장음표시 사용
171쪽
secundam eodem excessu quo tertia quartam, secunda eo .dem defectu deficiet a prima quo quarta a tertia, eadem eanim est differentia qua minora maiori deficit, quὸ maior minorem superat. Igitur ex definitione huius Scholij jecuniada ad primam o quarta ad tertiam eandem hibent ratione Arithmeticam. Si prima eodem desectu deficiat a secunda quo tertia a quarta , secunda eodem excessi superat pri .mam, quo quarta tertiam. Atque ita rursus habcbunt se cunda ad prima; quarta ad tertia proportionem Arithmeticam. Denique si prima Iecunda, item tertiad quarta sint quales constat nullam esse differentiam inter secunda&primam, item nullam inter quartam tertiam : Quare secunda ad primam, quarta ad tertiam habebunt proportionalitatem Arithmeticam, ex eadem definitione. hioderat demonstrandum.
SI qu tuo magnitudines fuerint Arithmetice
proportionales, vicissim erunt proportio
Haec propositio demonstratura Federico Commandino , S Christophoro Clauio Lemm indo. propos t. lib. o. elementorum sed breuius hoc
INT quatuor magnitudines A. B. C. D. Arithmetice proportionales. Dic quod per . mutando A ad C. et ad D. ha Abent rationem Arithmeticam. quoniam A. B. C.D.sunt in ratio ne Arithmetica, ertant per primam 'partem primae huius Scholij, extremae A. D. medijs B C.a qualis Rursus statuanturisdem magnitudines ordine per V a nautato
172쪽
is Curtii ac recti proportio promota.
mutato A C. B. D. erunt cedem extremae A. D. ijs dena m di)s C. B. aequales. Igitur persecundam partCm primae propositionis huius Schollierunt A. C. B. D. in ratione Arithmetica. Qu9d erat probandum.
Si sint quotcumque naagnitudines talia ipsis
equales a umero quae in in eadem ratione Arithmetica sumantur,is ex aequalitate in eadem ratione Arithmetica eris sciat. D
SINT primum tres magnitudines A D. EG. HT. Maliae tres IN. O S. sintque AD EG. IN. O aon rationeta Arithmetica. Item EG HT. RS sint in ratione
Arithmetica. Dico quoque exaequalitat A D. T. IN. I S. esse in ratione Arithmetica bit prima AD. sccundae EG differentia DC. Item secundae EG. tertiae T. differentia P. cui accipia tura quati s CB. erunt T. EF a quales citem G. AC aequales crunt CX quibus si demantus vadis GF CB. remanc bunt A.
173쪽
ISTE G. HT. G RS. sunt in ratione Arithmetica erunt dis ferentia FG. Pinaequales: ipsi autem FG. est aequalis CB. ipsi P se qualis LM. Si igitur aequalibus DC MN aequa
les addantur l. L. erunt totae DB. L. aequales; est autem ostens DB disterentia primae AD.& tertiae HT. MN L. disterentia primae IN.& tertia'RS in secundis magnitudibus. Igitur AD. UT.& N. RS habentes aequales iste rentias DB. L. e definitione siliat in ratione Arithmetica. Sed sint plures magnitudines tribus, ita ut sint etiam H T.&V. RS. . in proportione Arithmetica. Dico adhuc AD. V. MIN. X. esse in ratione Arithmetica Ipsarum enim H T. V. disterentia sit T. cui aequales sumantur FZ. BK. ipsarum RS X. disterentia sitici cui aequales sumantur P Δ L A. Eodem modo quo in prima parte huius propositionis probabimus DK. MN A esse differentias ipsast in AD. V. MIN. X easdemque esse inter se aequales. Igitur
A D. V.&IN X. erunt in ratione Arithmetica. Quod de monstratum csse volebamus.
Si sint quotcumque magnitudines in ration
Arithmetica AE totidem alie sumantur quς eandem cum illis proportionem Geometri
cam habeant, singulae singulis' habebunt etian L.
post criores rationem Arithmeticam. SINT tres magnitudines DA. A. BA .in ratione Arith metica it DA ad CA . ita GP ad FP.& ut CA ad BA .ita FP ad EP. Dico etiam GP FP EP cf. Arithn elice proportionales. Cum enim sit ex hypothesiit DA ad AC ita GP. ad PF. erit diuidendo ut DC ad A. ita GF ad FP. Rursus cum sit ut CA ad AB. ex hypothesi ita FP ad PE erit pcr conuersionem rationis ut CA ad CB. ita P ad E. Quare
174쪽
is Curui ac recti proportio promota.
Qua re ex aeqtialitate, erit ut DC ad CB. ita GF ad FE. Sed CD CB sunt differentia triu
delicet CD. ipsarum AD AG BQ ipsarum Ata AB.ha nibentium rationem Arithme ticam ex hypothesici aequales , in
igitur sunt DC CB. ex definitione, aequales igitur etiam GF FE eandem cum illis rationem habentes Sed etiam FG. FE sunt differentiae triumma nitudinum PG. PF PE nimirum FG ipsaruni FG. F. uin F. PE. Igitur etiam tres magnitudines PG.
VP. PE sunt an ratione Arithmetica. Sin vero plures magnitudines tribus AD AC AB. AH. in ratione Arithmetica&sit pia terea ut BA. ad HA. ita EP. ad P. Dico etiam GP FP EP. P. habere rationem Arithmeticam. Nam cum sint te magnitudines CA BA HA.m ratione Arithmetica quibus Geometrice proportionales sunt tres P. EP. I P. constat cxprimas a te huius propositionis differentias HB. BC. tum intersettim distilentijs IE. EF. esse aequales, aequales autem sunt BGCD. PFG. ex prana parte iturus. Quare tres differentiae IE. EF FG. aequales sunt, ideoque quatuor quantitates P. FP. EP. I P. rationem Arithmeticam ha bciat. Quod erat. c.
S prim in quantitatis ad secundam ratio com
ponatur ex ratione tertiς ad quartam; quint ad sextam rit ut prina ad secundam, ita tertia ad aliam ad quam quarta candem rationem habeat quam quinta ad sextam. THEO-
175쪽
Sit ratio A. primae ad B.secundam composita ex rationibus C. tertiae ad DH quartam , T. quintae ad F sextam. Fiat vim ad F. ita DH ad alia Quampiam G. Dico esse ut si ad B ita C ad DG Ratio oenim A ad B composita est ex
O ui etiam positis quae in proposition ,, esse ut primam ad secundam ita quintam ad aliam ad quam a sextam iertia ad quartam. Nam Noniam rati ad B co a est ex alimibus C. ad DH. E ad F. erit ne frimine camposia ex rationiba E. ad C ad DH. eritque E. tertia quantitas aria C. quinta DV sxta ha bet V DH. sexta H DG eandem rationem quam L. tertia ad F quartam. Em rem ostensum esse ut A. ad B ita C. ad ZM. Igitur ut prima A. adsecundam S ita quinta C. ad DG adquam Du sexta iras habet, E. re ita adquam tam .
THEOREM A XL PROPOS. XLSI ximae quantitatis secundana ratio com
ponatur ex ratione tertiae ad quartam, d quin' tae ad sextam elusilem primae ad secundam ratio componetur ex ratione terris ad sextam , d quintae ad quartam Sit
176쪽
ico Curui ac recti proportio promota
Sit ratio primae quantitatis A. ad secundam B compositit ex ratione tertiae . ad quartam D. quintae E ad sextam .F.sintque ordine ut sex datae magnitudincs inter se,ita ines A.B.C.D. E. F. Fiat ex duabus C.E. rectangulum c duabus DF rectangulum LHM.ita ut GH. HI.ipsis C.E.
rectanguli sita ex rationibus GH. adHM. id est C. ad D. m. ad L. id est E. ad F. Sed etiam ratio A. ad . composita estes ijsdem rationibus C. ad D. T. ad F. eadem igitur est ratio A. ad B. rationi recitanguli GI ad rectangulum LM at vero ratiorectanguli GI ad rectangulum LM. etiam componiture ratione GH ad L. id est C ad F. IH ad HM. id est E. ad
D. Igitur etiam ratio A. ad B. componituri rationibus C. ad F. ME. ad D. Vt autem lineae A.B.C.D. E. F. ita ponuntur magnitudines A. B. C. D. E. F. Igitur magnitudinum A. B. Atio componitur eX rationibus magnitudinum CD. E. Quod intendebamus probare.
S primae quantitatis ad secundam ratio com
ponatur ex ratione tertiae ad quartam, quin-zae ad sextana etiam conuertendo ratio secundae ad primam componetur ex ratione sextae ad quintam,&quartae ad tertiam. Sint
177쪽
IGISint omnia quae superiori propositione . Dico rationem B. ad A. componi ex rationibus F. ad E. ωD.ad C. Erit enim conuertendo ut rectan Tgulum LM ad recitanguluGLita B. ad A. est autem ratio rectanguli
LM ad rectangulum G I. composita ex rationibus H. ad HG. id est D ad C. 'H. composita ex rationibus H. ad G id est D. ad C. ab .adHI. id est F. adi. Igitur B. ad A. ratio composita est ex rationibus .ad C.&i ad E Qu9d crat demonstrandum.
S prina ae quaotitatis ad secundam ratio com
ponatur ex rationibus tertiae ad quartam , quintae ad sextam citiam ratio tertiae ad qiuartam componetur ex rationibus primae adsecundam, sextae ad quintam. H A BEAT A prima ad B secundam rationem compositam ex rationibus C. tertiar ad D quartam , T. quintae ad F sextam. Dico rationem C ad D componi ex rationi
bus A. ad B. F. ad E. Fiat enim viri ad F. ita D ad G. Cum proportio A. ad B sit composita ex ratione C.ad D. dc E ad F. id est D ad G proportio autem composita ex ra- tione A
178쪽
ici Curui ac recti proportio promota.
tione C. ad D. M. ad G eadem est quae . a G. Nam
totum suis pallibus stimul sumptis aequale est erit ut A ad B ita. C. ad G Rursus cum assumpta sit inter D. tertia G. Schol in erit ratio C. ad D compofita ex rationibus C. ad .&G ad D sed est C ad G ita A. ad B. it .ad D. ita F ad E. cum ciaim posita sit D ad G ut E ad F crit conuertendo ut G. ad D. ita F. ad E. erit ratio C. ad D composita ex rationibu A ad B. I ad E. Qu9d demonstrare oportuit.
THEOREM A XIV. PROPOS. XIV. Si duorum rectangulorum ratio componatur ex rationibus primae rectae ad secundam, tertiae ad quartam, rectangula sub prima Sctertia, secundari quarti crunt datis rect angulis proportionalia.
V M reet angulorum E. F. ratio componatur ex rationibus A. primae ad IM
secundam B. c. tertis ad quartanam fiatque rectangulum G I. sub re- citis GH. HI aequalibus primae A. tertia'. C.&rectangulum LM. subresti H M. HL aequalibus secundae
gula I LM ipsi E. F. esse propo tionalia. Rectangula enim GI Lini bent rationem compositam, ceratione laterum GH HM. id est A. B. ratione laterum I H. L. id est C. D. sedeciam rectangula E. F. habent rationem con possitam ex rationibus A. ad B. ωC ad D. igitur ratiores an gulis adiceiangulum . composita e ijsdem rationibi cx quibus ratio rc stanguli GL drcet angu ma LM. eadci
179쪽
est quae rectanguli GL ad rectangulum LM. Quod probandum susceperamus.
S duorum rectangulorum ratio componatur
ex rationibus primae rectae ad quartam d. tertia ad secundam e rectangula sub prima tertia, .sub secunda Quarta eriant datis re-xa augulis proportionalia.
rectangulorum E. F. ratio componatureX rationibus A. prima ad D quartam, MC.tertiae ad B. secundam , fiatque rectangulum GHL sub rectis Η. HI quae prini A. tertiae C. sint aequales, rectangulum L HM subrectis L H. M. quae B secundae &m quartae sint aequales. Dico rectangula GL LM rectangulis E. F.esse proportionalia. Rectangula enim GI LM. habent rationem compositam ex ratione GH ad L. id est A ad D. ex ratione H. adi M. id est C ad B sed etiam rectangula E. F. ponuntur habere rationem compositam ex rationibus A. ad D. C. ad B. Eadem igitur est ratio rectangulorum GI LM. ωre .ctangulorum E. F. Quod a nobis probandum fuerat.
SCHOLIUM .PTolem ieras ab I magnae conErumonis capite,apud Theone, o Trape antirens Ira apud Ramholdam undecimo, regulam, quam vocam si quantitatum, ingeniose admodum , varetiqua omnia, Acogitauit quae non solum in demonstrationibus obericis , sae etiam Geometricis magnum moment m obii-nere pote' ut ex squentibus patebit. Cum tamen harnm qnantitatnm plures connexiones Iu coniugationes sepos int, ipsi lira uas progresseres non eis , quarum alteram vocat κατα συνθεσι risu scandam compositionem , aheram καταυ αἱρεσιν
180쪽
a 6 Curtii ac recti proportio promota.
id ect sicundum diuis onem. Primae πρότασις ut modi est apud Theonem, ex versione Io.Bapulae ortae, ut qui em reor non admo ri bonam Si in duas rectas sinitas angulum continentes, ab Xtrsmis producantur me rem secantes se inuicem , se a. angulum
tinent , ad ipsam quae intercipitor ad angadam a rod cra, con-iancta eL, siue componit H, eae ratione prodi Asiae ab extrem dicLae cisae, interceptae i in excesin alterin pro crae, ad alteram recZam continentium et tum se praetcrca ratIone intercopiae , a scZione pro sectarum ad terminum alterius angulum continentium , se ipsius productie. Sed breuius , se clarias Regiomontanus Epitomatis lib. I. propos trone nona. Si a terminis duarum linearn ab angulo aliquo scendentium , durae lineae sis secuenies , seper sendentes mutuo resem ferint era lineae descendentis ad partemsuam seperiorem proportio, e dnabus proportionibus, quarum una est a termino huius defendentis sex. , ad partem eius supra ρ- cIionem , alta es partis infra,ctionem alterius resem , ad totam eandem resexam composta.
Fκθεσιν ac διορισμ ον habent Ptolen us se Theon qu.e intelligi
nonpossunt sine oculari inscctione diagrammatis, magis ad amussim Regromonianus. Ab VHo A.
per descendentes , qu. siniis F. D. fcantes se in Z. Dico quod proportio GA ad AE composita es ex duabus scilicet proportione GD ad Z or