장음표시 사용
161쪽
duo rectilinea simillia , fimiliteiq; descripta, videlicet quadrata A. B. super duabus C. m. itidem duo rectan gula C. A. D. B. similia ut igitur quadratum A. ad quadratum B ita rectangulum sub A. C. ad rectangulum sub
B. D. Aliter. Cum sit ut A. ad B ita C ad D assumantur E. quinta, a sexta ; quarum E.
sit aequalis primae A. 4 F. secun ridae B erit ex praecedenti pro si tione, ut rectangulum E A. id est pquadratum A. ad rectangulum F. B. id est quadratum B ita re-ctangulum subi C. id est, sub A. C. ad rectangulum sub F. D. id es iubi. D. Quod erat demonstrandum.
THEO REMA III. PROPOSITIO III. SI fuerint tres quantitates quaecumq; priores,&quatuor rectae linea posteriores fueritque ut prima priorum ad secundam ita prima posteriorum ad secundam in ut secunda priorum ad tertiam , ita tertia posteriorum ad quartana: erit ut prima priorum ad tertiam , ita rectangulumcisub prima tertia posteriorum, ad rectangulum sub earumdem secunda tuaria.
SI T in prioribus quantitatibus quibuscumque Vi A.ad B ita in posterioribus rectis lineis
bus quantitatibus, ita F. ad G in μώ- -
posterioribus rectis. Dico esse ut D si FS A ad C. ita rcctangulum sub D. F ad rcci angulum sub E. G. Quoniam est ut A. ad B ita D. ad E. vim ad C. ita F. ad G erit ratio composita πrationibus A. ad B. i. ad C. eadein quae compositae e r/T tionibus
162쪽
i Curui ac recti proportio promota
tionibus D ad E 4 F. ad G. sed ratio composita ex rationi bus A ad B. I. ad C est ratio A.ad C. ratio composita cerationibus D ad E. I. ad G est eadem quae rectanguli sub D. F. ad rectangulum sub E. G. Igitur ut A ad G is rectangulum sub D. F. ad rectangulum sub E. G. QuCode-
THEOREM IV. PROPOS. IV. SI fu rim quatuor rectae proportionale tare ctangulum subprima quarta erit medium proportionale inter rectangula sub prima secunda, sub tertiari quarta.
SI T Quatuor rectae proportion alas A. B. C. D.nem rc Vt A ad B. ita C.ad D. Dico rectangui una sub A. D. esse medio loco proportionale inter rectangulum sub A. B. rectangulum sub C. D. Assumantur duae infra quatuor dataSquarum D sitae litatis quartae D. A. in alis primae A. crit, prima terti huius, ut rectangui
sub D. A. id est jub quarta&pti D Ama ad reciangulum sub A. B. pri
ma secuivia, ina rectangulum sub D. C. quartari tertia ad rectangui una sub A. D. prima&quarta Quare cum sit virectangulum A. D. ad rectangulum AB. ita rei tangulum D. C ad rectangulum A. D.erizconuertendo ut rectangultim A. B. ad rectangulum A. D. ua rectangulum A. D. ad rectangulum D.C. Quod propo-- faciamus demonstrare.
163쪽
THEO REMA V. PROPOS. V. Si fuerint quatuor rectae proportionales erit ut quadratum primae , ad rectangulum subsecunda&tertia, ita rectangulum sub prima tertia, ad rectangulum sub quarta& tertia.
SI T quatuor rectae proportionales via ad B it C. Dico esse ut quadratuin A. ad rectangulum B. . ita re Dctangulum A. C.ad rectangulum ---C.D.Assumantur duae infra qua Cruor datas quarum A.sit aequalis 'primae A. V. aequalis tertiae C. erit exprimateriij huius rectangulum sub AA. id est qua δ dratum A. primae ad rectangulum G B sub secunda ciertia; ita rectangulum A. G ubprima tertia, ad rectangulum C. D. sub tertiad quarta mu'd est propositum.
SI fuerint quatuor rectae proporrionales erit ut rectangulum sub primat tertia , ad rectangulum sub primat secunda ita qua dratum tertiae ad rectangulum sub prima in
quarta. SH ut A. prima ad B secundam ita C. tertia, ad n quartam. Dico esse ut rectangi
tum A. C. ad rectangulum A. B. Dita quadratum C ad rectangulu A. D. Assumantur C. A. aequales
tertiae primae. Erite I. 3. hu
ius rectangulum A. C. sub prima aertia, ad rectangulum A. B. sub prima secunda, ut rcctangulum C. C.id est quadratum. C. tertiae ad celangulum A.D.sub primi quara.
164쪽
i 8 Curui ac recti proportio promota.
eodem principi possint demonHrari propositiones IT. lib. 6. elennenteram , nempe si quatuor recI. θ- Ne proportionales fuerint , quod sub extremis compraehendἔ-tur reisangulam , aequale His i
secundae e primae aequales: Eris verectangatum . . ab prima orsecunda ad rectangulum A. E. sub secunda ex prima ita rectangulum R. C. si secunda fi tertia, ad rec angulum A.D. sub primi quarta aeqnalia autem si ne reriZanguia A. M. Igitur etiam qnalia sunt recfangula E. C. ' A. D. luods intermediae P. C. aequales ponantur , eodem modo ineudemus rectangulum A. D. rectangulo B. C. id est quadra-iora vel C. esse aequale.
SI sint quotlibet magnitudinum series quot
libet magnitudines continentes singuli in qualibet proportione Aridam elica continua; erunt compositae pri imae cum primis , secundae cum secundis sic deinceps , in continua propo
tione Arithmetica. SINT quotlibet series magnitiid in una quarum prima contineat primum tres magnitudines AB DE. GH secunda magnitudines BC. EF.HI.tertia magnitudines CN.FO. I P. habeantque AB DE GH rationem Arithmeticam, t& adiae series. Dico quod etiam composta prima AB BC. CN. secundae DE. EI IB. tertis GH HI. IP. habent
165쪽
rationem Arithmeticam. Quoniam tres magnitudines AB. DE GH sunt in proportionalitate Arithmetica, erunt AB. GH duplo ipsius D E aequalesiit ostendemus in sequenti Scholio citem BC. HI simul duplae erunt ipsius EI. A C&CN. IP. ipsius FO Igi ' -- 'Itur omnes simul AB GH. BC. HI CN. II .id est tota I OAN tota P. erunt simul duplae omnium E G, EF FO.id est toti DO Igi Vtur in ratione Arithmetica sunt AN DO GP ut sequenti Scholio probabimus. Sed contineat quaelibet series magnitudines plures tribus ut prima contineat magnitudines AB DE.GH KL secunda magnitudines BC EF ΗΙ. LM tertia magnitudines CN. O. I P. Min Habeantque AB DE. H. L. rationem Ari si thmeticam continuam , ut Maliae series , singulae eandem, aut pec aiarem.Probabimus ex prima parte huius propositionis,tres N. DO GP csse in proportionalitate Arithmetica Rursus ex eadem ostendemus, tres magnitudines DO GP Κc esse in ratione Arithmetica. Igitur ex definitione, ipsarum AN DO. DO GP eadem est differentia. Item ipsarum DO. SP.&GP. Κ eadem est differentia Quare aequales sunt differentiae magnitudinum AN. DO. GP. K Sunt igitur in continua ratione Arith- .metica. Qu9derat demonstrandum.
Vod era duae magnitudines AB GH snt via pisus DE. o reliqua qua in pro sitione supponama vera
166쪽
Curui ac recti proportio promota.
sint, minaminae caeteris luculentissime Claudius aspis cherus vir non in mathematicis solum, sed in omni gens resteraturae vel antiquis e ferendus in solutissimis commentam quae in Diophauiam edidit cuius aliquot propositi ne quia innofris operibus seuenien , a numeris ad quamlibet quantitatem transferemus ut ijs consulamus quibus fori nobilisimus hic vivo non innotuit.
P Roportio Arithmetica ectuam in tribus aut quatuor flunumeris seu magnitudinibus eiusdem generis , eadem lata nulla hes di erentia primae secundae, quae sicundae
ct ertiae aut quae tertiae se quartae ora tamen ut se prim et , cum secunda comparetur ac scunda cum tertia aut tertia cum quirria Quia vulis elaequales vel maiores velminores L ant, dem veroproportio 'in tribus terminisco ista μεσίτ. sumedietas ac anologia si quatuor analogia tantum ac proportionalitas Arithmetica dicitur diuodvero id nominis non tantum quantitati discrete, detiam continuae trisu ossit,a inforem habemus praeter alios luculentum Pa um Alexandrinui a bbro . oz ct mathem illud in AEamitate continvita
Si fuerit eodem differentia primae magnitudi
nis ad secundam quae tertiae ad quartam, seu; si fuerint quatuor magnitudincis Arithmeti,ce proportionale summa ex extremis conflata erit mediarum summa aequalis si extrema simul sumnta fuerint aequalia mediis simul sumptis, erunt dictae magnitudinc Arithmetice proportionaleS.
167쪽
Sst primum AB ipsi CD. qualis, cum nulla sit differentia inter AB.MCD.etiam nulla erit inter EF GH ex G superiori definitione, aequatis igitur sunt F. GH. Si igitur qualibus AB CD.addantur aequales ERGΗ nem
les ipsis CD F. simul. Quod primo probandum erat. io AB quam CD quorum differentia sitIU duarum EF.GH.drLferentia sit ΚF.manifestum est AI CD. esse aequales cum ab iis pars Inqua differunt sublata sit Item ΕΚ GH ob eandem rationem sunt aequales: aequales autem etiam sunt In F
ex hypothesi. Igitur exprima parte huius erunt duae AI GH duobus CD. ΕΗ quales, quibus si addantur aequales IB KF erit tota AB cum GH. aequalis toti EF. cum CD. Qias secundo loco
Iandem inuertatur ordo magnitudinum; ita ut prima sit GH secunda EF tertia CD ultima A D.eodem prorsus d monstrandi modo ostendemusduas GH. AB duabus EF CD esse aequales. Sed sint duae magnitudines AB. GH ipsis CD. EF. qualta Dico, differentiam AB MCD. esse eandem dis strentiae I
168쪽
i Curui ac recti proportio promota.
ferenti TF. GH set quatuor AB CD. EF.GH. esse Arithmetice proportionales. Sint rursus primo aequales AB. CD. Qu9niam et quales sunt AB GH ipsis CD. EF sit aequales auferantur AB MCD. remanebunt aequales EF GH. nulla igitur est differentia inter EF. GH. sed nulla est inter AB CD. Igitur ex superiori definitioni Arithmetice proportionales lunt AB CD. EF. H. Si vero maior magnitudo AB. magnitudine CD. excessu IB.&simi aequales AB. GH. simul ipsis CD EF simula erunt igitur AI CD sublata differentia IB. aequales. Quare, si ex aggregatis AB GH.&CD EF. quae supponuntur aequalia, auferantur aequales, illinc AI hinc CD. remanebunt IB. G H. ipsi EF.aequaleS. Rursus detracta K aequali
ipsi G H. ita ut supersit KF si
ex aequalibus IB. GH. EF auferantur aequales ΕΚ. H. remanent B. KF.aequales est autem KF disterentia ipsaruEF. GH. Igitur IB. differentia primae, secundae, a qualis est ipsi KF differentia tertia, quartae junt ergo, e definitione praecedenti AB CD EF GH Arithmetice proportionaleS.
Sed sit minor prima magnitudo GH quam secunda EF. excessu ΚF.&sint aequales GH AB ipsis EF CD crunt igitur G H. E K aequales. Quare si ex aggregatis aequalibus GH AB. EF CD auferantur aquales illinc GH hinc EK. remanebunt KF QCD ipsi AB aequales. Iterum sumpta AL aequali ipsi CD.erit IB. disterentia ipsarum CD. AB. Quare si ab aqualibus KF CD. IAB. auferantur aequales, illinc CD. hinc AI remanebunt, ut prius, diise rentia Κ IB. aequales, ideoque erunt praediim quatuor magnitudin e Arithmetice proportionales. Qu9d crat Lrimo loco demonstrandum . Si
169쪽
SI fuerint tres magnitudines in medietate Aia
rithmetica erit prima cum tertia dupla se cundae. Et si prima cum tertia fuerit dupla
Lecundae, erunt tres magnitudines in medietat Arithmetica. SIN T res magnitudines A. C. E. in medietate Arithmetaca. Dico duas A. E. ipsius C. esse duplas. Accipiatur G aequalis ipsi C. Erit ipsa A, definit.su rum A. C. V. E. eadem dis Qxiori.
G. E. etiam eadem est differentia; ergo ipsarum A. C. ip Σ - sarum G. E. est eadem differentia. Igitur per praecedentem duae A. E. simul duabus C. G. simul sunt rituales essed C. G. simul sunt duplae ipsius C. cum inuicem sint aequales C. G. ergo A. E. ipsius C. sunt duplae Qus deficere primo loco volebamus. Sed sint A. E. duplae ipsius C. Dicoti es magnitudines A. C. E. esse in medietate Arithmetica Sumpta enim rursus G aequali ipsi C. Cum A. E. sint duplae ipsius C. erunt duabus C. G. aequales. Igitur per praecedentem runt quatuor A. C. G. E. id est A C. C. E. in proportione Arithmetici, ideoque A. C. E. in medietate Arithmetica. used secundo loco probandum fuerat. Priorem patrem huius propositionis aliter demonstrat Clauius Schol. in 7 6 propositione I.
170쪽
13 Curtii ac recti proportio promota.
S sint quodlibet magnitudines in proportione
Arithmetica continua, extremae simul sumptae aequales sunt duabus ab extremis aequa liter remotis, S duplo mediae in multitudine magnitudinum impari.
Sint quotlibet magnitudines A. B. C. D. E. multitudin impares aequaliter differentes, seu in proportionalitate Arithmetica continua. Dico extremas A. E.esse aequale ipsi B. D. quae ab extremis aequaliter remouentur tam A. E. simul quam B. D. simul, es e dupla ipsius C. Nam cum sese aequali excessu superent A. B. O. E.ex hypothesi definitione, erunt A. E. ipsis B. D.aequales,periri 'mam huius Scholij:&quia B. C. D. sunt Arithmetice proporti nates ,etiam ex hypothesi, erunt B. D. ipsius C. duplae, perseeundam huius Scholi Sed duabus B D. aequales sunt duae A. E. Duplae agitur sunt duae A. E. mediae. C. Quae omnia erant demonstranda. v.
V. quatuor magnitudines fuerint Arithmetice proportionales, etiam conuertendo erunt Arithmetic proportionalcf.
SI enim quatitor magni itidines fierint Arithmetice pr porta onales, aut superabunt prima secundam ωtertia quartam eodem excessu, aut ab ij descient,aut prima, secui da, item secuRda&tertia erunt aequales. Si prima superet