis arcus C. ad tangentem a cus AB quam sinus versi eius dem arcus AC ad sinum versum arcus AB. Ducatur C. secans
DB in I. ex I. ipsi PΚ seu AE parallela agatur IH secans EC. iam quod quidem punctum I. cadet inter P. B. cum punctum C cadat supra . ideoque recta AC supra AO, iunctum H cadet inter punctari. c. erit E A sinus versus arcus AC.&DA. sinus versus arcus AB. CE. tangens anguli ELC. id est arcus AC., ΕΚ. tangens anguli EI K. id est, arcus AB. Cum igitur parallelae sint IH. AE. Item etiam L TH. criti CE ad EH. id est CA ad AL ita EA. ad AD. sed CE ad EH. minorem habet rationcn quam E ad EK. Igitur EA. sinus versus arcus AC ad DA. sinum versum arcus AB. minorem habet rationem, quam E. tangens anguli ELC. seu arcus AC ad ΕΚ tangentem angu
76쪽
co Curui ac recti proportio promota.
PROBLEMA VI PROPOS. XXXVIII r ntcni ita secare, ut secans arcus malo
ris, ad secantem minoris, maiorem habeat rationem , quam arcus maior , ad arcula ta
QUADRANS ABL diuidatur bifariam in G. Marcus G. B. rursus bis triam in F,&ducatur tangens infinita BE ac per puncta GF secantes A C. AD fiatq; ut BC ad BD ita
secans AD ad aliam quam piam, quae transferatur X A. in E ita ut AE secans arcus BH. quarta proportionali sit aequalis. Dico maiorem csserationem secantis AE. ad se Acantem AD, quam arcus HB ad arcum BG. maiorem autem
csse AE quam A ideo arcum HB quam B constat quia BD. maior est quam BC quare cum major sit ratio tangentis DB ad tangentem BC quam arcus GB ad arcum BF maior etiam crit ratio secantis AE ad secantem AD, quam arcus Gli ad arcum BF sed ut arcus GB. ad BF arcum ta arcus IB. ad arcumGB utrobique enim maior minoris duplus est, IB. ad BG. maiorem habet rationem quam HB ad BG. e go secans AE ad secantem A D. maiorem habet rationen quam arcus, B. ad arcum BG. Igitur Quadrantem ita secauimus, Ut secans arcuS maioris,&c. Quod erat faciendum.
THEOREM A XLIII. PROPOS. XLIX.
expuncto diametri producta extra circuluna rectae ducantur, quae in conuexam,in cauam petri-
77쪽
peripheriam incidentes semicirculum secent, tam se cantis maioris ad minorem, quam incidentium 1 taconuexam peripheriam maioris ad minorem , minor est ratio, quam maioris arcus exij quos abscindunt, ac subtendunt ad minorem.
SI circulus CDE. in cuius diametro extra circulum producta, sumatur punctum A. aquo in semicirculum B d Cantur quotlibet recta AD AE quae CoueXam peripheriam secent in puctis F. G. concauam in D. E. Dico minorem esse rationem AD ad AE. item AG ad AF quam arcu DEF. ad a cum EG. Nam quoniam rectangulum DAF. aequale est rectangulo EAG. erit ut DA ad EA. ita AG ad AF. Rursus quoniam chordae minori EG additur recta GA.&maiori DF. additur recta FA minor quam GA minor erit proportio DA ad EA. quam chordae DF. adehordam EG sed chorda DF ad chordam EG minorem Corol. 1.18. habet rationem quam arcus DEF. ad arcum EG Igitur DA liuius. ad EA. minorem habet rationem, quam arcus DEF. ad arcum EG Igitur DA ad EA. minorem habet rationem quam arcus DEF. ad arcum EG sedit DA ad EA. ita ostensum est esse AG. ad AF. Igitur minor est ratio AG. ad AF quam a cus D EF ad arcum EG Igitur si exputasto &c. Q Dd erat ostendendum.
THEOREM A XXXXIV. PROPOS. L. I acentro , atque ab extremitate diametri circuli, duae rectae ducantur ad idem circumferentiae
78쪽
Curu ac recti proportio promota.
tiar punctum , quae chordam , dc arcum, cui subtenditur, in partes inaequales dividant arcus maior, ad minorem maiorem habet rationem, quam segmentum chorda maius, ad minus.
SIT circulus ABC cuius centrum E diameter FC ab E. F. ducantur duae rectae FB EB ad idem circumferentiae punctum B quae chordam quam piam A D. secent in partesdnaequales recta quidem FB in H. EB in I. Item arcum DA.
in maiorem DB minorem BA. Dico minorem esse rationem DH ad HA. itemque minorem rationem DI. ad IA quam arcus DB ad arcum BA EX A. D. ducantur perpendiculares ad EB rectae DL. ΑΚ. erunt hae rectae sitiatis arcuum BD. BA. Item ex E ad AD. pem pendicularis EG secans tachordam AD quam arcum
AC D. AFD. biseriam in G. C.&F. manifestum est, cili arcus DB maior sit quam arcus BA. ideoque maior dimidio totius A. quod punc tuni cadet inter A. c. ideoque puneta H. interpuiacta G. a. Quare segmen tun DI manis est segmento A. MDH.maius quam A. Quoniam aequiangula sunt triangula rectangula DLL AKL ob a qualis angulos ad verticem I erit ut DL ad IA ita DL sinus rectus a cus BD. ad AK. sinum rectum arcus AB. sed DL. ad A mi norem habet rationem quam arcus DB ad arcum BA Ioitur segmentum D I ad scgmcntum A. minorem habet ratio rem
DB ad arcum BA. Rursus cum duo anguli ABH.
DF mustant arcllas, erit ut DH. adHA. achorda DB ad chordam BA at chorda DB ad chordam BA minorcm habet rationem, quam
79쪽
arcus DB. ad arcum BA. Igitur DIJ. ad HE. minorem habetr tionem , quam arcus DB ad arcum BA. Qu9d erat , c.
COROLLARIUM T. Hinc patet si angulus quem G. subtens e ciunt recta ab
externitate diametri ducra diuidatur si riam etiam diuidis nam probatum eis angulum ABD. bifariam secari I, AD B.
COncta etiam, si in chordam recta ex centro ducatur, quae ιhordam, o arcum subtensum diuidat; habere segmenta chordae proportionem eandem, quaminus arcuum , Nam demon-sratum es, esse, ut I ad IA ita DL. sinam arcus DB ad AK sinum arcus AB.
SI a puncto in quo diameter circulum secat , ex
ipsa diametro dematur duplum sinus re a larcus Quadrante minoris in ex termino lineae abscissa alius sinus rectus ducatur arcuum inter sinus, extremam diametrum interceptorum maior
est ratio, quam dupli snus ad sinum hinor autem quam dupli sinus recti, ad sinum versum arcus mi
noriS. IN semicirculo ABC sumatur arcus AB a puncto A in quo diameter A C. circulum secat, Quydrante minor, ducto sinu recto BE ipsius BE a puncto A. sumatur dupla AF. ex puncto F ducatur FD. suus rectus arcus DA. Dico maiorem esse rationeth arcus DA ad arcum BA quam rectae FA.ad sinum
80쪽
Curui ac recti proportio promota
sinum BE. minorem autem quam A. sinum versum a cus DA ad AE sinum emissum arcus AB connei tantur
AB CD BC. in chorda BC. sumatur BH aequalis ipsi B A. AE aequalis EG.&ix H ducatur ad diametrum C perpendicularis ΗΚ.&conne tur HA. HG. HF. BD. Quyniam angulus ABH. in semicirculo rectus est, lectus etiam: ΚΑ. echy- pothesi erunt puncta A. B. H. K. in circulo. Igitur anguli BHA BKA. in eodem segmento sistentes aequales sunt, sed B HA. est semirectus nam sumpta sunt duo latera BA BH. aequalia igitur equales anguli BAH. BHA. scini recti cum . ABC in semicirculo sit reci tis. Igitur BKA. est semirectus, ac proinde cum rectus sit angulus ΚEB semireetns est ΚBE a qualia igitur sunt latera E K. B. cum igitur AF sit dupla ipsius BE c hypothesi, id est,ipsius ΕΚ erit reliquum AE KF. aequale ipsi EK. Si igitur aequalia demantur AE EG remanebunt GK ΚΓ. aequales. Cum igitur duo triangula HKG. HKF. habeant duo latera HKG. HKF circa nihilo rectos aequalia, habebiliat langulos HGK H FK aequales, ideoque complementa HGA HI C aequalia. Item quia CAE. re elangulum aequale est Quadrato AB. est enim ut CA . ad BA. ita BA. ad AE. ideoque proportionala sunt CA BA AE . ,&AG. est dupla ipsius AE ex hypothesi erit celanguit nata, CAG. duplum Quadrati AB. scd AH cst duplum Quadrati AB cum sit aequale Quadratis rectarum AB. BH. quae ponuntur aequale Si igitur rectangulum C AG. aequale est Quadrato AH. Quare ut CA . id AH ita AH ad AG a quia noula igitur sunt triangula AH HAG. Igitur angustis AH G angulo HCA. est aequalis. Cum vero ostensi sint aequales nyuli HI C. HGA crunt reliqui anguli HAC CH F., qualcs,aequi