장음표시 사용
341쪽
minus magnitudinc Z ostensum a uicti est maius, quod
est absurdum a non igitur minor est magnitudo Z. ellipsi KLMN. Quo vero modo iobauimus non posse esse ut FL ad OQ ta circulum ABCD ad magnitudinem mino-fem ellipsi KLMN. ita ostendemus non posse csse ut O ad L ita ellipsin LMN ad magnitudinem circulo
AD CD minorem,ut euidentcr constat.
Sit deinde magnitudo L. maior ellipsi LMN. Cunia ergo ponatur circulus ABCD ad Z esse ut BD ad LN e rit: conuertendo: ad circulum ABCD ut LN ad BD. ponatur ut L. ad circulum ABCD. ita ellipsis KLMN ad magnitudinem aliquam 3. erit permutando via ad Ellipsin KLMN. ita circulus ABCD ad magnitudinem 3 sed Z ponitur maior quam ellipsis KLMN.crgo maior est circulus ABCD magnitudine 3. Quare erit ut LN ad BD. ita ilisis KL MN ad magnitudinem 3. minorem circulo ABCD odest absurdum,&contra id quod in fine primae partis huius probatum, est. Ergo circuli atque elli pse analogae c. Quod erat demonstrandum. Idem sequetur si ter aequaliter distantes diametros circulus atque ellipfis; Parabolae item atque Hyperbolae analogae describantur.
HIn eonPat circulos atque ellipses analogas inter ea dem parallelas motu quid ante proportionali deseripias esse ut secundas diametros nam secundae diametriectam sunt paralleia proportionales
342쪽
ι, Curui ac re sti proforti opromota. THEOREM A XXI. PROPOS. XXI.
CIrculusi ellipssanaloga Parabolae item
aut Hyperbolae analogae interdiuersas parallelas motu aequi distanter,&aequaliter proportionali deseripta sunt inter se ut altitu
dines. Interdiuersas parallelas descripta simi figurae analogae, circulus quidem Mellipsic Parabolae item Hyperbolae AC. ΚM motu aequid istanter aequaliter proportionali ita rectae FV. I. parallelis proportionalibus S. SQ int. equales,&BE. ED. ipsis Ll .RN. atque ita deinceps Dico esse ut altitudinem figura AC ad altitudinem figurae ΚM. ita figuram AC ad figuram K M. Si enim non ita sit; ut altitudo figura AC ad altitudinem figurae X M. ita fiat figura AC ad aliquam aliam magniti: dinem quae sita. quae vel minor erit, vel maior figura ΚM. si eniti esset qualis haberet figura AC ad figuram M. eandem pio- portionem, atque ideo es et figura AC ad analogam Κ M. ut altitudo ipsius AC ad altitudinem ipsius M. quod non conceditur. Sit ergo primum magnitudo Z. minor quam figura analoga ΚM. cui inscribatur, siue est ipsis sit: te Parabola siue Hyperbola figura multorum an alii
lorum,&numero paritim qua maior sit ma nitudine . quae poniturna inest quam figura analoga M. Emae
AC inscii b.itur polygonum iniit iter ei quod in figura K M. quod fit AFB ICH DI secundum desin. 7. Illius,cO- demptor stis modo quo in i . huius. cunda a et i iu 'in sc luetur abductione ad absurdum csse C. ιρ. - l. figuras inters ut altitudincs. Nam quia est ut alti- it ltitudincm ipsius I M. ita polygonum
343쪽
alti itido ad altitudinem, ita ponitur figura AC ad magnitudinem Z erit ut polygonum ApGBCH DL ad polygonum EO LXMPNinita figura AC ad magnitudine Z.4pori nutando ut polygonum AFBGCH Di ad figuram . AC ita polygonum KO LXMPN id magnitudinem Z. sed polygonum AFBGCUL L est minus figura AG Igi tur&polygonum KO LXMPNinest minus magnitudine
Z. ostensum autem&maius. Duadest absurdinia. Hinc codem prorsus modo quo in secunda parteir edentis, in a. numero duodecimi, Ostendemus magnitudinem'.
non posse,sse maior in sigi rari M. Igitur illi aequalis erit. Vt igitur altitudo figura AC ad altitudinem figurara M. ita figura AC ad L. aequale ipsi K M.nempe id ipsam KM. Qui ferat demonstrandum.
OM V Ellipses Parabolar, Hyperbolae ana
loga quae motu ad datum circulum aut Parabolam aut Hyperbolamis a quidi si anter, aequaliter proportionali inter easdem parallelas descriptae sunt, tum figurae data tum inter se sunt aequales sitem quarum parallelae ii ne proportionales ad parallelas datae figurae
eandem habent rationem, inter se sunt aequales. Inter duas parallelas AK. M. descriptus sit circuIus, aut Parabola, aut Hyperbola ARCE cuius diameter ad parallelas recta sit A C. motu aut aequaliter ac arquidi stanter proportionali describantur quotlibet ellipses aut Parabolae, aut Hyperbolae analogae V NM. ita nimirum ut omnes parallelae proportionales circuli parallelis ell1psium sint aequales,ut ipsis B. BC. in circulo ipsis TH. HL in ellipsi: item RD DE. ipsis L. LM.atque ita deinceps:
344쪽
3 1 s Curui ac recti proportio promota.
aut certe secundae diametri ellipsium M. M. habeant eandem rationem ad diametrum circuli RE.vel AC. atque eodem modo in Parabolis&Hyperbolis. Dico in primo
calia ellipses N. tum inter se tum circulo sic aequales; in secundo easdem ellipses esse inter se aequales: atque eadem ratione Parabolas aut Hyperbolas ΚN. analogas tum inter se tum datae AC esse aequales; in secundo easdem inter secue aequales. Nam cum in primo casu parallela Dro- . su u, 'μφ η'i TI ux VM in ellipsi, paralles is Q . aut RE. circulis mi aequalcs, sint autem circuli ellipses analo aer. pronune illiQr easdem parallelas Vt parallela proportionales in a nifestum est circulum AC cuiuis ellipsium, ipsasque inter se cile aequales. Quod si earumdem ellipsi una parallela proportionales M. ad parallelam I C. andem habeant rationem, erunt aequales inter se cum autem sint ipsae ad circulum ut parallelae proportionales ad parallelas circuli mani tessum est ipsas ad circulum eandem liabere ratio
345쪽
ELlipsis dato circulo analoga inter diuersas
parallelas descripta eam dcirculum rationem habet, quam secund, diameter ellipsis ad recham quae altitudini ellipsis, altitudini seu diametro circuli sit tertio loco proportionalis.
Sit ellipsis KN dato circulo YZ. analoga sed interdiuersas parallelas constituta sitque secunda diameter ellipsis V M. eiusque altitudo perpendicularis A C. altitudo seu diameter circuli dati L. fiatque ut AC ad YZ ita YZ ad aliam rectamquampiamin. Dico esse ut M. ad E. ita ellipsin N adci culum YZ sit eodem motu equid istanter proportionali quo ellipsis, N. descripta
est, descriptus etiam circulus AC erit ut diameter M. ad diametrum AC ita ellipsis KN ad circulum AC. vi quadratum diametri AC ad quadratum diametri YZ ita circulus AC ad circulum Z ut autem quadratum diametri A C. ad quadratum diametriYZ. ita diameter A C. ad tertiam proportionalem E. Quare cum sit ut diameterVM ad diametrum AC ita ellipsis KN ad circulum AC. ut AC ad E. ita circulus AC ad circulum YZ erit ex a quali ut diameter V M. ad rectam E. ita ellipsis KN.asci culum YZ Qu9d crat demonstrandum.
346쪽
,s, uiui ac recti proportio promota. THEOREM A XXIV. PROPOS. XXIV. Irculi atque ellipses inaequales, item Parabolae, atque Hyperbo hae analogae inter diuersas parallelas descriptae habent ratio
nem compositam ex ratione altitudinum,in ratione parallelarum proportionalium.
Sint circulus atqtie ellipsi ADG. ORV. vel duae Paraiabolae ADC. ORV. vel duae Hypei bolae ADG. O. V. 1naequales, ADG. maior,minor ORV. sed analogae,&ductae.ssint in figura ADG. parallelae BE. CF. DG proportiona-las parallelis PS. T. RV. I sint altitudine AX. ΟΥ.qtuae&diametii secan Ates parallelas proportionales. Dico rationem figurae OK V. adfiguram ADG. esse compositam exra tione OY. ad AX.&ratione RV. ad DG. Sumantur circa X rectae L. I M.AEN.
quales ipsi PS. QT. RV. Erit AKN sigura analoga ipsi XV ut ex demonstratis superioribus propositionibus constat; quare ut A altitudo ad altitudinem V ita figura ADG ad figuram O RV .ut constat ex at huius, ii N. id est RV ad DG. ita figura AKN ad figuram ADG ut probatuna est et o huius.ENgo cum sit ut figura ORV. adiguram AKN. ita OΥ. ad
347쪽
erit ratio ORI ad ADG. composta ex rationibus OY. ad A X. KN. id est RV. ad DG QEod erat demonstrandum.
H Actenus egimus de figuris quae motu ita fiant, vi earum iametri in easdem rationes dividantur is que diametri chordas paral las etiam proportionaliter di dant. Nunc transeundum ad illas quas de nitione sexta huius δε- scripsimus in quibus horde unius figurae circa alterum extremum diametri circumnotat. in peripheriam figurae Ierminatae , chordis alterius Aurae motu parallelo delatis ac per prioris peripheriae Ancta ranseuntibκ sunt proponio.. nales
THEOREM A XXV. PROPOS. XXV. SI motu ad chordas circuli conitinctas atqui distanter proportionali Conicoides prmaum describatur illud est Parabola.
Sit Conico id es primum F. inter duas paralle ita
AO. BF. descriptum cuius vertex . iam ter P. Oidinatim applicatae LI. H. ipsi BF parallelae Dico Coni- coides Q. F. cfle Parabolam. Sit primum OP diameter adeYtremias parallelas perpendicularis,&intra duas parallelas AO BF descriptus sit circa diametrum AB. ad ex tremas AO BF orthogoniam circulus ADB. productae IL HM sccent periplici iam circuli in E. D. diametrum in T. R. connectantur AE AD. item BE BD erunt eaed sinitione 6. huius, rectae LI. M H rectis AE. AD propo tionales; sint autem primum aequaleS: erat ut quadratu in H ad quadratum L L ita quadratum AD ad quadratum AE sed quadrato AD aequale est cistanguluin
348쪽
, mi ae recti proportio promora.
BAR. quadrato AE. rectangulum B AT nam in trian
sulis rectangulis BDA BE A ad D. Q in quibus ad b
ses demis, sunt perpendiculares DR .ET. ex hypothesi, est ut BA. ad AD. ita AD. ad A R. vii A. ad AE. ita: AE ad AT ideoque quadrata AD. AE. rectangulis BAR. ii BAT. aequalia sunt igitur ut quadratum H ad quadratum L ita rectangulum BAR. ad rectangulum BAT. Lemm sed rectangula BAR BAT. rectangulis POM POL simi-hyψμβ lia sunt Nam ut BA. ad A R. ita PO. ad O M.&v BA. miliait. i. ad AT ita PO. ad L. similia igitur sunt rectangula BAR. POM.&PAT. POL estque ut BA. prima ad PO. se , , s. cundam, ita BA tertia ad PO. quartam,crit, rectangulum BAR. ad rectangulum P O M. ita rectangulum BAT. ad rectangulum POL. permutando, Vt rectangulum aBAR. ad rectangulum BAT. ita rectangulum P O M. ad rectangulum POL. sed rectangulum BAR. ad rectangulima BAT. paulo ante ostensum est esse ut quadratum H ad i. s. quadratum LI igitur erit ut rectangulum O M. ad Getangulum POL. ita quadratum H ad quadratum L, ό sedit rectangulum POM. ad rectangulum POL ita so- sita communi altitudine PO. O. ad Lo igitur quadratum H ad quadratum L L est ut O ad LO. Lim vero fiat ut PO diameter Conicoidis primi ad BA. diametrum circuli, ita diameter circuli ad tertiam V. qiuae ipsi PO. in vertice O. aptetur ad angulos rectos, sit A X arqu..tis ι ipsi AB quoniam cstit PO ad AB. ita AB. ad OV .eriir et angulum P OV. quadrato BA aequale. Rursus quoniam
349쪽
proportionaliter diu ita sunt B Po in punctis T. L. Grunt rectangula XAT. id est BAT &VOL aequalia, re I Lctangulo autem BAT aequale est quadratum AE ut supra ostensum est,& quadrato AE quadratum L L cum a qua definit. 6.les sint , eide scri prione, AE. I. Igitur rectangulum VOL quadrato LL aequale est-Iuam vero constate 32. I. Conici posse inueniri Para C''isholam cuiusdiametersit data P vertera punctum O terminus ipsius OP. Ducta vero quaelibet ut P. seetion ad diametrum in angulo recto QPO possit rectangulam POV sub diametro PO. recta illi perpendiculari OV.
quae ei it latus rectum ex II. I. Conicorum. Inuenta iam II λα'ni
sit, imponatur Parabola Conicoidi primo congruentPO Conicoidi PO. Parabolae cum aequales positae sint: diem QP. utriusque figurae, cum tam recta QP. quam anguli QPO.ponantur equales denique eandem ob causam conueniciat V. in utraque figura. Igitur aut congruet toti Conicoidi Parabola aut minime. Ponatur primumaton congruere,&ibi deficiunt applicetur ordinatim LlΥ. quae secet Conicoidis lineam curuam in puncto I. Parab
Jae vero in .Qdoniam ultraque figura OV .est recta iuxta quam possunt ordinatim applicatae paulo ant osteusum est, rectangulum LOV. aequale est quadrato LI.&rectangulum LOV. aequale est quadrato LY aequalia di sunt quadrata I LLY pars&totum: Quod est absurdum: Congruent igitur Conicoides primum Parabola ergo aequalia sunt,&in unam figuram coincidunt. Sed Conicoides primum sit non QOF sed CNY cingulus CYN.quicumq; recitae O. KS NY.cum rectis L L H. PF continuatae ipsis AE. AD AB id est LI. M H. PF proportionalas. Dico etiam CNT esse Parabolam. Cum eni in parallelae sint C QΥ.&proportionales L. Iem. 1.LM MP. ipsis CO OS. Υ. item proportionales LI. M H.
QOF. analoga,ac motu atquidistanter ad Parabolam pro defia. i.
350쪽
Curui ac recti proportio pro mota.
hVix portionali procreata gitur&ipsa est Parabola. Quare Conicoides primum est Parabola. used demonstraro
oportuit. Vocetur autem Parabola.
COROLLARIUM LEX distis manifectum est, diameter Parabola Ps.sit e
pendictitar s ad rectas Ao. F. se rectae LI. H. F. chorda AE AD.AB aequales, re uniam POL esse aequalet 3 . . quadrato LI se rectaneulum POM.qnadrato H. Cum enim aequales in PO EA. 3 OL AP .ernni recrangula POL BAT. aequaliaba rectangulum BAT quadrato F quadratum AE quadrato I aequale es aequalia igitur sunt rectangulum POL. est quadratarm LI. atque eandem ob causam aequalia seni rectangulum POM. or quadratum ME,
Perte etiam deducitur immo cum propos tione conuenit quod siquitur: si in sinus arcuum circuli pro δε- ectos ex sectis in quibus diametrum sicant chorda eorumdem arcus dici vel chor is proportiona stransferantur per earum extrema transiens linea curua Parabolla es. V insigura prima definitionisi huius is micirculus ACB. cetur in quotlibet arcus AD AE AC AB quos Dbtendunt chordae E. AD C. s. sinus L. DM. CN. G tangens in B in quibu pro LII accipiantur LI. H. NG. SF. ibis AE. AD. AC. As proportIonales, cur a linea AIHGF per extrema illaru n lineartim transsens eu Parabola: hoc enim g m sub alio lituo in propesitione demonBratum est.
Onstar erim ex Itima parte propositionis, omnes Phrabolas quae mos ad chordas circuti coniunctas pro-