장음표시 사용
211쪽
SIT triangulum ΒΑF. rectangulum ad A. Vnde demit latur AD. basim BF bifariam secans in D. ex A. ad AD. perpendiculariSduca . tu AG secans basim productam in . ac ipsi AG. aequalis sumatur GI. Dico est Gut BA ad AF ita BI ad F. Centro D. li- stantia DB vel DF describatur circulus qui transibit per A. ducatur ex A. recta EA. perpendicularis ad F. connectatur IA. Qu9niam angulo DAB aequalis est DBA. angulo DB A. aequalis AE. ob perpendicularem AE in basim trianguli reci anguli cadentem aequales erunt anguli DAB. FAE. At quia reetae GA .aequalis accepta est I ducta AI angulum DAE. bifariam diuidet, ut propositioue o primi huius demonstrauimus. Ergo si aequalibus BAD FAE aequales addantur EA 1 I AI erunt anguli BAI FAI.aequales. Igitur ut BA.ad AF. ita BI ad IF Qt d erat demonstrandum.
THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXIV.
SI ad datam rectam infinitam a dato puncto
quod in ea non sit quatuor rectrae ducantur, quarum prima tertia item secunda oc quarta ad datum punctum angulum rectum eiu ciant, cum partibus datae quas intercipiunt triangula rectangula a puncto autem ubi tertia basim secat quarta parallela ducatur primae occurrens
erit ut tota parallela ad segmentum inter asina&secundam, ita rectangulum sub utraque basium ad rectangulum sit segmento medio,&segmento inter extremas comprehensiim.
212쪽
Curtii ac recti proportio promota.
Dattim sit tinctu in A. a quo in datam infinitam BG.du. cantur quatuor rectae AB AD AF AG effciantque AB, AF uem AD AG angulos rectos BA F. DAG ad punctum A. ita ut sint rediangula triangula BAF DAG quorum bases BRDG. latera exteriora AB AG interiorae DA. AF.&e puncto F. parallela ipsi A. ducatur FI. secans AB in I. in D in H. Dico esse ut IF ad FH. ita rec tangulun BG. G. ad rectangulum BG. F. Quoniam angulus I AG positione rectus est, erit etiam FHA. reetus , sed rectus etiam est positione IAF aequi angula igitur sunt triangula IFA AFH. estque ut F. ad A. ita AF. ad FI ideoque aequale est quadratum AF reeiangulo I FH. Rursas quia similia sunt triangula BA. BI. ob angulum communem ad . B. externos BFI. BIF. aequales internis G A. AG erit ut GA ad L ita B ad BF. conuertendo ut FI ad GA. ita BF ad B Mob eandem causamna triangulis a quiangulis I AG DHF. est ut GA ad FH. ita GD ad DF. Cum ergo sit ut FI ad GA. ita BF ad GB.&vt GA. ad
LXI. . huius ut I ad FH. ita rectangulum BF GD ad rectangulum B DF. Quod propositum erat demonstrare.
HInc etiam scitur esse vir crangi um SsD. ad rcctan- gal/- BFD. ita adratum GA ad quadratum A. um enim ex demon raris in propositione sit ut GA ad I ita
GB.ad F.ovi GA.ad FH. ita GD. ad DF. erit proportio composita ex GA. ad ex A. ad FH. eadem quae composita ex B ad BF o GD ad DF.sod ratio composita ex A. ad
213쪽
ad FI or GA.ad FH.essii eadem quae quadrati GA. ad rectangulum FH id IZ ad quadra nam A. quod rectangulo II H. in propositione demonstratum es aeqnale composita vero ex ratione B ad BF se ex GD ad DF. At eadem quae rectangu BGD ad rectanguum BFD. tergo rectangulum BGD ad rectangatum BFD. ita quadratum GA ad quadratum P A.
COROLLARIUM ILQV-ήsDA DF nerint aequales, descendat in BG.
FAciant rursus rectae AB AF. rectae DA AG.
in datam BG. cadentes ex dato puncto A. angulos recto BAR DAG.4 expuncto D ubi secunda basim secat quartae parallela ducatur L. M. secans primam AB. in L. tertiam Ap. in M. Dico esse voLD ad DM. ita rectangialum BD GF ad roci angulum BG. FD.
NAM quia ob parallelas LD AG similia sunt triangula BLD BAG. erit, L ad AG ita BD ad BG. Ru sus
214쪽
1 8 Curui ac recti proportio promota
sitis quia ob parallelas AG I M. similia sunt triangula I M. GFA ei itit AG.asDM. ita GF. ad FD. cum igitur si v I D ad AG ita BD. ad BG.&vtAG.
3 huius via D ad D M. ita rectangulum BD.GF ad rectangulum BG. FD. Quod erat demonstrandum.
HIn facis deducitur esse, quadratum GA adqti drium DA. Ita rectangulum BG ad rectangulum BDF. nam cum sensum si es t D ad si ita BD. EBsi erit conuertendo, AG ad GD. iii JG ad BD. sed eis etiam e AG ad D M. ita GF ad D. erit ergo proportio composita ex Asi. ad LD AG ad DII eadem nae compos Ia ex AG ad D c ex V F. a. FD. sed rario co/mposta ex si ad LD Gr, AG ii M. est ratio quadrati AG ad recrangulum DM. 3 ratio compos ita ex RG ad BD cris CF ad D. est ratio recZangub GF ad refctangatum ADF. Igitur ut quadratum AG ad refcta tilum LD M. ita rect ingulum BGF. ad recZangulum DF. dre Iangulo LDM es aequale nari. sum D. Nam cum paralleia sint M. AG. rectus sit angulus DAG. ex 'pothes, ritus erit MDA. sed etiam pos tione recipus eis. di igitur, milia sunt triangula LDA DAM . vi LD. ij ad DA. ita DA ad M. quare recIangulum D M. quadraio D. aequale vi ergo quadratum AG ad quadratum AD. ii rectangulum BGF ad rectanguiam BD F.
215쪽
THEOREM A XXXVI PROPOS. XXXVLSI punctis diametri, ex quibus ad circum se
rentiam tangens, ac sinus rectus eiusdem arcus ducuntur , duae aliae recitae peripheriam ubi libet in eodem puncto secent habebit ea quaec puncto tangentis, ad eam quae expuncto sinus rect i ducitur eandem rationem, quam tangens ad
sinum rectum. SIT circulus FAB.
cuius diameter BF a cus quilibet AF cuius tangens AG. secans dia-ineti si productam in G. simus rectus AE secas diametru in E sumatur
quodiat, et punctum I. inperis heri ducatur II. I. Dico esse ut GA ad E. ita GL ad 1 E.
216쪽
Loo Cumi ac recti proportio promota.
IE cadat primo pultistum I. inter A. iti F. connectatur IF Constat primo angulum IB. in semicirculo rectum esse, Deinde manifestum est ex Corollario 2 et s. huius esse ut BE ad EF ita BG ad GF. permutando ac conuertendo, ut BG. ad BE. ita GF. ad EF. Igitur, e proposit. I. huius , crit angulus GIF. aequalis angulo FIE. Ergo vi I. ad I E ita GF ad E. sed etiam ex Coroll. 2. 22 huius est ut GF ad FE ita GA ad AE. Igitur ut I ad I E ita est GA. ad AE. Quod primo propositum erat. Sed punctum assumptum in peripheria non sit inter F.&A. sed cadat inter A. ωB ut in K.& ducantur ΚΕ ΚG. Itemque connectatur F. Eodem modo quo prius , ostendemus cum angulus FKB. in semicirculo sit rectus,&sit ut GB ad BE. ita GF. ad FE angulum GKE. bifariam diuidi rectata ΚF. erit igitur ut prius, ut GK ad KE ita GF ad E. 4t GF ad FE ita GA ad AE ac proinde vi K ad KE ita GA. ad AE. Cadat denique punctum assumptum in punctum , ubi diameter circululum ccat, ac primum quidem in B ac du-Coroll. , cantur BG. BE. Dico esse ut BG. ad BE. ita GA. ad AE. Est a F.3.nuius enim eXCorollario 2.2 3. huius ut BG ad GF ita BF ad GF. permutando ut BG ad E. ita GF ad E. sed ut FE. ad FE. ita GA. ad AE. ex Coroll. a. 22.3. huius. Igitur Vt BG ad BE. ita GA ad AE. Q iod si punctum assumptum . sit B. Iam probatum est Coroll. 2. 22 3. huius esse ut F. ad FE ita GA ad AE. tiare si X punctis diametri c. Qui d erat demonstrandum.
217쪽
THEOREM A XXXVII PROPOS. XXXVI LSI ex quolibet puncto peripheriae ad puncta
diametri in qua incidunt tangens ac sinus data arcus, duae rectae ducantur circuli peripheriam in duobus punctis secantes intercept. Einter puncta sitim pia in peripheria, diametro , ad interceptas inter punctuna diametri, punci um iectionis in peripheria sunt in eadem ratione.
SI circitius FAB. inqtio arcus A Rcilius tangcns GAsinus rectus AE. incidentes in diametrum: F. productanta 1umatur quodlibet pun-inum . in peripherii, ex quo ad puncta G. E. ducantur rectae KG. EM. secantes, peripheriam illa in I. haae in .Erit KG. intercepta inter punctum assumptum,. punctu G. in diametro; IG. vero intercepta inter punctum sectionis I.&punctum G. in diametro , recta ero ΚE erit intercepta inter
218쪽
ro Curvi ac recti proportio promota
'ch A.&itinganthir I F. FM. EI. Qu9niam aequales sunt angu- ας. PGKF. FI E. aequales ciunt Marcus I F. F M. quibus insist ut, aequales igitur chordae IF FM Sc aequalia complement IB. B. arcu una IF FM quare aequales quoque IFE. EFM. illis lassistentes cum igitur duo triagula IFE. MFE. habeant circa angulos aequales IFE. EFM. duo latera EF FI duo-
est ad EM.qu. Pipsit IE ostensa est aequalis. Sit secundo punctum assumptum inter puncta AF videlicet in I. ducantur GIX IEL. Dico rursus esse ut G ad GK ita IE ad EL. Nam cum aequales sint anguli ad verti-*7 3 emi in triangulis IEΚ MEL. Manguli KIE. ME. eidem arcui L. item anguli LE. IKE. eidem arcui I M. insistentes; itemque aequalia latcra IE. EM. v modo proba tum cst, a qualia erunt&latera KE EL. Iam vero cum sit Coroll. i. vi I G ad I E ita GK. ad ΕΚ. ex Corollario . praecedentis
S si h l propositionis, crit permutando vi IC. ad K. ita IE ad ΕΚ. id est ad EL. quae ipsi EX probata est arctualis. Si d 'nsque pune tum asia mptum in diametro, ut in B. Vel Coroll. . . acptimo in B. Constat cYCoroll. 2. 23 huius esie ut BG. - J mkix' F. ita AE ad EF. Quod si punctum assumptum sit in F. manifestumost, perationcm identitatis csse ut FG ad F. ita PE ad Ei . Quod erat c.
THEOREM A XXXVIII. PROPOS. XXXVIII
Iisdem positis si circa G. circuivis describatur
secans citculum AB. in .i ducantur IG. F. IE IB. Dico tres angulos Ct F. FIE. Et B. cstem-ic te, ac singulos a riuales senariecto.
219쪽
Rectus enim est uterque angulorum BIF. IE. in semicirculo aequalis item est GIF angulo FIE. ex ,6 huius puterque igitur semir clus est , ergo semirectus reliquus EIB. anguli recti FIB. Igitur aequales ac semirecti sunt tres anguli GIF. FIE.EIB. Qu9derat proposi
THEOREMA XXXIX. PROPOS. XXXIX.
dx xvi x ngentis arcus quadrante mi
noris, ad quadratum sinus totius rationem habet quam rectangulum sub aggreo ato sinus totius S secantis,&sub aggregato disserentia secantis de dupli sinus versi , ad Gctangulum sub aggregato sinus totius dupli si nus complement , sub sinu toto.
SINT eadem quae superiori propositione. Sed ipsi ED. nimirum sinui complementi arcus A F. aequalis sumatur M. versus G. sinu verso EF aequalis N. versus D erit GN. aggregatum ex differentia siccantis F. duplo sinus versi E. EN MN aggrcgaltim X sinus Omplamenti ME. id est D.- nu verso EF ideoque MN. qualis sinu toto DF. AEG. aggregatum ex sinu toto D QCc secan
220쪽
ro uiui ac recti proportio promota
secante G. Denique M. aggregatum ex BD. sinu toto DE EM. duplo sinus complementi. Dico esse ut quadratum GA ad quadratnm D. ita rectaugulum ad rectangulum MN. Quoniam celangui Um ' δ' si GED aequale quadrato AE rectangulum BEF. eidem quadrato AE aequalia erunt rectangula ED. BEF ut in progressu 22 huius demonstratum est, id est rectangula GEM BEN. ergo ut BE ad G ita ME. ad N. limpiis antecedentibus, simulis consequentibus simul, ut tota M. ad totam GN. ita ME. ad EN. conuertendo ut GN. ad M. ita EN .ad ME. Rursus quoniam rectangulum BEN rectangulo LM. aequale est, erit ut BE ad M. ita E ad EN. sumptis antecedentibus simul, consequentibus simul, ut tota BG ad totam M. ita E ad N erat autem vi N. ad M. at EN ad ME. Quare proportio composita crationibus G ad M. S GN. ad BM. eadem est ei qua componitur ex rationibus E. ad L 3 inu -EN. EN ad ME. Igitur ex . huius ut E ad
ME. ita rectangulum BGN. ad rectangillum LMN. Sed ut E ad E. ita E ad O. cum positae sint aequales M. D E ad D. ita quadra
tu in A. ad quadratum D nam quadrato AG ara iris ile si rectangulum GE , quadrato A D. rectangulum GDE. posita conanuini basi G. cetangulata DGE; DE sunt ut altitudmc GE ED. Quare etiam Q ut irata G. D. sunt ut G E. D. Igitur ut a Lidratum G ad quadratum M. ita rectangulum