장음표시 사용
201쪽
DE. id est AD ad DE. id est GA.
ad AE. id est GF.adri . Quare ut GF ad FE ita B ad BE dc conuertendo ut FE ad GF ita RE ad GB. sed etiam paulo ante ostensum est esse ut FE ad F. ita DF. ad BG. erit igitur ut DF. ad BG. ita BE. ad GR.&FE. ad GF.&permutando, ut DF ad E. ita DG ad GR. est autem ut BE ad FE ita GR. ad GF ideo
Cum igitur quadrata I F. BA J A Ordine se habeant ut DF duplum Et, duplum E; it tres illae reetae it ordine sint DG duplum BG. duplum FG. habebunt quadrata F. A. A. eam Ordine rationem quam tres rectae DG duplum BG. duplum FG.
Denique tria rectangula sub GD FB; sub duplo CB. FB sub duplo FG. TE; cum habeant eandem basim B.
erunt ordine ac coniunctim ut tres altitudines SD duplum .
GA, duplum FG. Sumpto autem inino quoque rectangulo dimidio unius lateris, erit rectangulum sub GD. FD. di- naidio ipsius FB. rectangulum sub GB FB.medictas prioris rectanguli subduplo GB.&FB.&rectangulum sub FG. FB medietas rectanguli subduplo FG. MFB. Eruntigitur rectangula GDF GBF GFB v numquodque in ratione re ctanguli duplici sed rectangula dupla ostensa sunt esse in ratatione reciarum G dupli B dupli FG. Igitur rectanguiala. GBF GDF GFB sunt ordine ut DG duplum BG. Duplum FG. sed eandem ordine ac coniunctim ratione habent: Ra qua-
202쪽
1 8 Curtii acrecti proportio promota.
quadrata DF BA FA. Igitur ordine,ac coniunctim eam rationem habent quadrata DA. BA. M. quam rectangula a GDF GBF. FB. Quod erat demonstrandum.
TR, Quadrata tangentis chordae; silvis
recti eiusdem arcus inter se rationem habent ordine coniunci ana quam ordine perturbato habent composita ex sinu toto secant: dupla sinus complementi m dupla secantis. Et quadratum tangentis ad quadratum sinus recti eiusdem arcus rationem habet quam secans ad sinum complementi Repetatur adhuc superiorum propositionum delineatio, in qua arcus AF tangens GA. sinus rectus AE chorda AF. Item secans DG sinus complementi ED. composita ex sinu toto BD. secantem recta BG. Dico Quadrata A. A. EA. Ordine, ac coniunctim habere rationem quam habent ordine perturbato tota' BG; dupla sinus complementi ED;&dupla secantis G. id est esse ut quadratum GA ad quadratum FA. ita BG. ad duplam sinus complementi ED. Qv quadratum A. ad Quadratum A. ita B dupla lacantis ad rectam BG. compOstam ex sinu toto, secanteta.
Pud: ' ii qua ipsi GF sumaturaequalis GH.erit
recta I H.cum secantis DG nam cum eo uales sint BD. DI'. si aequatis addantur FG. H. erunt tota DG.- composita
203쪽
ex BD GH aequales; est autem G. secans , igitur duae
BD. GΗ secanti sunt aequales tota igitur BH. ex duabus secantibus constat,ideoque secantis DG dupla est. Rursus constat reci angulum BGF quadrato A esse ae s c. s. quale; item rectangulum B AE quadrato F dc rectangulum BEF.quadrato AE. Nam ob similitudinem triano ut rum BFA AM. item BEA AEF est ut BF ad FA. ita . . ad FE. Item ut BE ad EA. ita EA. ad EF ideoque tam e tr. 2angulum BFE quadrato A quam rectangulum BEF. Quadrato AE est aequale. Rectangula autem BGF BFE. habent rationem comps
DE. , FD ad DE sumpto terminorum duplo cita duo et plum FD ad duplum DE. id est FB ad duplum DE. Igitura primo ad ultimum , ut GF ad FE ita FB ad duplum DE. QSare cum ratio BGF.BFE.siit composita ex rationibus B. ad BF. BF ad duplam M. erit ut rectangulum BGF ad rectangulum BFE id est quadratum GA.ad quadratum FA. ita GB. ad duplam DE. Insuper rectangula BFE. BEF. posta communi altitudiane EF inter se sunt ut bases FB EB ut igitur FB ad BE. ita rectangulum BFE.ad rectangulum BEF. Quoniam vero est ut BE . ad EF ita BG ad GF id est BG ad GI . erit conuer q. tendo,& componendo, ut FB ad BE. ita ΗΒ ad BG. sed ut 'FB ad BE. ita modo probatum est esse rectangulum Bra.
ad rectangulum BEF igitur rectangulum BI E ad rectan gulum BEF. id est Quadratum M. ad quadratum EA r tionem habet quam B. nimirum duplum secantis ad BG. compositam ex sinu toto , secante. Cum igitur sit ut La. quadratum, ad quadratum A. ita
GB ad duplum DE. ut probauimus in prima parte huius;
ut quadratum . ad quadratum M. ita ΗΒ ad BG. Constat quod primo proponebatur. Et ex aequalitate erit ut BH.
204쪽
8 Curtii ac recti proportio promota. dupla secantis ad DE duplam sinus complement , ita Quadratum GA. ad quadratum EA.&priorum terminorum dimidia, ut secans DG ad sinum complementi DE. ita quadra tum G q. ad quadratum EA. Quod erat propositium.
Si in triangulo rectangulo ex puncto ubi duo
latera angulum rectum efficiunt, duae rectae circa alterutrum laterum ducantur, quaruna altera extra, altera intra triangulum basim secet, essicientes cum dicto latere angulos aequales erit ut composita ex basi&segmento exteriori, ad segmentiam exterius, ita segmentorum interiorum remotius ab exteriori, ad vicinius SI triangulum rectangulum BIF cuius basis BF latera circa angulum rectum I sint FHE. expuncto I. in basina
ducantur duae rect DIE. intra triangulum Is extra, facientes angulos Et F. FIG. aequalesvi secantes basim productam in tria segmenta,eXternum GF interna BE remotius ab externo, EF vicinius,ac contiguum. Dico esse ut BG ad GF ita I E. ad EF Diametro B F. 0 in 3I circa angulum rectum FIB. describatur ii cultis FIB. cadatque angulus rectus supra punctum contai ius lineae duetae a puncto G in circulum,&producantur GI IE. quae primo circuluinsecent in punctis L. a connectantur B. 2 L. fiat quo, i angulu ΚΓM producta GK in M. aequalis angulo ΚΒ L. . . ini innsam aequalia sunt rectangula BGF Κ II erit circa an gulum G ut BG ad G ua ad GF. permutando Vt G. ad
205쪽
ad Κα ita GI. ad GF. aequiangula igitur sunt triangula GD. AK.&aequales anguli GIF. 7ΓΚ. GFI GKB. Item cum a triangulis EF. EBL aequales sint anguli ad F. verticem,&duo FIE. L. eidem arcui FL. insistentes, aequiangula sunt tota triangula, sed angulo FIE aequalis ponitur FIG.4 ipsi PIG. ostensus est aequalis BG aequales igitur sunt anstuli KEI LEE sed angulo BG.faetus est aequalis ΚBM. I itur ΚBM. aequalis est tam angulo LBE. quam GIF.&FIE a que ideo totus m. toti GIF aequalis est, communis autem est angulus ad s. aequalis igitur est reliquus us' id est gEL. reliquo BMK. Cum igitur duo triangula KEM LBE. a heant duos angulo ΚΒΜ.BMI .aequales duobusLBE. L.&latera B. L. aequaliaci cum enim aequales sint anguli R BG. LEE aequales erunt arcus K. L. ideoque S complementa ad duos rectos ΚΒ. I S. ac propterea etiam ea rum chordae ΚΓ LB aequales aequilatera erunt triangulata
KEM BLE. latus M. aequale erit ipsi L. Sc EB. ipsi BM. Igitur cum angulus GIE. sit diuisus bifariam recta IF.ex hyapothesi erit ut GF ad . ita I ad IE. it L ad IE. ita GB. adi 1 sintilia enim ostensa sunt triangula GIF GBM.&vtGBad BM. ita GΚ. ad ΚM. aequales enim positi sunt anguli ΚBG. BM. ipsi autem ΚM aequalis ostensa est EL. erit igitur ut GF ad FE. ita GΚ ad EL. Rursus cum sit ut GI. ad IE. ita GF ad FE erit permutando vi I ad GF id est, BG ad GK ita IE ad FE id est BE ad EL. permutando ut BG. ad BE. ita GK ad EL. Cum igitur ostensum sit paulo ante esse GF. ad FE ut G Κ. ad EL.& nunc esse ut GK ad EL. ita BG ad BE erit ut FG.ad FE. ita BG.ad BE.&permutando, ac conuertendo, ut BG. ad GF ita BE ad EF. Qu9d propositum erat demonstrare.
Qv d si recta ducta e G. circulum non secet, sed tangat
in puncto A. sitque triangulum rectangulum MF. cum cuius latere AF faciant duae AG AE. angulos aequale GAR E. Dicorursus ut BG. ad GF. ita esse BE. ad EF Ducta enim excentro cilculi D. recta ad punctum contactus DA faciet
206쪽
13 Curui ac recti proportio promota
faciet angulum rectum DAG. Netus autem est&BA F. quare si comunessauferatur angulus MD remanebunt aequales AF DAB. sed ipsi AF ponitur aequalis FAE de ipsi AB aequalis est DBA. aequalis igitur est totus GAE duobus DAB DBA. id est angulo GDA. Cum igitur duo
triangula GAD GAE. habeant angulum communem ad G. Mangulus GAE aequalis sit angulo ADE. etiam reliqui GEA. GAD aequales erunt, rectus autem est GAD. igitur rectus est MEA. Quare ex a Coroll. s. huius erit ut . ad GF..ita BE ad EF. Denique cadat angulus rectus subiunctum contactus,Vt in . sit triangulum rectangulum BKF cum cuius later KF duce recitae G. E. faciant angulos aequales GKF.FKE. secentque dictae lineae circuli peripheriam in punctis Ι. N. conn istantur rectae FN. I. ac ducatur IE secans peripheriam in L. rumsumque connectantur ΚΒ BL. Dico rursus esse vi Id. ad BE. ita GF. ad FE. Qu9niam aequales sunt anguli GKF. ΓΚΕ. aequales sunt RQ arcus F. FN aequales igitur rectae IF FN. anguli I . NFE. Quare cum duo triangula EFI EFN habeant duo latera EF FLUuobus EF FN aequalia & angulos EFI EFN dictis lateribus contentos squales&basim IE. basi EN aequalem habebun angulum IEF angulo NEMRursus cum in triangulis IE LNE. angulus IE angulo LNE utpote eidem arcu KL insistens aequalis sit,&angulus IKE. angulo NLE. itidcin eadem arcui IN. insistens aequalis, is qualia
207쪽
latera E. EN aequalia erunt qatera EX EL. Quare cum in triangulis ΚB ELB anguli EB LEB aequales sint sunt enim aequales angulis ad verticem NI F. IEF.qui mo do ostensi sunt aequales&circa eos latera BE EX.lateribus BE EL aequalia erunt anguli ΚBE.LBE.aequales:angulo autem BE seu BG. est aequalis angulus GIF ut prima parto huius propositionis probatum est, angulo L . angulus FIE aequalas igitur sunt anguli GIF FIE.sed rectus est FIB. an semicirculo. Igitur per primam partem huius propositionis ut BG ad GF. ita BE ad EF dc permutando ut GB ad M. in . ad FE pd propositum fuerat demonstrare.
aequales, angulos L . m. Marcus L. BK. o LF. KF eram esse aequales , orsi arcus UF. LF. O BL EA. aut ansali LEE U .pmantur aequales equi angulos Gu. n. esse aequales Hoc enim in progressu primae partis demo rarionis probatum es, nam emper anguissLBE.angulo F .ctam lusUBG. angulo IFG. eis aequalis. possis autem angulis L . x .aequalibus, equalessentareus in entes KF.LF.o oram eo umenta UB LB.
D i es in triangulo rectanguloso ex angulo recto GAD.inbos recta demii Hur faciens angulum GAE AEq-- angal ALPs. rectam M. e serpendicularem ad ba-
208쪽
19 Curui ac re ni proportio promota
GD hoc enim scinda pane huius probato menque na
m conuertentibus octauae sexti elementorum.
in triangulo rectangulo ex puncto ubi duossciunlatera angulum rectum eniciunt, cillae recta circa alterutrum laterum ducantur, quarum
altera extra, altera intra triangulum basim secet, sitque ut composita ex basis segmento exteriori ad sigmentum exterius, ita segmentorum interiorum rem Otius ab exteriori ad vicinius emciciat duae illa rectς cum latere trianguli circa quod ductae sunt angulos aequales. I eadem quae priori propositione , nimirum sit
triangulum rectangulum BIF cuius basis BF latera circa angulum cctuma sint IF IB. impuncto I. in basim duaerceta ducantur E. intra triangulum IG. extra,facientes angulos EI F. FIG. secantes basim produc tam in tria segmetita externum F. interna vero BE remotins ab extetrio,&EF vicinius ac continguum sitque ut BG ad GF ita BE ad F. Dico angulos GIF.GIE. esse aequales. Si enim non sint aequales , sititimum G IF maior quam FIE. fa FI P aequalis ipsi GIF cadatque punctum P supra E. Quoniam re elus est angulus FIB. 4 quaic anguli GIA FIE. erit per princitcntem, BG ad GF ita BP. ad υ .sed etiam ex hypothesi est ris ad GF it. EF ad F. v igitur BE ad EF ita BP ad PF- componendo, BF ad FE ita EF ad FI quale suta. F. I F. pals totum: QUOdLit
209쪽
I93 est absurdum. Idem sequetur si angulus Gra ponatur minor angulo FIE. iunctum P cadat infra E. Neque aliter procedit demonstratio in alijs casibus,ut in ducenti manifestissimum est. Igitur si in triangulo ex puniacto&c. Quod oportebat demonstrare.
THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXII.
SI ex duobus punctis circumferentia circuli
aequaliter a diametro remotis duae rectae uia cantur quarum prior diametrum intra circulum, S peripheriam secet posterior per punctum ubi prior peripheriam secat transiens in diametrum extra circulum incidat, ac ex puncto internodiametri ad diametrum perpendicularis ducaturi ripheriam secans in puncto .recta ex hoc puncto ad punctum externum diametri ducta circuluanta
tangit. SIT circulus FAB cuius diameter BF.a cuius puncto B. aequaliter remota sint I. . in peripheria circuli , id est arcus I. arcu BK sit aequalis ducta I L. secet diametrum intra circulumini. peripheriam in L.& ducatur per punctu L. rceta XL.quae produ- ista secet diametru pr ductam in G.denique ex E ad diametrum F. ducatur perpendicularis
EA. circuli peripheriam secans in A. connectatur AG. Bb Dico
210쪽
is Curti ac recti proportio promota.
Dico quod recta AG circulum tangit in A. si enim AG. non sit tangens, si qua piam alia ut A M. Cum arcus ΚΒ BI. sint aequales, constat ex o 3 huius Coroll. I. a. si ducatur L F. LR. angulo BLF existente recto angulos I F. FLG. esse aequales. Igitur ex s. huius ut BG ad GF ita DE. ad EF. Rursas cum tangens sit, ex hypothesi, recta A. ωAE. sinus rectus arcus A F. patet ex Corol. 2. L . huius si Cut B M ad F. ita DE. ad EF. Igitu ut BG. ad GF. ita B M. ad F. diuidendo ut DF ad FG. ita BF ad F M. aequales igitur sunt GF. F. pars totum . Quod est ab sardum Igitur si ex duobus punctis c. Q iod oportebat demonstrare.
I PIE OREM A XXXIII. PROPOS. XXXIII I x puncto biduo latera triata guli lagultim rectuna faciunt duci a recta basim i seriam diuidat,&ex codena puncto perpendicularis ad dictam rectam lasim extra triangulum secer, atque i cci ionis puncto perpendiculari aequalis in basi sumatur versus triangulum datum,ca basim trianguli in ratione late in diuidet. SIT