장음표시 사용
231쪽
THEOREM A V. PROPOS. VII. I intra triangulum rectangulum rectae ab eo clem puncto basis ad utrumque latus perpendiculares ducantur, circa quas descriptus ci cuius in basi aequalem minori perpendicularium
anterius compraehendat, exterius duas palles aequalest linquat: secabitur basis a circialo extrema ac media ratione , eruntque tria latera trianguli ita
Imra triangulum rectangulum MEC a puncto besis A.
Uucantur duae AN AD perpendiculares; illa ad maius latus ME. ista ad minus C. Sdescriptus circulus NAB centro P circa parallelograminum NADE. abscindat ex basi C. anterius rectam AB aequalem ipsi AN. rectae A M. BC. sint aequalas. Dico basim C. sectam esse, tam in A. quam in B.
que esse vi M.ad ME. ita ME. ad EC. Connectantur BD AE. Quonia aequales sunt NA. EDatem NA AB. ex hypothesi aequales erunt GD AB. parati telae igitur sunt AE Nam cum aequales sint arcus ED. AB addito communi BD a quales ei unt arcus EB AD adeoque aequales angula AED FAB. eodem modo angu li E . ABD. probantur .aequales sunt autem anguli AEDABD.aequales duobus reistis, igitur AED. EDB. sunt aequales duobus cetis, ac proptcrea AE BD.parallelae igitur ut
AB ad AC. ita LD ad EC aequales igitur sunt AC EC
232쪽
11 Curui ac recti proportio promota.
sed ipsi A. est equalis BM. cum enim positae sint aequales
Sehol. 1. 3.ΜA BC addita communi A. erunt aequales A. BM. aequales igitur sunt CE. B. Rursum cum semicirculus sit ADE. continens angulum rectum EDA.erit etiam ABE. a gulus rectus. Quare cum latus minus EC sic aequale maiori segmento MB. erit, ex demonstratis in superioribus propositionibuε CM. secta in B. aut A extrema ac media ratio ne, ideoque etiam ex dictis erit ut CAq. ad ME. ita ME. ad
EC. Qusdiuit demonstrandum. THEO REMA VI PROPOS. VIII.
S in triangulo rectangulo cuius tria latera sunt continue proportionalia a puncto basis in quod ex angulo recto perpendicularista mis a est, in latus maius perpendicularis ducatur erit illa segmento minori basis aequalis.
In triangulo rectangulo ME C. sit ut basis CM. ad latus ME. ita E ad EC. ex angulo ME C. ducatur EB. ad basiim MC perpendicularis, ex . ad latus maius E. perpendicularis O. Dico O ipsi C. esse aequalem . Sumaturit in secundata huius A. aequalis ipsi CB. ducantur perpendiculares AN. ad ME. AD ad EC secans OB in S. Item ducatur perpendicularis BF. ad EC. Cum
OS NA. sint aequales itemque NA. FC. ut et huius osteudimus erunt S. C. aequales, additis igitur aequalibus arquales erunt OB DC at vero a
qualis est DC ipsi BC. ut a. tertia huius ostensum est, aquales igitur sunt OB BC QE'derat demonstrandum. THEO-
233쪽
S longulum obliquum maiorem in triangulo
rectangulo cuius latera continue proportionalia diuidens recta secet oppositum latus extrema ac media ratione, secabit dictum angultant bifariam M si secet bifariam secabit extrema ac media ratione. SI rursus triangulum ME C. in quo DCM. ad ME. HEC &xecta CO. diuidens angulum maiorem
MCE secet oppositum latus ME. in . extrema ac media ratione, ita ut M. sit maius segmentum E minus. Dico angulum C O. esse aequalem angulo CM. Ducatur OB. parallela ipsi EC erit ut O. ad E. ita B ad BC. secta est autem ME. in . extrema ac media rationes igitur etiam , MC. in B. eodem modo sedi est, aequalis igitur est EC ipsi MB.c 3. huius. Vt igitur MC.
ad CE ita C ad B id est EM ad O. id est Mo ad OE aequalis igitur est angulus ECO angulo OCM. Quod
Sed rursus in triagulo praedicto sectus sit angulus ECM. rccta CO bifariam. Dico rectam EM. sectam esse in O. ex tr ema ac media ratione. Nam quoniam angulus ECM.se ctus est bifariam erit vi MC. ad CE. id est ut M. ad B ita O ad OE . sed ut O ad OE. ita B ad BC.er o v C M. ad B. ita O ad OE . sedit M. ad B ita EM. ad O. Igitur ut MO. ad OE . ita EM. ad MO. Mitur se et est C. in . extrema &c Qusderat&c.
234쪽
, ii Curui ac recti proportio promota THEOREM VIII. PROPOS. X.
in triangulo rectangulo perpendicularis exangulo recto in basim demisia auferat seg
mentum aequale minori laterit erit basis secta extrema ac media ratione, tria latera Ora tinue proportionalia I triangulo rectangulo MEC perpendicularis EB eX
angulo recto E. ad bassim C. duet auferat seginent una MB aequale minori lateri EC. Dico C. cste sectam in B.cYtrema ac media ratione;& esse ut M ad ME. ita ME ad EC. Nam quoniam aequales sunt EC.MB.e hypothesi erunt quadrata EG B aequalia ,sed quadra-EC est aeqtiale rectangulum CB. Igitur quadrato MB aequale est rectangulum CB. vi igitur M. ad B ita . MB. ad BC quare C secta est in B.eYtrema ac media ratione Qu9d primo erat probandum. Rursus quoniam quadratum E M. est aequale reetangulo CMB ipsit autem MB. aequalis ponitur EC erit rectangulum L B. aequale quadrato ME. Igitur ut M. ad ME ita E ad EC. Quod secundo iliciendum erat.
THEO REMA IX. PROPOS. XI S in xj angulo inaequalium laterum, continuet
proportionali una ex angulo in Oppositum latiis c sta ducatur illud secans extrema Cmedia ratione , ita ut maius segmentum maiori lateri adliaerens sit aequale minori laterum angu
235쪽
tere Occurente facit, recti sunt. Sit triangulum ME C. inaequaliumlaterum, ita ut sit sita cui M. ad ME. ita E ad EC. ex angulo E ducta En
in latus C. illud secet in B.media iYtrema ratione, sitque segmentum contiguum lateri E aequale lateri EC. Dico angulos MEC. En Q esse rectos. Nam quoniam recta C secta est in B. extrema ac media ratione , ex hypothesi , erit rectangulum CB quadrato B id est quadrato EC. ponuntur enim aequales MB EC. aequale. Rursus quia ex suppositione est ut M. ad ME. ita E ad EC erit quadratum ME. rectangulo CE id est CMB ae quale. Quare duo rectangula CB. MB. duobus quadratis CE EM. aequalia sunt, at duobus rectangulis CB. CMB. aequale est quadratum M. Igitur quadratum M. aequale est duobus quadratis CE EM. Igitur lectus est ania gulus ME C. ii id primo probandum fuit. Sed dico etiam EB C esse rectum seu EB esse perpendi cularem ad C. Nam cum in triangulo rectangulo ME C. ex angulo rccio MEC ducta sit EB.ad C. secans illud e trema ac media ratione, suatque tria latera C M. ME E C. continue proportionalia erit FB ad C perpendicularis.
Quod secundo demonstratione comprobandum erat
PROBLEMA III. PROPOS. XII. Riangulum se sceles describere ex cuius angulis ad opposita latera aequalia duci arperpendiculares ea secent propartionali-
236쪽
ΣΣ Curui ac recti proportio promota.
Dircatur recta C. Vtcumque qua diuidatur in B. Xtrema ac media ratione , seu quod idem est, Vt a multis usurpatur proportionaliter eademque diuisa bifariam in G.des libatur semici secutus EC ad quem
ducatur e B perpendicularis BE.secans semicirculum m . connectatur ME. E.
ipsique C. accipiatur aequali MA. atque conne statur EA. Dico triangulum ACE. csse Isse sceles , cuius late ra C. C. sunt aequalia, latu AC perpendicula ri B sectum est proportionaliter. H'niam aequales sunt positae BC. A. addita communi AB aequales 3 nuuis erunt B. AC ipsi autem B est aequalis C. Igitur etiam ipsi C. est aequalis C. Triangulum ergo Is sceles est A CE sed B est maius segmentum lineae M C. proportionaliter citae sigitur etiam AC est a ius segmentum lineae C. proportionaliter sectae , sed Schol s. a BC. est minus segmentum ergo CA secta est extrema ac media ratione, seu proportionaliter in B. cuius maius segmentum C minus BA. Quare triangulum Iso- sceles descripsimus c. Qu9d crat faciendum. THEG
237쪽
S in xxj ngulo oxygonio ex singulis angulis a
latera opposita perpendiculares ducantur rectangula sub lateribus aut perpendicularibus ac segmentis in idem anguli punctum delinentibus . item sub perpendicularium segmentis contenta: denique ea quae sublaterum segmentis ij quae sub perpendicularibus ex opposito angulo in latus cadentibus, de segmento perpendicularis inter punctum concursus, .latus content comprehcnduntur reci angula aequalia sunt. . SIT triangulum Oxygonium ABC ex cuius sintulis an-gis: demutatur ad opposita latera perpendiculares AD.
LE. G. quae quidem omnes sese intersec hunt in io puncto Rut primo a Pappo Ale-κandrino cmonstra-tnm est lib. . collect. Mathemat proposit. 6o hinc fusus a Io: Camillo Glorioso.
co rectangula BG. CBD EBF lateribus AB CB. perpendicularique EB ac segmentis B. DB FB in idem anguli punctum B desinentibus contenta inter se esse aequalia: tentare stangula BAG. CAE. DAF ijsdem lateribus ac se mentis A. EA. . in punctum A. desinentibus comprehensa, ad haec rectangula BCD GCF. ACE in punctum G desinentia
238쪽
Cum ac recti proportio promota
nentia inter se esse aequalia: Insuper rectangula BFF DFA CFG. quae segmenta perpendicularium continent, itidem inter se esse aequalia. Denique rectangulum DB rectan
gulo ADF. 'GA. ipsi CGF. MAEC. ipsi BEF. esse aequa te. Nam quoniam in quadrilatero AG FE anguli oppositi
or G. E. sunt recti, erit ipsum in circulo atque eandem ob causam quadrilatera BGFD. DFEC. erunt in circulo. Circumscribantur igitur illis circuli AGFE. BGFD DFEC transibunt primus secundus per eadem puncta G. F. secundus&tertius per eadem punista F. D. primus ciertius per eadem F. E. Quare cum lineae AC. GC. secent eundem circU- lum AGF erunt rectangula ACE. GCF aequalia I tenui quia rect ae C. BC secant eundem circulum BDF. in pu -ctis F. D. erunt rectangula sub GCF. BCD. inter se aequalia: quare aequalia erunt rediangula ACE. BCD. Eodem modo ostendemus B AG. DAF. CAE inters , item CBD EBF ABG. rectangula esse aequalia. Praeterea cum aequi angula sint triangula CFE BFG ob angulos rectcsa E G. aequales ad verti lcm . crit ut
CF ad FE ita BF ad FG. Qti ire rectangulum FG. erit aequale rectangulo BFE. quia aequiangula sunt triangula FEA FDB. ob eandem, causim crit celangulum BFE. quale rediangulo DFA. ipsi FG. Denique quoniam qui angula sunt triangula AC.
FAE ob rectos ad D. E. 4Omunem A. item triangula
FAE FBD. ob rectos ad D. E. aequalc ad verticem . aequi angula crura triangula CDA. DB. Quare erit ut CD. ad A. ita FD. ad DB ergo celangulum DB re, et angulo ADF aequale est. Rursus quia sunt aequi angula CGB. DF ob comunem angulum ad C. rectos ad D. G. item triangula FDC GFA. ob rectos ad D. G. aequales ad Verticem F. etiam aequi angula erunt triangula CGB-GFA. ideoque eritis CG ad lue . ita AG ad GF ergia rectangula CGF. BGA. sunt aequalia. Tandem eodem mori docX eo quod triangula CEB. EA F. sint aequi angula intcrse
239쪽
se inia aequiangula tertio ADG ostendemus rectanguluinri esse aequale rectangulo BEF.
HI habes quatuor coniugationes ubi terna inter se, Unam ubi terna ternis reri angula aeqnalia Im , quam proposuionem non tantum triangulo aequiarura prauimus,ut Pappus lib. F. si Matho Theor. I. adpropositionem 3 sideriam leno tam curangulo quam obtusangulo nec unum ranium casum, quod ille,sd ad octodecim demon a ionc Bauae admodum longiore , certe multo faciliore complex simmWi. οὐ in superiori figura navatam BC circulo
comprehendamus, ac perpendiculares . . CG. in circum Ieremiam usque producamus in puncta I. H. U. erunt earum partes extra triangulum panibas intra triangulum latere ac
puncto concursus definitae quales nempe DI. v si DF HE. i EF. or G. nam e volo CDB. Hensum aequale rectangulum DF se eidem rectangulo CDB ae timis erat rectangulum ADI. aequalia igitur sunt rectangsta ADF. I - ADI. atqκ adeo aequales DF. I. atque eodem modo proba Diu aequales esse reliquas.
SI ex trianguli sescelis singulis angulis per
pendiculares secent opposita latera extrema acinaedi ratione rectangulum sublatere ac maior segmento, aequale est qualitato perpendi cularis in latus cadentis.
SI triangulum Is sceles IBM. cuius latera IB. B aequalia, ex cuius angulis emittantur ad opposita latera perpendiculares P. V. ad basim ipsam perpendicularis BF qua transibunt omnes per unum punctum R. ut supra
240쪽
1i Curui ac recti proportio promota
pra probatum est secentur autem latera in punctis V. P
eXtrema ac media ratiotu sintq; segmenta maiora BV. BP- minora VI. M. Dico rectangulum IBV. QMdrato P.esse aequale. Nam quadratum B I. aequale est rectangulis IBV. BIV. Item quadratis P. I. Igitu duo triangula IBV. BIV aequalia sunt duobus quadratis BP.PI Rectangulo autem BIV aequale est quadratum BV nam cum diuisa sit iBI. proportionaliter in V. cuius majus segmentum BV criti IB. ad B V.itam V ad I ideoque rectangulum BIV quadrat BV aequale est igitur rectangulum IBV.&quadratum BV. sunt aequalia quadratis BP.PI. Quadratum autem BV. est aequale quadrato BP nam cum aequales sint BI. BM.&aequaliter diuisae, erunt BV. BP. aequales sit igitur X qualibus, rectangulo I BV cum quadrato BV. duobus quadratis BP. PI aequalia demantur quadrata V BP te- manent aequalia rectangulum IB V.& quadratum PI. Qu*dcra ostendendum.
THEOREMA XV. PROPOS. XII. ex triangtilius oscetis angulis perpendiculares secent opposita latera proportionaliter Quadrata lateris, perpendicularis ad basim
perpendictitatas ad altis, et risu in proportionalitare Arithmetica, qtiorum differentia quadratum dimidjae basis; S ordine eandem habebunt rationem, quam latus, composita cx maiori segmaciat cuim dimidio minoris, maius segmentum.