장음표시 사용
181쪽
ιur autem deforis linea ZD. Erit igitur composia rario lineae GD ad lineam EI. ex ratione . ad linea DZ. ex ratione lineae DZ ad lineam EI.Mare ratio linea GA ad lineam AE compos laesi ex ratione lineae GD ad lineam DZ. sex ratione linaea DZ. adlineam Et En autem se ratio tine. DX. ad EI. eadem rationi lineae ZR ad lineam RE.ctim aequidictantesint lineae EI. QD. Rario igitti lineae GA.ad eam AE composita ex es ex ratione lineae GD ad lineam Dκ ex ratione lineae ZE ad lineam EE. od eras δε-
Eodem modo demonstrabitur quod secun m diu onem
ratio lineae GK ad lineam EA. composta en ex ratione lineae GZ. dZD. or ex ratione Meae DB. ad BA. Ducta per A punc um lianea I. quidluant lineae B. protracta in eandem GDI. Rursus
enim quoniam linea AI aequid anses lineae EZ. sicut E ad EA.
Sic Z ad ZI AEumpta autem δε- foris linea ZD. ratio lineae GZ ad ZI. componitur ex ratione lineae GZ. ad lineam ZD. oratione Meae Dκ. ad lineam XI. Ea autem ratio tineae DX ad lineam XI emaeem quae es ratio DB ad F q. eo quodis uidi tantes lineas AI. 9YB. dactae,nt lineae SA. O ZI. Dare ratio lineae GZ. ad lineam ZI. componitur ex ratione lineae GZ adlineam ZD. se ex rationes eae DB.ad lineam EA.Porro ratio lineae GE.ad EA. eadem eis quae lineae GZ ad lineam XI. Ergo ratio lineae . ad lineam EA. componitur ex ratione linea GZ adlineam
182쪽
is Curui ac recti proportio promota
aD. se ex ratione lineae DB ad lineam BA EDddemonstrandum erat
Hactenus Ptolemaeos sed recte admonet Rainholris octTheonem coniugationis κατα συνθεσιν quadruplicem e varietate, κατα-άιρεισιν duplicem. Nam sicundum compositionem, aut tota linearis aeterior confertur adpartem siveriorem versus angulum, aut ad partem inferiorem ab angulo; aut tota interior confertur ad partem eis periorem, vel inferiorem. At fecundum diuisionem , tam exterioris, quam interioris pars inferior ad superiorem refertur. inibus omnibus Inguia ναπαλιν seu conuersem respondent. Vt exterior GA. confertur aut cum
AE aut cum EG. tota interior, GD. aut cum DZ au cumGZ aut exterioris pars inferior GE. ad severiorem EA. aut in- Ierioris pars inferior GY. ad superiorem AD 9 conuertendo. Singuli aurem casus demonstrantur direm quidem a Theone etiam conuersi a Rainkoldo. Nempe I. Ratio A. ad AE componitur eae ratione GD ad DZ. BZ ad BE. Ratio AG ad GE. componitur ex ratione AD ad DB or BZ ad ZE.
BZ ad ZE. ex BD ad DA O AG ad E. Sed Albindus Arabs , or ab eo aInhosus , ammaduerIII, in singulis modis quos siverius posuimus, ISO conrugatIones aere se fieri posses, tot dem α' πα/ ii exqu/bus soli 36. Intvriles ac necessariν, Iet impossibiles, reliqui inutiles , atque horum 6. ων orum ocZodecim, esse reliqώorum o uertentes, Mod autem nec aristin x quibuslibet quantitatibus in quibus prim. ad cundam OIio componatur eae rationIbns tertiae a. quart-m, 2 quintae ad I AIAE . hac tabala continentur.
183쪽
Tabuia 18 modorum necessariorum. I 67
I. I I. XIII. I V. V. XVI. XVII. XVIII. . ad a. ex . ad . ad 6.
Ηorum autem modoro primum Ptolemeus in prima coniugatione se praedictarum quantitatum , septimum octauum, undecimum , decimum septimo Rainholdus ireliquos omnes nos aliqviando totidem theoremalis demoni animus sed nunc,
quod mirum viden possit, se νεου vix feri posse quis credas omnes sequenti propositione compupta sumus.
184쪽
168 Cumi ac recti proportio promota THEOREM A XVI. PROPOS. XVI.
DAtis se quantitatibus quarum primae ra
tio ad secundum componatur ex rationi bus tertia ad quartam, quintae ad se tam , Omnes modos necessarios, quibus ratio duarum quarumlibet , ex aliarum rationibus componitur, demonstrare.
Sint datae ει quantitates A. B.C.D. E. F. in quibus ratio A. primae, ad B secundam , sit composita ex ratione .lertis, ad D quartam , cssi quintae, ad F seYtam .propositum sit demonstrare,proportiones sex illarum quantitatum Octodecim modis, quos in tabulam E-- Vsuperiori scholio redegimus, dire ne, to isdemque conuersim componi posse. s.; i, Stoliniat' i ratio A. ad B. componitur ex ratione C. ad D.&J3 3 'μ' Τ E. ad F. per primum modum datum, etiam ratio, ad D. 13.3.huius componetur eX ratione A. ad B.&F.ad E.qui undecimus modus est. Item quia ratio A. adi componitur ex rationibus E. ad F. C. ad D. etiam ratio E. ad F componetur erati ne A. ad A. D. ad C. qui est modus decimus septimus atq; ita cael stunt tres modi in quibus ratio
C. ad D ex ratione A. ad B. I ad E. F. A. D. C.
sex niagnitudines pro ordine quem obtine ut ordinalibus
185쪽
numeris insigniantur ita ut in primo fit A. prima quantitas B. secunda, C. tertia, c. In secundo C prima D secun da, A. tertiam quarta F. quinta E sexta, atque ita in reli quo E. prima F. secunda c. Qu9niam ratio A. ad B.com Ponitur ex rationibus. C. ad D. exE ad F. etiam ratio A. ad B. componetur ex rationibus C. ad F.&E. ad D. qui se ' cundus modus est praeterea quia ratio C. ad D.componitur ex rationibus A. adi. i. adi etiam ratio C. ad D com i. a huius ponetur ex rationibus A. ad E. F. ad B qui duodecimus modus est. Adhaec quia ratiori ad F componitur cerati nibus A. adi. v. ad C. eadem ratiori ad F componetur iis hui- ex rationibus A. ad C. O. ad B qui est modus decimus
18 Rursus in unoquoque horum modorum sex magnitud nes pro ordine quem habent ordinali numero affectae intelli: gantur. Qu9niam ratio A. ad B.constat ex rationibus C.ad F. E. ad D. etiam ratio C adi conctabit ex rationibus i 3.3.huius. A. adi. v. ad E qui est modus 13. Item quoniam ratio Q ad D. conflatur ex rationibus A. ad E. F. ad B etian . In uinin ratio A. ad E. conflabitur ex rationibus Gad D.&B ad F. qui est modus quintus Denique quia ratio E. ad F com ponitur ex ratione A. ad C. M. ad B. etiam ratio A. ad C. i3.3.hiu . componetur ex rationibus E ad F. l. ad D. qui constituit tertium modum tabulae.
Praeterea quia in proximis modis ratio primat decuni
186쪽
. Curui ac recti proportio promota.
dae, componitur ex rationibus tertiae quartae, ratione λ 3 huius.quintae&sextar;probabimus ex sexta propositione tertijhu-ju S, quod ratio C. ad F. componitur ex rationibus A. ad E. D. ad B qui est modus decimus quartus. Item ratio A., y 3 hμjμβ adi componitur ex rationibus C. ad F. S. ad D. qui cit i 3 h*ius inodus sextus tabulae denique ratio A. ad C. componitur ex rationibus E ad D. ωB ad F qui modus est quartus in tabula. C. F. A. E. D. B.
3 3 hVix β Eodem modo, quo supra, ex septima terti huius, OmlLs primo trium posteriorum modorum, e quo nihil noui amplius demonstrari potest quoniam in secundo ratio A. ii huiu,.ad E. componitur eX rationibus B. ad D.&C. ad F etiam ratio B ad D componetur ex rationibus A. ad E. F. ad C. qui octauum modum tabula constituit; praeterea quia in te lioratio A. ad C. constituitur ex rationibus B ad F. 73.3,nuius E. ad D. etiam ratio B ad F. constituetur ex rationibus A. ad C. O. ad E qui modus est decimus tabulae.
,3 3 huius Eadem ratione, exis terti j huius ratio B ad D. p . nitur e Lationibus A. ad C. T. adi qui est septimus in Τ i hμ' ' dus,, ratio B ad F componitur ex rationibus A. adi D ad C. qui est nonus modus. At vero cxs terti huius. Qti an iam ratio B ad F. componitur ex rationibus A. ad C. ,3 3 h H D. adi etiam ratio D. ad E. componetur ex rationibus
187쪽
B. D. A. C. F. E. B ad F. ex A. ad . ad C. D. E. B. C. A. Denique in ultima serie quia ratio D. ad E constat ex rationibus B ad F. ωC ad A. ex propositione 2.3 huius ra-rr.3.huius. tio D. ad E constabit ex rationibus B ad A. c. ad F qui
Atque ita datis sex quantitatibus, quarum prima ratio ad secundam componatur ex rationibus tertia ad quartam, quintae ad sextam,omnes modos necessa ios directos quibus ratio duarum quarumlibet ex aliarum rationibus componitur demonstrauimus Conuertentes autem superiorum modorum, e Ia hu-i1.3.huius. ius aperte demonstrantur; nam in omnibus si fuerit primae ad secundam ratio composita ex rationibus tertia ad quartatam, 'uinta ad sextam, etiam ratio secunda ad primam componetur ex ratione quartae ad tertiam, sexta ad quin tam . Quare etiam superiorum modorum conuertentes demonstrauimus Quod propositum fuerat.
SCH OLI M. HIn paret quam facilius nn solum modi omnes in Pio
Iomei prima coniugationes quantitarum unicapropos tione dempnnrentar, quam infiniti, a Rainholdo comment. in . II primi aegnae coner Zionis sed reliqui reliquarim quinque conietationum modi, de qui us in Scholio praeceden alis propiationis ac omnino omnes compositiones rationum necessariae quae inter se quaslibet quantitates existant qkodingens compendium eis , ac ni fallor magnum in Geometricis v- sum habebit.
188쪽
i Cumi ac recti proportio promota
SI xima recta ita secunda angulum faciant a
quarum etremitatibus ducantur tertia ab extremitate primae, quarta ab extremitat secundae in punctum concurrentes , S in oppositas
rectas quae angulum prius faciebant , incidentes, ita ut quarta primam bifariam diuidat erit ut prima incidentium ad segmentum superius, ita incidentium secunda ad medietatem segmenti inferioris. PA GI Aa prima AG.cum secunda Anangulum ad A. ab extremitatibus primae secundae G. I B ducantur GD tertiad BE quarta concurrentes in puncto Z. secta GD. oppositam rectam AB in D. BE oppositam AG bifariam in E. Dico esse ut GD. ad
DL. ita EB ad medietatem ipsius BL. Vocentur autem AG. prima quantitas AB secunda GD incidentium prima: E. incidentium secunda. Z punctu concursus EA DA LE. D. segmenta superiora. G. B. EG DB segmenta inferiora. Quoniam ratio GA ad AE coponitur ex rationibus GD.ad DL. BL. ad BE. ut ex Pt Schol. is lemaeo probauimus in Scholio Is Iulus,etiam ratio GD ad
cst cx rationibus EB ad BZ IGA. ad AE. Igitur cum prima GD ad secundam DL ratio componatur iurationibus tertiar ER. ad quartam BZ. quintae AG ad cxta AE eritio. .huius. Vt Gi . ad Z. ita EB. ad aliam ad quam sit quarta M. t
189쪽
habet ratione duplam ergo ut GD.ad DZcita EB.ad aliam ad quam BZ. habet proportionem diapiam, id est ad diui .diam ipsius BZ . Quod erat propositum.
ΤHEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII. IIsdem positis erit ut segmentum secundaequantitatis superius , ad inferius , ita segmentum superius secundae incidentium ad medietatenaci
inferioris. SINT eadem quae superiori propositione. Dico essi ut AD ad DB ita ZE ad medietatem ipsius BZ. Quoniam ratio AG ad GE constat ex ratione AD ad DB. BZ ad ZE. Qii'd demonstrat Theon sexta prop. incia caput . Almagesti,&Erasnus Rainholdus in idem caput quod ipse undecimum statuit proposit a. nos sequenti Sch lio ex illis authoribus demonstrabimus erit etiam ratio AD ad DB composita ex ratione AG ad GE. QE. ad Z seu quod idem est ex rationibus ZE ad BZ. AG ad GE. Igitur ut AD ad DB. ita ZE. ad aliam ad quam BZ habeat rationem quam AG ad GE. sed AG. ipsius GE. ponitur dupla. Igitur ut AD ad DB ita ZE ad eam cuius BZ sit dupla, id est , ad dimidiam M. Quod si
190쪽
i Curui ac recti proportio promota
THEOREM A XIX. PROPOS. XIX. Isdem positis erit ut secunda quantitas ad segmentum inferius, ita segmentum inferius prumae incidentium ad superius.
SINT eadem qua 1 . huius. Dico esse ut BA. ad DB. ita GZ ad ZD. Quoniam ratio GE ad EA. componitur rationibus L. ad ZD.&DB. ad BA. ut ex Ptolemaei c. I 2. magnae syntaxeos probauimus schol. II huius, etiam ratiois. auiu, Z ad ZD- componetur ex rationibus GE. ad EA. BA. ad BD seu quod idem est ex rationibus BA ad DB. GE.ao.3.huius ad EA. Igitur ut GZ. ad ZD. ita BA. ad aliam ad quam DB habeat eam rationem quam GE.ad EA. sed E. ponitur aequalis ipsi EA. Ergo ut Z ad ZD. ita BA ad aequalem ipsi DB nimirum ad ipsam DB. Qu9d concludere volebamuS.
II Mςmpositis, sint praeterca anguli BEA. BDG.
aequale critis prima quantitas ad secundam, ita incidentium prima ad incidentiui
secundam. SIN T adcin omnia quae in schemate 7.hulos, praeterea Lit anguli BEA BDG aequales Dico esse ut GA ad AB. ita GD. BE. Ducatu in I. ipsi D. parallela. Hanc ad duas GD.BE.constituaturicrtia ΙΕ.erit ratio GD ad I E.