장음표시 사용
261쪽
S xxj ngulum ac trapezium duorum laterum
parallelorum angulum unum uni angulo a qualem habuerint, isnum latus circa an puluia aequalem via lateri aequale erit ut reliquulatus trianguli circa angulum aequalem ad duo latera parallela trapezij, ita triangulum ad trapeziu.
Habeant triangulum ABC. trapeχium BEFD laterii BD EF parallelorum angulos ad B. E. latcra AB. BE. aequalia. Dicoisse ut BC ad BD EF simul, ita triangulum ABC ad trapezium BF connectantur ED. Quoniam parallela sunt BD EF erunt angula BEF. id est ABD. ΕBD aequalcs duobus 1 cctis: quare una ceta est ABE. compositis videlicci ii AB. BE BC. BD.
dicularis AUG. secans BC. ac BD in F EF in . Quoniai parallelae sunt B H. EG erit ut AB ad BE. ita AH altitudo trianguli ABC. ad HG altitudinc triangulorum BD. EDF. aequales autem sunt ex hypothesi AB. BE aequales igitur sunt etiam AH HG. erit igitur ut BC ad BD ita triangulum ABC ad triangulum EBD. Rursus quia eandem habent altitudinem ttiangula ABC EDF erit Ut BC. . . ad EF. ita triangulum ABC ad triangulum EDF. Cum , igitur sit ut BC. ad BD. ita triangulum ABC ad trianguluEBD. it BC ad EF ita triangulum ABC.ad triangulum EDF. erit, per Lemma a praecedens, Ut BC ad BD EF 1emmai. simul ita triangulum ABC. ad duo triangula EBD. DF praecedens
simul id est ad totum trapezium BF Que erat demoi strandum.
262쪽
α Curui ac recti proportio promCta. THEOREMA XXVII. PROPOS. XXXI.
SI xxj ngulum ac trapezium duorum laterum
parallelorum angulum unum uni angulo aequalem habuerint erit vi rechangialum comprehensum sub lateribus trianguli aequalem angulum comprehendentibus, ad rectangulum contentum sub duobus lateribus trapezi paraliciis tanquavia linea recta, latere tertio quod aequali angulo adiacet, ita triangulum ad trapeZitim.
Sit triangulum ABC. trapeχiu in autem DEGF. haben tia angulos ABC DFG aequales. Dico si et rcctangu luna ABC. ad rectangulum contentum DF. FG. simul MDF. ita triangulum ABC. ad trapezium DFGE. Ducantur pe pendicularcs AH. DI. conne statur L DG Qtioniam tria gulti in AB Q&rceta glitu in sub AH BC.
denubali inlaabent BC. erit rectangulum sub AH BC. trianguli ABC duplum: codem modo triangulum sub I G. Di dupluin erit trianguli PDG. recta notatu in sub DI. DE. duplum trianguli DGE. quare totum triangulum sub I FG s E duplum stirianguli utriusque FbG. DGE. id est Otuis trape pii DFGE. Hinc quoniam aequales sunt anguli ABH DFI. lecti sunt an auli ad H. I. aequi. apula sunt triangula ABH. DEI. cliti itur ut BA. ad AIq. t. posita coinmuni altitudine C. rc in ultim sub B. BC. adi cistingulum sub AH BC. 4 FD . ad D l. ita posita commum altitudine utraque DE FG. rcchngultimis
263쪽
FG simul. Quare virectangulum sub AB. BC. ad rectangulum sub AH BC ita rectangulum sub FD. ME. FG simul ad rectangulum sub DI MDE FG simul, conse se clidentium dimidia, ut rectangulum sub AB BC. quod Clla insum est dimidium rectanguli sub AH. BC. ita rectangulum sub FD. DE FG simul ad trapezium EFG. quod etiam est dimidium rectanguli sub DI.&DE. FG,si mulo&permutando, ut rectangulum sub AB. BC ad rectangulum sub DF. DE FG simul,ita triangulum ABC. ad trapezium EFG. Quod propositum fuit demonstrare. Demonstratur hoc Theorema a Pappo Lenam. 8. in 1 Conic Apollonij.
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXXII.
SInt parallelae CE FH. L quotcumque distan
tes aequali spatio ita ut ducta AM. secetur a patallelis in partes aequales CF. I. sintqu i dem partibus aequales AC IM. 6 ducantur A D. DG GK facientes rectilineum quinque laterum ADGKI. Dico triangulum C ad otiam rectilineum ADGm esse ut rectam CD ad recta CD iis, ad FG. bis, rectam IK. semel.
264쪽
α Curui ac recti proportio promota.
ACD. ad triangulum CD.&trapegium CG item est vir, CD. ad FG. IK. ita triangulum ACD. ad trapezium FK. e ante rit ut CD ad CD. CD FG. FG IK. id est ad CD. bis3ψ hVi- FG. bis IK. semet,ita triangulum CD ad triangulum ACD ac trapeZia CG. Κ. id est ad totum rectilineum ADGKI Qusderat demonstrandum. Idem continget si sit plurium laterum semper enim quae proportio CD ad omnia latera duplicata praeter Vltimum, quod ponitur simplex ita triangulum A CD ad omnia trapezia quae componunt trapezium pluri laterum.
REx x xj ij quae superiori propositione po
sita sunt ducatur etiam M. ita ut sit te stilineum quinque laterum incipiens atriangulo CD d desinens in triangulum Κλέι sintque anguli ad G I aequales. Dico este ut CD. ad omnia latera duplicata, nempe ad CD bis FG. bis IK bis, ita triangulum A CD ad totum rectilineum ADGΚM.
Vt enim CD ad CD bis FG bis IK. semesita triangu-
strauimus squales enim sunt anguli C. I. aequalc MI AC. igitur ut CD ad CD bis, FG bis IK.s mel. IX semel, seu etiam IK bis ita triangulum AC D. ad totum trape χium ADGKM. Quod erat prob. ndum. Atque idcin omnino probatum in pluribus laterib Us. THEO-
265쪽
THEO REM A XXX. PROPOS. XXXIv. Raeter ea quae praecedenti propositione supposuimus, sit aliud trapezium AEHLI.m ius priori, illudque continens.
Dico quod erit ut CD. bis FG bis& IK. semel ad CE. niui pς Zium ADGRI .ad trape=ium Hia HLI. Quoniam enim paulo ante demonstratum est se ut CD ad CD bis, FH. bis IK. semel, ita triangulum AC D. ad trapeziu ADGKI. erit contrem tendo ut CD. bis FH. bis IK. semel ad CD. ita trapeziu ADGKI. ad triangulum CD.
perioribus Lemmatis 3 huius aperte sequitur citu mo
do quom i tuus usi sumus deducitur Ait igitur ex A GKI ad trapezium AEHLI 'Quod erat demonstran- THEO REMA XXXI. PROPOS. XXXV.
SInx' dona quae in schemate superioris propositionis, ducatur praeterea LM. sintque anguli ad C I aequales. Dico esse ut compositam ex D FG IK ad compositam YCE HIL ita trapeziu ADGΚM. ad trapezium AEHLM
266쪽
11 o Curui ac re sti proportio promota,
tenim CD. ad CD bis, FG. bis IK. bis ita triangulum ACD ad traperium ADGKM. conuertendo. Item vi CE ad C E. bis FH. bis I L. bis ita triangulum A L. autraperium AE HI M. ex 33 huius in conuertendo erit igitur c aemcquali ut CD. bis, FG. bis,&IK. bis, ad C E. bis, FH. bis, II . bis ita trapenium ADGΚM. ad traperim AE HI M.& priorum terminorum dimidia ut CD.FG. IX. ad CF.FH. I L. ita trapezium ADGΚM.ad trapeatum AEHI M. Quod opobtuli demonstrare.
THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXVI.
SI duo ita pretia duo latera parallela proportionalia habuerint erunt inter se ut re et an gula sub quouis laterum parallelorum prOportionalium, altitudine trapeziorum compre
hensa. Sint duo trapepia ABCD. EFGH quorum Litera C. AD. item FG. EH. parallela, itemque proportionalia ita visit AD ad FH. Vt BG ad FG sintque altitudines trapc-χiorum perpendicularcs ad utrumq; latus trapeZij P. y ico esse viae ctangulum subi B. BP. ad rectan uulum
sub P. I ut vi rectangulti sub M. BP.ad rectangulum
267쪽
sub HE. F ta traperium ABCD ad trapeZitim EFGH.
Ducatum 'si ΚD. parallela BN. ipsi IH parallela O. Item ipsi D parallela ANI.4 ipsi H. parallelai L. Occti rentes latcribtis parallelis trape ij productis sit opus fuerit, illae instinetis N. M ustae in O L. Qu0niam in triana ulis ΚAD. IEH. latetibus AD EA.
ΚBC inter se item IEH. I FG. inter se similia. Rurs his auia cst ut AD ad EH. ita BC ad FG. crit permutando, A D. ad BC ita EH ad FG. Cum ergo super duabus AD BC. sint constituta duo triangula simili AKD. BKC. si per duabusi H FG. duo itidem similia EI H. FIG. erit uti angulum AKD ad triangulum BKC. ita triangulum EIII ad
triangulum FIG. permutando. Quare cum sitit otii in triangulum AKD ad totum EI H. ita pars B XC. ad partem FIG. reliquum trapezium ABCD ad reliquum ti: pepluEFGH. erit xt totum AKD ad totum EI H. Insuper cum in inangulis AKD EI H. ductae sint ad latera ΚD IH parallela BN FO.erunt triangula KAD. BAN. item IEH. FEO Corol. .ε. similia item cuin sit vi K. ad ΚΒ. ita AD ad BC. ut AD ad BC ita EH ad FG. ex hypothesi, Mut EH ad FG. ita EI. adl F. crit ut AK. ad ΚΒ. ita EI. ad IIJ.4 per con uersionem rationas ut AK. ad AB. ita EI. ad EF. Quare cum super duabus ΑΚ. AB.&stiper duabus EI EF constituta sint illic duo triangula similia ΚAD. AN. istic IEH. FEO. similia; erit ut triangulum AD ad trian sua
luna BA ita triangulum IEH ad triangulum Eo. '&permutando ut triangulum ΚAD. ad triangulum IEH. itati iangulum BAN. ad triangulum Eo est autem trape χium ABCD. ad traperium EFGH. ut triangulum ΚAD. ad Niangulum IEH. ergo etiam erit trapeχiuii ABCD ad trapeχium EFGH ut triangulum BAN. ad triano ulun FEO. permutando. Quare cum sitit totum raperium ABCD ad totum trapeZium EFGH. ita pars BAN.ad partum Ilio.&relictuum parallelograminum BCDN ad re-
268쪽
Curui ac recti proporti promota.
liquid n parallelograininum FGHO. erit ut totum trape Ziui ABCD. ad totum trapeZium EFGH. at parali Clo ram mo
. BCD N aequale est parallelogrammum sub CB. BP. 'arallelogrammo FGHO. aequale est parali clogram nitim sub GF FG erit ergo ut rectangulum sub P. BP .ad rectangulum sub GF. G. ita trapegium ABCD ad trape Zium
EFGH. Denique cum si ut A D. ad D N ita AK ad KB. quod posivae sint parallelae BN KD. xvi AK ad B. ita ostensum est supra EI. ad I F.&it EI. ad I F. ita Ebi. ad O. ob parallelas positas FO. I H. erit ut A D. ad DN. ita EH. ad HO.sed ut A D. ad D N. ita parallelogrammtim ADC. . ad parallelogrammum BCDN. 4 EH. ad HO. ira parallelogrammum LEHG. ad parallelograminum FGHO. Vt igitur parallelogi animum ADC ad parallelogrammΠm BCD N ita parallelogramu LEHG ad parallelogram muFGHO Jc conuertendo ac pennutando, ut parallelogram naum BCD N ad parallalogrammum FGHO. ita paratilelogrammum ADC ad parallelogrammum LEHG. Est autem ostensum paulo ante esse ut parallelogrammum, BCDN ad parallelograminum FGHO . ita trapeZium ABCD. ad trapezium EFGH. ergo ut parallelogrammum MADC ad parallelograminum LEHG. ita trapeZium ABCD ad trapezium EFGH. sed parallelogrammo MADC est aequale parallelograminum sub DA.BP.ωparallelogramnio LEHG aequale parallelograminum tib HE. Finy igit ni rectangulum sub DA BP ad ec angulum sub HE. ita trapegium ABCD ad trape Iiuin EI GH. Igitur si duo traperia &c. used erat demonstrat
COACicir ex robatis in proposi rione traperea ABCD.
269쪽
ut ouis lateram parallelorum , se trouis non paraltilorum conseant demo ratum enim es esse ut parallelogrammuin BCDN ad parallelogrammam FGHO. sv parallelogrammtim CDAM . ad parallelogrammam EL. ita trape tum ASCD adtrape tum EFGH idemque sequetur se simaniar parallelogramma sub CB. A. o DA AB aut sub GF. E. HE. F. τι inducenti man enum P. Denique esse tiriangulum EAN. ad triangulum EO. ira trapegrum ABCD. ad ινσHium EFGH. Lec enim omnia ex progressa demon-srationis manifes sunt. THEOREM A XXXIII PROP. XXXVII.
TR pori quorum duo latera parallela ,
utrumque triq; proportionali, habent
rationem eam quae componitur ex proportione laterum homologorum, proportione altitudinum. Sint , ut in superiori, duo trapezia ABCD EFGH.quorum latera BC AD. item G. ΕΗ parallela , itemque proportionalia ita ut sit AD ad Eri ut BC.ad FG.sintque
altitudines trape-χiorum perpendicularcs ad trumque latus trapezij BP F Dic rationem trapezi ABCD ad traperium EFGH esse com positam ex ratione AD. ad ΕΗ. ex ratione BP ad FQ. aut ex ratione BC. ad FG.&ratione BP. ad Fin Vt enim ex me traperium ABCD ad trapezium CDEF. ita rectantulum sub A. P. ad rectangulum sub H. QUrectangulum sub CB. P. ad rectangulum F. FQ.
270쪽
, s Curui ac recti proportio promota.
F llorum vero rectangulorum ratio compositaest ex rationibus D. ad EH. BR ad in aut ex rationibus BC ad FG. BP ad F 4 Igitur ratio trapezij ABCD. ad trapezium EFGH. composita est ex rationibus AD ad EH. SP ad F aut ex rationibus BC ad FG.4 BP ad FQ. Qu9d erat demonstrandum.
THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXVIII.
TR pq j quae duo latera parallela, eadem
que proportionalia , tangulum angulo aequalem habent sunt ut rectangula sub lateribus homologis in Lateribus non parallelis quae aequalem angulum continent, comprehensa.
SINT ut in schem ue penitit imae huius duo traperia ABCD EFGH quorum latera BC AD. item FG. EH. parallela itemque proportionallia ita ut sit AD ad EH. vi BC ad FG. si atque pia terea anguli ad D. H. ideoque etiam anguli ad G C. Dico csse virectiangulum sub AD DC ad rectangulii in sub AH. G. Item ut redi angulum sub BC. CD ad rectangu him sub FG G H. ita traperium ABCD. ad trapeZium EFGH. Ducatur ipsi KD. paralle L BN ipsi I H. par ille ha o. Item ipsi KD. parallela A M.&ipsit H. parallela L. occurrcntcs Literibus parallelis tr .ipcZi proda tis si opu fieri inpunitiis N. M. D. L. a rallelogramina erunt D. I H. aequi angula ob angulos similes D. Hatem paralleli gramma aequi angula erunt BD PH. ab aeqv les angulos ad C. G. crit igitur,ex his quae de- moniti aut Pappus lib. 7. Mathemat. Collectionum proposit. 7 r. ab co Clauius chol in z; 6. proposit. S. Vt rectangulum sili, AD DC ad rectangulinia sub EH. G. ita parallelogrammu in Mia ad parallelogrammum L H dc virect ingulii in sub BC CD adicctangulum sub sG. H. ita