장음표시 사용
301쪽
E datum punctum in peripheria ellipsis o ui
atum tin rentem lineam ducere Sit in peripheria data ellipsi ACG.datum punctum per quod oportet ducere rectam quae ellipsin tangat Inueniatur axis ellipsis ηέ.2.Conic, GA. ad quem ordinatim applicetur expuncto C. perpendicularis CD. 4ectae A. accipiatur aequalis DE.&hac ut GE ad ED. ita GA ad AB.4 connectatur BC. Dico quod recta BC tang;tellipsin in puncto C. Nam quoniam est ut GE ad ED. ita GA ad AB. erit componendo ut GD ad DE. id est GD. 3DA
nem tangit in C. Igitur per datum punctum in peripheria ellipsis contingentem lineam duximus. Qu9d erat faciendum.
IN circiso, coni sectione potest describi fia
gura multorum angulorum, numero parium , quae maior sit quacumque magnitudine minore quam datus circulus, aut coni lectio. Sit circulus,Ellipsis , Hyperbola,Pan bola DAB.ωdata magnitudo quaelibet Q. minC qualibet datarum figurarum. Dico tam in circulo,quam in coni sectionibus posse describi figuram multoriam angulorum,&numero parium quae maior sit data magnitudine Ac primum in circulo DAB cum is maior sit magnitudinem sit excessus quo dictam magnitudinem superat,
302쪽
is Curui ac recti proportio promota
magnitudo S. constat ex 2. I et elementorum tantum posse
ablaindi ex circulo DAB. inscripta figura multorum angulorum,&numero parium, ut relinquatur quoddam spatium minus ipso S. spatium autem illud quod relinquitur est differentia polygoni inscripti circuli, magnitudo S. est differentia magnitudinis c circuli igitur minori
303쪽
287 differenta distat polygontima circulo quam magnitudo ideoque maius est polygonum , quam magnitudo bit secundo ellipsi DAB. maior eadem ma initudine excessu magnitudinis S. manifestum est ex positione A chimedis pio positione . de Conoidibus&sphaeroidibus, sed euidentius, e Commentarijs ederici Commandini in eandem propositionem, in Ellipsi posse inscribi figuram
multorum angulorum,&numero parium cuius residuum
seu disserentia ad Ellipsim sit minor disterentia S. qua eadem Ellipsis superat datam magnitudinem initque adeo polygonum inscriptum esse manis data magnitudine αbit tertio Parabola aut Hyperbola DAB cuius diameter AK. basis seu ordinatim appllicata DB. vertex A.4 in Hyperbola centrum C. Inscribatur triangulum AB. constat spatium illud maius csse quam sit dimidium spatij seactione AB contenti. Nam si per punctum A. duxerimus tangentem P parallelam scilicet ipsi DB. cui occurrante D. B. perpendiculares DP. BQ fiet parallelogrammum DPQB. cuius dimidium est triangulum DAB spatium vero sectione Parabolica aut Hyperbolica contentum DA C. minus est quam figura quadrilatera circumscripta Igitur inscripta figura seu trianguliun DAB maius est qua ipsius dimidium. Rursus rectae DA BA. bifariam diui dantur in H. m.& in Parabola sit VH diametro KA. ae quid ist in squae secet parabola in V. AEL. eidem diame tro aequidistans secans Parabolamini. In Hyperbola vero ducantur ex centro C rectae C VIJ CLE. secantes etiam Hyperbolam in V. L. manifestum est e conuertentibus biiu
6.& 7. I. Conicorum ineas VX. ML N. an . 1 cohe gentes seetiones in V. L. ipsi DB PQ Occurrentes in punctis Y X. NM. ipsis A. BA. aequid istare: ideo . que parallelogramma esse A. A qua re ductis rectis A V. D.&AL. I B. erit AVD parallelogramini XA., ALB. parallelogiam mi A. dimidium, ob id maius
quam dimidium portionio Parabola ves Hyperbola quae
304쪽
ita Curui ac recti proportio promota.
circa ipsum describitur. Atque idem demonstrabitur in aliis triangulis in infinitum:quod quidem semper fiat dum relinquantur quaedam sectionum portiones quae sint minores cxcessuri quo Parabola vel Hyperbola datam magnitudinem insuperat: rursus enim ut in priori parte huius sequetur , Parabolana vel Hyperbolam minori excessu differre a polygono inscripto quam a magnitudine i id e que polygonum esse maius data magnitudine 4 Igitur in circulo ioni sectione potest describi &c. Quod erat de
Potest ad datum circulum motus aequi dis an
te proportionalis ita fieri, ut partes proportionales incidentium partibus parallelarum proportionalium quae illas secant sint proportionaleS. Inter duas parallelasio. P, ducatur incidenspe pendicularis G H.circa quam centro N.descriptus sit circulus LM ac inter easdem parallelas,aut diuersas P. CF. ducaturalia inci scias perpendicularis OP. moueatur GO. paraλλὴλ ipsi HP. ita ut perueniat ad
puncta I. MK. in incidente G H. Madpunci a R. S. in incidente P. quae est inter easdem parat telas jecetque circulum in punctis L. M. constat e Lemma te .huius duas GH. OP secari a parat telis I R. KS. propor
305쪽
tionalii ei aut si non sit inter easdem parallelas, sint sectae GH OP in eadem ratione, in I. . in . S. ac moueatur O parallela ita ut quo tempore I peruenit in . etiam . perueniat in R. cum illa in . ita progrediatur in S. Diuisa bifariam P. in Q d scribatur centro mirculus TV quem secent parallela I R. S. producta in punctis T. V. comu i tantur QT. V. Item L. NM. Dico motum lineae GO. versu HP. aut linea rum O. H P csse motum ad datum circulum LM.aequi- distanter proportionalem, ita ut quae proportio est bis pasetis incidentis ad I L. tangentem quae illam secat, eademst PR. partis proportionalis incidentis ad RT. tangentem proportionalem. Cum enim sit positione ut HI ad G. ita R. ad O. erit componendo ut G ad G ita PO. ad RO.&antecedentium dimidia,ut G. ad G ita QO ad RO per conuersionem rationis vi N. laoc est
LN ad NI ita Q id est T id R. Cum ergo in trian-gtidis I IN TR inguli ad I. R. sint recti , ac proinde re
triangula NIL QR T. aequiangula angulosque aequales hab Ebunt II N. RT INL RQT. Erit igitur vi I. ad II . ita QR ad RT. Cum ergo ex hypothesi stetae stat G H.
OP. a paralleli Sin eadem ratione, erit ut HL ad N ita
P R. ad Rinc vi IN. ad I L. ita ostensum est esse QR. I T. igiturica quati , ut HI ad L. ita P R. ad RT. atque codem modo probabimus aequi angula esse triangula
se aequales , item esie vi K. ad M. ita PS ad S, cure igitur aequiangula sint triangula LIN. TR &anguli ad L. T. aequales erit ut L. id est GN ad I L ita id est O. ad TR.&permutando ut GN. ad OQ. ita I L. ad TR. atquc eodem modo A triangulis aequi angulis ΚM. QSV ostendemus esse ut N ad Q tari M. ad SV er ii. s.
306쪽
19, Curui ac recli proporti' promota.
parallelis G O. P. occurrat ac siit diameter circuli intra parallelas contenti in eas dein , aut alias P. T. aliata recta P incidat , moueaturque aut una pocilles a GO. aut duae GO HI .cXcadem in eandcli partcm, ut alacri P. aut CF sint continuo paralle , dividantque G H. P. in easdem rationes 4 partes parallelarum I L. M. parti iiiii , JUS sint proportionales constat ex prima definita μ tione huius, motum illum csse ad datum circulum inter duas parallelas aequi distanter proportionalem, sitimque sit ut HI. ad I L. ita PR. adi T. item ut hi Κ. ad KM. itata PS. ad SV. patet id quod proponebatur.
Anfense eis ex dictis in propos tione si duo circi si inter duas parallelas ae natue an inaequutiter distantes descripti fuerint is tinrisa contactus diameter con- -gat, per quae paralleia ducantrer quarum altera versus a teram in viro ne circulo ita moueatur ut partes ex diametris eiu em rationis abscindat p=imo arcus quos In motu alsi In- ni continuo es similes secunὰ esse ut inus seu chordas arcuum In uno circulo, ita sinu chordas in altero circulos denique es e partes incidentium ad partes parallelaram in uno circulo bicinatio seu flesinus versos adsinus rectos in eadem proporrione in troque circulo . Nam ex eo quod paralleia GO VP motu siccnt Hametros GII. OP in easdem ratio cs in circulis LM. TV probatum es angulos INL. item KNM S a Messe aequales, quare arcus L. T. Sesivi: .3. ii marcus G M. OP sinites sunt: pr.eterea offensum es sic vi L. ad KN ua ET a SV denique ut HI ad Ic ita PE- ad I T.
307쪽
THEOREMA III. PROPOS. III. SIod datum circuluin motu aequi distanter proportionali Dura analoga describatur,
ita ut partes proportionales incidentium, partibus parallelarum proportionalium quae illa secant, sint proportionale ura natos a. circulus erit. Sit eadem synthesis quae in superiori ropositione ,
ademque schema, nempe inter duas parallatas O HAEducatum incidens perpendicularis G H. circa quam centro N.descriptus it circulus GL M.ac inter easdem parallelas, aut diuersas I P. CF ducatur ali: incidens perpendi
tur O. aequi di stanter ipsi H P. ita Ut crueniat ad quaelibet puncta . L. N. in incidente GH. ad puncta R. S. Q n incidente P. quae est intercasdem parallelas, secetque circulum in punistis L. M. X. constat ex Lemm . . huius duas GH. P. secari a parallelis IK. S. proporti naliter: aut si non sit inter easdem parallelas, sint rectae G H. P. sectae eadem ratione in L . N.&R. S. &c. moueat ulmo palallela, ita V quo tempore G. perlicia itini etiam . perueniat4n R. cum illa in K. ista progrediatur in S. cum illain, centrum, haec in parallela: O a T.
308쪽
1 Chirui ac recti proportio promota.
R T. V. V. parallelis I L. M. NX sint proportionales, qui motus primae definitioni congruit sitque ut Lad I L. ita PR. ad RT.&vt HK ad K M. ita PS ad V. hoc enim fieri posse insuperiori propositione ostensum est describaturque figura OTV. Dico figuram OTV esse circulum. Cum enim motu aequi distanter proportiona-3 Hςs ix li secta sint proportionaliter HG. PO. crit ut NI. ad Lita R. ad PR. sed ut HI. ad L ita supponituri R. ad RT. ergo exaequali vi I ad I L. ita R. d RT quare cum recti sint anguli ad I R. aro ui ingui ierunt triangula NLI QR vi igitur L N. ad N I. ita Ti id QR.&vtNL ad NG. ita QR. ad O. ex descriptione, ergo CX aeqUalltatC, uti N. ad NG. ita T id QO. aequales autem sunt L N. NG. aequales igitur sunt QT. QO. Atque cadem ratione ostendentur aequales V QO.' quotquot ex Q puncto defin adpeti metrum OTV. ducentur igitur figura TV .ci cuius est Qu9d erat demonstrandum
Si motu ad datum circulum inter dua parallelas aequi distanter proportionali figura
analoga describatur, ea aut circuluScrit, a Ut
Inter duas parallelas GO-H P ducta sit ad utramque, perpendicularis HG.ctica quam descriptus sit centro . circulus GL M. ac inter easdem aut diuersa si trallelas circa incidentem secundam P motii ad circulum LM. proportionali descripta sit figura analoga TV Dico illam figuram aut elle circulum , aut Ellipso id es Sit primum incidens OP pcepcndi culmis ad Xtremas paralicias ut patet in secunda&quarta figura ducantur quae illi et I L. I M. X. parallela interiores in circillo GL M. quibus in figura TV respondeant proportionales
309쪽
tionales parallela RT. SV QY&simi etiam primo partes huius.
incidentium proportionales, parti bit parallelarum proportionalium proportionales , nempe ut HI .ad I L. ita PR. ad RT. itHK ad M. ita P, ad V erit figura TV.
Sit secundo OP . perpendicularis ad extremas parallelas, siue illae eaedem sint siue diueris, sed partes incidentium . proportionales partibus paralli larum proportionalium analogae non sint, nempe non sit ut HI. ad I L. ita P R. ad RT. Dico figuram OTV. non esse circulum. Si enim aliter asseratur, sit si fieri possit circulus, ergo eXCoroll. secunda cri 61. huius erit ut HI ad J L. ita P R. ad RT. quod est absurdum uirus. ponitur enim non csse ut HI ad I L. ita PR. adi T. Denique incidensio non sit ad extremas parallelas perpendicularis sed obliqua, Vt patet in penultimo sche mate, faciatque cum e Xtremis parallelis angulos non re-Ctos. Dico illam non esse circulum. Sit enim si fieri pota test circul US. Qinna iam rectae PQ QO rectis aequalibus N. G. proportionales sunt etiam inter se sunt aequales, 4cctae Ε Q rectis N. X. aequalibu proportionales, etiam sunt aequa las , centrum igitur circuli est punctu ni si enim centrum non esset duae rectae EY OP sese mutuo secantes non per centrum extensae sese mutuo bifariam non secarent, quod est absurdum, cum probatum sit cas
sese bifariam secare Dei usque diameter PO. Rursus ma-
310쪽
i, Curui ac recti proporti o mota
nifestum est figuram analogam OL P, Qua circuliis dici tur, totam intra parallesas AO. CP. quorum motu facta est, contineri s enim paticius siet si pra . pars infra P. illa pars non esset descripta motu parallela A .qtia ponitur motu esse paralleλὼ abGO . invi P. quod est contrarationem descriptionis,&definitionem primam hulas: igituris D figura dicta tangitur a parallelis AO CP. in punctis O. P. ergo diameter PO ad eXtremam tangentem O perpendicularis est quod esse absurdum, cum ponatur obliqua non igitur figura OTU. circulus est: sed quia ea, ut .superiores quae circuli non sunt paulatim a puncto O dilatantur usque ad parallelam mediam EY hinc rursus coam
stantur dum in punctum P. desinant claudantur, fornaana ellipsis praeses erunt,quapropter figuram hanc ,donec naturam eius cXplorauerimus, vocabimus Ellipsides. Igitur si motu ad datum circulum &c. Quod erat probandum.
Hinc concta si mortis si ui modi qualis desicribitor
terita horas figuram analogum est e circulum secus nunquam esse circulum , se incidente ad extremas paralleus Asente obliqui, Auram analogam circulum non esse.
secunda .F Vr analoga a maru ad circulum equidistanser pro- ρrtionali procreator, aut Circnus, an Pllipseoides: circulus aut infra ea Pem parallelas an infra dixer is ess/ntra easdem parassi ij producatur patet es dato aequasi , cum aequalem dato Hametro hahea si infra diuersas minior minor es pol '. Enimus ellipsi is aut inter afri parallelas contine tir, aut diuersa, Pixossare o o