장음표시 사용
321쪽
In schemate nonae huius. Sit ellip ides ABCD.c
ius diameter ac transuersum figura latii AC rect Lm A L. ad ipsam AC. ordinatim applicentur FG. N. Dico quadratum FG ad rectangulum A GC. es-1evtLA.ad AC., quadratum FG ad quadratum MN esse virectangulum
AGC. ad rectangulum ANC. γniam enim est ut quadratum secundae diametri BD ad quadratum . huius. prima diametii AC ita quadratum FG ad rcctangulum A GC. MAL latus transuersum ad AC. erit ut latus rectum ad transucrsum, ita FG. quadratum ad celangulum hiau. RG C. Eodemque modo ostendetur esse ut latus rectum ad transuersum ita, quadratum MN ad rectangulum ANC. Eiit igitur ut uadratum FG ad icctangulum AG C. ita quadratum MN ad rectangulum ANC.4 permutando. us derat demonstrandum.
cum circulo tamen ac hyperbola comunem demonstraui, OLomus tib. I. Conic prop. I. Cum vero conlet hanc Daream neque circulum esse, neque Aperbolen conseqaitur ut ei sexisIImandabit. Atque his tribus notis contentus fuit Serenus, scitonem linis ellipse esse probaret , cum tamen assereret maLro plures ex elementis conicis pes pos e. Nos adhuc quar-
322쪽
dic Curui ac recti proportio promota,
tam addemus quae non obsure proposium e ciet
iugo REM A XII. PROPOS. XII. SI iii ellipso id recta linea ducatur per cena
trum utrinque se nioni Occurrens ad centrum bifariam secabitur.
Sit ellipsoides cuius diameter ΚM. centruin R. te R. ducatur OR P secans lineam curuam in pinacti OP. I co OR. ipsi R P. csse aequalem.Ordinatim enim applicen ursi' OS PT.&quoniam irci' angulum ET M. ad quadraturn
Coroli., .ad P. ita est transuersum latus ad rectum, it rectangulum s. huius. SΚ ad quadratum S O ita transiuersum latus a discetum, critit rcci angulum ΚTM. ad quadratum P ita rccta guluin SK. ad qua- iratum O. vi autem quadratum P. ad quadratum TR. ita quadratum O. ad quadratum Sit .m aequi angula sunt, imo aequalia tri .m gula PT R. Ob R. ob aequalecanis. r. gulos ad ver tacem R.&alternos ad S. T.
item ad P. D. aequales,cum parallelae sint ex descriptione S. P. erit exaequali virect clivi ulum a M. ad quadratum T R. ita rectangulum M SK.ad quadratum R.&componendo, ut rectangulum I TM. una cum quadrato R. ad quadratum R. hoc est quadiutum R. ad qua- ,. . x xv k tenim rceia MK. secatur bifariam mR. N In partes inaequales ad punctum T. ideoque rectangultinia ΚT M sub inaequalibus cgmcntis ΚΤ a M. una cum quadrato TR. intamcdi elcctiouiscit aequat quadrato dimi-
323쪽
3 7 dia: MR. ita rectangulum SK. una cum quadrato R. ad quadratum S R. d est per eandem quintam secundi elementorum I quadratum KR. ad quadratum S R. S permutando ut quadratum R. ad quadratum R. itia quadratum TR. ad quadratum RS. Quare vi R. ad RΚ. ita TR ad RS est autem rccta R. rediae RK aequalis, ex descriptione quare recta TR. rectar RS. aequalis existit, ut autem TR. ad RS ita PR. ad RO qui angula eniin ostensa sunt triangula TRI' RSO. Ῥιμ re PR. AEO. sunt aequales Qv erat propositum. Hanc autem ellipseos proprietatem demonstrat Apollonius
HActenus quatuor veluti esseras exhibim L, oides
nos um quibus e genuinam es probaret, et timrre acutanguli conis tones reciperetur tres quidem ex S xeni penu, quartam ex nosra dicina depromptam fiet e- reor ne in lynceis si pulos uspiam GHometrae octilis i spiciantur non satis legitimae videri possent, ac si ficton mismoseere Uynt se isti nominis iam a nostris figura, quam a sectiois cplindri apud Serravum se Archimedemde Considiabus, O Sph.eroidibus. Esto enim notae quas Serenus , quas nos adduximus ellipse conueniani, dubitare quispoteris num i , sutrum κυρίω Γό, αντι εφοντα, an vero ut in Scsolis loquunta propria tantuum primo modo certeptirae hqtie omnes eiectiones quis in libris conicorum Ellips in/sse demanser tur , etiam circal , multi h perbo oppositisse mon bus conueniunt neques circuli ac Ab eo di ferentia ignota esset , recte qm argueret eri omώπου fascire ius cum Ab communes habet in tali n. . D nouit Aum si Tio Cyrindri, num Eat oides noctrum comm mone quidem dicrarum s M orum iungatur cum Ellipsi, na- iura ramen ab ea non mirius quam circulus aut oppostae sectiones di erat ' Scitum es apud Dialecticos propos ιionem
324쪽
dis Curui ac recti proporti' promota.
uniuersalem aestirmantem non sinplicise sed per accidens
tantum conuerti in articularem aientem. Nec enim si 'l'nis homo animal est de omne animal en homo, neque es citur se omnis ellipsis hoc habet vi prima diameter,ctionis ad secundam eam ratisne habeat quam scunda ad aliam quamptam, quae ad cun ais applicata ordinatim possit spatium quod adiacet tertiae proportionali reliqua 'se in qu nta huius demonBrata sunt, ut ideo quicq id hoc habet protinus sit ellipsesis; Gare cum huiusDod Ana occurrant,
τον si abrictione ad ab Ordum qua certo statuant id de quo dubitabatnr quae demon ratio licci δε κτικοῦ minus si, ο ιςημονικὴ ac Hgnitate concedat, verItate tamen ac certitudine ne hilum quidem inferior eis. Nos iratur sperioribus notis et si ex contrZria asIertione manifeseum Uurdum derivabimρ , atque ita oram rc ex ra omnem dubietatis aleam con Iluemus.
THEO REMA XIII. PROPOS. XIII PRO positum salvere de mons frare, sectionem cylindri quae neque basib his aequid Iliat, neque sub contrarie posita est neque per avem, neque aequi illi ante ei quod per axem fit parallelogrammori item Elliploides quodcuq eli Ellipsua
Sit primum sectio cylindri cui ista modi posita est in propositione& Ellipso icies quocuumque rectum ABCD. cuius prima diameter seu axis Actae cunda diameter scuBla fiatque ut A C. ad BD. ita BD. ad aliam videlicet AG. quae statuatur ipsi AC ad angulos cetos, erit cxcijs Command quae demonstrat edericus Commandinus commentario iuri 6 propolit Serenide fcctione cylindri, quod etiam se demonstrasse affirmat Serenus in Commentarijs suis Apol-
325쪽
non peruenerunt C. transuersum figurae latus, AG rcistum, seu reci a iuxta quam possunt quae sectione ad diametrum Ordinatim applicantur. Iam Vero per primam partem I . . in subiecto plano de jcribatur ellipsis ita ut eius diameter sit C. vertex A.&rectum latus AG ductae vero sectione ad AC in angulo recto applicentur, C quae lati rudines habeant lineas interiect1s punctum A. deficiata rotae figura simili& similiter posita ci quael incisCA A G. continetur Ieuisa AC. bifariamini dircatur secur dia siti. xis BD. fac icias angulos rect scian BC. Hinc Ellipsis dicta coitioni cylindri aut ellipsCld rcet is Cp climpon..tur,&congruat AC cllipsis cum diametro C sectionis cylindri aut ellips id eos recti ipsis aequali congrue etiam angulus recitu CAG. cum recto, ellipsis cum aequali AG. cetionis , aut cli ipso idis recti & cista BD cum BD. cum centro centrum E Nam cum sint aequales EA AG. tam in ellipsi quam in cylindri sectione, e illapso ide cisto, Minter eas media proportionalis BD erit
BD ellipsis aequalis BD sectionis Ergo aut ellipsis
cum sectione, vel ellipsoide congruet, aut certe non congruet Dicatur primum non congruere igitur ab illa defi
326쪽
3 Cumiae recti proportio promota. - Quoniam in ellipsi ordinatim applicatae sunt ED FILeorum. erit Ut rectum figurae latus AG ad tran uel lum C. ita quadratum FL ad quadratum ED. Rursus quoniam in s 'ctione cylindri vel ellip ide ordinatim Epplicatae sunt sFI , FH. ED. erit ut latus recisi AG ad transuersum AC ita
lindri quadratum FH ad quadratum ED. Vt igitur quadratum yy I. ad quadratum ED. ita quadratum FH ad quadratum ED. aequalia igitur sunt quadrata FH. I. pars&mtum: quod est absurdum. Non igitur deficit ellipsis a section a. pronune cylindri vel ellipsoide recto conuenit ergo: quare illi aequalis est. Idem eodem modo demonstrabimus etiam in quocumque ellip ide obliquo , modo ductae a seetione ad diametrum A C. non appliceni ur ad angulos rectos, sed ad angulos aequales ij quos applicatae cum diametro staciunt in cilis solde obliquo;&persecundam partem Jq. I. Conicorum describatur ellipsis,ut dictum est prima parte huius, cuius diametet AC. vertex A. rectum latus Ac . idem quod in Ellips id c,ac fiat impositio utriusque figura idem enim absurdum sequetur si illa non dicantur congruere. Igitur 'credemonstratum est scistionem Cylindri quae ncque basibus a quida stat, neque sub contrarie posita est, neque Per axem, ncque quid istim te ei quod per a Xena fit parallelogrammo, item ellipsoid c quodcumqueis bellipsin.
M Utar igitur nomine Elpsa a d cantur Ellipse i
327쪽
THEOREM A XIV. PROPOS. XIV. Uaelibet ellipsis circa quamlibet suarum, diametrorum dato circulo, dataeque ellipsi est analoga.
Datus sit circulus ti ilibet Z. ellipsis 3. sit quaelibet
ellipsis KLMN. cuius quaelibet diameter, M. centrum R. Dico ellipsim KLM circa diametrum ΚM dato circulo Z. aut ellipsi 3. esse analogam. Ducantur per puncta F. M. emi rectae ΚA. C. ellipsim KLMN. contingentes quoniam huius. recta ΚM transit per centrum R. ellipsis,cum ponatur eius dianaetcr, iccta KA. c. sibi ipsis aequi istabunt. Inter Cψηι duas parallelas ΚΑ Ν Q ducta ad utramque perpendic Liri AC dc scrib.aur circulus ABCD. 4 mota AC motu ad M aequidi flant f ciat parallelas in utraque figura LVI. 24 Bh D. LRN. GYH. T P. quae se centu illic a b ρ c. in punctis V. E. . istic a K M. in punctis S R. T. Constat in circulo paralicius dict.:s secari bifariam in punctis V. h. Y. In ellipsi vero XLMN. cum c sta LRN. sc :t pcr centrum R. secabituri R. stata amsed & Obstabitariam sccatur in b. si cnim non iccetur
328쪽
3i Curui ac recti proportio promota
bifariam in puncto . ducatur Κ . quoniam ellipsim KLMN. contingit Κ A. in puncto A. huic aequid istans7 '' O in diuisa est bifariam in puncto erit q. diametexellipsis,quod est absurdum cum non transeat per centrum; atque eodem modo probabitur rectam P. quamlibetis definit parallelarum ad LN secari bifariam a diametro M. O C00iς dinatim igitur applicantur ad diametrum M. rectaea J-I Coni OS. I R. XT.&c. Ergo erit virectangulum M SK. ad rectangulum M RK. ita quadratum OS. ad Quadratum I R. Mut rectangulum SK. ad rectangulum RΚ. ita reci angulum CV A. ad rectangulum C EA . nam cum sitit S. Iemna. i. ad SK. ita CV ad A. erunt rectangula SK. MVA. fi- 'V milia, Mob eandem causam rectangula RΚ MEA. simi- 'i Etam lia. Quare cum sitit S. ad CV ita R. ad C E erit ut bilivis rectangulusnMSK. ad rectangulum CV A. ita celangui, cohi tu in Mi K. ad rectangulum C EA.&permutando ut rectangulum CV A. ad rectanguliani CE A. itaqtladrat unaar. I ad quadrat una ED. erit ut quadrat uni CS ad quadratum I R. ita quadratum L ad quadratum ED. ideoquGd fri 'trecta OS ad rectam L R. ita recta L ad rectam ED. Mi are ellipsis KLMN. circulo ABCD cst Analoga scd 8 . circulus ABCD. circulo Z. etiam analogus cst igitur cilipsis KLMN. dato circulo Z. analoga est circa incidentem seu diametrum Κ M. Rursus quia ellipsis 3 ex prima parte huius propositionis, circulo L. analoga est circa quamlibet suarum diametrorum,&cidem circulo analoga est cli ipsis KLMN. circa quamlibet suarum diametrorum, manifestum cst cilipses LMN. circa quamlibet suarum diametrorum descriptas esse analogas . ti ire quaelibet ellipsis circa quamlibet c. Q u,sciat demonstrandum THEO-
329쪽
THEOREMA XV. PROPOS. V. motu ad datam Ellipsin aequi distanter proportionali figura describatur ea aut Circulus erit, aut Ellipsis.
Haec propositio euidenter deducitur ex superiori. Nam .huius. quaelibet ellipsis cuilibet circulo atque ellipsi analoga est , ergo motu ad datum circulum aut ellipsin aequi di d. stanter proportionali describitur Cum autem idem sit mo huius tus quo circulus aut ellipsis data,& ellipsis analoga describuntur .si ellipsis analoga statuatur prima atque dita manifestum est circulum aut ellipsin,quae data erat,motu a quid istanter proportionali delineari ac fieri analogam. Quψd erat probandum.
THEOREM A XVI. PROPOS. XVI. ad datam Parabolam motu aequi distanter proportionali figura analoga describatur, ea erit Parabola.
Inter easdem aut diuersas parallelas AK. CL data sit parabola ABC cuius diameter AC. latus metum AT incidens secunda quaecumque KL moueatur AK a quid istanter ipsi L. ita ut continuo parallela: circa KL sint proportionales parallelis circa AC. nimirum vi NM. ad
PO. ita DE. ad FG. it PO ad R ita FG ad HL it RQ ad SL. ita ΗΙ .ad CB. atque ita deinceps etiam ex alia pati incidentium secabuntur etiam AC AL proportio Inaliter, ideoque iuxta primam definitionem huiuS, erit i d.sii. motus ad datam parabolam equid istanter proportiona-lf : Describatur eo motu figura ΚSL qua erit analoga parabolae ABC. Dico illam figuram esse parabolam. Qu9Rr niam
330쪽
xi Citrui ac recti proportio promota.
&d.si niam secta sunt proportionaliter K. A. in punctis M. huius. D. erit ut O Κ acl MK. ita FA. ad DA: item quia parabola
D. . 'ζst AI C. ei it tFA. ad DA . ita quadratum G ad qua di attina DE. Rursus quia proportionales suau recitae DE
FG rectis M. PO. erit ut quadratum FG ad quadratum DE. ita quadrat uni PO ad quadraturai, M. ergo a primo ad ultimum irceia Κ. ad 1 cetam Κ nempe uti incar quae ob ordinatim applicati diametro ad verticem abscinduntur: ita quadratum P O. ad quadratum M. nimiruin ita sunt inter sc quadrata ordinatim applicatarum , quod tanquam parabola peculiare demonstrat Apollo nius lib. 1. Conic. pH, posit. O. Rursus quadrato, M. tiat rcctangulum ΚV aequale ipsi LX. i. V. ad punctum K perpendicultaris. OUO-nsa in rectans titi ΚV. KV cand cnaaltitudincia da-bent K erunt ut bases ML OK sedit MK. ad OK it Paulo