장음표시 사용
271쪽
tta parallelogrammium BD ad parallelogrammum 1 H. sed Vt parallelograiarum D ad parallelogrammum LIq. it parallelograminum BD ad parallelograminum Η. ita trapezium ABCD ad trapcgaum EFGH. Igitur ut rectan gulum sub A D. DC ad rectangulum sub EH. G. iii istangulum sub BC CD ad rectangulum sub FG. GH ita trapegium ABCD ad trapezium EFGH. Quod propositu
THEOREM A XXXV. PROPOS. XXXIX.
TR pq i quae duo latera parallela, eadem ia
que proportionalia , cingui uni angulo
aequalem habent sunt in ratione composita ex ratione laterum homologorum ratione latcrum circa angulum aequalem item ex ratioine laterum non parallelorum angulis aequalibus ad
iacentium , is ratione excessuum laterum parallelorum. Sint eadem omnia qua superiori. Dico primo rationem trapeχij ABCD. ad trapezium EFGH csse compositam ex ratione AD ad ΕΗ. CD ad GH. Item ex ratione BC ad FG. MCD. ad GH. ratio enim parallelogrammi MD ad parallelograminum LV. composita est ex rationibus A D. ad EH. 3 DC.ad HG. Item ratio parallelogrammi BD.ad FH. composita est ex rationibus BC ad FG.& CD. ad GH. Vt autem parallelogrammum MD. ad parallelogrammum uita LH. it parallelogrammum BD ad parallelogrammum PH. ita traperium ABCD ad trapeχium EFGH igitur ratatio trapezij ABCD ad trapeatum EFGH composita est cxtationibus AD ad ΕΗ. CD. ad GH. Itemque ex ratio. nibus BC ad FG.4 CD ad GH. Sint
272쪽
1s Curui ac recti proportio promota.
Sint secundo anguli ad E aequales. Constat AN es.se excessum quo latus A D. alterum parallelum BC. superat, cum in parallelogrammo BD. aequalia sint aduersa later ND. BC. eodem modo EO. exccssus est quo Ebs superat FG. latera BA FE latera sunt in suis trapeχIs oppositis CD GH non paralleli, angulis aequalibus A. E. adiacentia. Dico rationem trape1ij ABCD ad trapegium EFGH. componi ex rationibus AB ad FE MAN ad EO. Cum . pro ,sit i .enim iii angula BAN. FEO. aequales habeant angulos ad A. E. habebunt rationem compositam ex rationibus BA. ad 22 FE. AN. ad EO.Vt autem triangulum BA ad trianguinium FEO ita trape1lum ABCD ad trapeZium EFGH. igitur trapegi ABCD ad trapezium EFGH ratio componitur ex rationibus AB. ad EF. AN. ad EO. Quod secundo loco propositum erat igitur trapezia quae duo latera parallela c. us oportebat demonstrare
THEOREMA XXXVI. PROPOS. XL. circa duas perpendiculares quarum altera alterius sit dupla circuli describantur rectae ex centris ad puncta sectionis ductae essiciunt angulum rectum. Perpendiculares sint TC E. ad punctum E illa huius
li secent se in . diducatur DF. AF. Dico tam angulit in
273쪽
2II paralles ipsi T. secans circulii EFG in L. rectam AR in M. ducatur ad I perpendicularis AB. Item conne stantur chordae TF. FC FE. Quoniam anguli FC E FC. sunt in semicirculis , recti sunt:Vna igitur recta est TFE. Vt S hergo TF. ad FG ita FG ad FE. Quare similes sunt arcus maioris ac minoris circuli nimirum FBT. ipsi LGin Q eum a ipsi FE. aequales igitur anguli FAC FDE.Qusniam autem i recti sunt EDM. AB. ex descriptione,ideoque aequales demptis aequalibus FAC FDE. remanent aequales FDM. B. sed aequales sunt FMD FAC. cum enim ex descii ptione duo anguli ACD. MDC sint recti erunt D. Ac parallellar aequales igitur sunt duo anguli FDM. MD. duobus FAB FAC id est recto BAC Quare rectus est reliquus DFM. Qu9d probandum fuerat.
HIn conΠat tam rectam AE tangere circulum EFC.in F quam recZam DF circulum CFT in eodem puncto F. Nam quoniam diametri sunt F. F. or angulus re sAFD. Iam recta AF cadet extra circulum EF C. quam recta r6. DG extra circulum CFT. Mare dictis circuos tangent.
RUrsi manifestum es tam chordam TF.chordie FC.quam chordam C. ipsius E esse duplam. Nam ut C.
274쪽
1ue Curia ac recti proportio pronJOta. PROBLEMA V. PROPOS. XLI. Vadrantem in duo arcus in aequales ita di uidere ut sinus versus minoris arcus, sinus versus imaioris, sinus rectus minoris, sinus rectus maioris, ac sinu totus propor tionem Arithmeticam continuam ab unitate inci pientcna unitate differentem habeant.
Ducantur duce perpendiculareS CT CE ad Uncitur ita C. Quartana illa huius sit dupla quibus diuitis bifariam in D centris A. D. descripti circuli secent se in F.& ducta AB.peri endicularis ad T. auferat hi id rantem BC. Doco
isti: ia si in F ut pro ponebatur. Ucantur sinus reci ii I. FH. illenpinoris, hic maioris arcus: Item continuetur IF in . erit FG. sinus rectus arcu S
circulum tanget in E B eritque AE c uadratum, inanes si suae quadri itera interius descripta clunt parallelogra- a r c angu l. Cum igitur timilc sint arcus bE IO C. rit ut C. ad Cli ita sinus rectus Hi . arcus FO ad sinum rectu in I arcus FE scd C. ipsius E duphi si x hypothesi, igitur H .iosius I ideit C. illi aequalis, du-phus si, sed H. inus versus arcus POC duplil ci re e X E sinus versi arcus FE . id est ipsius LI seu FK. prod ictam .m L. Aliditur E . ad H. ut . ad a. H. adH F. v et ad . il si aut in Hii si addatur FK id cli EG crit Uta
HK. dii CE seu AC. filius totus quinque parteS, S A. id est
275쪽
II. trium partium. Igitur BI. est unius partis CH. duarum FI. trium FH. quatuor AC seu AB. quinque. Et aut uia IB. sinus versus arcus I B. CH. sinus versus arcus FOC FI. sinus rectus arcus FB FH. sinus rectus: rcus FOC MAC. sinus totus. Igitur factum est quod proponebatur.
aserian praebent, ut induconti aperte conritat.
Posse etiam problema proponi hoc modo. Intra Sy adratam an Itim de gnare an quo P. lateribus Hadrari parat Dia si e ius secantes, in P a latera termiuat. In Hatuor segmenta ita dividantur ut ea cam tota habeant propo onor Arithmeticam coistin m ab unitate incipientcm, unitate a ferentem . Nam se intra quadratum BEC desicribasa, ad ans ABC. G simicirculus EFC. sisi in se secanus,Gr ducantur FI. FH. Uteribus quadrati paralleti ua-bebon recta CF. FG. TN. H. Um proportIonem consinuamquam I. 2.3. q. ex demonseration superiori apparet.
276쪽
26 Cumi ac recti proportio promota. PROBLEMA VI PROPOS. XLII.
r x xem ita diuidere ut secans arcus
maioris cum tangente sit tripla sinus totius, sisecans minoris arcus cum tangente sit dupla sinus totius.
Fiat eadem constructio quae superiori problemate,&prae terea pic ducatur AF. dum rectam BE secet in . CE. productam in O. erit m tangent arcus mors BF . AN. eius secans citem erit C O. tangens arcus maioris FC. MAO secans eiusdem arcus. Dico AO. C. simul esse triplam AC. MAN. B. simul duplam eiusdem AC similia enim sunt triangula . AH F. ACO item AIF.ABN.quare latera proportionalia habent. ideoque visunt FA. H. simul ad AH ita AO OC simul ad A. at FA FH ad AH ratio nem habetat quam 9. ad 3. id est quam 3. ad 1. Igitur AO. OG simul ad CA. rationem habent quam . ad I. Eodem modo ostendemus cum A F. FI ipsius I A sint duplaee prs denti, etiam AN NB. ipsius B esse duplas. Quare quadrantem ita diuisimus &c. Quod erat faciendum.
MAn fessam si ex hactenus demonstratis snum totum
AC tangentem C .. sicantem O. esse in proportione Arithmetica quae es in his numeris 3. q. F. siunt enim ob similitaedinem triangulorum ARF. ACO tres rectae C. CO. AO tribus AH NF. F. proportionales saevero habent rationem Arithmeticam dictorum numerorum eandem gitur habent ilia. Eodem modo probatur tres 8. BN AN esse ut 3 nu
277쪽
26 Imeros q. 3. I. quod hanc rationem habeant tres illis propor tionabs ricta I. F. AF nare, tem lineae II CH.FAFff. C. O. A. eruvi in continua proportione istorum nu
PROBLEMA VII. PROPOS. XLIII. Vadrantem ita diuidere ut sinus versus arcus sit octava pars sinus totius.
Sit quadrans ABC. in quo sumatur chorda CP.aequalis medietati sinus totius A. demittatur in A.perpe dicularis P R. id
est sinus rcetus arcus PC. cuius sinus versus R. Dico CR. cs eo-
ipsius A C. Perficiatur semicirculus CBS. connectatur P. Quoniam angulus SP C. rectus est, ut&angulus P RC. erit ut SC ad CP. ita PC. ad CR. est autem CP. cx hypothesi medietas semidiametri CA. atque adeo quarta pars totius diametri SA. Igitur etiam CR est quarta pars ipsius P. ideoque ipsius CA. octava pars. Quare quadrantem ita diuisimus dic. Quod sacere oportebat
COROLLARIUM. e constat s chorda sit sinus totisu dimidia pars, nam versum se octauam partem ei dem nus
278쪽
1 Curui ac recti proportio promota THEOREM A XXXVII. PROPOS. XLIV.
SI a puncto rectae datae , in quod recta per
pendicularis incidit duae rectae aequales hinc inde accipiantur,in ad cuiusuis extremumcie quouis perpendicularis puncto ducatur subtendens angulum rectum, ac subtendenti aequalis in data recta ex puncto incidentia accipiatur erit re angulum sub tota accepta una cum excessii subtendentis, dicto excessa compraehensum aequale quadrato perpendicularis inter punctum in ca acceptum punctum incidentiae comprehensae.' DISit data recta AB. ex cuius quolibet puncto C. ducatur perpendicularis CD. item in ea sumantur due partes aequa les CA. CB. a quolibet puncto C. in perpendicula-ri sumpto ducatur subtendens DA. ipsique DA. X C. aequali SCE. Dico rectanguliun B EA. quadrato DC csse aequale. Hynia micetis A. diuisa cli bifaliam in C. eique
279쪽
que diecta est recta AE crat rectangultim B EA. Vna cum . quadrato AC aequale quadrato E .hoc est quadrato DA. aequales enim ponuntur E. DA. est autem quadratum 4 . DA aequale quadratis DC. A. igitur rectangulum B EA. una cum quadrato A C. est aequale quadratis A C. CD. Qua re ablato communi quadrato AC remanebit rectangulum DEA. aequale quadrato CD. Qu9d erat demonstrandum.
I E aequalis CF erit rursus recIangui nisu E. quadrato DC aequale , ideoque rectam D REA HFE ter se aequalia. Idemque continget si lavres rectae hoc nodo
THEOREMA XXXVIII. PROPOS. XLV.
Iudem postis si per tria puncta ADB tran
se a circulus DB S producatur DC per centrum . in circunferentia punctum L. Dico rectangulum EB ad quadratum C esse ut rectam DC ad rectam L.
Rectangulum enim CL. rectangulo ACB. id est quadrato A aequale est ponitur enim AB biseriam diuis ia C. posita autem communi altitudine DC. erit quadra Ἀ- situm DC ad 1 cctangulum D L. iii cst,ad quadratum δε C. vi recta DC ad 1 cetam T. sed quadratum DC ostensum est in superiori propositione aequale rectangulo AEB. Igi 38.huius. tur ut rectangulum AsB ad quadratum Ac .ita recta DC. ad rectam CL. Qu9d fuit demonstrandum. THEO-
280쪽
ic Curui ac recti proportio promota. THEOREM A XXXIX. PROPOS. XLVI. Onantur adhuc ea omnia quae superiori propositionei rectae CD ducatur ad circulum aequalisa M. Dico a recta EM circulum tangi in puncto M.
AE 'Gμβ Quoniam rectangulum BEA. aequale est quadrato D i. proii. quadrato D monitur aequale quadratum E M. erit qua D
dratum EM rectangulo BEA. aequale igitur recta EM. circulum tanget in M. Qu9derat probandum.
aequales ac per E. D. H. Hscribatur circulus, accipiaturque es DC aequalis P. quae ex puncto F. rucirculum ducatur , ea ob eandem demonserationem circulum tanget in I quia virumque quadrarum M. FP qua rato DC aequale eis runt quadrata EM. C. id es resti EM. FP aequaus.