장음표시 사용
361쪽
S Z. ita X. a ualis ad otialem X quare X cst ira cietas secantas semirecti Z id est, ac proinde tertia
pars totius in Iam velocirca verticein X axem R. rculumque cuius diameter PQGVci tam triano ulum X P efformabitur Conus PXQ aequi cruris rectangu Conielus, cuius latus X Ucompositum ex sinu recto N. se cante N anguli semirost in circulo S OV ac diameter circuli est LΚ. latus coni aequilateri L IK cuius sinion GNM. fit Parabola congenea Sit autem idem triangulum X P triangulun i per axem, ac per diametrum basis,&1ecetur conus secundum rectam V qua producta productae I X. occurrat in S. Manifestum est sectionem tran-11.3xon seuntem per V esse Hyperbolam, nam sectionis iam te V N producta cum latere triangulisX conuenit in .eYtra verticem, qua semidiametro circulario V. csta qua lis,&abscindit ex latere inversus verticem rectan XN quae est tertia pars latet is Q Dico Hyperbolai cuius diameter NV. csse eandem Hyperbolae FG. Fiate Dina vi quadratum L R. ad rectangulum QRI .ita SN ad aliam lineam NΥ.cii NY. latus rectiim SN transuersum, sed quadratum L R. rectangulo QR P est aequale ostensae enim sunt aequales QR RL. R L. RP. igitur latus transuersum, N. est aequale recto Y. utrumque diametro NU. sed diameter NV. est aequalis diametro Para-t s. definis
bolae M. id est ipsi BD ex hypo laesi BD diametro Hyperbolae FH. Igitur Hyperbolae Et G. habent aequalem diametrum, sed in Hypei bola EFG latus re istum , item transuersum sunt aequalia diametro FH. ergo i huiu, latus transuersum rectum Hyperbolae EFG. sunt aequa ''μ'lia lateri recto transuerso Hyperbolae quae transit per N, sed iec tangula ponitur utraque Hyperbola; Cum ergo Hyperbolae EFG.' quae per V habeanr aequalem
diametrum, aequale latus rectum, aequale transuersuit , aequalesque angulos ciliciant ordinatim applicata ad diametrum nimirum rectoSi Constat euidenterc. 3. I. o. X nic
362쪽
3 Curui ac recti proportio promota.
nicorum, ex impositione; illa Hyperbolas sibi congruere ideoque unam,& eandem esse Hyperbolam. Quod fuerat demonstrandum
COROLLARIUM.HIη verte ρEgitur si conus V eles rectangulus
quilibet plano per tertiam lateris partem versus ver-licem, axi parallelo secetur Ictionem esse H perbolam, congenearum pr/mi similem. Vis conus I celeti rectangulus ad . umpta N. tertia lateris pari secetur Fiano per NV. parallelo axi R. stario MNO. erit Hyperboli mili H exboia EI G. Nam cum omnia in utraqA milia Zmoυrentar, ex dictis erreni ipse inter sis milci,
THEOREM A XXX. PROPOS. XXX. rei a linea extra circuIum ita moueatur, ut altero extremo diametrum productat
363쪽
sece altero tangat: per puncta ubi ea iam trum secat, recta ad diametrum perpendicularis continuo mori eatur tangenti aequalis linea ex tremitate dicta perpendicularis descripta erit Ib- perbola conchordium prima. .
Sit circulus ACO cuius diameterio perpendicularis ad parallelas tangentes LM ON quae producatur extra peripheriam,&moueatur tangens quaelibet a puncto L.
circulum tangat in da inc diametrum secet in . . circulum tangat in R. T. c. per puneta A. H. S., ii earilr continuo perpendicularis ad diametrum tangentatibus aequalis,nempe AI. sit aequalis A ΗΚ ipsi HR.& SV ipsi ST. kZB. ipsi ZP. Dico lineam curvam L IKV. esse hyperbolam congenearum primam. Si descripta circa L O Hyperbola prima cuius diameter LO. eadem lita circuli in qua sumantur rectar I F. LG. LX.LO. ipsi LA L H. I S. I Z. aequales, happlicentur ordinatim FD. GE XY erit rectangulum ZFL aequale quadrato D.
364쪽
34s Curui ac recti proportio promota.
Υ. atq:e ita deinceps Rcctangulo auteni ZI L. aequale, est rcctangulum A L. aequales ninas inuntur L. ZL. item LF A quare aequales A. ZF. λ rcctangulo ZGL. rectangulum GHI rectangulo XL. rectan- ' huius gulum OS L.&c. sed&rectangulo ZFL. aequale est qua dratum D. rectangulo ZGL quadratum G E. rectangulo XS quadratum ΣΥ. c. Item rectangulo S si AL csta quale quadratum A Q. ec tangulo OH L. quadratum H R. reet ingulo Ob L quadratum AT pis au tem quadratis AQUAR AT aequalia sunt qua diata ALΗΚ. SV nam lineae ALHK. SV ipsis Q I R. Ad. a pronunc possitae sunt aequales Igitur a pii mo ad Itimum quadrata D. E. XY quadrati AI HK. V. c. sunt aequalia,ac proinde aequales FD. E. XY ipsis AI HK. SV sed .aequales diametri L. Z. aequales P. FG. X. ipsiis L A. H. S., reeti anguli ad O. N L. Igitur c 33. I. Conicorum ex dictis supelloribus p opositionibus, s ac ii huius ite si ibi imponantur duae curuar DN. LIV. congrucnt inter se, id coque cum ADN. siit congcnearum prima erit JΚV con- chordium prima 49d erat demonstrandum.
THEOREM A XX XL PROPOS. XXXI Conico ides tertium rectangulum,ac primarHyperbolae quic horde est Hyperbola,
cuius latus rectum est aequale lateri recto prima Hyperbolae transuersum recti dimidium.
Inter duas parallelas X. M. descriptus sit circuluS ASV circa diametrum AV perpendicularc ad parallelas circa eandem diametrum Conicoides priuriinia, AFH. Conico id essecundum AK M. Conico idestertium
AYZ. Divisaque A V. vel bi gratia , in quotlibeto qua libet
365쪽
libet partes in punctis B. C. D. ducantur ordinatim applicata BY. CL. DO &c. secantes Conicol dea ordine in punctis B. R. E. I. . item C. S. F. K. Z. in punctis . . . L. O. c. a puncto A. ducantur ad puncta sectionum chorda AR. AE. AI. AY atque ita avertice A. ad reliqua puncta intclligantur chordae, quibus aequales erunt in ordinatim applicatis rectae E. I. BY nemperceta E. hordae AR. recta BI. chordae AE.& recta BY.cho da ΑΙ atque ita in reliquis, recta CF.cho dae AS. cista CK chordae AF.&recta CZ. chordae AK. c. v concta ex definitionibus huius , ac descriptione dictarum Durarum. Hinc in A. producta, in perpendiculari A X sumantur AN Ac ipsi A. aequales, ipsiusque AN. dimidia pars A a. Dico Conicoid c tertium esse Hyperbola, cuius latus cistum A transuersum a.
366쪽
so Cumi ac recti proportio promota
Qu9mam aequales sunt VA. AB. rectis A. AB erit res stangulum V AB aequale rectangulo NAB sed rectangu-C0x0' OVAB. est aequale quadratum AR id est BE ex bypO- 'i' μ' ' hesi git irrectangulo NAB. est aequale quadratum BE-47. quadratum autem BE cum quadrato BA .est aequale quadrato AE. id est y I. igitur rectangulum AB cum qua-diat AB. id est rectangulum NBA. est aequale quadrato BL sumatur N6. aequasi ipsi AB quoniam quadratum LI cum quadrato AB. est aequale quadrato A I. id est BY.ex description erit rectangulum B A. cum quadrato AB id est 6 nempe rectangulum 6BA aequale quadrato BY cum igitur diuisa sit bifari im A. in puncto 2.
utrinque addita sint aeques es AB. N 6. ideoque sit viri A. Lemm ad AB. ita a N. ad N 6. erit virectangulum B A. id est 3 Riμβ quadratum BY. ad rectangulum et B A. ita NA. id est A. latus rectum ad Aa transuersum. Eodem modo quoniam
aequalcs sunt A. AC rectis A. AC erit rei tangulum Coroll. i. 13. AC aequale rectangulo NAC. sed celangulo VAC. esti Vi aequale quadratum AS id est CF ex hypothesi igitur rectangulo AC cst aequale quadratum CF quadratum autem CF. cum quadrato AC est aequale quadrato A F. id est CK. igitur rectangulum NAC cum quadrato A C. id est rectangulum C A est aequale quadrato Κ sumatur N7. aequalis ipsi AC quoniam quadratum K cum quadrato A C. est aequale quadrato AK. id est CZ. ex descriptione erit rcetangulum NC A. cum quadrato A id cst N7. nempe rectangulum 7CA aequale quadrato CZ.
Cum igitur diuisa sit bifariam A. in puncto a. 4trinque additae sint aequalcs AC. 7. ideoque sit ut et A. ad rem. 3. C. ita a N. ad 7. erit virectangulum 7CA. id est qua- huius dratum CZ adicetangulum et C A. ita A. id est A ad Aa Eadem demonstrandi via probabimus esse ut A. ad Ar ita quadratum O. ad rectangulum aDA. Igitur cum sit ut QA ad A a. ita quacratum BY adrect ansulum
2BA.&vt QA. ad Ar . ita quadratum CZ ad reci angulum
367쪽
ium 2CA. erit ut quadratum BY ad rectanguluin a BA.iua quadratum CZ. ad rectangulum ac A. permutando, ut quadratum BY.ad quadratum CZ.1ta rectanguli maBA. ad celangulum et CA eodemque 'do ostendemus esse ut quadratum DO. ad quadra um CZ aut BY.ata rectangulum a DA ad rectang rium et CA aut a BA. Quare cum hae sint proprietates Hyperbolaec et r. primi Conicorum, manifestum ei ex dictis in propositionibus1 .s 8 huius Hyperbolam rectangulam cuius latus rectum A ransuersum AZ diameter V congruere cum Conicoide AZP. ideoque Conicoides tertium csse Hypembolam,cuius latus rectum A. transuersum AZ Quod
THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXII. Onicoides quartum rectangulum,&secunda Hyperbola aequi chorde est Hypeiho
la: cuius latus rectum est aequale lateri recto prima Hyperbolae, transuersum est lecti tertia parS. Sint omnia quae superiori propc sitione, A sit quartum Conicoides A . bfordine descriptum com ido quo inici finitione,ac superiori propositione dictum est : Redis amtem A. accipiatur tertia pals 3. Dico Conicoides quartum Ain. cssc Hyperbolana,cuius latus rectum A transuersum AJ Suintantur ipsi NO. id est AB aequalisi . Nam ut constat ex superiori propositione, quadrato Briaequale est cc angulum 6BA. Quadratum autem AY id est Ba est aequali quadratis ΒΥ AB igitur quadratum Ba est aequalc rectangulo 6BA.4 quadrato AB quadrato autem OBA.&quadrato AB aequale est rectangulum BA cum aequales sumpti sint No. 67. AB. erunt TA. G.
368쪽
3s, Curui ac recti proportio promota.
6B. aequalet rectangulum AB rcctangulo 6BA. aequa
drato AB. aequale Quare cum aequales sint AB N6. 67. erit AB. aggregati magnitudinum AB. 6. 67. tertia a pars: sed etiam A 3 est tertia pars ipsusAN. v igitur AB. 6. 6 . ad AB. ita AN ad As. diuidendo th7. ad AB. ita 3. ad 3. Igitur per Lemma 3. huius, erit virectangulum BA. id est quadratum Ba. illi aequale aα rectangulum 3BA. ita NA. id est A latus ec tum ad
transuersum A3. Eodem prorsus modo quo priori part huius, quo praeecdenti, demonstrabimus este ut quadratum C6.ad rectangulum 3 CA. ita QA .ad A3.Hinc el- se ut Quadratum Ba ad quadratum 6. ita rectangulum 3BA. ad rectangulum 3CA. Quare cum hae sint proprietates Hyperbolae exa I. I. Conicorum constat ex os quae dicta sunt in propositionibus huius Hyperbolam rectangulam cuius latus rectum A ransuerium 3 diameter AV congruere cum Conicoide Abs ideoque Conicoides quartum rectangulum esse Hyperbolam cuius latus rectum Q transuersum A 3. Rupiuerat c. THEO REMA XXXIII. PROPOS. XXXIII.
bus aequichordia primo excepto iunt Hyperbolae quae si ordine accipiantur eorum latera transuersa rationem habent ater se a numeris ab unitate scri naturali progredientibus, seu ab exponentibus denominatam.
Sit A V. diameter communis omnium conoideum congelacorum A. et teHAN. tus transtici Iulia,cui aequa lis sit perpendicularis A Q Hinc dueta BH. infinita os dinatim
369쪽
dinatim applicata, item recta per punctum E. intelligalia transite conicoides primum, per punctum I. secundum per . tertium per, a. qua itum Imrg. quintum Iper h. sextum, ac sic deinceps Dico haec omnia conicoi- dea primo excepto,esse Hyperbosas, ac latus rectum ad transuersum in prima Hyperbola habere rationcm quam 1 ad i. in secunda duplam , in tertia triolam , in quarta quadruplam, sic in infinitum Mani est uita est Coni cos de primum AE. esse Parabolam, secundum I. cta Primam Hyperbolam congeneam a tertium Ali . si s s cundam Hyperbolam, quartum Aa esse, tertiam Hyperbolam , ac prim. e quid misHyperbolae latus rcctum disse Ain transiicr- sum N quae rationem habent quam I. ad i. secunda latus rectum A quod ad transuersum Aa rationem habet duplam,tcrtiae latus rectum A quod ad rectum A 3. rationem habet triplam viam crocodem modo quo in duabus superioribus probabimus, in X quartum co- nico id es Ag.
rationem quadruplam . euocentur enim in memoriam duae silperiores propositiones, sit A . quarta parsis sius AN praeter partes acceptas 6 67. aequales ipsi AB accipiatur etiam 8 eidem AB aequalis .eadcm omnino ratione qua in duabus sirperioribus probabimus quadratum gB rectangulo BA. esse aequala. Rursiis
370쪽
31 Curui ac recti proportio promota.
N 6. 67 68. quarta pars,eodem penitus modo quo in duabus superioribus demonstrabimus esse ut cectangulumis 8BA. id est quadratum B ad rectangulum BA. ita A. id est QA. ad Aq. Item ut quadratum C ad rectangulum CA. ita A. ad A . ideoque ut tradratum g ad
quadratum Cm ita rectangulumqBA. ad rectangulum 4CA sicque propter eandem causam quam in duabus superioribus attulimus, conoides transiens per AGM esse Hyperbolam quartam. Neque aliter cisicietur Conico id es sextum esse quintam Hyperbolam cuius latus cetum Q habeat ad transuersum rationem quintuplam. Sit enim A . quinta pars totius AN. accipiatur adhuc 89 ipsiis N 6. 7. 8.&ipsi AB aequalis; ostendemus ut supra quadratum Bli. rectangulo 9BA csse aequale Praeterea quia 3 est ipsius AN. quinta pars δ AB ipscuum AB. N 6 67. 78. 89. quinta pars eodem prorsus modo quo in duabus superioribus demonstrabimus csse ut rectans ultimi BA. id est quadratum Bh. ad c tanguli in BA. ita A. id est A. ad A s. ac reliqua ut in i sitia parte huius ideoque Ahia. cfle Hyperbolam quintam, cuius latus rectum A ad rectum AJ habeat proportionem quin triplam . . Atque ita timcnstrabinuis Conico id es septimum csse sextam Hyperbolam, cuius latus A ai ad trani Versium habeat rationem sextuplam ; sicque cinceps in intinitum Q Lire omnia cinoidca congcnea celangula &c.
Eae sinentes et ocamus t , s. quentibus propositionibus numeros quibus ordo Hrpe bourn quae si si mutua atque o Emata generatibne procreant, designatur , ut Fcrdine spo rantur prima, sicun a tertia , quarta dic
perbola earum cxponentes dicentur numer 1. 2.3. q. tqβcita dranceps.