Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

131쪽

guli minores recto, ac primus maior secuniado ac tertio maior erit ratio siccantis primi, ad secantem secundi, quam secantis terti , ad se

cantem quarti . Sint omnia,quae in a 6 theoremate litus,erit FC secans anguli CFA.&PF. secans anguli PFA. respectu sinus totius FH. item CD secans anguli CDA. MD secans anguli DA posito sinu toto H. Dico maiorem esse rationem CD. ad DM. quam CF. ad PF Qtioniam minor est DB.qua DC eademq; minor quam A. id est quam FB. aut DF C. aequales sunt FB FC a centro ad circumferentiam, minor erit ratio DB FB. quam C. ad C. permutando minor DB. ad DC. quam FB ad FC. Rursus cum in triangulo FHN angulus FHN sit rectus,erit NH. acutus,& NB. obtusus p in &ideoque MB. maior quam BN. Quare cum minor sit ratio prim quantitatis DB ad secundam DC quam tertia FB. ad quartam FC sitque prima DB minor tertia FB sit prima , tertia demantur ex illa maior B ex ista minor B ci huici minor erit ratio MD residui primae quantitatis, ad ec dum C. quam F. residui tertia quantitatis, ad quartam Fc conuertendo maior ratio DC.ad D quam C.ad NF. at vero FC ad F. maior est quam C ad FP nam Dcum in triangulo rectangulo FHN angulus FNH. sit acu

THEO

132쪽

i s Curtii ac recti proportio promota. THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXI. sint quatuor secan res proportionales Niorque prima quam secunda, ac tertia ; I nor erit ratio primi anguli respondentis pil-

m e secanti ad secundum , quam terti ad quarti a.

Vialosi uia Sint linit ilo secantes propo1tionales in quadrante N. αν. - . cuius centrii A. videlicet A V. T. S. R. sitque A V. maior quam T. aut AS quibus respondeant arch s

Dico minorem esse rationem anguli A Oi ad anguliun EAQ quam anguli DA ad angulum CA Id lineamqtlamcunque GH fiat angulus GHI aequalis angulo An&IHM. aequalis angulo EA ducatur GIM perpendictitatis ad HI. Hinc fiat angulus GHK. aequalis angulo DAin KHL aequalis angillo CA QU&ducatur GKL. perpendictitaris ad HK. erunt HG. I M. ccantes angili rumi AB. EAB. HG. L. secantes an ghilorum AB.CAB. ilhae respectu sinus totiris I istae respectu sinus totius HK. erit gi trit GH ad M. ita A, ad AT. ut GH adHL. ita Ab ad AB cum igitii sit ut GH ad M. ita A ad AT. 4 AV ad AT ita e X hypothcssi AS ad AI ut AS ad AI . ita GH ad L. erit ut GH ad M. ita GH adHL. aequales igitur sunt HM. HL scd maiores sunt anguli GHI IH M. id est FAQUE A angulis G HK. ΚHL. nam maioribus secantibus ni aiores cspondent anguli maius est latus G H. latere M. nam anguli HG. maioris quam IIJ V minus est complcmentum HGI. complem to HVI. ideoque minus latus I M. latere HG.MHL. quam HG. Qu. ire cum duo triangula GH M. HL habeant duo latera GH HM. duobus lateribus G H. HL. aequalia virumque, viri lite, in eodem vero triangulo inaequalia, angulus que compraehensus GHM. maior sit compraehenso GH L. cx quibus in oppositas basses perpendicularcs dcmisi, sunt HI. ΗΚ,

133쪽

IIT ΗΚ erit, per η secundi huius, minor ratio anguli GHI. ad angulum I HM. id est FAB EAB quam anguli GHK. ad

demonstrandum.

THEOREMA XXXII PROPOS. XXXII

SI puncto in quo semidiameter quadrantis

peripheriam secat duo arcus ini equales accipiantur, ad quos, ex quibuslibet punctis eiusdem diametri produci a duae redhae ducantur se cientes duos sectores sectores quos rectae ductae expunctis remotioribus ab extremitate diametri cuna arcubus quadrantis efficiunt, minorem habent inter se rationem , quam quos ericiunt ductae ex punctis propinquioribus, si maiores cum minoribus com

parenturia Sit Quadrans circuli FAU. cuius centrum F. semidiameter A secans peripheriam in A. puncto, quo sumantur in Quadrante duo arcu maior AC minor AB. Hinc inta, diametro F. producta sumantur quotlibet puncta D. H. Xtra quadrantem,&LE. intra quadrantem , ac du

cantur tam e centro, quam

ex singulis punctis , duae re et ad punctam C. Dicos ctorem DCA. ad sectorem DBA. minorem habere rationem di

134쪽

11s Curui ac recti proportio promota.

tionem 'tiam sectorem CA. ad sectorem BA. hunc minore in quam sectorem FCA. ad sectorem FB A. Denique hunc minorem quam quemlibet superiorem, Superiores autem, eo minorem, quo magis puncta I apuncto A. remouentur. Ducantur sinus recti BY. X. QuΡ-niam triangula DCF DBF.eandem basim habciat DFerunt inter se ut altitudines CX BY. Eodem modo cum triangula CF HB F. habeant eandem basim H F. erunt tec dein altitudines CX BY. Quare critu triangulum DCF. ad triangulum DB F. ita triangulum VCF ad triangulum ΗBF maius autem est triangulum DC triangulo DBF ut ad fine huius ostendemus in triangulo VCF. sector FCA. maior sectore FBA. Quare si ad primum triangulum. DCF. ad tertium H CF addatur eadem quantitas, nimirum sector FCA componetur duo sectores DCA. HCA. si vero ad secundum triangulum DB F. quartum H BF. addatur Ctor FB A. conflabuntur secto 1 s DBA. BA. Igitur,perdecimam propositionem primi huius, minor erit ratio sectoris DCA. ad sectorem DB A.quam sectoris HCA. ad suetorem HBA. Rursus, ut prius,ostendemus esse ut triangulum HCF ad triangulum HBF supere dem bassii H F. constituta, ita aliatitudines CX BY. At vero sinus CX ad sinum BY mi norem habet rationem quam arcus C ad arcum B A. id est, sector FCA. ad sectorem FB A. Igitur minorem habet

rationem mangulum H CF ad triangulit ira BF qu natas cetor C A. adscet 1 cm l BA. permutando , ac componendo iterum permutando, minor crit ratio scoloris

UCA ad sectorem HBA. quam cetoris FCA. ad secto

rem ΙBA. Praeterea cadat punc tum Pinter F. Q. Eodem modo quo in triperioribus partibus, Ostendemus minore miserationem trianguli FCI. ad triangulum IBI. quam cetoris FCA. ad cetorem FB A. cum igitur maior sit ratio totius

I A. ad totum BA. quam partis FCI. ad partem BL reliqui

135쪽

II 'reliqui sectoris ICA. ad reliquum IBA maior crit ratio, Squam totius FCA. ad totum FBA. Denique sumpto puncto Einter I. m. cum ostensun sitsaepe stiperitis, min6rcin se rationem trianguli ECI ad triangillum EBI. quam sectoris FCA ad sectorem FBA. in tertia parte huius demostratum sit, minorem esse rationem sectoris FCA. adiectorem FB A. quam sectoris ICA. adiectorem BA minor erit ratio trianguli ECI ad triangulum EBI. quam sectoris I A ad sectorem BA. Clim agitur maior sit ratio totius sectoris ICA. ad totum sectorem IBA quam partis ECI ad partem EBI. erit reliqui sectoris ECA. ad reliquum EBA. maior ratio quam totius ICA. ad totum IBA. Quod erat deinonstrandum Quod autem triangulum CF sit maius triangulo DBF perspicuum est Ducta enim ipsi AD parallelata LC I. producatur DB dum concurrat in M. ducatur FM. perspicuum est quod punctum M. cadet eXtra circulueritq; triangulum DBF pars trianguli DMF ideoque minus , aequale autem est triagulum DM triangulo DCF. minus igitur est triangulum BD. triangulo DCF

SELitorem hic vocamus improprio nomine,triangulum ex duobus rem c circulari conctitatum,qualis e gura DCA. duabus rectis C. A se tertia qualibet circulari AC term natabeo quIdsimilitudine verum sectorem referat,ab Euclid lib. 3 definitione non , descriptum , qui angulum rectrilineum aut in centro,aut in peripheria circulisubtendentis constitutiam habet; qualis 'hic gura CB, cuius rei lectorem admonitum esse voluimus,ne μ ωνυμί ambiguitatem pariat.

136쪽

t Cumi ac recti proportio promota.

THEOREM A XXXIII. PROPOS. XXXIII SEgmentorum in semicirculo, maioris ad mi

nus maior est ratio, quam arcus maioris ad

minorem.

Sit cilculus ABC. cuius centrum E diameter D. ac in semicirculo HAD sumantur duo segmenta FAB GAC illud minus, hoc maius. Dico maiorem si rationem segmenti AC ad segmentum AB quam arcus AC ad arcum AB. Secent duae chordae BF CG diametrum A F. ad angulos rectam in punctis M. . ducatur ΚΒ maior erit ratio sectoris seu figurae CKA. ad sectorem BKA quam sectoris CEA. adsectorem B EA. id est quam arcus A. ad arcum BA hoc enim in superiori propositione demonstratum cst. ideoq; minor est ratio arcusCA. ad BA. quam Κ A. ad K A. minor autem est etiam ratio CK A. a s. s. ad BK A quam CK A ad MA. id est quam totius segmenti CAG ad totum scgmentum B AF. Igitur minor est ratio arcus C A ad arcum BA. id est dupli C AG ad duplum BA F. quam segmenti CA G ad segmentum BR F. Eodem modo ducta semidiametro HED. ostendemus minoremisse rati nem arcus semicirculi DAH ad arcum CAG. quam scgmentiscus cmicirculi DAH ad segmentum EAG.

THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXIV.

N omni triangulo rectangulo inaequalium latcium lateris minoris ad basim minor est ratio, quam basis ad utrumque latus V. maioris late-

137쪽

ris ad basin maior est ratio quam basis ad virum q.

latus Sit triangulum rectangulum BCD cuius basis BD latus minus BC. maius D. Dico minorem esse rationem CB. ad BD. quam BD ad utrumq; BC CD. maiorem este rationem CD ad BD. quam BD. ad utrumque B CD Ex angulo recto C. in basim demittatur perpendicularisCE. erit BE segmentum minus segmento ED. sed&EC. minor est quam ED. est enim ut BC. minor ad CD maiorem ita E minor ad ED. maiorem' addita ergo communi B. maior erit tota B. quam E. EB simul. Igitur minor est ratio CB ad BD. late is scilicet mi noris ad basim,quam CB ad BE. EC. simul, id est quam basis DB ad CB. DC. utrumq; latus simul. Rursiis cum maior sit DC quam CB. id est C E quam EB addita communi ED. maiores erunt DE EC quam tota B. Igitur maior est ratio D. ad BD. lateris scilicet maioris ad basim quam CD. ad DE. EC simul id est DB basis ad DC CB. utrumquatus simul. Quod erit demonstrandum.

THEOREM A XXXV. PROPOS. XXXV.

Varum rectarum, quae in semicirculo angulum rectum continent maxim sunt quς inter se aequales , inaequalium vero quae atqualibus viciniores , maiores lunt quam quae r

In semicirculo ABC. cuius centrum D ducta diametro AC.4 semidiametro DB ad eam perpendiculari Ducatur AB CB. item AE EC. AI. IC.in semicirculo, quarum

illae

138쪽

Curu ac recti proportio promota

, 32

illae limis B. CB. sint viciniores, istae remotioreS. Cum in triangulis ADB.CDB duo latera AD DB duobus D. DB aequalia sint, cinguli ad D compraehensi recti, ideoque aequales, aequales erunt bases AB CB. Dico maiores

csse AB CB simul duabus AE CE simul ipsas AE E.

ipsis AI. CI. simul esse maiores. Ducatur enna herpendicularis BF in rectam CE. connectatur BE EA. secetque

recta C E. rectam AB. in . Item ducatur perpendicularis EH. in rectam IC. connectatur EI.IA. secetque recta I rectam EA. in K. Quoniam AGC. angulus aequalis est duobus interiΟ-rib', oppositis GBC. BCG estque GBC. , rectus, erit AGC obtusus ac proinde BGC acutus, cadet igitur BF perpendicularis intc puncta Gestque BG. subtendens rectum angulum F. maior ipsa BF. Iam in triangulo BFE. Quoniam angulus BEC est semirectus insistit Gnim ad circumserentiam quadranti BQ in angulus ad F. rectus erit etiam FBE semirectus aequalia igitur sunt latera FE FB. Cum igitur latus CB subtendens rectum F. sit

maius latere CF. si aequalia addantur BF FE maior erit CB. BF simul quam tota CF. E. multo igitur maior erit CB. BG. quam CE. cum BG. ostens isit maior quam F. Cum vero AG subtendens angulum rectum AEG. sit maior suam EA. subtendente acutum EGA. si ad CB. G. Marunt maiores qua CE addatur AG maior, ad C E addatur EA. minor erunt CB. BG. GA. id est duae rectae CB. BA. simul maiores duabus rectis CE EA. Qu9d erat primo demonstrandum . Rursus eodem modo quo supra ostendetur cadere perpendiculare EH. inter C. λ. quod angulus

139쪽

AXC sit obtusus, ac proinde ΕΚΗ acutus, quare maior erit EΚ.quam EH. Rursus in triangulo rectangulo EHI. angulus EI H. seu EI C. innixus arcui EC. qui maior est quadrante est maior semirecto, minor igitur est IEH. scinii Geto maius igitur est latus ΕΗ latere IIJ. Nunc eadem prorsus ratione qua superius, ostendemus, cum CE sit maior quam CH. subtendens scilicet angulum rectum ad Fl. ymaior etiam ostensa sit EH. quam HI maiores esse CE EH. si mul quam CH. HI quare multo maiores erunt E. ΕΚ simul cum ΕΚ sit maior quae EH.)quam CH ΗΙ. si igitur inaequalibus CE. ΕΚ. simul, ωCH. HI simul, addantur inaequales, illis maior ΚA. subtendens angulum rectum KLA. istis minor I A.subtendens angulum acutum in eodem triangulo KIA. erunt rectae CE. ΕΚ. Κ A. id est duae CE. EA. simul, tribus CH. HI IA simul id est duabus CI IA. maiores. Quod quaerebamus demonstrare. Atque ita deinceps ostendetur quo linea ex puncto C. ad circumferentiam BA. ducta erit remotiora linea CB. esse si

mul cum reliqua ad A. ducta, minorem viciniori, ut CI.IA. minores sunt quam CE EA.

PROBLEMA L PROPOS. XXXV L semicirculo e punctis extremis diametri

chordas ita inflectere ut laabeant proportio

nem datam. Sit datus semicirculus AEGcuius diameter C. eiusaque eXtrema A. C. proportio data rectae LM ad N. oportet duas chordas ex C. ita inflectere ut habeant proportionem LM ad N Componiatur N. cum recta L.

140쪽

ii Curui ac recti proportio promota.

in angulum rectum ducatur LN. fiat ut LN ad NM. ita CA. ad AE.&aptetur AE adcirculum AB connectatuique CE. Dico esse ut LM ad N ita E ad EA. Ἀρ-niam aequalis est angulus AEC angulo NMI .rcetus, recto, in triangulis AEC NMI circa angulos A C. MNI . latera proportionalia, ex hypothesii, est enim v I N. ad NM. ita CA. ad AE.&quilibet reliquorum angulorum ECA MI N. minor ecto aequales erunt anguli AE. I NM. sed&aequales sunt recti ad M. E. igitur aequales sunt reliqui ad C. I. erit igitur ut LM.ad N ita E. ad EA. Qu9d demonstrandum erat

THEOREMA XXXVI PROPOS. XXXVII.

SI sitat hi quadrata alterius quadrati dupla,

si quidem sint inter se aequalia , habebunt eorum latera ad istius latus proportionen ta duplam, si inaequalia habebunt eorum latera ad illius latus minorem proportionem dupla, sed maiorem quam diameter quadrati ad collam

Sit quadratum FG. ad quod quadrata aequati: a AB. BC- simul sumpta habeant proportionem duplam. Inflectantur AB. BC ad angulun , rectum ABC., ducta AC. diuidatur bifariam iii λ&cYD. distantia DA . vel DC describa tui circulus AEBC qui transiibit per . Dico

quadratorii, AB. BC.latera AB. BC. si nullsum

pta est dupla lateris FG. 29nialia a qualia sunt An CB.&angulus ABC re-