장음표시 사용
91쪽
culum in R. honiam GH ad F. indirem habet rauonem quam V ad L. -F adHT. morem quam LV aderi ex aequali minor ratio V. ad 9T. Nam x. ad CR. Rursus cum sis minor ratio B ad M. nam B ad BV ct componendo minor rati m. ad HB quam GH. ad HB erit eadem ad minorem ve GH ad HS is ad α se ducatur δα. Euoniam maior e rario . ad se quam GH ad HB ut autem GH ad HB. itam ac maior erit ratio GH ad V quam SV ad
Onendi s igitur maiorem posse esse rationem X ad KL quam GH ad F. minorem autem V ad X L quam GH ad V. ideo conuertendo diuidendo maiorem e ferationem HF. ad FG. quam L. adas minorem amrem V ad G quam in ad Do offendere vole-
S duo triangula duo latera duobus lateribus
aequalia habuerint, utrumq; triq; , in eodena Vero triangulo inaequalia,&angulum dictis lateribus contentum angulo inaequalem maior angulus compraehensus, ad utrumlibet reliquorum maiorem habet rationem , quam minor comprehensus, ad reliquos, si maiores unique trianguli cum maioribus, Minores cum minoribus compa
Sint duo triangula I Ap. LAE quae duo latera LA.AF. duobus lateribus. LA AE aequalia habeant, sit vero I A. maius tam latere. AF. quam AE.&angulus LAF aequali. a bus
92쪽
is Cumi ac recti proportio promota
bus lateribus compraehensus, maior angulo LAE aequalibus item comprehenso. Dico maiorem esse rationem an
ul FAL. ad ansulum FLA. quam EA L ad ELA. Item maiorem esse rationem anguli A L. ad AI L. quam EAL.
ad AEL. Componantur duo latera malora In unam meam rectam A L. per reliqua duo AE AR aequalia, centro describatur circulus EF secans A L. in C. ductaq; recta LI tangat circulum in Lac primo cadant puncta EF. inter C. I Item centro L. di stantia I E describatur circulus HEG. secans AI .in Η.&LF. in G.&per puncta FE.ducatur FB secans AL. in B. Secabit autem, cum angulus. LAF recto minor sit , nam cum rectus
sit LIA. erit LAI ac multo magis eius pars AF. acutus,&in triangulo Isoscete AFE. angulus alba sim AFE. acu tu , quare angulis AFB. FAB. exilientibus minoribus duobus
ad partes . maior erit ratio sectoris APE. ad tria-gulum EB quam trianguli AFE. ad idem triangulum, AEB. sed sector AFE. ad sectorem AEC adhuc maioremnabet rationem, quam ad triangulum AEB igitur sector AFE. adiectorem AEC. id est arcus FE ad arcum EG maiorem habet rationem quam triangulum AFE ad triangulum AEB. id est, quam E ad EB.4 conuertendo, minor est ratio arcus E ad arcum CF quam BE ad EF Eodem prorsus modo ostendemus , maiorem esse rationem se-
93쪽
BE ad EF quare minor erit ratio BE ad EF quam arcus HE. ad arcum EG clini rgo minor sit proportio CE. ad EF quam recta BE ad rectam EF ωBE ad EF minor quina arcus E ad arcum EG erit ex aequali minor ratio arcus CE. ad EF id est, anguli LAE ad EAF quam arcus HE. ad FG. id est anguli ALE. ad angulum ELF. permutando , conuerterui, ac componendo, maior erit ratio FAL ad FI A quam EA L. ad ELA. Qu9d vero maior sit ratio FAL ad AFL. quam EA L. ad AEL. Ita ostenditur. Quoniam maior est angulus L EA. angulo LFA. minor angulus EAL angulo FAL. maior erit ratio LEA. ad EA L. quam LFA. ad AL ergo maior ratio FAL. ad LFA. quam EA L. ad LEA. Idem ostenditur si alterum horum punctorum cadat in
Cadant secundo puncta E.F.iupra punctu contactus I.in puncta Κ. O. habeantq; duo triangula KAL. OAL.duo latera KAL. OAL aequalia, It angulus ΚΑΙ . maior angulo OAL.secentq; bases LΚ LO circulii in punctis E. F. interpuneta C. I. Constat angulu KAL. csse maiore angulo A L. Mangulum OLA. maiorem angulo KLA. totu parte:sed&angulus LOA. maior est angulo LΚA cum enim angulus KAE maior sit angulo O AF.erunt reliqui duo.AKE AEK. reliquis duobus A OF AFO minores, ideoque dimidium AKE. dimidio AOF minus. Igitur rursus maior erit ratio anguli KAL. ad angulum LX quam A L. ad ALO. item maior ratio AL ad AKL. quam M. ad AOL. Idem probabimus, si altera dictarum linearum transeat per punctum I. Cum manifestum sit angulum LAI esse pariatem cuiuslibet angulorum superiorum ad A. langulum
LIA. rectum esse maiorem acutis AKL AOL. deniq; ALLesse maiorem singulis ALE. ALF.
94쪽
Curui ac recti proportio promota.
Denique secet altera basium dictorum triangulorum,ci culum in pini sto O supra punctum contaetris I. altera infra, sit in punctori habeantq; rursus triangula OAL EA L. duo latera OA. AL duobus lateribus EA A L. aequalia, itangulus O A L. maior angulo EA L. Qu9niam ex prima pam te huius maior est ratio anguli OAL. ad ALO. quam IAL. ad ALI. I A L. ad AL Lmaior, quam A L. ad ELA. exprima parte huius propositionis , maior erit ratio A L. ad AL O quam EA L. ad ELA. item quia maior ratio A L. ad AOL. quam IAL ad AIL MI A L. ad AIL.maior,quam EA L. ad AEL. erit OA L. ad AOL. maior ratio, tua EA L. ad AEL. Quare si duo triangula c. used erat demo- strandum THEOREM A X. PROPOS. X.
Si duo triangula duo latera aequalia habuerint,
utrumq; viriq; , in eodem vero triangulo inae qualia, Mangulum ij comprehensum angulo inaequalem. In triangulo in qu angulus com- praehensus minor est, reliquorum angulorum maior ad minorem , maiorem habet rationem, quam
in altero. Sint duo triangula LAO LAX eodem modo disposita
quo superiori propositione, sit angulus Alc. compraehensus maior angulo comprahenso A L. Dico in triangulo LAO angulum AOL. niaiorem , ad angulum OLA. minorem , maiorem habere rationem, quan in triangulo LAK. angulum maiorem KL. ad angultim minore ALK. Cadat primo Vter tiangulus. O. K. supra punctum contactus I.&lecent rectari Κ.LO. conticXam peripheriam in phiactis E. F. ducantur caecentro A. rectae AE AF Qu9
95쪽
niam maior est ratio anguli FAL. angulum FLA.quam EA L. ad ELA. ex
te praecedentis propositionis erit componendo maior ratio angulorum FAL. FLA. ad angulum FLA. quam angulorum EAL EI A ad ELA sed angulis A L. FLA simul est
AFO. id est AOF. angulis EA L. ELA. simul aequalis est angulus eYternus ΑΕΚ. id est AKE. Igitur maior est iratio anguli AOF seu AOL. ad angulum ALO. quam anguli AKE id est, ALL. ad angulum AI K. Idem eodem ferme modo demonstrabitur si alterutrum
punctorum uti cadat in punctum contactus. I. Cum enim
iuperiori propositione probata sit maior ratio IAL.ad II A. quam EA L. ad ELA. erit componendo maior ratio duorum I A L. ILA. simu id est anguli AIL qui rectus est, ideoq; aequalis duobus reliqtius IAL ILA. ad II A. quam duorum EA L. ELA. simu id est externi AEΚ ac proinde aequalis AKL ad KLA. Cadat secundo utrumque punctum E. F. subiunctum contactus I. cum angulus L EA. sit maior angulo LFA. angulus ELA. minor angulo FLA. maior erit ratio anguli LEA. ad angulum ELA. quam anguli LFA. ad angulum FLA. Neque aliter procedet demonstratio, si punctum F.
cadat in puncitum contactus I.
Denique cadat alteruter angulorum supra metum contactus, , altera. infra, ille minor, hic maior: cum ratio
96쪽
8 Curui ac recti proportio promota.
AEL. ad ELA. paulo ante ostensa sit maior quam ratio AIL ad AI Lin ratio AIL ad AI I maior, quam ratio AOL. ad rationem ALO. erit ratio AEL. ad ELA. maior ratione AOL. ad ALO. Igitur si duo triangula. . Quod
THEOREM A XL PROPOS. XLSI duo triangula duo latera aequalia habueriuri
Vtrumq; viriq; in eodem vero triangulo in γqualia, angulum ijs compraehensum angulo inaequalem: complementa angulorum aequalibus lateribus compraehensorum, ad duos rectos, maius ad minus, maiorem quidem rationem habet, quam angulus sub minori basi, maiori latere in uno triangulo, ad angulum sub maiori basi, maiori latere in altero triangulo, minorem ero, quam angulus sub minori bas, .minori latere in uno triangulo, ad angulum sub maiori bas,&minori latere in altero triangulo. Ijsdem positis, quae superioribus propositionibus secetis. i. diameter BD. circulum in D erunt ΚAD. AD. conaplementa angulorum aequalibus lateribus compraehensorum KAL. AL. ad duos rectos, langultis OLA. contentuSminora basium L. maiori laterum LA Angulus ΚLA. coniciatus maloii basium LX.4 maiora laterum A. Angulus autem LOA. contentus minori basium LO. minori laterum AO.&angulus I KA. contentus maiori basium
LΚ. minori laterusi KA. Dico primo,angulum AD.ad angulum ΚAD. uiorem habere rationem quam OLA. ad hq ALA. nainorem quam LOA. ad LΚA. Nam cum maior sit
97쪽
ratio AOL .ad AI o quam AKL. ad AI K. erit componen do maior ratio utrius hie AOL ALO. simul id est ipsius DAO. externi illis aequalis,ad ALO. quam AKL. AI K. si mul, id est ipsius DAΚ. ad ALΚ. Rursus
tio OLA. ad LOA. quam KLA ad AKL erit componendo minor ratio utriusque OLA LOA. idest DAO ad LOA. quam utriusque KLA.AKL.idest ipsius DAK. ad AKL.d
Sint secundo triangula AFL. AEL. in quibus complementa angulorum aequalibus lateribus compraehensorum, sint EAD.FAD. Mangulus ELA. contentus minori basium EL.&maiori latere I A. angulus autem FLA. contentus maiori basium FL. maiori latere A. Rursus angulus LEA.contentus minori basium LE.&minori lateruEA.&angulus LFA.contentus maiori basium LF.& minori latere . Dico angulu EAD ad angulu FAD. minorem habe
rationem quam angulum LEA.ad angulum I FA. maiorem s.
vero quam ELA ad FLA. Nam cum maior sit angulus AEL angulo AFL. si utrique addantur anguli illi quidem minor ELA. isti maior FLA. maior erit ratio anguli AEL. huic ad angulum AFL.quam duorum AEL.ALE.simul,ad duos AFL ALF. simul Sed duobus AEL ALE. simul aequalis est angulus externus EAD. duobus itidem AFL ALF. y aequalis est externus FAD. Igitur maior est ratio AEL. ad AFL.quam EA D.ad FAD. ideoque minor EAD ad FAD. quam AEL. ad AFL. Quod vero maior sit ratio EA D. ad FAD.quam EL A ad FLA. patet,quia illic est ratio maioris inaequalitatis hic vero minoris. Idem ostendetur in omnibus casibus in quibus triangulum AEL.cadet intra triangulum, ut intra triangula AOL AΚL. nam eodem modo probabimus maiorem esse rationem AEL. ad AOL. aut
AKL. quam EA D. ad OAD vel ΚAD. Sed sint tertio triangula AEL LXA.secetque LX.ipsam
98쪽
si Curui ac recti proportio promota.
ex secunda parte huius, maior est ratio FL. ad AOL. quam AD ad AD. c prima parte huius, maior est ratio AOL. ad AKL. quam AD ad AD. Igitur X aequalitate, maior est ratio AFL. ad XL.quam FAD ad AD. ideoque minor FAD ad KAD quam AI L. ad AKL. Denique cum maior sit ratio AD ad KAD. quam FLA. ad KLA. vi constate prima parte huius propossitionis, at vero multo maior sit ratio AD ad KAD quam OAD ad ΚAD. manifestum est maiorem esse rationem FAD ad ΚAD quam FLA ad KLA. Quod tan
THEOREM A XII PROPOS. XII S duo triangula duo Latera aequalia habuerint,
utrumq; viriq; in eodem Vero triangulo in qualia, angulum ijs compraehensum angulo inaequalem cinguli aequalibus lateribus com- praehensi, maior ad minorem , maiorem habent rationem quam habeat complementum anguli sub maiori basi, Hinori latere contenti , ad duos
rectos, in uno triangulo, ad complementum anguli sab minoi basi, minori latere in altero tri
gulo. SINT eadem quae superioribus propositionibus, sintque anguli ΚAL OAL aequalibus lateribur compla hensi ille maior, hic minor: sit primo LOA angulus contentus a. a. minori bas LO. minori latere Ao. Item angulus LXA. sub maiori basi LA. minori latere ΑΚ. erit angulus AFO.' qualis angulo AOF d angulus ΑΕΚ aequalis angulo. ALE. Angulorum autem AFO. Eo complementa ad
duos rectos sunt AFL. AEL. Igitur angulorum AOL AKL.
99쪽
complementa ad duos rectos sunt AFL. AEL. Dicomat rem esse rationem anguli KAL. ad angulum OAL. quam anguli AEL. ad angulum AFL. productis enim OAM. KAM. maior erit angulus externus OAD angulo interno LOA. Item KAD. maior, quam LΚΑ.&LOA.qua LXA.ille nim maiori arcui F. insistit, hic minori NE. Marcus X.
differentia angulorum iaOAD KAD. maior qua differentia angulorum LOA. KA. Nam eorum differentia est medietas arcus N. seu ΚΟ. medietas arcus EF qui minor est quam ΚΟ ut constat si ducatur ipsi KL .parallela OS. erit enim EF minor qua FS.
quare etiam medietas ipsius EF erit minor medietate reliqua ipsius KO: Quare si per Iq. primi huius, statuantur duo reci i prima quantitas,& duo itidem recti secunda quantitas , tertia autem quantitas sit an, ulus OAD. qtinta UAD. quinta OA id est FO.&stria AA. seu AER . ac ex prima quantitate, nempe ex duobus rectis, auferantur anguli OAD VAD. ex secunda autem , nimi-ium ex duobus rectis, demantur anguli FO AEO. cum angulus AD. iii maior angulis VAD AFO.d AFO. maior quam AER differentia angulorum AD XAD. maior differentia angulor, in FO. O. eri ex dicta propositione a . . huius ratio anguli A AL. qui complementum est quartae quantitatis A AD ad duos rectos had angulum
100쪽
8 Curui ac recti proportio promota.
OAL. qui est complementum tertia quantitatis AD. maior quam anguli AEL. complementi sextae quantitatis AEU Ladangulum FL. qui est complementum quintae quantitatis AFO. Quod primo probandum erat.
Sint secundo anguli L, F. LAE aequalibus lateribus co- praehensi, ille maior, hic minor, si LEA. angulus contentus minori basii LE. minori latere EA. Item anguluSLFA. contentus maiori base I F. latere minori A. erunt 'θὸρ , anguli AEIC. AF O. aequales ipsis ASE. AOF. complemen- ta angulorum AEL. FL. ad duos rectos. Dico anguli FAL ad angulum EAL. maiorem esse rationem,quam an- hμjμβ guli AOL. ad angulum XL Nam cum probata sitis huius, minor ratio anguli ALF ad FAL. quam ELA ad AL. erit componendo minor ratio utriusque ALF. FAL. id esti. O FO: seu AOL. ad FAL. tiam utriusque ELA EAL. id est
AER. id est. AXE. ad BAL. Quare conuertendo permutando, maior est ratio FAL. ad AL . quam OL ad , XL.
Poterat haec secunda pars e principijs primae partis huius deduci Adit breuitati consuleremus, eam aliunde dedu
Sint tertio anguli L. KAL. aequalibus lateribus com- praehensi ille minor, hic maiora cadantque puncta F. S. illud sub punctum contactus, hoc supra sit L FA. angulus contentus sub basi minori LF.4 minori latere FA. item angulus LXA. contentus sub basi maiori LX. latere minori XA. Erit angulus AD. complementum anguli FAL ad duos rectos,&angulus NAD complementu anguli AKL ad duos rectos minus complemento ipso AD ut pote pars toto, quorum differentia est angulus AF quae maior est diiserentia angulorum L, A. de LXA. Nam ex prima parte huius propositionis constat , differentiam anguloruin . MOF.NSE nimirum medietates arcuum MN EF.esic minorem angulo AO Rursus angulus L . aequalis est,.. s. duobuSinterniSi OA. FAO. id est arcui OF.&dimidio arcui FM.4 angulus NE . dimidio arccui NE. Quare diffe-