장음표시 사용
191쪽
composita, rarionibus GD ad BE.&BE. ad IE. Rursus inter GA. AE ponantur duae intermedia BZ.ZD.erit ratio A. dAE .coposita ex tribus rationibus A. ad BL. BZ. ad Z D. ID ad AE. ut vero GA. ad AE .ita GD ad I E rQuiangula enim sunt triangu hi GAD EA I. ob parallelas IE.GD. quae essiciunt angulos externos IEA. EIA aequales internis AGD ADG. Quare ex dua bus proportionibus aequalibus GD.ad IE.4 GA ad AE prima ex duabus rationibus GD ad BE. RE ad I E compositae est; secunda ex tribus GA ad BZ.4 BZ ad ZD. et D ad AE composita est, aequales igitur sunt duae rationes GD.ad BE.ωBE. ad IE.tribus rationibus GA. ad BZ.ωBZ.adet D. ωZD.ad AE aequalium enim quantitatum aequales sunt omnes partes simul sumptae. Igitur ex duabus primis rationibus auferatur ratio BE. ad IE.&ex tribus posterioriabus ratio BZ ad ZD qua aequaliε seu eadem est rationi BE. ad I E aequiangula enim sunt triangula BEL BZD. ob communem angulum ad B. ob duas paeallelas DZ IE. quae essi iunt angulos externos BDZ.BZD aequales internis BIE BEL remanet ratio GD ad BE aequalis rationibus GA. ad BZ. ID ad AE. Cum igitur ratio GD primae ad BE.secundam sit composita ex rationibus GA.tertia ad BZ. quartana, ZD. quintae ad AE.sextam,etiam ratio D. pri inar ad BE. secundam, XII .huius componetur ex rationibus A. tertiae ad AE sextam , QD. quintae ad BZ. quartam seu quod idem est ratio GD ad BE componetur ex rationibus ZD. ad BZ.&GA. ad AE. Igitur ut GD. ad φ 3 huim BE. ita ZD. ad aliam ad quam BZ. sit ut GA ad AE ex Lo.
tertij huius Sed GA.est ipsius AE.dupla, seu AE est imsius GA.dimidia igitur ut GD.ad BE. ita ZD.ad dimidiam ipsius BZ Sedit ZD.ad dimidium BZ.ita EA.ad dimidium AB. aequiangula enim sunt triangula BDL. BEA.ob communem
192쪽
1, Curui acrecti proportio promota.
munem angulum ad B Maequales ad D. E. ideoque ut DZ. ad ZB. ita EA. ad AB.4 consequentium dimidia ut DZ.ad dimidium ZB.ita EA.ad dimidium AB. Igitur ut GD. adis. s. AEE. ita EA. ad dimidium AB dc posteriorum terminorum dupla est GA.ad AB. victaad BE Qusd c.
THEOREM A XXI. PROPOS. XXI. Isdem positis, sint praeterea anguli BEA BDG. aequales etit ut secunda quantitas ad incidentium secundam, ita segmentum superius incidentium secundae ad dimidium segmenti superioris quantitatis secundae. SI T eadem omnia quae superiori propositione. Dico
esse ut BA. ad BE. ita ZE. ad medietatem DA. Qu9niam parallelae sunt IE ex hypothesi, erit ut BZ.ad ZE. ita BD. ad DI.assumatur extrinsecus media DA.constabit ratio BD. BZ. ad ZE. ex rationibus BD. ad DA. MDA.ad DI. ut autem AD ad DI ita AG ad G E. Igitur ratio BZ ad ZE. composita est cx ratione BD ad DA., ex AG ad GE. 3 'μψμδ' tigre per tertium modum I 6. huius erit ratio BZ ad BD composita ex rationibus .a huius ZE ad DA MAG ad GE. Igitur ut BZ. ad BD ita ZD. ad medietatem DA ad quam integra DA rationem habet quam AG. ad sui dimidium GE. Vt autem BZ. ad BD.ita BA. ad BE aequi angula enim sunt triangula a, BD. .BEA.ob communem angulum ad B.& angulos BDZ.
193쪽
THEOREM A XXII. PROPOS. XXII. Horda dilorum arcuum inaequalium semi
circulum complentium , eamdem habent rationem quam secans arcus minoris cum sinu toto ad tangentem eiusdem arcus, aut quam tangens ad disserentiam secantis.
SI circulus FAB. cuius centrum D diameter BF ai cus minor FA. maior semicirculum complens AB Chorda arcus minoris AF maioris AB simus totus DAeiusdem arcus FA. recta A. ducta ex puncto A ad punctum G. in diametro producta; ideoque DG.
secans arcus FA.ωGF. eius disse rentia FE sinus rectus AE. versus FE complementi ED. rectata BG. composita ex sinu toto BD. secante DG. Dico eam esse rationem BA. ad AF quae est BG ad GA. aut GA. ad GF. Erunt enim
triangula BA F. GAD. rectan gula ad A quae diuidentur perpendiculari AE communi ad basim in triangula similia, eritque ut BE ad EA. ita E A ad FE ideoque quadratum AE . tam rectangulo BEF.quam rectangulo GED aequale est. Igitur aequalia sunt rectangula BEF. GED. atque adeo ut BE . ad ED. ita GE. ad F. diuidendo ut BD ad DE. ita GF ad FE sed ut BD ad DE. ita AD. ad DE quodaeqnales sint, BD A D. ut A D. ad DE. ita GA ad AE ergo ut GF ad FE ita GA ad AE. permutando, ac conuertendo, ut GA ad GF ita AE ad EF. sed ut AE . ad EF. ita BA. ad AF. ergo ut A. tangens arcu AF. ad GF differentiam secantis, ita chorda BA. ad chordam F. Rursus cum reictangulum BGF sit aequale
quadrato A erit ut AG ad GF ita BG. ad GA.ideoque ut chorda
194쪽
i Corui ac recti proportio promota.
chorda BA ad chordam AF ita BG. composita ex sinu totω,&secante arcus AF ad GA. tangentem eiusdem arcus A F. Quod erat propositum. COROLLARIUM. I. EX dictis manifesZum Resse isnum totum ad suum
complementi arcus Pisa di erentiam secantis ad num versum.probatum enim es esse, BD ad DE. iii . ad FE.
COROLLARIUM ILCOncta praeterea esse, laetentem ad sinum recZtim, ara differentiam seι antis ad suum versum eiusdem arcus. Nam demonstratum est esse vi GF ad FE ita GA ad AE.
ADhaec in uitrersi ex eodem puncto circuli ad Hamerrum,
ei dem arcus tangens, chorda, atque smus ducantur, angulum a tangente se iuu recto contentum a chorda sicari bifariam. Nam cum ex eodem puncto A ad diametrum ductae M AG. E. F. atque ut GF ad FE ita GA ad AE.angulus GAE. Haiditur bifariam a chorda AF.
COROLLARIVM IV. Enique probatum es esse, BG ad GA. ita GA ad GF. THEOREM A XXIII PROPOS. XIII
tum circulo inscriptibile ad quadra
tum chorda arcus Quadrante minoris rationem habet quam secans eiusdem arcus ad suam disserentiano aut quam sinus totus ad sinum versum.
195쪽
II 'Sint eadem quae superiori propositione. Dico esse qua- aratum circulo inscriptibile ad quadratum corda: AF arcus 'ri quadrante minoris, ut est secans eiusdem arcus AF ad
HE. AD. hoc est FD ad DE. GD ad DA. id est ad DF 3 m im erit V FD ad DE. ita GD.ad DF.& per oti uersionem rationis ut DF ad FE. ita Dc .ad DF. Assumantur duae BF BF seu eadem BF. bis,erit per primam terti huius trectannii tum sub BF DG ad rectangulii sub BF. F.
lum sub BF. DF. ad recta-gulum sub BF. FE sedit rectangulum sub BF DG ad rectangulum sub BF. F. ita DG ad GF eirago ut DG. ad GF ita rectangulum BFD. ad rectangulum BFE. at vero rectangulo BFD. aequale est quadratum circulo inscripti bit cum utrumque quadrati DF. sit duplum, rectangulo BFE. aequale est quadratum AOgitur ut DG. secans arcus AF.ad FG secantis differentiam, ita Quadratum circulo inscriptibile, ad ita iratum chorda 1A. Vt autem DG ad GF ita ostensum est paulo ante esse DF. sinum totum ad EF.sinuimversum ut ergo DF ad EF. ita quadratum circulo inscripti. bile, ad quadratum chordae FA. Qui ferat c.
THEOREM A XXIV. PROPOS. XXIV. Vadratum chordae ad quadratum tangentis eiusdem arcus est ut quadratum circulo inscriptibile ad rectangulum subsecante eius dem arcus, de secante cum sinu toto. SINT
196쪽
il Curui ac recti proportio promota.
SI, eadem quae duabus superioribus propositionibus. Dico esse quadratum chordae AF ad quadratum tan gentis AG ut quadratum circulo inscriptibile ad rectanginium BGD.contentum secante DG. xsecante cum sinu toto, BG. Nam Coroll. . cum sit ut GF ad FE ita GA ad
'lit 32 AE. id est GD ad DA . seu GD ad
1.3 huius ad DF.si assumantur BG.BF.crit trectangulum BG. GD ad rectangulum BF DF ita rectangulum
GD DF. F. E. BG. F. BG.GF.ad rectangulum BF FE. conuertendo exit rectanguluBFD ad rectangulum BGD ut rectangulu BFE. ad rectangulum BGF. Sed rectangulo BFD. aequale est quadradratum circulo inscriptibile,ut constat e progressu superioris propositionis,di rectangulo BFE. est aequale quadratumTA.&rectaagulo E . quadratum G A. Igitur erit ut quadratum circulo inscriptibile ad rectangulum FGD. ita quadratum AF ad quadratum AG. Q Dd erat demonstrat
197쪽
THEO REM A XXV. PROPOSITIO XXV.
dx xorum chordarum inaequalium semita
circulum complentium maius ad minus rationem habet quam sinus totus compo situs cum sinu complementi arcus cui minor chorda subtenditur, ad sinum versum eiu Ldem arcus,&quam secans eiusdem arcus composita cum sinu toto ad disserentiam secantis
Supponantur adhuc superiora diagnammata. Dico quadratum BA. ad quadratum A F. esse ut BE. ad EF.&v BG. Coroll. r. ad GF. Cum enim sit ut EF ad GF ita EA. ad AG.4 per huiu= mutando ut EF ad EA. id est EA. ad EB it FG ad AG sed est etiam ut FG ad AG ita GA ad GB.erit ergo ut EA. ad EB.ita GA.ad GB. permutando ut EA. ad GA. id est EF ad FG. ita EB ad B. permutando ac conuertendo ut BE ad EF ita BG. ad GF. Rursus cum quadrato BA sit aequale rectangulum FBE.& quadrato FA. rectangulum BFE. habeantque dicta rectangula communem basim BF esunt ut altitudines BE EF. Igitur ut BE ad EF ita rectangulum FBE. ad rectangulum BFE.id est quadratum BA .ad quadratum AF. sed etiam paulo ante ostensum est esse ut BE. ad EF ita BG ad GF ergo ut BG ad GF ita quadratum. BA. ad quadratum AF.Quod propositum fuit demonstrare.
HIn paret esse, qn ratam Amus toti sis quadratum
tangentis arcus, ita sinam complementi dicti arcus adae erantia Imus complementi se secantis. Nam si nainr
198쪽
1 8 Curui ac recti proportio promota
BA. Huius inciriangais rectangulo AER. erit F. tangens anguli ABF. F. secans eiusdem anguis. E. sinus rectus an luti BAE. qui eis compsementum anguis ABF se Q. differentia secantis BF est,nus compomenti E. eis autem probatum esse ut quadratum BA. ad quadratum M. ita M. ad EF.
onsa etiam es υ BE ad EF ita BG ad GF hoc nim in progresi demonErationis ostendebamus.
g x xum x ngentis arcus Quadrante mi
noris ad quadratum sinus totius ratione habet quam rectangulum sub aggregato sinus totius , secantis ac sinu verso, di e angulum sub sinu toto,d sinu complementi.
SINT ad cita omnia quae superiotibus propositionibus. Dico esse quadratum AG ad quadratum AD ut rectangulun i sub Coroll. , i FE ad rectangulum L E. 22.3.hmus. Quonium est ut F. ad FE.ita An ad AE. id est D. 5 DE. id est
lum sub BG. I ad rectangulum sub BD. D. ita remn.gudum sub BG. E. adicetangulum sub BD. DE.s circetan
199쪽
.gulo BGF.est aequale quadratum AG.&recta ut sub BD FD. quadratum A D. Vt agitur quadratum AG. ad quadra tum AD. ita rectangulum BG. EF ad rectangulum BDE Hused intendebamus demonstrare.
THEOREM A XXVII. PROPOS. XXVII. Sinus versus ad sinum totum cum secante ratio ne habet, quam rectangulsi sub sinu complemcnti ab sinu verso, ad rectangulum subitu toto sub aggregato sinus totius tanus
complementi. gulum DEF.adrcetangulum DBE. Cum enim sit ut EF ad' i hyi V '
BG. ita rectangulum DEF. demonstrare oportuit. μή ς' ,ΠSulum EBD. QiisdTHEOREMA XXVIII. PROPOS. XXVIII.
te maioris, ,hordae arcus qui prioris sit complementum ad duos rectos ordine coniuncto habent eam rationem quam tria rectangula, primum sub secantet sinu toto 1ecundum sub diametro secante cum sinu toto
200쪽
i Cumi ac recti proportio promota tertium sub differentia secantis, diametro Ac
ram quadrata quam rectangula ordine, ac coniun
ctim se habent ut sinus totus duplum compositie simu complementi simu toto duplum sinus
versi minoris arcus aut etiam ordine haec terna
rationem habent quam secans , duplum secantis cum sinu toto, duplum differentiae secantis.
Repetantur figurae praecedentes cum ἐκθίσει prop. a. huius. Dico quadrata rectarum BD. BA. AF eam habere Ordine rationem,quam habent tria rectangula GDF. GBF. GFB. Item quam tres rectae DF duplum BE duplum E. Item quam tres rectae G. duplum BG. duplum FG.
Qu9niam tria trectangula sub FB FD; sub B. ωdupla E sub B. dupla E; ha bent eandem basim FB erunt ordine ut altitudines Ti. duphun - ωduplum E sed rectanguli sub B. D. dimidium est quadratum D; rectanguli sub B ac duplo E. dimidium est rectangulium FBE ac denique rectanguli subduplo FE. IB. dimidium est rectangulum EFE.quae omnia se habent ut sua dupla ergo quadratum D rectangulilia FBE. rectangulum BFE inter se sunt ordine, ut tres rectae FD; dupliim BE. Huphim FE. Rectangulo autem FBE est aequale quadratum AB. rectangulo BFE quadratum AF. nam cum in trianguli rectanguli BAF basim BF ex angulo recto A. demissa sit perpendicu uis AE erit ut B ad A. ita BA. ad BE. ideoque quadratum AB aequala rectangulo FBE. it BF ad FA. ita FA. ad FE ideoque quadratum FA aequale rectangulo BFE. Igitur quadrata FD; B. I; AF; inter se ordine sunt, ut tres recitae FD. dupla BE.& dupla FE. oroll. 1. . Rursus cum octensum sit superius esse ut GF ad FE ita λι I liuius GA ad AE. id est GD ad DA seu GD ad DF eiit ut GF.ad FE ita GD ad DF.4 conuertendo, ut FE ad FG. ita F. ad OG. Item cum sit ut CF ad FE ita GA ad AE. id est A D.