Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

331쪽

paulo ante ostensum est qti adciatum N ad quadrat Lm . OP ut igituri celangulum ΚV ad rectangillum XV. ita quadratum M. ad quadratum P O. dc permutando virectangulum MKV. ad quadratum M. ita Octangulum OKV ad quadratum P O. aequale autem est rectangulum MKV. quadrato NM. ex hypothesi, igitur aequale eritio. ctangulum OK V. qu drato PO atque ita reci angulit m QKV erit aequale quadrato R dcc. Quod parabola conuenire demonstrat Apollonius ii primi Conicorem . y y Vpnita vocatque XV Rcetum figurae latus. Iam vero oonstat ex Ia primi Conicorum posse inueniri parabolam , cuius diameter sit data KL. verteκ punctum K. Ducta vero quaelibet SL.a sectione ad diametrum in angulo LΚ possit reeiangulum L DV sub recta L Κ. per- pcndiculari seu latere cci o V. Inuenta iam si id impo- δ δ' ni natur dicta parabola figura KS L. congruent rectae LX. par, bolae, MI K. figurae SL. cum aequales positae fiat. Item rectae L. utriusquc sigurae, cum tam L. quam angulus SI K. ponantu aequalia:deniq; Ob ea nilcm causam conti nient V. in utraque figura. Igitur,aut congruent dictae figurae, aut non con gruciat ponantur primum non congruere, ac bideficiunt applicetur ordinatim MN X. quae secet figura analogam in N parabolam in X. Qiloniam in utra que figurari V. est recta iuxta quam possunt ordinatim applicatae; erit rectangulum Κ, aequale u id rato MN. cxsecunda parte huius propositionis: sdemque rectangulum MKV aequale quadrato MX.c II. I. Conicagitur aqua P πlia sunt quadI 'ata I I LIq. pars totum: quod Lit absur-ri. Conici dum congruent igitur Parabola in figura analoga . Igi s turaequalia sunt,acininam figuram coincidunt,cuque ii ''i sura analoga K5L. Parabola. Quod erat demoniti ii dum

332쪽

3i Curui ac reisti proporti promota. THEOREM A XVII. PROPOS. XVII.

SI ad datam Hyperbolam motu aequidis fante proportionali figura analoga describ

tur, ea erit Hyperbola. Sit idem schema quod silperiori propositione, sed agura ABC. ponatur esse Hyperbola, fiant reliqua V in Praecedenti, tantum Hyperbolae ABC accipiatur trans-

uersum latusAY.&ducta YZ ipsi AK parallela prodimcatur LΚ. dum concurrat cum YZ in puncto Z. Dico figuram analogam SL. esse Hyperbolam; Est enim ut D.

333쪽

ad DF. ita ZM ad O.4 componendo, se conuersi nem rationis ac permutando viYF. ad O. ita D ad ZM. sed est etiana ut F. ad FA. ita ZO ad OK. ita D. Esem ad DA . ita M. ad 11Κ similia igitur sunt rectangula . i. huius. YFA ZOK. item rectangula YDA. ZMΚ. cum igitur sit ut YF ad Zo ita YD. ad ZM. super prima ac secundas cta sint duo rectangula similia YFA ZΟK. super tertiata quarta duo itidem similia DA ZMΚ.erit ut rectangulum FA. ad rectangulum ZOK. ita rectangulum YDA. ad rectangulum ZMK. permutando ut rectangulum , YFA. ad rectangulum YDA. ita rectangulum ZOX.ad rectangulum LM K. sed ut rectangulum YFA. ad rectamgu--hi. I.Conitalum YDA. ita quadratum FG ad quadratum DE.&it quadratum FG ad quadratum DF.ita quadratum PO.ad quadiatum NM. igitur ut rectangulum ZOΚ. ad celangulum ZMK. ita quadratum PO ad quadratum M. Deinde fiat ut rectangulum ZMΚ ad quadratum MN Corol.zo.λita ΖΚ ad ΚV. Quoniam ostensum est prima parte huius, esse reci angulum Z VK ad rcctangulum ZMΚ ut quadratum PO ad quadratum MN erit conuertendo permutando ut rectangulum ZMK ad quadratum MN. id est ut ΖΚ ad xv ita reci angulum ZOΚ. ad quadratum P O A que eodem modo probabimus esse ut ΖΚ ad KV ita rectangulum QK. ad quadratum R. Has affectiones etiam in Hyperbola demonstrat Apollonius I. Conic.prop.

Constat autem ex 3. I. Conicorum posse inueniri Hyperbolam cuius latus rectum K V. transuersum ΚZ. diameter KL. ducta vero quaelibet bL. a sectione ad diameatrum in angulo SI K. st x ΖΚ. ad KV ita rectangulum ZLM ad quadratum L. Inuenta iam sies imponatur dicta Hyperbola figura XSL. congruent rectae LK Hyperbolae , IK. figurae,cum aequales posita sint Item rectar SL. utrius ne figurae, cum tam rectae L. quam anguli SLΚ. ponantur aequalc. denique ob eandem causam coi uenient

334쪽

3im Curtii ac recti proportio promota.

uenient KV in utraque figura. Congruent ergo dicta tagurae , aut minime congruent. Ponuntur primum nor

congruere, ac ubi deficiunt applicetur ordinatim MNX. quae secet figuram analogam in N. Hyperbolam in X. Quoniam in utraque figura KV est recta ita Yta quam pos sunt ordinatim applicatae, ΖΚ latus transuersum, erit ex secunda parte huius propositionis, ut LX ad KV ita re-ΤG'Riς ctangulum LMΚ ad quadratum MN.&it LX ad V. ita rei tangulum MK. ad quadratum X aequalia igitur sunt quadrata MN. X. pars' totum v d est absu dum congruent igitur Hyperbola ac figura Analoga, a quales ergo sunt; immo in unam figuram concidunt, ut proinde gura analogarib L. sit Hyperbola. us crat

demonstrandum.

THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII.

Polygona in Circulo atque Ellipsi analoga s

it cita in Parabolis aut Hypei bolis analogis intra easdem parallelas similiter inscripta sunt inter se ut parallela: rc portionales.

Inter easdem parallel is AK.CM.descriptus sit circulus ABCD MEllipsis analoga KLMN. item duae aut parabOlae, aut Hyperbolae an logae C. LM. quorum diametri secunda BD. N. caque s cccnt quotcuit que parallelae proportionales illum FI BD. GH .lsiam Q. L .XP. connectantur recitis sibi respondeiuibus Ab DB BG. c. KO OL LM. c. quae cilicient duo polygoria in circulo, ellipsi una illic di scripta eo modo quo dchialta On qtlinta huius traditum cst. Dico Dolvgonum AFB CHLL a suo lygonum KO LXM N cste et pro ' nil na-lcm qu .imcumque . ad propi attonas occidi a

335쪽

quod sint inter e 1 sdem parallelas itemque recta E. critaltitudo trapegiorum D. N. .LY altitudo trape-ixiorum B H. LP denique C. altitudo triangulorui in circulo .cllipsi, in parabola, Se Hyperbola vitimorum rape Ziorum GCH. M P. Quoniam igitur triangula AL OKQ eandem habent altitudinem erunt inter se ut bases, quare vi I. ad in ita trian pulum AI ad triangulum OK Rursus quia traperia FD. N. habent latera FI BD.proportionalia late ribus O LN erunt inter se virectangula sub BD EV 36 ' huis &sub LN EV. sed rectangula sub BD EV. N. EV. sunt inter se ut bases BD LN ut igitur BD. ad I N. ita traperium FD. ad trapezium ON eodem modo ostendemus esse ut GH ad XP. ita trapezium bH ad trapezium I P.

trian

336쪽

3 1 o Curui ac recti prpportio promota.

triangulum GCH ad triangulum XMP. Cum igitur sit ut FI ad Orata triangulum FAI ad triangulum KQ sit

defia. 3. tu autem ut FI. ad O ta BD. ad LN.&ut BD. ad I N. ita: i. , traperium FD ad traperium ON.erit ut triangulum FALad triangulum OK ita trapezium D ad trapeatum

ON. Rursus cum sit ut BD. ad I N. ita traperium D ad trapeZium ON.&ut BD ad LN ita trapegium Η. adii. s. trapeZium LP ut paulo ante probatum est,erit, trapezium FD ad trapegium ON. ita trapezium Bri ad trapezium I P. Denique cum sit ut BD. ad LN ita trapezium ἡ. d trapezium P sit autem ut BD ad LN ita H. huiu, ad P. Qui GH ad P. ita triangulum GCH ad triangulum VP erit ut trapezium X ad traperium Ri P ita triangulum GCH ad triangulum XM P. Quare cum sitit triangulum FAI. ad triangulum OK in ita trapezium D ad traperium ON. it trapeZium D ad trapeZium N ita trapezium H ad trapegium P.

ut trapezium H ad trapegium P. ita in ellipsi circulo triangulum, in parabolis aut Hypcrbolis trapezium GCH ad triangulum aut tranegium XMP. erit, ut triangulum FAI. ad triangulum OK inita totum polygonum AFBGCH DL ad totum polygonum O LXMPN ed ut triangulum FAI ad triangulum OKQ lta Ostensum cst esse FI ad OQ' igitur FI ad Od parallela Pror Ortionalis ad proportionalem ita polygonum AFBG

monstrandum.

COROLLARIUM

E ictis conssat pol prona tu circulo atque Lil Panalga inter ea sirim parallelas semiti e desicripta esse ut

337쪽

THEOREM A XIX. PROPOS. XIX.

Polygona in Circulo atque Ellipsi larabolis

item Myperbolis analogis inter diuersas parallelas motu equidistanter Maequaliter Proportionali procreatis similiter descripta interie sunt, altitudines. e 3 quae superiori propositione, sed figurae ana-

parallelas, sintque motu aequi-

ctae PV. VI. parallelis proportionalibus OS. O. sint quales. BE ED. ipsis I R. R N. atq; ita in deii 3s, quae connectantur rectis sibi inuicem respondentibus A F. FB.&c KO OL LM. c. quae effcient duo polysona an ellipsio circulo;item in parabolis de Hyperbolis analo Isis, comodo quo definitione, huius traditum est. Dico polygonum AFB ICHI I ad polygonum KO LXM. esse ut altitudinem figura CA ad altitudinem figurae Κ S cet recta quaepiam AC. rectas FI. BD. H. bifariam ii princitas V. E. . sitque ad angulos reicitos parallelis extremis, erit A V. altitudo trianguli FAL E altitudo trapezi FD. EY. altitudo trapezij BH. MYC. altitudo trianguli incliculo hin Parabola vero aut Hypei bola ultima trapegi, JCH. Ita sit ΚM. ad angulos rectos parallelis extremis, ΚM.diameter secci parallelas proportionales O LN XP. bifariam in punctis S R. T. erunt I S. R. T. altitia dines trianguli, aras cetiorum OK Q. ON. I P. I M. alii tudo trianguli XMP. in ellipsi in Par rabola vero aut Hyperbola trapezij XMP Quoniam si tur triangula FAL OK aequales habeat bases, ex hypo thesi, erunt inter se ut altitudines: quare ut A V. ad Κb. ita Cp i, triangulum FAI.ad triangulum Olc I ursus quia trape

338쪽

3 14 Cura ac recti proportio promota.

Σiorum FD. N. aequalia sunt latera parallela FI BD. a- . . narti teribus O ,N. suiu inter scit altitudines V E. S R. Eoius inlin . Iemna. huius adem modo ostenciemus ut EY ad RT. ita trape χium BHadria perium L .&vt C ad 4 M. ita triangulum, aut i pzZium GC il ad triangulum aut rape Zmm MP. Oma igitur sit triangulum FAI. ad trian ulum OKQ Vt AV ad KS. ita V ad KS. ita V E ad R. it E ad S R. ita trape Zium FD ad trape pium ON criti trianginium FAI ad iii angulum OK in ita trape 1ium FD ad tra- pcrium ON Ilcm cum sit trapcrium D ad trapcZitim ON. v LVE. ad R. it V E ad R. ita EY ad RT. 4tEY. ad I T. ita traper tum H ad traperium L P erit Vltra perium D ad trape χium ON. ita trapegium B H. ad trapcZium I P. Atque cadem ratione ostendemus esse ut

339쪽

trapeχium ΒΗ ad trapeχium I P. ita triangulum aut trapezium GCH ad triangulum aut trapezium XM P. Quare cum sit ut triangulum FAI ad triangulum OKQ ita trapezium FD ad trapezium ON. it trapeZium FD ad trapezium N ita trapezium FH ad trapeZium LP.&it trapegium FH ad trapegium LP ita triangulum aut tra-peZium GCH. ad triangulum aut trapeZium XM P erit ut

triangulum FAL ad triangulum OK ita totum polygonum AFBGCH DI ad totum polygonum OLXMPs sedit triangulum FAL ad triangulum OK ita AV ad KS. vi modo probatum est,&v AV ad S ita AC ad 2 LΚM. ut igitur AC altitudo ad altitudinem ΚM. ita polygonum FBGCΗDL ad polygonum O LXMPN4 Quplorat demonstrandum THEOREM A XX PROPOS. XX.

Ixcviij atque Ellipses Parabola item, aut

Hyperbolae analogae inter easdem, aut aequaliter distantes parallelas descriptae sunt inter se ut parallelae proportionales.

Inter easdem parallelas AK. M.descripta sint circulus ABCD Mellipsis analoga KLMN.&Parabolae aut Hyperbola AC. M.qtiorum parallelae quaelibet proportionales FI OQ. Dico esse ut FI. ad O ita circulum ABCD.adcllipsin KLMN.is Parabolam aut Hypei bolam AC ad Parabolam aut Hyperbelam M. Si enim non ita sit , si εvt ad OQ tacti cultis aut Parabola aut Hyperbola dat ABCD ad aliquam aliam magnitudinem quae sita quae vel minor rit nil maior cllipsi vel Parabola , vel Hyperbola analoga XL vi N. iii enim esset aequalis, haberet circu- s lus ABCD ad ellipsin LMN eandem prCportionem, ac propterea csset circulus ad cllipsinitI I. ad G uod non supponitur. Sit ergo primum magnitudo Z. minor quam

Ss 4 ellipsis

340쪽

3 Cui ui ac recti proportio promota.

ellipsis KLMN atqtie idem dicendum in Parabolis aut Hyperbolis Inscribatur ellipsi & Parabolae, ac Hyperbolae analogar XV. figura multorum angulorum numero

parium quae malo sit magnitudinea minore quam ipsa Ellipsis aut Patabola aut Hyperbola data sitque dicta figura O LXMPN Hinc circulo ABCD inscribatur Polygonum similiter polygonoellipseos quod sit AFBGC DI ac quod de ellipsi dicitur intelligatur de Para- hilius. Ola&Hyperbola analoga Quoniam cstiti Lad O ita polygonum APB CX DL ac pi ivgonum KO LXMPN eit L ad inita ponitur cilculus ABCD ad magnitudinem Z erit ut polygonum APB CHLL ad poly gonum KO LXMPNQUita circulus ABCD ad magnitudinem Z permutando, ut polygonum AFBGCHLLad

circulum