Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

111쪽

SI sint duo circuli eccentrici, quorum maior

minorem contineat, sintq; triusq; centra in tra circulum minorem , ex cit rum trouis duae rectae ducantur circulos secantes arcus dictis lineis contenti, ad arcus, trauis harum linearum, δρsemidiametro maioris circuli, in qua est centru minoris compraehensos, maiorem habent rationem in exteriori circulo quam in interiori, ad corum, ro complementa ad duos recitos, maiorem.

Sint duo circuli EF. CD. eccentrici,ille maior, qui hunc minorem contineat illius centrum B. huius A virumque intra circulum minorem H CD ac recta per utriusque centrum ducta LG secans circulorum peripherias maioris quidem in L.G punctis,minoris in I. H. sit centrum circuli minoris A. in semidiametro circuli maioris BG. Ducantur primum ut videre est in sinistro semici culo huius figurar duae recta excentro circuli minoris AE AF. secantes eXteriorem circulum in E. F. interiorena in C. D. con- nec tantur E. F. Dico maiorem esse rationem E ad G quam DC ad CH aut FE ad FG. quam DC ad DR minorem vero esse proportionem EF ad L. quam CD. ad DL aut EF ad L. quam CD ad CL Cum enon duo triangula FBA EBA.habeant duo latera FB BA. duo ibus EB BA. aequalia,utrumq; viriq; in eodem vero triangulo inaequalia, malo enim FBuid est B. quam BA.in angulus

112쪽

Curui ac recti proportio promota.

13.1.hilius angulus FBA. maior angulo EBA. erit maior ratio angu- , . FBA. hoc est arcus FG.ad angulum EBA. id est arcum EG quam complementi anguli FAB id est angulus FAG. hoc est arcus H. ad complementum anguli EAB. id est angulum AG hoc est arcum CH. hoc enim 13 huius demonstratum est, dc diuidendo maior ratio E ad EG. quam C ad CH. c. Rursus in jsdem triangulis, angulus EAB continetur sub minori basi EA. minori latere AB. angulus FAB. et sub maiori basi A. minori latere AB. suntque anguli

EBL FBL. complementa angulorum aequalibus lateribusa 1.2. huius compraehensorum. Igitur maior est ratio anguli EAB ad angulum AB. id est arcus CL ad arcum DL quam anguli EBL. ad arcum FBL. id est quam arcus E L. ad arcum FL. t undecima secundi huius probatum est&diuidendo maior ratio CD ad DL quam EF ad FL.&componendo, conuertendo, ac per conuersionem rationis,maior ratio

CD ad L quam EF ad EL. Quod fuit primo demon

strandum.

Sed ducantur secundo in dextra parte figurae excentro B maioris circuli duae BE BF secantes eXternum ci culum in punctis . . internum in punctis D. C. &con ne stantur AC AD Dico maiorem esse rationem arcus I E. ad arcum EG quam C ad CH maiorem vero CD ad DL quam EF ad L. Rursiis cum duo triangula C AB DAB habeant duo .. . .: δ ς RCA AB duobus lateribus DA AB. aequalia virum que utraq; in eodem vero triangulo ins qualia nam maior est

DAD: is secudi unis, maior ratio anguli AB. ad angulum DAB. id est arcus CL ad arcum I. qua complementi angulis BA. id est anguli EB L. id est arctis EL.ad complementu anguli DBA. id est angulum FBL. id est arcu FL.&diuidendo maior ratio CD ad DI quam EF. id I L. Venique ana)sdem triangulis anguli DBA CBA con

tinentur.

113쪽

tinentur ille sub minori basi,& minori latere, hic sub maiori basii,& minori latere suntque DAIq. CAH complementa angulorum aequalibus lateribus compraehensorum. Igitur,e 11 secundi huius, maior est ratio anguli DBA. .1 hum. ad angulum CBA idest arcus FG ad arcum EG quam anguli DA H. ad angulum CA H. id est arcus DΗ. ad arcum CH. diuidendo. Igitur si sint duo circuli eccentrici c. Quod erat demonstrandum.

THEOREM A XX. PROPOS. XX.

SI sint duo circuli eccentrici, quorum malo

minorem contineat, sitque maioris centrum in peripheria minoris Duae re Glae ex minor lScentroductae, ex utroque circulo arcus abscindunt, quorum exterior ad arcum sui circuli inter utramuis linearum, d semidiametrum maioris circuli, in qua Uccntrum circuli minoris, compraehensiim, maiorem rationem habet, quam interior ad suum, ad complenaen tum vero minorem. Duae vero rectae ex centro maioris circuli ductae auferunt arcus proportionales arcubus ductis a lineis versus semi diametrum maioris circuli in qua est centrum mi-inoris ex alia vero parte maiori proportione inte

Sint ijdem circuli, qui in superiori propositione, sed centrum maioris B. cadat in peripli et iam minoris , incentro minoris A. ductae recta AE AF in sinistra parte schematis abscindunt e maiori circulo arcum EF. eae minori arcum CD. Dico rursus maiorem esse rationem FE .ad EG quam DC. ad CH.& maiorem CD. ad DB. quam EF. ad FI . Cum enim sit eadem dispositio ac ratio triangulorum FBA. EBAN quae

114쪽

Curtii ac re sti proportio promota.

quae in prima parte praecedentis propositionis, eade in etiam Ona snino demonstratione, eX 3 limitis, probabimus quod proposi tum est, ut ideo necesse non sit sua perflua repetitione lectorem deti

nere

Sed ducantur in dextra parti schenaatis eccentro maiori Scirculi B. Juaerecta BE BF secantes eXteriorem circulum in punctis E. F. interiorem in punctis D. Dico eandem esse rationem arcus DC ad arcum CH. quarao, 3 arcus FE . ad arcum EG. maiorem CD ad DI. quam EF. s. s. ad L. Nam anguli HAD. HAC. dupli sunt angulorum, 33. BF.GBE. igitur ut GAD.ad GA C. ita GBF. ad GBE. id est, ut arcus D H.ad arcum DC ita arcus FG ad arcum EG ro. . diuidendo.

Denique quia ratione maior est arcus CD.quam EF. minor DB. quam L. angulus enim FB L. idest arcus Flia maior est angulo BAD. hoc est arcu DB maior erit ratio CD ad DB quam EF. ad DB sed EF ad DB habet malo rem rationem quam EF ad L. Igitur maior est ratio CD ad DB quam EF ad FL. Quod ultimo probas

dum crat.

THEOREM A XXI. PROPOS. XXI. SI sint duo circuli cccentrici, quorum maior

minorem contineat, sitq; maiori centru extra peripheriam minorisci Duaere stat ex minoris centro dii orae ex utroque circulo arcus abscindunt, quorum exterior ad arcum sui circuli inter utramuis linearum,4 semidiametrum maioris circuli,inqua

115쪽

qua est centrum circuli minoris, compraehensum maiorem rationem habet quam interior ad suum,

ad complementum vero, minorem. At vero duae rectae ex maioris centro ducta utrumque circulum secantes , arcus abscindunt, quorum interior ad utrumuis arcuum inter ductas,&diametrum com praehensum in suo circulo, maiorem habet rationem, quam exterior ad arcus similiter positos in suo. Ponantur ijdem circuli , qui duabus superioribus propositionibus,sed centrum maioris B.cadat extra ambitum minoris, e centro minoris A. ducantur, ut prius in sinistrat parte figura recta AE AF abscindentes ex minori circulo arcum DC.ex maiori arcum FE. Dico iterum maiorem esse rationem: FE ad EG quam DC ad CH d minorem EF ad FI . quam . CD ad DI. Hoc vero X duobus triangulis FBA. EBA. eadem omnino ratione probatur qua in I parte I 9.hui US. At vero due rectae BE BF. ex centro maioris circuli prodeuntes Cut cernere est in dextro semicirculo au ferant ex circulo minor arcum CD. ex maiori arcum EF.

Dico maiorem esse rationem DC.ad CH. quam FE ad EG.& maiorem CD ad DI quam EF ad FI . Cum enim duo triangula CAB. DAB duo latera CA AB duobus lateri bus DA AB. aequalia habeant , utrumque trique langu- 'lus AB. maior angulo compraehenso AB. complementa angulorum Ompraehensorum nimirum anguli DAG. CAG

116쪽

1o Curui ac recti proporti promota.

33 ad duos rectos id est arcus DH. CH. maiorem habent ratio δ' 'λVix nem qua an ulus subminori basi DB.&maiori latere BA ; ad angulus CBA sub maiori basi BC. maiori later BA.

y p Π contentum. hoc est quam arcus FG. ad arcum FG. diuidendo maior ratio DC ad CH quam E ad EG. h. Denique in ijsdem triangulis, maior est ratio anguli co-j j pr. ehensi CAB. ad compraehensum DAB id est arcus I. ad arcum DI quam complementi anguli CBA. ad comple-i mentum anguli DB A. ad duos rectos dest quam angulus EBL. ad angulum FB L. id est quam arcus EI .ad arcum I L. v I 3. huius demonstratum est, & diuidendo, maior ratio CD ad DL quam EF ad FL. Quod fuit ultimo loco probandum.

mam Eum K. Si in duo circuli eccentri s quorum maior minor re contineat , sm per contingere , ' duae rectae ex minoras centro rictae ex viro a circulo arcus ab Indant quoyum exterior inter tramnis rectornm , semidiameIr m maioris circuis, in qua est centrum circuis minoris , compr. hens s mazorem rationem haheaet, quam Interior ad frium , ad complementum vero minorem. Nam in prImis figuλis s. D. 21 huius demonstrat m H perperno , maiorem esse rationem E. ad EG quam C ad CG minorem vero EF ad L. quam CD ad DI. Iissem po iis scinae reris. ex maioris circuli centro ducte, arcus ex utroque circulo ab indant, sis per exterior,ad arcum sui circumvirauis ductaram recfar m simi tametro maioris inuti in nanone I centrum minori , compr hensum, minorem habet rationem , quam interior ad arcsi

eodem modo com mehensem. Nam in scundis figuris I9. Q. at huius probatum e semper minorem si rationem EF ad in L. quam CD ad DI. 3 Gue

117쪽

AG, i dem po is,si duae rem ex maioris centro δε-

Liae arcus ex viroqae circulo ab Indanx, qui comparentur cum arcubus inter utramnis rectaram, O smidiametrum maiores

circuo In qua eis centrum minoris , contentis: siquidem centrum maioris it intra circatum minorem, maior es ratio a cus exterioris ab is ad suum arcum, quam interioris adi sm; se idem centrum it intra peripheriam minoris eadc es ratio arcus exterioris absis ad si marcum quae interioris adsuum denique si idem centrum fuerit extra am Ium minoris, arcus exterior abscissus adstim arcum minorem ha- se rationem, quam interior ad uom. Probatum enim es in scanda figu=a 9. maiorem esse rationem E ad EG quam DC ad CH. In secundario eandem esse rationem E ad EG quae DC ad CH. Denique in sc nda 21 minorem esse rationem E ad G quam DC ad CH.

lineae utrumque circulum secantes, mai res in interiori circulo proportione arcus compraehendunt quam in exteriori.

Contineat circulus S. circulum LM. parallelae RT. QS secent utrumque circulum

exteriorem in T. S. interiorem LM. Dico arcum LM. interiorem

dictis parallelis compraehensum, o proportionem maiorem esse arcu TS.compraehenso ijsdem parallelis in circulo exteriori. Connectatur QT. L. quae producatur dum circulum eXteriorem se cecini manifestum est punctum, cadere supra punctum

T.ideoque linea ON b.se se inuicem secare inter puncta

118쪽

iοα Cum ac recti proportio promota

'si N. O. Cum igitur angulus externΗsLOM. maior sit ante ii ' no ut autem angulus LOM. ad angulum QS ita proportionet arcus LM ad arcum I S. maior igitur proportione est arcus LM arcu TS. Qiisdiuit ostendendum.

Em M A II. SI circulus circulum contineat, duae recta expuncto utriusvis peripheriae,quod utrique'

ripheri .commune non sit, circulum utrumqs secantes, maiores ex interiore cireulo proportione

arcus auferunt,quam ex exteriori. Contineat circulus FD.circulum GC.ac primum eXpUncio A. exterioris circuli duae recta ducantur AF AD secantes cxteriorem circulum in punctis F. D. interiorem in pulminis GH. Dico arcum GH.lineis AF AD. compraehensum in interiori

circulo, proportione maiorem ess atcu FD. ijidem rectis in exteriori Icirculo compraehensum. Connecta e

ita proportione arcus GH ad arcu . FD.igitur arcus GH maior est proportione quam arcus FD. Ll. BD. lacantes Internum circulum in punctis C exter

119쪽

PArallelarum rectarum, quae ex duobus pumctis diametri in circuli peripheriam ducuntur, qua perpendiculares sunt, maximum arcum comprehendunt,& reliquarum, quae perpendaeularibus sunt viciniores maiorem quantiquae remotiores: Rectarum vero quae ex eodem puncto diametri utrinque circulum secant, perpendiculares minimum arcum subtendunt, reliquae autem eo maiorem, quo magis perpendicularibus distant.

Sit circulus ADI.cuius centrum S diameter AS in qua sumantur duo puncta B.C.ex quibus ducantur duae paralle

120쪽

io Curui ac reisti proportio promota.

pendiculares ad AS ct duae BF BG. viciniores dictis per pendicularibus, quam ΒΗ. I. Dico arcuum qui dictis parallelis compi fhenduntur maximum esse DF. hinc FG maiorem quam HI .arcuum vero quos recta CE CG. I. prodeuntes ex eodem puncto C. productae in reti: quam circumferentiam in puncta .X. Z subtendunt minimum ess VAE.maximum ZCI.&XCG. maiorem quam VAE. Item productis DB FB HB in puncta T.Y. . minimum esse arcum A D. maiorem AF maximum ΚAH. Ducantur M. CL. perpendiculares ad BF. BH. secet M. ipsim H in R. Item e centro S ad easdem, perpendiculares S So.

secantes etiam recta CG CI.in punctis, P. erunt etiam ,

anguli SNC SP C.recti: minor igitur SN quam SP. 4 P. quam S C. Quare cum minor sit distantia chordae I CZ acentro S quam chorda GCX. chordae CX minor qua chordariCV maior erit ICZ quam GCX.4 GCX. quam ECV. Eodem modo cum minor sit O quam O. 4 Q. quam B. quae distantis sunt chordarum HK. FY. I ra centro S. maior erit HK.quam FV.&1Y. quam DT. Igitur maior est arcus AI arcu AG XAG. maior ipsis I E. Ilcm maior est arcus ΚAH. ipso DF.c YBF arcu a BD. Q ipd secundo loco propositum erat. Rursiis quia in triangulo rectangulo CA B. maior st B. quam C M. CM.totum,quam pars R. MCR quam L.

hoc est O. ipsi O. aequalis, i silerentiae sinuum vers Crum,

qtiarun ima Xime vicina centro est O remotior PQ remotissima CB. v paulo ante ostensum est, crit , Cro primili unis mori alio CB. ad PQQquam arcus E ad arcum PG. Eare erit : CB ad nianorem quam PQ id est quam C M. u arcii DE. ad arcum maior autem si ost ias CB quam 3 multo igitur maior ei it CB quam ceta minor ipsa M. ideoque maior arcus DE quam arcus FG.A que eodem modo cum maior sit C. quam L id est PC quam O. Ostendemus arcum .esse maiorem arcum luxi od primo lCco propositum fuerat. SCHO-