장음표시 사용
241쪽
SIT in angulum aequicrure IB M. culus latera aequalia In MB. basisIM.ex cuius angulis ad opposita latera, ad basim ductae sint perpendiculares I P. V. BF secantes se in puncto R.e dictis proposit. 13. huius,&latera in punctis V P. ita vi reetae IB. Mn secitae sint proportionaliter in V. P. ointq; BV BP maiora segmenta. VI PM. in mora,&PA dimidium segmenti mino ,ris. Dico quadrata rectarum BI BF IP esse in proportionalitate Arithmetica cu-
MA. ad APdratum B excedit quadratum BF.quadrato IF Cum o quadratum B F. sit aequale duobus rectangulis FB R. BFRsu autem rectangulum BR aequale rectangulo BV ex husta S, dc rectangulum IBV. quadrato I P. ut supra propo
u iectangulo BFR. adest quadrato IF quod paulo ante
rum differentia quadriatum F. Qu9d prius probanduit Prieterea cum aequiangula sint triangula IBF FBA A
242쪽
LL Curui ac recti proportio promota
rectam BP ita quadratum BF ad quadratum I P. Igitur quadrata BI BF. IP. se habent ut rectae B AB. PB. Quod secundo loco ostendendum erat.
SI ex trianguli Isoscetis angulis perpendicula
res secent opposita latera proportionaliter erit ut latus Hexagoni ad latus decagoni, ita latus ad maius segmentum ut vero latus quadrati ad latus Hexagoni ta maius segmentum lateris, ad segmentum basis in ut latus quadrati ad latus decagoni, ita latus ad segmentum basis Venique ut latus Hexagoni ad latus quadrati , ita maius se mentum lateris ad totam basim SINT in eodem triangulo IB M. I scele ex angulis secta latera proportionalit cr, modo saepe superius culcato. Dico esse ut latus Hesca-goni ad latus Decagoni, ita IB. ad V. latus quadrati ad latus HLxagoni, ita BV ad I F. it latus quadrati ad latus dec agoni ita BI ad I F. denique ut latus quadrati ad latus Hexagoni,ita M. ad B V. Ac primum quidem aio rectam IB. ad seginentum maius rationem habere quam latus Hexagoni ad latus Decagoni Natim componantur in V- nam meam rectam duae IB. B V. tota recta secundum cxtre
243쪽
mam ac mediam rationem secabitur in B eritque IB.maius segmentum , BV minui; quare si IB. ponatur latus Hesa Sςbψl 9 λῖ goni , criti, latus decagoni habebuntque hae recitae rationem , quam latus Hexagoni ad latus Decagoni. Secundo , centro F distantia FM FI describatur circulus secans B. F. in X. connectatur IX. Cum quadratum V B sit aequale rectangulo BIV. v I . huius probatum est &hoc rectangulo I F.eX I3 huius, rectangulum autem I F. duplum est quadrati F. erit quadratum LV. duplum qua drati IF est autem&IX. duplum quadrati IF. aequalia igi
tera B. IX. sed IX. in circulo MXΙ est latus quadrati, IF latus Hexagoni agitur ut IX. latus Quadrati, ad IR latus s. h. I exagoni, tam V ad I F. Coroll. ID Tertio, Assumatur linea . aequali s ipsi BI. I. ipsi' F. duces R. aequales ipsiis BV XI fiatque ut O. ad P. ita . seu R. ad S. statuaturque ipsa BI seu O. semidiameter circuli, circa ipsam de scripti Munatus Hexagoni,MIF.seu P. semidiameter circuli XI. BV. seu cla tus decagoni respectu semidiametri IB. quoci paulo ante probatum est; de IX. seu R. latus quadrati in circulo MXI Qu'-niam factum est ut O ad P. ita inaderit permutando ut O ad Uta P ad . sed O. ad inrationem habet quam latus Hexagoni ad latus Decagoni, Ut modo probatum est , g
tur P. ad . iationem habebit, quam latus Hexagoni ad la Ff di tus
244쪽
αὶ Curui ac re isti proportio promota.
tus decagoni, eritque S in circulo cuius semidiameter est I F. schi in circillo MXI. latus decago si in quo etiam rect R. scii IX. est lattisqtr id rati. Sed ut Q. ad , ita R. ad .chim aequales sint o si R. habet utcm R. ad . rationemis quam latus Quadrati ad latus decagoni R. id . ita γssita est O ad P. idest BI ad IF i itur ut tus Quadrati
y ' η 'β Denique quoniam ex superi ribus propositionibus re- iiiiii, ctangulum MI F. aequale est rectangulo BIV. rectanguia tum B IV. quadrato BV. erit rectanguluna MI F.aequale quadrato BV ideoque totum quadratum I duplum quadrati BV Duplum autem est quadratum lateris quadrati, qua- drato lateris Hexagoni. Igitur ut latus Quadrati ad latus Hexagoni, ita I M. ad B V. Quae omnia fuerunt demonstranda.
Iisdem postis Basis ad minus segmentum ha-
teris uena maius segmentum perpendicularis lateris ad minus perpendicularis basis; de nique narus segmcntum perpendicularis basis, ad minus perpendicularis lateris habent rationem quam latus Q i ad rati ad latus Decastoni.
In figura superiori. Dico basim I. ad minus segmentum lateris IV. Item maius segmentum R. perpendiculara Stateris, ad F. minus scgmentum perpendicularis basis: denique BR. maius segmentum perpendicularis basis ad RV. minus segmentum perpendicularis lateris, rationcm habere quam latus quadrati ad latus Decagoni Simili sunt triangula BIF IMP. ob rectos ad F. i. aequales ad . . tem triangula IMP.IRF.ob communem anguinmad
245쪽
ad I.&rectos ad FP denique triangula IR F. BR P. bis qualis ad verticem R. rectos ad P. F. v igitur BI. latus qu adrati ad F.latus Decagonii ut in propositione demonstratum est ita I M. ad MP.&IR. adl F.&BR ad RP.
yd fuit probandum. THEOREMA XV. PROPOS. XVIII.
IIsdem positis : Dico, maius segmentum per
pendicularis basis R. ad maius perpendicularis lateris I rationem habere quam latus quadrati ad latus Hexagoni.
Cum enim paulo ante in prop. 1 . huius ostensa sint similia triangula IF R. BPR. item similia etiam sint triangulata BPR BUR. ob aequales angulos ad B.&rectos ad PV.erit igitur vi VB ad BR. ita FI ad I R.& permutando ut VB.ad IF ita BR. ad I R. sed B. ad I F. probataei in propositio ine 6. habere rationem quam latus quadrati aditus De-cagoni: igitur volatus quadrati ad latus Hexagoni, ita BR. ad I R. Qu9d fuit demonstrandum.
I triangulo Isoscet ex cuius angulis perpen
diculares secant opposita latera proportionaliter; etiam perpendiculares laterum sese proportionaliter secant, maiusque segmentum est ab angulo ad punctum contactus. SI tui fictriangulum Isosceles IBM. quale propositum est , ac superioribus propositionabas descriptuiria
246쪽
Σ3 Curui ac recti proporti promota
Dico tam P. quam V. perpendiculares secari proportionaliter iniunci: R. maius Que segmentum esse I R. minus RP. item maius R. minu RV. Nam cum facta prima M. cum secunda B angulum ad M.&ab extremitatibus pri-nqae, secunda I. B ductae sint I P. F. tertia riuarta concurrcntes in R. puncto secantes opposita B M. in P. ΙM. bif. triam in F. erit per. 19. huius ut M B ad LP i cst ut BP ad PM. ita I R. ad RP. sed BP est na a ius segmentiani lineae proportionaliter feetae, PM. minu S. Igitur etiam IR est maius segmentum, RP. minus linea IP.proportionalitcrscctae. Qin derat demonstrandum.
S in triangulo Iso scele ex cuius angulis per
pendiculares secant opposita latera propor tionaliter segmentiam minus perpendicularis ad basim duplicetur secabitur aggregatum perpendicularis de minoris segnaciat in puncto concursus proportionaliter, cuius minus segmenti merit duplum minoris segmenti, ma Iu , malusscgmcntum perpendIculariS. SIT iterum triangulum so sceIes quale saepe superr
tibus propositionibus delincatum est. Producatur perpendicularisb.lsis B s. in . sintque I f. ΙG aequalcs. Dico
247쪽
BG sectatri esse in R. proportiora aliter,cuius miniis segmentum GR. maius RB. Nam quia ex 18 propositione tertij huius est ut P. ad PB. ita FR ad medietatem ipsius RB. erit ut P. ad PB ita duplum R. videlicet tot RG ad totam RB. ccta est autem B in P proportionaliter ex hypothesi, cuius ininus segmentum P. natus PB. Igitur' B stet eli proportionaliter in R. cuius minus D
mentum G R. auarus I B. Quod erat demo ui dum 'THEOREM A XVIII. PROPOS. XXI. T triangulo soscet ex cuius angulis perpendiculares secant opposita latera proportionaliter medietas aggregati ex perpendiculari ad balnias minori eius segmento est aequalis a ioci segmento eiusdem perpendicularis proportionaliter secti C.
s dem triangulum sescese quod superion propo
sitione B M. producta FG sit aequalis segmento R, conia celatur PG. item V secans BF. in M. Cum sint quales BP. V. item M. BI. parallela erunt M PH ut BP ad M. ita H ad F. ideoque cum M sit secta proportionaliter in P sitque ima ius segmentum BPmmus PM. erit F. cci proportionaliter in I maiusque segmen trina H. minus F. Dico HG. esse medie talem ipsius G. aut aequalem ipsi HB. Cum enim i R. ad I F. rationem habeat quam latus quadrati ad latus Hexagoni, erit quadratum R. duplum quadrat RF. sed
248쪽
α Curui ac recti proportio promota
etiam rectangulum GR F. est duplum quadrati R F. igitur aequale est quadratum R. rectangulo GR F. ergo ut GR. ad RP. ita RP. ad I F. aequiangula igitur sunt triangulata GR P. PRF. v igitur PR. ad RF. ita GR. ad RP. sed R. ad RF. rationem habet quam latus Quadrati ad latus Heaxagoni igitur GR. ad RP. rationem habet quam latus Quadrati ad latus Hexagoni, ut vero latus Quadrati adlatus Hexagoni ita R. ad RI. Vt igitur GR. ad RP. ita BR ad RI ses aequalis est angulias ad verticem R. quiangula igitur sunt triangula GR P. BRI atque adeo angulus PGR. aequalis an
gulo BR. id est RBM. parallelae igitur sunt PG I. equalis PB scura ipsi G uigo parallela VG ipsi
defiti.as. i. fM. parallelogrammum est B GV in quo se diametri PV. BG. bifariam secant mi est igitur H aequatas HG. Qus erat demonstrandum.
HIn conHar punctum H es centrum circuli circa trianguiam ZIM descript , atque eundem circulum transire per MActum G. Nam quodcentrum circuli P cto triangulo circa cripti, i in rc .E patet ex Corollario primae rem od Ἀ-ctoi conriai qma rura EG duis ea bifariam in , si d circa Hiransa per G. eodem modo probatur quia ex propositione HA. BG sunt aequales,
249쪽
IIsdem positis. Dico aggregatum BG. exper
pendiculari BF ad basim, minori segmento FR dest FG seu diametrum circuli circu- scripti triangulo BIM. ad maius segmentum perpendicularis ad latus R. rationem habere quamulatus Quadrati ad latus Decagoni.
Nam si conne statur G.erit angulus BMG. reetus rectus autem est etiam FG. Igitur ut BM.ad F. id est latus quadrati ad latus Decagoni, ita BG ad M. id est BG ad R. nam cum duo triangula FG MFR. habeant duo latera MFG. FR. aequalia circa angulos rectos ad F. erunt bases MG. R. aequales quod erat c.
SVper data basi triangulum Isosceles describe
re, ex cuius angulis perpendiculares secent opposita latera, in quae incidunt,proportionaliter. IT data in secunda figura basis IM. super qua potatet constituere triangulum Is sceles ut propositum cst. Priamo sit constructum triangulum BIM. in prima figura , nulla data determinata linea per Iz huius, in quo perpendiculares V. P. secent opposita latera proportionaster, sintq; delineata ea quae q. huius dicta sunt. Hinc in secuti da figura diuidatur IM. bifariam in F. centro F. distantia FM descriptus sit circulus X M. fiat ut latus quadrati circulo inscriptibilis adlatus decagoni ita IM. ad VI P. qua MP. in circulo aptetur ex puncto M.qua producta secet ductam ad I M. perpendicularem FB in B. secabit autem eo quod angulus BFM. acutusFMB. minores sint duobus
250쪽
α Curui ac recti proportio promota
in V. item MV. I P. se cantes se in R.per quod trasitvi perpendicularis FB Dico in secunda figura constitutia esse super basi data I M. trianguluinas sceles IBM. in quo perpendiculares V. I P. secant oppossit latera BI BM. proportionaliter. Cuna enim triangula IMP. BMF.habeant angulum communem ad M. rectos ad F. P. Cest enim BF. perpcndicularis ad I M. 4 PM .in semicire talo recitus erunt; quiangula igitur via M. id est latus quadrati ad P. id est latus decagoni , ita BM. latus quadrati ad F latus de cagoni, sed etiam cst in prima figura BM. ad F. t latus quadrati ad latus Decagoni, cin utroque angulus recitus BF M. ideoque reliquornm uterque minor recto:similia gi tu sunt triangula'MB. atque adeo tota MBI. in utraque figura. Sed &siani liter fecta sunt Nam ut B M. ad I. in prima,ita B M. ad I in secunda,ut modo ostensum est,&via M. ad D in prima ita I M. ad P in secunda igitur exaequali ut B M ad I M. in prima ita BM. ad I M. in secunda, sed in primas cecta est B M proportionaliter in P ergo&in secunda. Igitur superdata basi&c. Qu9d erat iaci cn
THEO REMA XX. st Opos. XXIV. ex additione alteria ad uariana in earuna quarum prina sit segmentum I Ivis, alicra mai