Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

251쪽

ABCDEFius rectae proportionaliter sectae sex magnitudines ordine constituantur quae ternae ordinet, continuo coniugantur : prima secunda coniugatio in medietate Geometrica tertia in medietate quinta Geometrica opposita quarta in Harmonica proportionalitate consistet.

Tria sunt praecipua medietatum generi teste Pappolexandrino colle stionum mathematicarum libro 3. prom16. Geometrica, Arithmetica, Musica, quae maxime utiles sunt ad antiquorum lectiones, quibus Nicomachus Pythagoreus&alij nonnulli tros addiderunt, recentiores adhuc quatuor alias Geometrica medietas est cum tres quantitates eandem proportio nem habent Arithmetica, cum trium quantitatem eadem est differentia, de qua superius plura. Harmonica qua do tres numeri ita disponuntur ut eadest proportio maximi ad minimum , quae differentiae inter maiores duos, ad differentiam inter duos minores . medi etas vero quinta seu Antigeometrica, ut

alias, Omittamus, est cum vestertius tera

ia tinus ad secundum, ita primi excessus ad excessum secundi. Sint igitur sex linea recta quartinia prima Auit minus segmentu recitae proportionaliter sectae, secunda B. maius segmentum eiusdem rectar eodem modo sectae . tertia CP. constituatur ex maiori minori segmento: Quarta Drecκ tertia maiori segmento: quinta E K. ex quartad minori segmento sexta FM. ex quintad maiori segmento micosi coniugentur ordine continuo ternae A. B. CP. CP.

252쪽

13 Curui ac recti proporti promota.

CP item tres sectindas B. CR H. esse in medietat

Geometrica tres vero tertiae coniugationis P. H. K. esse in medietate Antigeometrica denique tres vltimasDH. E K. FM esse in proportionalitate Harmonica. Primo chim recta CP sit composita ex minor segmento defin.3.ε. -&maiori B. constat ex definit. 3. 6. esse ut A. ad B. ita ad CP. Quod est esse in proportionalitate Geometrica . Secundo abscindathri DG. aequalis ipsi CP quoniam re-Τ3 2LDH. constat ex re sta CP. segmento maior B erunt GH. i. aequales, diuisa erit D H. in . ptoportionaliter cuius maius segmentum G aequale ipsi CP minus G H. Cum igitur B sit positum maius segmentum rectae CP. recta CP maius segmentum ipsius D H quar misVtraque proportionaliter secatura dictis segmentis erit X

conuertente z. Iovi B.ad CP ita CP.ad DH. ideoque tres illae rectae in medietate Geometrica constituuntur.

Tertio abscindatura qualis ipsi DH. erit X di L

ferentia ipsarum D H. DK. ex suppositione, aequalis minori segmento A.&GH. disterentia duarum D H. CF. .. ostens ac sta qualis maior segmento B. CP DG a quales ac DG maius segmentum rectar DH. proportionaliter desin. . s. sueta minus GH ut igitur mediam D. ad scgimentum maius DG id est ad minimam CP ita DG segmentum malu recta DH ad GH segmentum minus, sed etiana GH disterentia mediar&minima est segmento maiori . cicct: QK differentia mediae & aYimae se amento minori S A. aequalis ut igitur media ad minimam ita disserentra minimae&media ad disserentiam citiar&maximae. Erit igitur co uel Iendo ut tertius terminus C P. ad secundum D H. ita cX-ccssus primus QI . ad secundum GH. quae definitio estua dictatis quinta apud Pappum.

Quarto cxi M. abscindatura aequalis ipsi ΕΚ. TL. ipsi H. FO ipsi DG. Quoniam LM est aequalis ipsi QK. id est ipsi A.4 M. adiecta est initialis ipsi B erit tota LM. aequalis duabus A. B. id si toti CP seu DG maiori

253쪽

23 7 nempe segmento DR proportionaliter sectae id est ipsi Fo.

apsi autem DH. est aequalis L. igitur etiam L. secta est proportionaliter in o. cumque adiectasiit LM. maiori segmento D aequalis erit FM. secta in L proportionaliter. Patet igitur esse ut FM. totam ad L. maius segmentum, adest ad DH. minus extremum ita differentiam maiorum NM quae est aequalis B. maiori segmento ad K differentiam minorum,aequalem minori segmento A quae cst ratio Harmonica. Quare si ex additione alterna&c. Quod erat

Gemonstiandum.

THEOREMA XL PROPOS. XXV.

TR pe/ium habens duo latera parallela, di

uiditur a linea recta per angulos oppositos ducta in duo triangula quae inter Geandem rationen habent quana latera opposita parallela.

Sit trapegium ABDC cuius latera AB. CD parallela&angulos oppositos C. B. coniungat recta E A BCB. Dico esse ut AB. ad CD ita triangulum BAC ad triangulum BDc producta enim re sta BA si opus fuerit aut alia ex parallelis ducatur ex C. ad E. per pendicularis CE. item exi ad CD perpendicularis BF cu E. BF. sint parallelae item BEx Reiit ECFB parallelogranimum:a qualia igitur latera opposita C F. FB TDangulorum igitur BAC BDC aequalis est altitudo CE BF. Est ergo ut basis BA. ad basim DC ita triangulum AC ad triangulum BDC. Qu2d crat. THEG

254쪽

ε huius. 38. 1.

3 3 Cum ac recti proportio promota. I EO REM A XXII. PROP. XXVI.

TR peri in eisdem aut aequaliter distantibus parallelis ita se habent inter se, ut duo latera unius parallela , ad duo latera parallela alterius.

Sint traperia ABCD. BCFE EFGH inter easdem parallelas AH DH.&dividantur a lineis rectis DB. E. FH. per angulos oppositos ductis in triangulata, quae , superiori demonstratur eandem habent altitudinem

Dico esse ut AB.&DC. simul ad rectas E. CF simul ita trapezium ABCD ad tragelium BCFE. Est enim ut recta AB ad rectam DC ita triangulun ABC ad triangulum ADC.&componendo ut AB DC. simul ad C. ita ABC. ADC triangula simul, id est, trapezium ABCD ad triangulum ADC.&vim ad CF. ita triangulum ADC ad triangulum CBF. ut CF ad B Eata triangulum BF. ad triangulum EFB. componendo ut CF ad CF. BE simul ita triangulum C EF ad triangula CBF EPB simul id est, ad trapezis BCIE .cu igitur Ostensum sit esse ut AB DC simul ad DC ita trapezium ABCD. ad triangulum ADC. , DC. ad CF ita trianguiu ADC. ad triangulum CBF.&ut CF. ad CF. DE simul ita trian-Pulum CBF. ad trapezium BCFE. erit ex aequo ut AB DC. simul ad F. BE simul ita trapelium ABCD ad trapezium BCFE. Idem demonstrabitur de trapezio EFGH. Qu9fferatac.

255쪽

Si Trapezium catas duo latera parallela diώidanix li mea secante virum ne latus parallelum: erunt paries allatae inuicem, ut duo catera paratula unius pariis ad duo latera parallela aferias. Si trape tum AEAD cuius da latera AE DF parallel quae dividantur recta BC. Dico esse Ῥι AB DC. mul ad AE DF. s mul ita pars ABCD ad partem 50C. Hoc euide ιer patet ex propostione.

THEOREM A XXIII. PROPOS. XXVII S in trapezio ita quo duo lates parallela , a puncto in quo duo non parallela producta

concurrunt ducatur recta , diuidens lineam rectam utrumque latus parallelum secantem: habebunt trapezi partes eandem rationem , qua partes lateris utrius uis parallelia ducta linea diuisi.

Rursiis trapeχiurn ABCD. secetur rei fa EF utcumque o DA. CB.latera non parallela producantur dum coeant ponuntur enim non parallela in H. diuisa recta EF bis riam in K. ducatur recta Κ quae producta secet satus DC. in G. latus AB in I. Dico csse ut AI ad IB. aut DG .ad C. ita partem FED. ad partem FBC. Cum enim parallelae sint AB DC. easque secent EF. I. recta Lerit in triangulo ΚEG angulus Ea aequalis alterno FI in tri ingulo ΚFI. Dan pulus GKF. qualis angulo FKI. ad vertice ponitur aute FK aequalis ΚΕ.

.equalia igitur sunt triansula LEG. LII. Si igitur aequali, EG

256쪽

i Curui ac recti proportio promota.

bus triangillis ΚEG ΚFI addatur comune frustu AIΚED. erunt trapegia AIGD.AFED.aequalia. Eodem modo ostendetur trapegia BIGC.BFEC esse aequalia. Cum autem iii triangulos DC ducta sit lateri DC parallela AB.&exangulo oppofito H. recta HIG. utramque secet punctis I. G. erit ut AI ad IB. ita DG ad GC est autem v DG ad C. ita triangulum DHG ad triangulum GH Q it AI ad IB. ita triangulum AHL ad triangulum I HB erit ergo ut triangulum D HG ad triangulum GHC. ita triangulum A HI ad triangulum I HB, Cum ergo fit ut totum trianguliam D HG. ad totum GH C. ita pars AHI ad partem I HB erit reliquutrapegium AI GD. id est A FED. quod illi ostensum est quale ad reliquum BIGC. hoc est BFEC illi aequale , ut totum triangulum D HG. ad totum GH C. sed ut DI G ad ad GH C. ita ostensum esse DG. ad GC. ωAl ad IB. erit igitur ut G ad C. aut AI ad IB.ita pars AFED. ad parutem BFEC. Qu9derat&c.

THEOREM A XXIV. PROPOS. XXVIII.

duo trapezia duo latera parallela aequalia

habuerint, utrumque trique erunt inter se ut altitudines,

Sint duo traperia ABCD HIΚM. quorum latera oppo sita AB DC item HI. Gl parallela sit Que latus AB. latcri HI DC ipsi GK aequale. Dico trapelia illa inter se esse ut altitudines. Du cantur diagoni A C. HK. diuid cutes trapeZia in duo utrinq; triangula, quae , Vt patet LX progressu 27. huius eandem utrumque quam suu n

257쪽

trapezium altitudinem habet,quae fit illic FC. hic FIM.Cum crgo duo triangula HΚI ACB. bases AB. HI aequales habeant,erunt inter se ut altitudines FC HM. Item quia litangula ADC HGΚ bases DC GK.aequales habent erunt inter se ut altitudines FC. HM. ergo ut ii iangulum ACB. ad triangulum HKI ita triangulum ADC ad triangulilii HGΚ. permutando ac componendod iterum permutando,ut trapezium ABCD. ad trapezium HIΚG. ita triangulum ADC. ad triangulum HGΚ, est autem probatum est ' triangulu ADC ad triangulti HGK ut est adtitudo FC ad altitudinem M. igitur ut altitudo CF. ad altitudinem M. ita trapezium ABCD ad trapezium HIΚG. Moserat d

monstrandum.

THEOREM A XXV. PROPOS. XXIX. in trapezio habente duo latera parallela secto utcumque recta linea transeunte per latera parallela abscindantur minora latera ex maioribus,& residuorum medietas accipiatur erit ut viarum ex minoribus lateribus cum medierat sui excessus, ad alterum minus latus cum medietate eius excessus, ita pars in apezij ad partem.

Si trapegium ABCD. cuius duo latera AB. DC parallela , quod diuidaturi cumque linea P.

lis,o residuum A. diuidatur bis triam in H. rectae GD ducatur parallela HI secans AD. in . occurrens rectae FD. Iuli pro-

258쪽

33. I.

r. r. Curtii ac recti proportio promota.

pro lueta in I. Eodem modo ex FC. maiori latere quam FB. abscindatur rectar EB aequalis ΓΚ.&residuum KC. diuidatur bifariam in L. & recta BK. ducatur parallela LV CccurrcnS recitae EB productae in .secans BC. in . erit G. Acesius quo EA. superat FD. eiusque medietas D seu ID. Item erit C excessus quo FC. superat EB eiusque, medietas KL seu M. Dico esse ut EM. ad Ela seu uti L. ad FI .itati apeat uiri EBCF ad trapeχium EADF sunt enim an a GD quam BK. parallelae recta EF Nam cum parallelae sint aequales 1 cci ar EG FD. ex construcitione, re- et GD EF eas coniungentes parallelae erunt . Ou LS. Eodem modo parallel erunt aequalcs EF ΒΚ. Rursus parallelogramma erunt tam HGDI. quam BKLM. quod ex constr letione latera opposita: ibeant parallita. Et cum parallelogrammum GHID. triangulum ADG. sint iiij de parallelis AG. ID. basis AG. trianguli ADG siit u lata balis AH parallelogrammi HGDI. crit triangulun ADG.

aequale parallelogrammo HGDI codem modo ostendetur triangulum BCL. aequale parallelogrammo LMI K. Rursus erunt triangula BO M. LO C. aequi angula is qui late ra , nam anguli ad verticem O. aequales sunt: item an ulus

M BO aequalis angulo LCO MBMO. angulo CLO. quod parallela sint B M. LC. latus autem M. aequalescit later KL. quod parallelogrammum sit B VI K. xlatus I L. lateri L C. c constructiones, aequalia igitur latera BV LC. latera BO OC MMO OL. totum triangulum toti triangulo Idem ostendetur de triangulis ANH. IND. si igitur comuni figurae rectilinea EBOLF addantur, tu ilia trian aula QR LOM COL crit parallelogrammum EMI F. aequalestrape Zio EB F recta enim L parallela rectae BK. quae parallelac si recti EF ut ostensum it, est etiam parallela rectae EF. ac proinde facile ostendetur cis parallelogram muli ML F. Item si communi figurae redii lineae E HKD. addantur aequalia triangula ANH. DNI. erunt parallelogrammali Hil . tiapcetium EADF. aequalia Est autem v I F. ad

259쪽

ca angulos aequales latus -- Dieri nem habent quam reliquum larus circa amnum aequalem ad reliquum larus. Sint δε tria Ha ABC DEF. quae angulos A. D. aequales sabeant, latera AC DF aequalia. Dico esse ut AB ad DE. ita triangnum ASC adiriangulum DEF. Sint primum i tangsia ALC.DEF.rectangula ad A.D. erunt AB.DE. eor malit udines, cum igitur aequat sint AC. F. κέ pothes erit i AB. EDE. Ita inungatam ASC ad triangu-um DEF. Sinticundo triangule ABC DEF. obliqua uia o ducan ur in latera aequalia,productas pus fuerit,

perpendicuiares H. G. . 'niam quales ponuntur anguis BAC EDF cirreriti

260쪽

i Curui ac recti proportio promota.

sent anguli ad res erunt in iriangulis o goaest reliqui HBA

DEG. in ambinon, EAN EGD aequales, quare trIangu et THA. GD erkni aequiangula erisque ut B adBH. ita DE. a FG.- permutando vi AB adDE. ita HB. ad EG. sed vi HB. adEG ita triangulum ABC.ad riangulum DEFo m aequales ponantur C. DF o perpendicniares EH. G. ni illorum triangulorum altitudineri igitur ZAB.adDE.Ita triangulum ABC ad triangulum DEF. Mod erat probandum

L E M M A. II. SI fuerit vi prima quantitas ad secundam ita tertia ad

quartam es iterum prima ad quintam si, tertia ad Fxtam: erit prima ad scundam es quinta mu v tertia ad quartam e si xtam mul. Demonera vim hoc es a uiri Vbaldo.ὰ Marchionibas momtis Marhematico longe clarissimo,primorn Lemmatis ante I 3 propos IIcnem Ar vchimedi, de e neponderantibus hinc talib. I. propositione 6 de Cochlea, quod Inos hic ab eo mut um sumimus , vis icritus nonnulla squenies propositones

ad B. ita C. ad D. Dico A. ad TE. mulesse , ut C adFD. rioniam enim In I A ad F. ita C. ad F. erit conuertendo it E ad A. ita F ad C tenvi A. ad F. ita C. AEd D. ergo ex aquati τι E. ad Z ita F ad D. 9are componendo scut EB ad E. ita FD ad D. Vuoniam aurem es A ad T. scut C adF. erit conuertendo τι R. ad A. ira D ad C rursus igitur exaequali τι EB ad A. ita FD ad C ac tandem conuertendo A. erat adE8. vi C. ad FD. Mod erat demonuran

dam.