장음표시 사용
351쪽
ducuηtur analogas parque ideo quae supra de Parabolis analogis dirita sunt illis conuenire.
THEOREM A XXVI. PROPOS. XXVI S a circuli vertice ductae chordae aequalium
arcuum peripheriam secent in punctis aquibus in sequentes ac maiores chordas perpendiculares ducantur , quae in sinus eorundem arcuum a punctis in quibus diametrum secant hinc inde transferantur Curva linea per earum extrema transiens est Parabola.
Sit circulus ACF. cuius diamete AF vertex A. diutidatur semicirculus ACF in quotcumque parte aequales
352쪽
3 3 mi ac recti proportio promota.
punctis B. C. D. E chordarum, in quibus periphei amiscant,ducantur in sequentes chordas perpendiculare BG. CH DL ΕΚ quae transferantur in sinus a puncti N. M. L. Κ. ita ut O M P. I E ipsiis BG. H. DL EX.sint aequales. Dico lineam curvam AOPQE. esse Parabol im. Sumantur chordis AB AC AD AE AF aequales in silia
reuis nubus productis N S. T. LV XY. manifestum est quod
perpuncta A. S. T. V. Y. Z. transibit Parabola Hinc cum 7 sequales positi sint arcus BC. CD DE. EF. aequale S,erunt an uti BAC CAD. DAE. EA F. aequales ideoque in triangulis rectangulis GBA HCA IDA. ΚEA reliqui anguli ad B C. D. E. aequales ac omnia illa triangula sit milia ut η igitur AB ad BG. ita AC ad CH. permutando ut AB. ad AC. id est NS . ad MT. ita LG ad CH id est O. ad M P. Eodem modo cum aequi angula sint triangula ACH. ADLerit ut A C. ad CH ita AD ad DI permutando ut AC ad AD. id est T. ad LV ita P ad L. atque eadem ratione probabimus elicut LV. ad ΚΥ. ita L ad ad KE vel Κ R. cum igitur Parabola st data ASTV YZ sitque ut NS. ad M T. ita NO. ad MP. ut T. ad LV ita P ad I Q ut LV ad ΚΥ. ita L id KE erit figura AOP QE. datae parabole ASTVΥZ analoga, ideoque Parabola. Qia )d erat demonstrandum.
E d monstratis fermi, si rectae M. V. I. Ax in
sinus NB MC. LD. E. ordine tro erantur, lineam curuam perciliarum extrema transeuntem si Parabolam .
Nam in i Eem riangulis simitibus ABG. AH DAI EAM. est, Ad ad AC ita AG ad ΑΗ er U AC ad AD. ii AH ad I sc deinceps quare sequitur id quod prFestum en , eodem modo quo in propositione in rectis EG. CH. SI LX insinus translatis
353쪽
THEOREM A XXVII. PROPOS. XXVII P x bola recta ac circulo aequichordis est
sectio coni aequi lateri cuius basis est ci cuius habens diametrum diametro circuli congene duplam , diuidens illum circuluinta
per centrum. Sint inter parallelas AO BF circulus cuius diameter AB congenea Parabola OF. cuius diameter PO. ad utramque parallelarum sit recta. Hinc centro P . semidiametro HG. quae ipsi AB sit aeqtialis , describatur circulus DF EG quis basis coni aequicruris cuius Vi verteX
354쪽
33 Curui ac recti proportio promota.
verte A seceturque plano per axem quod sectionem
es h hulum qui crure PDE. Ductaque per ceR
ium diametro PH G ad DE. perpendiculata & diuisa DC. bifariam I. sccctu alicro plano tran eunte per Getam G. &rectam IIJ. quae cum sit parallela ipsi L. dcfinit. nam diuisa DE. bifariam in . DC b ariam in I cX hypothesi,eritvtDH. adHE. RaDI. ad I C. dcoqui raticiae IIJ. CE constat sectionem FIG. quae sit illai Conic platio esse Parabolam. Dico Parabolam FIG Parabolae OOF congruer ideoque unam&eandem esse figuram.
ςfp i eum Optasu HG aequalis AB erit GF quae due est ipsius GH; etiam dupla ipsius AB sed ipsius AB dupla est F. ex descriptione . igitur aequales sunt bases G. OF duarum Parabolarum . Rursus quia parallela est M. Cor. -- in sic E. erunt trian aula CED. IH D. similia:quare ut C E. ad ED. ita I H. adHD aquales autem sunt, E. EU 1gItur aequales IH H D scd ipsi H D est aequalis AB. ex hy- pothesi, Vipsi AB rccta OPcin parallelogrammo ABPO. ualc si itur sunt diametri I H. O P. Parabolarum FIG. F. sed&anguli FHI. PO. rcciti sunt, hic ex hypothes, ille quia cum conus iis aequic ruri Scrunt rectae a Vertice C adiuncta D. F. E. G. aequales, in triangulis igitur CFH AEGH habentibus duo lateras H. C. duobus G H. HC.aequalia , hasima C. basi C. aqualem,eruntio definit. an ut FH C. GH C aequales, ideoque recti atque O-3 dςβη dem modo ostendenturi cel DI C. EHC .icet ignia rest ' p 'r latiuili DFEG. Quare etiam reinim est planum
CDE plano GDFE igitur phinum GDFE ipsi plano
CDF icctum est; cum igitur iecta FH. Liciat angulo rectos cum DE .c A. in puncto H. insistet plano DCE ad afin D angulos icctos quare sequitur angulum PHI. esse rectum. Denique si fiat ut quadratum D E ad c tangulum C E. M 3 C0nis inca I erit KI. Luiis icctum, quale ipsi ἰC- nam in triangulo aequi rure C E quadratum E rectangulo DCE. aequalaesto id est ipsi ID. id est pii H. ad
355쪽
id est ipsi ABapsi autem AB. est etiam aequale atus rectum PV. Parabolae F nam si fiat ut PO. ad BA. ita BA. ad aliam OV erit tertia illa V latus rectum Parabolae QOF. sed aequales sunt BA PO. Igitur aequales sunt OV. PO. id est BA. aequalia igitur sunt latera recta V. KL E quibus per impositionem facile colligitur identitas Parabolarum FIG. Q F. Nam recta Po rectae aequali HL
congruet, item angulus ad H. angulo ad P. recta QF. recitae aequali FG.&angulus rectus P OV recto HIΚ d OV aequali IK. Quare curua OF curuae FIG. congruet. Si enim non dicantur congruere fici abducti ad absurdum eodem prorsus modo quo 6. huius. Congruent igitur ergo eadem erit figura OF ipsi FIG. Qu9d erat
THEOREM A XXVIII PROPOS. XXVIII SI motui ad chordas Parabola aequi distanter proportionali Conico id es secundum describatur illud erit Hyperbola.
Sint duae parallela: AO BP inter quas descripta sit Parabola CAD.4 motu ad ipsistis chordas aequi distanter proportionali, iuXta modum traditum definitione 6. huius descriptum sit Conicoides secundum OG. Dico illud csse Hyperbolam Parabolae diametersit AB Conico id isPO utraque primo perpendicularis ad AO. BP. Prodia dia autem P O in R. accipiatur illi aequalis R. Mipsi R. sit perpendicularis aequalis OX: applicata ora inatim L LM H producantur,dum Parabolae diametrum secent in L. V. ipsius lineam curuamini. F. ducantur chordae
AE AF AD quae primo ponantur aequales ipsis L L H. PG. Q u niam O. ponitura qualis ipsi P. MOP. aequa lis est ipsi AB. erit RO. aequalis ipsi AB. scd aequales stinio L. AN. rectangula igitur ROL. BAN aequalia sunt sed
356쪽
, Cuiui ac recti proportio promota.
Cp a i ps sex, Actulo BAN aequale est quadratum E. Igitur γ
AE est aequale ouadratis AN NE . quadrato AE. est quale LI. cum AE LI positae sint aequa las ergo qt ad rarum LI. cst aequale rectangulo ROL.&quadrato AN. id est OL. scd rcctangulo ROL.&quadrato OL aequale strectangulum RLO igitur quadratum LI est aequale rectan illo I LO. Eodemque modo ostendemus quadratum M H si ea quale cctangulo RMO. xt guur celanguium RLO. ad cet angultun RMO . ita quadratum I. ad qua dratum H Cumque aequalia sint rcctangulum I LO.&quadratum LI Maequales etiam positae RO OX patet 1 se virectangulum LO. ad quadratum LI stat O. ad OX. Quae proprietates etiam in Hyperbola dcmonstratae funi lib. I. Conic. prop. 21. Vocetur aulcm RO transuersum figurae latus MOX rectum. Hinc eo dcm prorsusnaodo quo ultima parte 7. huius, demonstrabumis Conicoidcs secundum csse Hyperbolam Constat enim ex 33.
357쪽
3. I. Conic posse inueniri Hyperbolam cuius latus ctum X transuersum R. diameter P. Ducta vero qualibet PG a sectione ad diametrum in angulo GPO siit ut RO ad OX. ita rectangulum RPO ad quadratum PG.
Congruent rectae OP Hyperbolae inuentae& P. Conico udis secundi,cum sint aequales item recta PG. Hyperbolae PG. Conicoidis,e quod sint aequales,&anguli ad P. a quales, ob eandem rationem congruent X. Hyperbolae&Conico idis,&RO. utriusque figura . Ergo vel figura totae congruent ici minime. Ponantur primurn non congruere, ac ubi deficiunt applicetur ordinatim IV. quae secet Conicol desines Hyperbolam in Y. Quoniam in utraque figui a X. est recta iuxta quam possunt ordinatim applicatae, RO. latus transuersum erit ex paulo ante demonstratis, ut RO ad OX. ita rectangulum I LO. ad quadratum LI.&i RO .ad OX. ita rectangulum RLO. o Coni- ad quadratum LY. aequalia igitur sunt quadrata LLLY.pars&totum quod est absurdum Congruent igitur Hyperbola ac Conicoides secundum: ergo in unam figuram . con incident quare Onicoides secundum rectum citiculo aequi chorde, est Hyperbola. Sed Conico id es secundum sit non QOG sed TZΚ. Langulus J XL. quicumque, ac rectae Sq. 7. Z. cum re-ciis L L H. PG. continuatae, ipsis AE AF AD. id est LL H PG proportionales. Dico etiam TZΚ esse Hyperbolam . Cum enim parallelae sint T. PΚ. propor Ieinna. I.h. tionales L. LM. P. ipsis I S. D. DK. item proportionales LL H PG ipsis q. T. Z erit figura TZΚ ad Hyperbolam OG analoga,ac motu a qui distanter ad defin. s.hu-
Hyperbolam proportionali procreata igitur & ipsa Hy-
perbola. Quare Conicoides secundum est Hyperbola. u,.' ' Quod demonstrare oportuit et Voce/uri perbo conchor. 7 huius, diam prima
358쪽
i Cumi ae recti proportio promota. COROLLARIUM .
perbolas quae motu ad chordas parabola coniunctas ae- qmdictanter proportionali producuntur si analogas ; de que omnes assectione H perbolarum analogarum istis con
COROLLARIUM II. MAnissum item ess diameteri perboia sinit peri
pendicalaris ad extremas parallaia , ct reris LI. AH PG ipsis AE AF AD aequales, rectangula LO EMO.RPO quadratis I. MV. PG. nguia sngulis esse aequabet Hoc enim in propoptione probatum est.
DE nique, quod etiam de Parabola in s. haras anno a. tum est , sin ordinatim applicatas Paraboia produe fas expuncris in quibus diametrum scant chordae Parabo-ti, vel chordis proportionales transuerantur per earum cxtrema transeuntem curuam si Hyperbolam.
THEOREM A XXIX. PROPOS. XXIX. H pcrbol ptima, xc tangilla , ac Parabo bo L aequichordis est lecti coni aequi c
ruris ectangilli, cuius latus est aequale compositae x sinu recto riccante anguli semi- recti in circulo, in quo diameter clHatusconia qui lateri cum sectione fit Parabola, ac semidianacter diametro ipsius Hyperbolae aequalis, ita ut
359쪽
dicta sectio transeat per lineam aequi distantea rectae duci a a vertice ad centrum basis abscindentem ex latere coni ad verticem tertia ipsius lateris partem.
Sit inter duas parallelas BF AG parabola congenea ABC cuius diameter ad parallelas recta BD. Item con- genearum prima Hyperbola EFG cuius diameter FH ad parallelas itidem recta, ikin qualibet linea recta sumatur IK. dupla ipsius BD aut FH super qua erigatur triangulum equi laterum , circa quod vertice L. basi IK axe LM. perpendiculari ad basim intelligatur descriptus conus equi laterus, in quo sectio transiens per verticem diam trum basis sit idcin triangulum aequilaterum LIX. cuius latus LX diuidatur bifariam in . connectatur M. punctum autem M.druid basim IK bifariam manife-schol.in s. stum I.
360쪽
Curui ac re 1 proportio promota
ficie coni parabola ABC Duc tumpsi I in
secans axem seu perpendicularem LM in I. O. accentro N. describatur circulus OMUL 'vi'
transibit per M. K. L. Cum enim diuisa sit bifuram K. in .erunt LN. NK.aequales, cum O. parallela sit ipsi λ αε IK.eritviI K. ad ΚLit L N. ad LO. aequisies autem sunt
sunt,medietates nempe aequalium laterum I K. KI. linc ducatur per centrum S N V. ipsi ON. pei pendicularis,
per V. ad SV perpendicularis P V angens cuculum in V. infinita cui occurrat So. in P secans I R. in recta X No in Ouoniam parallelae sunt ON. IK estque rectus a gulus ad M. ex hypothesi etiam rectus erit angulus ad T. Ideoque diuiditur bifariam M. in T. Ad haeccina an oulus ONS sit rectus ex hypothesi, latera O. b. aequalia erunt anguli NOS. SO semirecti. Item cum triano ut OTX. N TX. habeant circa angulos cetos ad T. latera O T. TX. lateribus T. X. aequalia,crunt bases OX.NX. aequales&angilli TOX. TN aequales ac semi- reciti, ideoq; OXT. NXT. semirceii, angulus igitur OX N. rectus est. Sed cum eidem ON. ei pendiculares sint LT. SN paralelliae sunt LR SV quare cum angultis ad V. 1 cetus sit, rectus est etiam angulus XRP. R ed angu i ad X. ostensi sunt semitecti igitur sunt scini recti anguli ad PQ Iso sceles cieto et triangulum P in cuius latus XQ. componiture reo. XN. quae est sinus anguli semir ct NUN. se recta N Sua est secans anguli sciniiceti N nain semirectus sit XNS etia in angulus ad veiticem VN est semit cetus,cui his tangens sccans N aia ipsa, N. est tertia pars tot: us prodiicia cni in NX.duni tangenti scali recti , L. Occurrat in L.erit Z secans emi recti,ac tam angulus SN L. quam LN in triangulo b L. cmucci ideoque aequales S. S Z. seco recti Iunt anguli N, L. NXS. vi igitur NS. aequalis ad aqualem