Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

121쪽

bus semicirculo,nam si de maioribnfirmo sit man f Λmo a maiori chorda minorem arcam arferri, quam a minorii ex Scholio 28. 3.

THEOREM A XXII. PROPOS. XXII.

ARς tum quos duae parallelta ex duobus

punctis diametri in circuli peripheriam ductae subtendunt, maximam habent inter se rationem quos perpendiculare , minimam quos remotissima a parallelis subtendunt, si maiores cum minoribus comparentur, singuliques micirculo minores existant. IN figura stiperioris Lemmatis. Dico maiorem esse ratronem arcus VAE ad arcum T AD quam arcus XAG.

122쪽

o Curui ac recti proportio promota.

arcum Y AF Marcus X AG ad arcum YAF maiorem, qua arcus ZAI ad arcum KAH. Nam ut superior Lemmat ostensun est, minor est arcus TAD. arcu YAF maior TV quam XY. ideoque eius duplum TV.DE. simul maius R. quam XY FG. simul. Igitur maior est ratio TV DE. ii nihil ad I AD quam XY FG simul ad YAF. componendo maior ratio AE arcus, ad arcum I AD quam XAG. ad AF. Atque eodem prorsus modo ostendetur maiore naesse rationem XAG ad YAF quam ZAI ad KAH. Qu9derat demonstrandum.

THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.

SI duo circuli sese interius contingant, atque

ex duobus punctis diametri communis duae parallelae ducantur utrumque circulum secantes: duorum arcuum inter duas extremitates diametri, parallelas compraehensorum , maior erit inter se ratio in interiori circules, quam in exteriori, si maiores cum minoribus comparentur.

Contingat se due circuli AB L ADI. ille externus,hic in- ternus in puncto A ex quo ducatur communis diameter A L. cuius extremitas in minori circulo sit I in maiori L punctum, ex duobus punctis C. F. in diametro sumptis ducantur dus parallatae DB FGE sccantes interiorem

circuitim in punctis D. G. exteriorem in B. E. auferentes ex utroque circulo duos arcus versus extremitates I. L. videlicet artacus DI GI in interno circulo, circus B L. EL. in externo. Dico maiorem esse ratio 'emarcus I maioris ad minorem I quam arcus L. maioris ad minorem EL. Ducantur recta AG. A D. pro

123쪽

ducantur , dum externum circulum secent in punctis M. N. manifestum est punctu cadere sub punctum E secunia puncta G. E. sint in eadem recta FE. cadat punctum M. sub punctum G. in punctum N sub punctum B maior igitur est arcus NA. arcu BA. arcus MA. arcu EA. arcubus autem MA. NA. proportione aequales sunt arcus GA DA. singuli singulis, ut constat ex Scholio stet. 3. Igitur arcus iis x r. GA. proportione maior est quam arcus EA LDA. quam , fu, BA. Cum autem aequales sint proportione semicirculi AL Iemmate Al. ablatis inςqualibus AE. AG. remanent inaequales EL. imaior GI minor:minor igitur est ratio IG.ad GD qita LE. 4 ad GD sed arcus LE. ad arcu GD. etia minorem habet rationem,quam ad arcum EB qui superior Lemmate proba tus est minor arcu GD. Igitur minor est ratio I I ad GD. quam LE ad EB. conuertendo, ac componendo maior est ratio arcus I ad arcum G I. quam arcus B L. ad arcum E L. Quod fuerat dcmonstrandum.

THEOREM A XXIV. PROPOS. XXIV.

SI sim duo Quadrantes concentrici ac lateri

communi duiparallelς ducantur arcus com- praehensus aut latere, isna parallelarum aut utraque parallelis ad reliquum Quadrantis arcum magis a latere distantem, maiorem habet rationem in circulo interiori, quam in exteriori.

Sint duo Quadrantes ex eodem centro A. dc scripti II B.eXternus, LNO. internus, quorum commune latus AB. secans eXternum in B. internum in .cui paraliciae sint DC. FE secantes reliquum latus in C. E. internu circulum in M. N. cxternum in D. F. sintque reliqui Quadrantis arcus magis a latere AB. distantes, interior L. exterior FI. Dico ma- a iorem

124쪽

1 Curtii ac recti proportio promota

iorem esse rationem N ad N L. quam BF. ad FI Item maiorem rationcm MN ad L. quam DF ad FI Ducatur AN quae producta secet e ternum circulum in . erunt arcus L. GL proportione, aequales , maior autem est Lquam L Igitur arcus I. proportione maior est,qucinia NI .sed MON maior est pro portione quam BF. MN proportione maior, quam DF. Quare cum maior sit proportione N. quam BF. MN L. mi nor etiam proportione quam L maior erit ratio ON ad NL. quam BF ad FL Item cum maior sit proportione N. quam DF MN L. minor proportione quam II eodem modo maior erit ratio MN. ad L. quam DF ad FI Quod fuit demonstrandum.

THEOREMA XXV. PROPOS. XXV.

Si duo circuli sese interius conting an dux

rcet: ex puncto ita usuis peripheriae, in quo

non sit contac tus circulum utrumque secan teS, arcus compraehendunt , quorum inrerior ad arcum inter compraehens Lim 3 extremitatem 5 munis iam cir puncto contactus Oppositam maiorem habet rationem quam xterior. Duo circuli ADI AH L. contingant sese interius in pura

et A. suque interio AH L. cxlcrior ADL ac primum κpuncto B. in interiori circulo, ducantur duae rectae BC BD- secantes intcriorem circulum in punctis G. Id cxteriorem in punctis i. sit que communis diameter ALI secans interiorem

125쪽

IO'riorem circulum in L. exteriorem in Lerit arcus HG. compraehensus inter rectas BD. BC. in interiori circulo, DC in exteriori; Marcus L. contentus inter arcum HG. iunetum, seu extremitatem diametri L puncto con tactus oppositam arcus vero CL contentus inter DC. similem eXtremitatem in circulo exteriori. Dico maiorem esse rationem HG ad L. quam DC ad Cl. Ducatur per punctum G. recta AG. quae producta secet exteriorem circulum in puncto F. Erunt arcus GL FI proportione aequales, maior autem est arcus I arcu FI. Igitur proportione maior est arcus I quam arcus L. Sed troportione maior est arcus HG. arcu DC. Igitur cum maior sit proportione G. quam DC. maior erit ratio HG ad GL quam C ad GI ' bl bEi .h-ί&cum maior sit proportione CI. quam L. maior erit a i tio DC ad GL.quam DC.ad I. Igitur maior est ratio HG. 1. huius. ad L. quam DC ad I. ἡ Ιdem eodem modo demonstrabitur si punctum B suma tur in exteriori circulo. Quare si duo circuli sese interius contingant c. Quod erat demonstrandum.

THEOREM A XXVI PROPOS. XXVI.

Si fuerint quatuor anguli proportionales sin

guli minores recto, ac primus maior secundo, ac tertio maior erit ratio tangentis primi, ad tangentem secundi, quam tangentis ter iij, ad tangentem quarti . Sint duo anguli quicumque minores recto CDA. BA. item duo aliiquicumque FA OTA sitque H DG maior

126쪽

ii Curui ac recti proportio promota.

tam ipso BDA. quam Cin. sit ut CDA ad BDA. tita CFA. ad SA. Dico maiorem esse rationem tangentis anguli DA ad tangentem anguli BDA. quam sit tangentis anguli in ad tangentem anguli Ora. Contineat angulus CDA. minorem BDA.4 ex quolibet puncto Grectae DC ducatur CH. perpendicularis ad DA.fiatque angulus HCF.aequalis complemento ipsis CFA. erit CFA. angulus tertius, qui cadet sub

punctum D cum sit minor quam ADC. contineat angulum quam tum minorem AFΟ.& distantia FC. describatur circulus FCA secans priores lineas in C. O. B. A. connectatur B quae secet CH. iii N. DB secet eandem in M. Item O. secet candem in P cadet punctum O. inter B C. punctum P inter N. c. Nam cum triangulaCFD BFD. habeat circa angulos inaequales CFD. BFD. duo lateia CF. FD. duobus lateribus BF FD. aequalia viru-que trique, in eodem vero triangulo inaequalia; maior erit

ratio CFA. ad BFA quam C DA ad BDA. ideoque habebit angulus CFA. ad aliquem angulum maiorem ipso CFB.

eandem rationem, quam C DA ad BDA. Igitur angulus A FO ad quem eandem proportionem habet, est maior, quam AsB. cadet igitur punetum . inter B. c. iunctum P. inter N.&C. Iam dicta perpendicularis CH. erit tangens tam anguli CFA. quam anguli CD A. recha B tangen Sanguli BFA. MH. tangens anguli BDA PH. tangens anguli FA. constat punctum N cadere inter M. item ostensium cst punctum P cadere inter Nis

quare multo maior est PH. quam H. Igitur maior eripra

tio CH tangentis anguli DA ad H tangentem anguli

127쪽

THEOREMA XXVII. PROPOS. XXVII. SI fuerint quatuor tangentes proportionales,' maiorque prima quam secunda, tertia , minor erit ratio primi anguli res,ondentis prima tangenti ad secundum,quam tertij ad quar

tum.

Sint ita tuo tangentes E. G. I. Κ sitque viri ad G ita I ad K sitque E maior quam . maior item quam I.centro F describatur circulus ABC diam tro FA. sit arcus AC seu angu- -- nlus AFC. respondens tangentia. arcus AB. seu angulus AFB.respon Hdens tangenti Κ. hinc ducta Cis. ad FA. perpendiculari, primi anguli co Dplementum sit CD. erit ADC primuSangulus,&cum angulus ADC. sit maior,quam FC nam maioris anguli maior tangens' cadet punctum D inter H. I. si enim caderet in F esset angulo AFC.aequalis, si infra minor is connectatur DB. quae secet HC. in . ducatur DN secans C. iam erit punistum .inter Η.&M.& angulus H DN angulus secundus respondens ipsi G. Nam cum CIq. sit tangens anguli AFC.& NH. tangens anguli BFA. item CF .langens acguli H DC. Nam est, ut I.ad Κ. ita Η.ad F N. sedit I ad K. ita E ad G. it E ad G ita CH tangens anguli F DC adHN. utrobique enim est proportio aequalitatiso tangen tem anguli H DN. Dico minorem esse rationem CDH ad NDH. quam CFA. ad BFA. Cu enim insuperiori ex a 3.&37. a. huius ostensum sit, maiore esse proportionem anguli CFA.ad BFA quam CDΗ ad DH. CDH ad ML H. maior sit ratio,quam CDΗ ad NDΗ maior crit proportio

anguli tertiiCFA ad angulu quartu BFA.qua primi CDH. ad secundun,NDH. ideoq; minor ratio primi anguli TH

128쪽

ii Cumi ac recti proportio promota.

- ad secundum DFq. quam terti CFA. ad quartum SA. Quod erat ostendendum.

THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXVIII

SI sint qui aluo anguli proportionales, sitqu

prinaus maior secundo, ac terti, minor erit ratio sinus recti, ac chordae primi ad chordam,

& sinum secundi, quam sinus,& chordae terti j ad si

num, Sychordam quarti. Sint quatuor anguli proportionales dispositi, ut in figura

penultima huius, sitque ut CDH ad MDH. ita CFA. ad OFA. eodem modo quo vigesima sexta huius ostendemus punctum P cadere inter . c. Centro D distantia DB. describatur arcus I BS secans diametrum FA. in R. MDC. in . Cum DB. sit minor quam DC erit DS illi aequalis minor quam C. cadet punctum S inter D. C. Ducantur sinus BQNT. SX.erit CH.sinus rectus anguli FA.4 BQ sinus rectus anguli FA. respectu sinus totius FA. item X sinus re citus arcus I S. seu anguli DA BQ inus detus arcus BR. seu an et guli DA. respcctu sinus totius DB.seu DC. OT. sinu si cetus anguli OFA. respectu sinus totius PA. Cum minor sit X. quam H. minor erit ratio X sinius anguli

primi CD A. ad BQ inum rectum 'anguli secundi BD A quam CH. finiis recti anguli tertijCI A. adimi numicei una anguli BDA qui cum minor sit quam T. multo minor erit ratio 1X ad B quam CH. ad T. sinum quartum anguli OCR. used crat Ostcn

dendum.

129쪽

Idem ostendetur in chordis, si cnim propc siti sint quati orarcus proportiCnalis, accipiantur ecrum dimidi j ostendeatur minorem esse rationem sint: sp mi ad secundum, quam tertij ad quartum subucio dimidium ad dimidium, ita totum ad totu, quare minor cribratio dupli sinus, id est chorda primae ad secundam quam tertiae ad quartum.

THEOREM A XXIX. PROPOS. XXIX.

SI fuerint quatuor sinus proportionales in,

quadrante, maiorq; primus quam secundum, ac tertius; maior erit ratio anguli respondentis primo sinu ad secundum , quam terti ad qua

Sint in quadrante cuius centrum jA quatuor sinus FN EO DP CB. proportionale S, ac quidem FN maica quam Eo aut DP.

quibus respondeat arcus F - 4Din C. seu anguli FAN. EA O. DAP. CAB. Dicomas orc mecserationem FAN. ad EA O quam AP. Ad AB. Ad linea GH. quamcunque fiat angulus HGI. aequalis angulo A. Eic H. in lineam I ducatur perpendicularis I. Item ad eandem lineam fiat angulus HGΚ aequalis angulo CA sc demittatur HK perpendicularis ad K. Rursus fiat angulus IHL aequalis angulo FA complementi anguli FAN. secetque I productam GI in L. Denique ad Η fiat angulus ΚΗM. aequalis angulo EA . complementiano uli EA O secetque rectam M. pro duetam GK in M. erit

relicitius HLI. aequalis ipsi FAN. HMK. aequalis EA O. id coque

130쪽

ii Curui ac recti proportica promota.

ideoque aequi angula triangulla lHL. NFA. de HM OEA. ac proinde similia. Cunaque aequi angula sint triangula rectangula HIG. DP A. HKG. CBA. Nam praeter angulos rectos ad K. I. P. B. sumpti sunt anguli aequales HGI. ipsi - DAP.&KGK. ipsi CAB.quare&1eliqui anguli reliquis sut aequales erit ut IH ad HG. ita PD ad DA. ut G adduito HK. ita DA . id est AC ad CB. igitur, c X aequalitate,c sitit IIJ.ad HK.ita DP. ad CB. sed ut DP. ad CB. ita sic hypothesii N. ad Eo ut igitur I H. ad K. ita FN ad EO. Cum ergost ut L. ad I H. ita AF. ad FN.&ut Fq. ad HI . ita FN.

ad EO.&vtΚH adHM ita EO. ad EA. cruri aequali ut I L. ad M. ita AF.ad EA. aequales autem sunt F. EA. igitur etiam aequales sunt HL.MHM. Cum igitur triangula GH L. GHM habeant duo latera H. HL. aequalia duobus lateribus H. M. in codem vero triangulo inaequalia ,

iam angulus LG. ostensus cst qualis ipsi AN I GL ipsi DAP maiora utcm FAN. qt an DAP igitur in triangulo LG. maius latus G. quam latus I. quam I M. ipsi HL aequale minorque sit angulus huius compraebesu GHL. lucina GH M. ut paulo post ostendetur maior erit ratio LG. ad HGL quam 3 G ad G M. permutando maior ratio LG. ad HMG quam HGL ad

HGM. sed ipsi HI G. est equalis FAN. ipsi HMG EA O ipsi II GL DAP. ipsi HGM. CAB ergo maior est ratio FAN ad

EA O quam DAP ad AB. seu maior ratio arcus PQ darcu ni QTu uia arcus QEd arcum C Quod erat propositum. Qsub Ducio GHL. sit minor quam GHM. probatur, quia cum angulus I GH sit maior angulo I GH. crit cius complement una GHI minus complemento alterius ΗΚ. cadet perpendicularis Hiasupra H I. eritque L HK. angulus pars ipsius L HI. item cuia uagulus HI L positus sit maior quam H MK.cri eius complementum II L. minus quam KHM. Quale cum L HK sit minor quam LMI.&LHI. mi nor quam HK. multo minor erit L HK. pars ipsius L HI.quim HK. Cadet igitur H M. supra HL ideoque angulus L HG. angulo HG.minor crit. THEO-