장음표시 사용
221쪽
SI si lucto in quo dianaeter peripheriam circuli secat in ipsa diametro aequales partes
sumantur altera extra circulum , altera intra puncto extra circulum in periph riam tangens, a puncto intra sinus ducatur arcum
secans Quadrata tangentis sinus posterioris arcus simul sumpta sunt dupla quadrati
Perpendi- Circillum AB. secet diameter in F puncto, a quo aequales sumantur E. K. illa intra , haec extra circulum tangat I. circulum in I. Acularis ad F. seu sinus arcusFA. secet circulum in A. d. ducatur chorda AF. Dico quadrata I AE. simul est dupla quadrati AF AEquat enim est quadratum I. re istangulo GF., quadratum FA. rectangulo BFE. quadratum A. rectangulo BEF rectangulorum aute ΒΚ F. BFE.
BEF. aequalis est altitudo Κ.FE. E. X hypothesi sunt igitur inter se ut bases Κ.BF. BE quare etiam quadrata I. A. EA. ordine sunt ut nectae K. F. E. Sed rectae K. F. A. sunt in proportionalitate Arithmctica , cum aequales sint earum diffe-
222쪽
1o Curui ac recti proportio promota.
3 3 hvjμ differentiaeEF. FK. Igitur etiam, ex8.3. huius quadrata KI. A. A. sunt in proportionalitate Arithmeticia, quare quadrata I EA . simul sumpta sunt dupla d 3 Vi W quadrati in ut in Schol. proposit. 7. 3. huius probatum est.
223쪽
THEOREM A L PROPOS. I trianguli amblygoni angulum
obtusum duas tertia duorum rectorum continentem recta secans faciat cum minori latere angulum rectum, Lex basi auferat partem aequalem minori lateri erit ma ius latus maior duarum mediarum proportionalium quae inter minus latia dc eius duplum sumi possunt.
SI triangulum amblygorium H DC cuius maius a tus C. minus H. quibus contentus angulus obtusus ΗDC contineat duas teritas duorum rectorum 4 ducta ex D recta DG ad D pcrpendicularis auferat e basi HC rectam GC aequalem rectae DH. Dico latus DC esse maiorem duarum mediarum proportionalium quae inter latus H. eius duplum duci possunt. Producatur CD. quamlumlibet in X. duci acXD. ad CD perpendiculari
DA quae sit dupla ipsius DH. Item DE. aequali ipsi DH. id
224쪽
α Cumi ac recti proportio promota.
est medietati ipsius DA. compleatur parallelogia DANE. diuisoque laterem bifariam in L.ducta AI K. secet CD. pro- duetam in . conne statur H. Denique ex Id. ad CH perpendicularis ducatur HL Cum angulus H DC sit duae tertiae duorum rectorii, erit reliquus HDL natertia duorum rectoria, id est duae tertiae unius recti ideoque H D. id est DE dii plaipsius L Itemque cum angulus I DC sit duae tertiae duorumiscetorum id est quatuor citiae nitis ceti, dempto DG. lecto id est tribus terti js Vnius recti remanc GDC. Vna tertia unius rccti. Rursus cum in triangulus XEL. AIN anguli ad E. . sint recti , item anguli ad verticem L. Haia tera adiacentia EL LN sint aequalia , aequalia erunt latera
EE. A. id est KE ED. cst igitur KD dupla ipsius ED. id est ipsius D H. quae posita cst ipsi ED. aequalis. Cum ergo sit etiam D. dupla ipsius DL erit ut D ad DH. ita H D. ad DL aequi angula igitur sunt triangula ΚDH. HDI. angulus igitur HK. rectus est, aequalis nempe angulo HID. angulus HΚD. aequalis ingulo H D. est una tertia recti, adeoque aequalis angulo GD . qui ostensus est una tertia reciti parallelae igitur sunt ΚH. DG. Quare e X ij quae demonstrara sunt a Nicomede apud Pappum Alexandrinum lib. 3 collectionum mathematicarum prop. 7. Eutocium in a. de spliera cylindro Archimc dis patet latus maius DC esse maiorem duabus med ijs propo tionalibus positis inter D H. minus latus. rectam A. duplam laterisDH. Qu' erat demonstrandum.
225쪽
TRiangulum rectangulum constituere , ac
parallela ad minus latus ita secare ut quatuor segmenta sint in continua ratione.
Ducatur recta Q utcumque, quae diuidatur in B.extre 'ma ac media ratione: eademque diuisa bifariam iam de scribatur semicirculus MEC.ad quem ducatur e B.perpen uiculariS BE secans semietieu FVI Ium in E. conne stantur ME. CE ipsique BC accipiatur qualis A. ex A. ad ME. ducatur perpendicularis AN Dico factum esse quod propon batur; nempe trianguli ME C. rectangulum ad si ita diuisum recta A. parallela ad C. quod minus esse latus mox Ostcndemus is sit velut AC ad
N ita NE ad A M.&AM. ad MN. Ducantur ad E neppendiculares A D. BF 'niam est ut CM.ad B.ita B odia proportionalis inter CM. BC sed o tram E est media proportionalis inter M. Bes istis agitur sunt CE. B. Quare 'LEM. ad MB. ita EM,d F ME. ad EC. naiora vim est basis CMciatere ME. o tu etiam maius est latus ME. latciei C. Rursus quoniam acce
pi sunt aequales A. BC addita communi AB. ars AC aequales, aequalis autem est B. ipsi EQ ut modo, o batum est agitur etiam aequalis est AC ipsi EGE MC eium' secta est extrema ac media ratione cum sitit CN dMA. ita M ad CB quae quidem CB. minus est seginentum c hypothesi. Cum vero in triangulis MNA BF
226쪽
r. i Curtii ac recti proportio promota.
les sint bases BC. A. ex hypothesi, aequalia erunt latera FC. A. BF. N. inter se. Iterum quoniam recta C. secta est extrema ac media ratione in B. i. erit tam B. quam AC maius segmentum, tam A. quam C mlius detracto igitur MA. ex B. remanebit maius segmentum B. sectum extrema ac media ratione in A. eritque AB.m in US,MA. iam ius segmentum . Quare cum aequales sint BC BA. ipsis A. AB. etiam AC secta crit X trema ac media ratione in B. Igitur in triangulo rectangulo ADC ipsi MEC simili similiterque posito basis AC seetii est eX crema ac media rationem B ideoque erit DC ipsi C. id est ipsi MA aequalisi Nam cum similia sint triangulta ADC ME C. in quibus bases C. An similiter scista in A. B. sitque AC. ipsi EC aequalis , erit etiam BC ipsi CD aequalis ex regulis proportionum. Erit igitur ut CA ad AD. seu ad NE . it A D. seu NE. ad DC. cum cnim similia sint trian aula MEC ADC. sitque ut CAq. ad ME. ita ME. ad EC erit etiam ut CA . ad AD. ita AD. ad DC. nempe ad CB. id est ad A M. quae partim probatae, partim sumptae sunt aequales: sed est etiam ut CA ad AD. ita AM. ad N ergo uti N. ad A M. ita AM ad N probatum igitur est scit A. ad NE . ita NE. ad AM. MAM. ad N. Quare triangulum Ic-ctangulum constitutum est c. Quod erat faci clidum.
guis a cuius angulo retis per esndicularis ad basim incidat/n scitonem , esse ut has m ad martis,itia maius latus ad minus. Probulum enim es in propo itione , in qua haec mina an , ese ut C M aEME ita E ad AC.
227쪽
S in triangulo rectangulo sit, basis ad ma
ius latus ita maius latus ad nainus demissa ex angulo recto perpendicula is in basim s
cat eam extrema ac media ratione maius se mentum mori lateri est aequale. Repetatur figura propositionis praecedentis ae in peium gulo rectangulo ad E. sit ut M ad ME. ita ΕΙΕ si qVς En X angulo recto E. pe pendieu V'fix
laris ad basim C. Dico C sectam esse in . extrema ac media ratione, semmentum B lateri EGesse aequale Cum enim sit ME. ad EC. ut M. ad ME. ex hypothesi, it M. ad ME. ita ME. ad MB. erit ut ME. ad EC. ita E ad B. aequales igitur sunt EC.&MB. quod secundo proponebatur. Rursus quoniam aequales sunt EC. B.erit ut C ad Eita C ad M sed ut C ad CE ita EC. id est B. ad BC. v agatur C. ad B ita B ad BC. Quod primo pro
THEO REMA III. PROPOS. IV. in triangulo rectangulo tria latera sint con tinue proporti' nalia bamue secetur extre-
228쪽
2i Curui ac recti proportio promota. ma ac media ratione, sitque maius segmentum, maiori lateri contiguum recta ex angulo recto insectionem demissa est ad basim perpendicularis.
SIT in triangulo rectangulo ad E. ut M. ad ME. ita ME. ad EC.&diuisa MQ in B. extrema ac media ration ducatur EB. fit B. maius segmentum maiori lateri E. contiguum. Dico EB ad C esse perpendicularem. Si enim non, si quaepiam alia EA. perpendicularis ad basim MC erit ex praecedenti M. secta in alio puncto ut in A. extrema ac media ratione , sed etiam secta est vi
in B. extrema ac media rationes, e
go ut M. ad B ita B ad BC estque quadratum B rectangulo MCB aequale eodem modo erit quadratum A.rectangulo MCA. aequale, sed rectangulum MCA. maius est rcctangulo CB. ergo quadratum M A.quadrato B. erit maius,pars toto . Qu9d est absur-
PROBLEMA II. PROPOS. V. Riangulum rectangulum constituere cuius tria latcra, basis ab angillo recto ad basim sint continue proportionalia.
Ducatur recta Q utcumque trae diuidatur in B eXtrema ac media ratione; eadem bifariam diuisa in G.describatur semicirculus MEC. ad quem ducatur e B perpendicu
229쪽
proponebatur nempG esse ut CM. ad ME. it: ME. ad EC &EC. ad EB Ac primo quidem esse ut CM. ad ME. ita ME. ad C. patet eXCorollario primo pra cedentis Q ipd vero stitv ME. adiuta ita EC. ad EB probatur , est enim vi ME. ad EC. ita CM. ad E. ex dicto Corollario, sed ut CM. ad ME. ita E. ad EB. ergo ut ME. ad EC; ita EC. ad EB. Igitur triangulum rectangulum constituimus,&c 'dgrat faciendum.
MAmfe m etiam ea in eodem triangulo minus figmenium BC. esse quatuor rectis CM ME EC EB quin-ν loco proportionaleo Cum enim triangulum EEC. trianguis C . si iis , sitque vi M. ad ME. ita AE ad EC eris etiam vi CE ad EB ita EB ad BC.
S trianguli rectanguli cuius a latera sunt
continue proportionalia latus maius pro portionaliter sectum fuerit: erit maius sese mentum perpendiculari ab angulo recto ad basim ductae aequale,
230쪽
1i tirui ac recti proportio promota
Trianguli UEC rectanguli ad F. tria latera M. ME. Co 61l. i. EC sint continue proportionalia, a cuius angulo E. in basima. .huius. M perpendicularis ducta sit EB erit M. in B laeta proportionaliter, seu extrema ac media ratione, minusque segmentum erit CB. maius B V sumatur UA .aequalis ipsi B. erunt A. B. aequales ideoque C. maius segmentum 2 A .minus lineae MC. proportionaliter diuisae. Ducatur AN. parallela ipsi CE cum sit ut CA .ad AM. ita EN. ad NM. erit EM. secta in N. pro 'portionaliter , cuius maius segmentum EN minus NM.Dico EN esse aequalem ipsi EB. Nam ut ME. ad EB ita C. ad C E. vi MC ad CE ita VC. ad 31B aequales enim sunt E C. B. ex Scholio a. q. huius λ& C ad AC. nam aequales ostenta sunt AC. MB. ut 31 C ad AC ita ME. ad EN. ergo a primo ad ultimum vi ME. ad EB ita ME. ad EN. aequales igitur sunt EB EN. Qu9d erat demonstran
dicti facile demonssori mira rectas etiam A. R. esse aequales Ducta enim ad C. perpendiculari p. cum duo triangula CEM. BC smilia sint, se militer scta in F B MZque S aquais i EC eri EF aequali iis C. sigitur ex aequalibias BC. CA. auferantur ἀ- quales EF CB. remanent aequales FC. R.