장음표시 사용
391쪽
Si oris heri Q adrantis, ita que latus ere
ctum, punci O in quo cocunt similiter dividantur perpendicularis a termino arcus proportionalis in latus demissa aufert ex latere, Versus eius extremum , partem minor in part proportionali lateris.
Peripheria Quadranti BC cultis centrum A.&latus erectum ΑΒ ex puncto B. ubi coeunt similiter dividantur, adest, sit BC ad BE. ut BA. ad BR&a termino E. arcuS proportionalis BE demissa in latus AB. perpendicularis ED. auferat partem B. Dico DB. esse minorem quam FB. Nam cum DB. sit sinus vel sus arcus BE. maior ei it ratio simis totius AB ad simillim versum DB quam periphem quadrantis BC ad arcum BE. sed vis rapheria hi adrantis BC ad arcum BE. ita ex hypothesi est AB ad BF maior igitur est ratio AB ad BD quam AB ad DF. minor igitur est DB quam FB. Qu9derat demonstrandum.
RAdi Spiralis Quadrantis sunt in ratio .
ne, in qua sunt arcus Eadrantis inter eosdem radios ad periplaeriam productos, &basim eiusdem Qu adrantis compraehensi.
Sit Quadrans ABC. cuius Spirali sAFGB radi Spiral- Iis AF AG. qui producti secent peripheriam Quadrantis in punctis A D. Dasio Quadrantis AC. latus eiusdem ere
392쪽
, Curui ac recti proportio promota.
ctum e diameter Spiralis AB Arcus inter basim C.&puncta E. D. compraehensi sint EC DG Dico esse ut
AF. ad AG. ita arcum C E ad arcum CD. Est enim , ex descriptione, seu definitione ps-ralis, ut AF ad AC. ita arcus CE. ad arcum CB. 4 AG ad AC. ita CD ad CB. conuertendo ut AC ad AG ita CB arcus, ad amcum ad arcum CD. ergo ecae qualitate ut AF ad AG ita arcus CE. ad arcum CD. Q Dd demonstrare
S diametro spiralis in Quadrante parallela
eandem Spiralem contingat secans per punctum contactus ducta ad suum arcum minimam inter omnes secantes proportionem ha
bet. Sit Quadrans ABC cuius Spiralis AsB. ac Spualis diameter AB cui parallela sit recta LI. quae Spiralem tangat in .
puncto, per quod X centro A. Quadiantis ducatur AbN secans arcus P.occum cias tangenti N. ciusdem arcus in parallelae ipsi AB in puncto . Dico secantemAN. ad suum aicum P minorem habere pi oportionem, quam habeat quaelibctalia secans ad suum. Ducantur quaelibet aliae s cantes ultra citraque O A M.quatum illa secet Quadrantem in Q istam R. litarce an LI. quantumlibet pr ductam
393쪽
luctam n I. istam L. secabunt autem, cum ei parali lana CO. secent in M.&O. Villa spiralem in . ista in L. Aierimo moniam recta LI spiralem tangit in F in illo
puncto tanget: Cadent igitur puncta I. L. ideoque partes GI HL extra spiralem. Cumque in ii iangulo OAN.parallelae sint O N. IF. erit ut OA. ad IA . ita NA ad A. ω a. . permutando, OA ad A. vi I A ad FA. maior autem est ratio I A. ad FA.quam GA.ad FA. Igitur maior est ratio LOA. ad A quam GA ad FA ut vero GA ad FA. ita ar x. - .cus QC. ad arcum PC. Igitur OA.ad NA .maior est ratio, quam arcus C. ad arcum PC. permutando secantis OA ad suum arcum C. maior est ratio, quam secantis N A. ad suum arcum PC. Eodemque modo ostendetur , maiorem,sse rationem secantis A ad suum arcum C. quam secantis AN ad suum PC. Idemque sequetur si
qualibet alia secante: ergo secans A. ad suum arcum PC. minimam inter omnes secantes proportionem habct. aoderat ostendendum . Vocentur autem puneta F. P. minima proportionis in Spirali,& in quadrante: secans AN. minimae proportionis.
THEO REMA III. PROPOS. III SEcans minimam ex caeteris secantibus adsci
tam arcum proportionem habens spiralem
in adrantis diuidit in puncto , per u id parallela diametro spiralis seu tangenti in adrantis hieta dici an spiralem contingit. .
Sit Quadrans ABC. in quo secans AN Occurrens tangenti utidi antis Co in puncto, secans Quadrantem in P. Spiralcm Quadrantis in F habeat ad suum arcui PC minimam e caeteris secantibus rationem ac per pun-
394쪽
3 Curtii ac recti proportio promota.
recta FGI spiralem tangit in F Si enim non contingit,s cet in ptinctis F. G. ita ut FGL siit una recta ipsi Co parallela, Hucatur per punctit m G secans AO. Occurens tangenti in o. Quadranti in Quoniam parallela ponitur FGL ipsi CO. erit ut A. ad AG ita A. ad A F. permutando ut OA ad A. ita AG ad AF sed ut AG ad AF ita arcus QC ad arcum PGergo ut OA ad NA cita arcus C. ad arcum ΡC. permutando aequalis erit proportio OA ad suum arcum C. proportioni A ad suum arcum C. Qu9d est absurduna , cum proportis,NA ad arcum PC ponatur minima qualibet proportione alterius secantis ad suum arcum Igitur secans minimam ex caeteris c. Quod erat probandum
THEO REMA IV. PROPOS. IV-Ancrens compIcmenti arcus, ad quem iusdem secans mi nimam habet rationem, est aequalis arctui
Sit Quadrans ABC cuius tar gens CN. secans AN arcus C Lminimam cum eo proportionenia, habens, ac secans spiralem Quadrantis ADB m puncto D sitque arcus, M. complementum arcus M B cuius tangens B L. Dico tan-gcntem L. esse aequatum arcui
MC. Centro A. per punctum D. describatur Qiadrans ΚDAE per idem punctum D ducatur in-
395쪽
M aDF. parallela tangenti N. atqueexpuncto A adducatur perpendicularis AF quae occurret ipsi DF in , ξ ἡ: ε . Denique ducatur DE perpendicularis ad DA. ideoque itangenSarcus DH. Constat rectam AF esse aequalem arta ' si cui DK. Rursus quoniam in Quadrilatcro AEDF angu EDA DA F. sunt recti,paralles sunt DR1A. Sed Scparallelae sunt DREA. utraque imponitur paralicia isei N. Igitur parallelogrammum est AEDF.&oppositata definiriter AF DR aequalia Quare cum AR sit aequalis arcui L
DK. erit E ctia in aequalis arcu DX. Vt autem arcus X D. ad Quadrantem ΚH. ita arcus M. ad diadrantem CB.' permutando, ut arcus K ad arcum C M. ita Quadrans ΚH ad Q iadrantem CR it Quadrans H. ad Quadrantem CB. ita semidiameter D. ad semidua me. trum A M.&ut A D. ad A M. ita DE. ad BL nam cum M. Lel m. a quiangulasiot triangula EDA. LBA; ob mmmunem an gulum ad A.&rectos ad D. B. erit ut A D. ad DE. ita AB. 'ad BL permutando erit a primo ad vitinaum, ut arcns KD ad arcum M ita DE. ad B L. Muci mutando, ut a cus D ad rectam DE. it harcus CM ad cetani BL est autem prυbatus arcus D. aequalis rectae DE. igitur arcus M. 'ualis est tangenti coenplementi L. Quod ciat demonstrandum,
HInc mang. itum es , si probismate aliquo Geometrico
sicans mm ae proportioms repeGaIM , sequi tangentem complement arcus , Has eis scans , se aerualem illi arcui
Angens complementi arcus, ad quem Giusdem secans minimam laabet rationcm,
396쪽
so curui ac recti proporti promota. est aequalis Quadranti circuli a principio lineae spiralis, per punctum ubi secans minimae pro portionis spiralem secat, descripti.
Sint omnia quae superiori propositione. Dico tange tem BL csse aequalem ii adranti H. Quoniam traangula ADE ABL. communem habent angulum ad A. rectos ADE ABL. sunt aequi angula. Igitur ut AD ad AM. ita DE. ad B L. Sed ut AD ad A M. adcit, ad AB. - uRV ita arcus M. ad si adrantem CB. id est arcus D ad ψ NHi si Quadrantem ΚH. Igitur ut recta DE.ad BI .ita arcus ΚD. huiu, id est, recta DE. illi aequalis, ad quadrantem ΚH. aequales igitur sunt BL.rces a tangens arcus BM. Quadrans ΚΗ. 9d erat demonstrandum.
HIn deducitur arcum M. esse aequale hadranti FV. es enim arcus M aequatis tangenti SL qua modosy baia es aequalis adranti Ku.
DE /que patet arcum H .ese minorem arca DK. idest
arcum MB. arcu CM. Nam arcns KD eis aequalis re-
397쪽
S diametro spiralis tam intra Madrant a
descriptae , quam partialis, parallela duca..tur tangens ipsam spiralem a puncto
contactus sinus spiricus ducatur is erit omnium sinuum spiricorum maximus.
Di ametro spiralis AB intra Quadrantem ABC dcscriptae, duc turrecta HG. parallela tangens spiralem in D. ex D dii catti DI tinus spiricus Dico DL csse omni una sinum spiricorum maximum. Ducantur enim quilibet alijsinus FE NO. supra infraue sinum D secantes Spiralem in E. O. tangentem GDH. in K. M. Cum reci amDG. X hypothesi tangat spiralem in D in illo solo puncto tanget Cadet igitur talibu tota GH extra spiralein. Quare chimedis . punctum K crit extra spiralcai: est autem punctum E .in linea spirali, maior igitur est Κ quam E. totum quam pars aQuoniam autem ex descriptione parallelae sunt DΚ. IF ite KF. DI. parallelogrammum est DIFK aequales igitur L desin. sunt KF. DI .sed KF. maior est ostensa quam EF.sgitur DI. maior est quam EF. Eodemque prorsus modo ostendetur DI maior quam No.' quam quilibet alius sinus spiritacus. Atq; eadem Omnino demonstratio succedet,si ABD. ponatur quaelibet parS spiratis,ut euidentissimum est. Igitur si diametro spiralia c. Qu9d erat demonstrandum. THEO
398쪽
3 11 Curui ac recti proportio promota. THEOREM A V.II. PROPOS. VILEcta perpendicularis ad sinum maxi Num, a puncto ubi is spiralem mydrantis aut partialem secat , eandem spiralem,
contingit. Sisinadrans ABC. Sphalis Quadrantis ADB quam licet DI sinus maximus in D. a quoad ipsam D ducatur perpendicularis GDH. Dico quod cista GDH lineam , spiralem tangit in D si enim non
ita sit, secet eam , ac transeat per
puncta D. E. ducatur EF ipsi DI parallela secans AB in . Cum rceti sunt anguli ad I. ex definitione,&D. x supposition , parallelae sunt AB G H. id est,t F. o DE sed inarallelis sunt EF. DI ex hypothesi igitur parallelograminum est EFID aequalia igitur sunt latera EF DI. non est igitur DI maior quam EF ac proinde non cst omnium sinuum spiricorum maximus 'dest contra hypothesin. Idem manifeste contingit in spirali palliati. igitur perpendicularis c. Quod crat demonstrandum.
Spiralem in codem puncto tretae rectae non
coeuingillat. Sit linea spiralis ADE. in qua libo circulatione descripta,' contingat ipsam ceta H DG in puncto D iungaturque AD ad principium spiralis;¢ro quidem A. interuallo AD. circuliis .ic scribatur DB qui ccc prin-
399쪽
Dico non posse duci aliam contingentem praeter DG quae spiralem tangat in D. enim potest ducatur, sit LDΚ qua coibit cum ΑΚ non in puncto G alias duae rectae H DG. I DK. spatium compraehenderent, sit in puncto K. quod, vel cadat inter G. Q. puncta, vel ultra, ita ut ΑΚ sit vel totum respectu ipsius A G. vel pars Constat exij quae demonstrauit Archim des propositionib. 18. 19.2o. de lineis spiralibus , cum contingentes sint utra- DG. DK. tam rectam G. quam rectam AK. est aequalem arcui CD aequales igitur py Rsunt AG AK. pars: totum, Quod est absurdum, Non ergo tangent rectae HG.LΚ. Spiralem in codem puncto D. Qu9d erat probandum
Si in puncto in quo sinu spiricus omnium
maximus spiralem Quadrantis, aut partialem secat,recta eandem spiralem tangat: ea erit dicto sinu perpendicularis.
In puncto D in quo Sinus spiricus D I. omnium maxumus spiralem Quadrantis ADB. secat, recta DG. Eandem spiralem tangat. Dico rectam H DG. esse ipsi DI.perpendicularem. Si enim res non ita habeat, sit alia quaepiam L DK ipsi DI perpendicularis . Quoniam spiralem ADB.secat sinus spiricus omnium maximus DI. 4 pustet sectio
nis D. ipsi aut DL perpendiculam ponitur KDL. eas pit
400쪽
3s Curui ac recti proportio promota.
r. hisius spiralem tanget in D. sed etiam spiralem tangit in D. recta GDH. Igitur spiralem in eodem puncto tangunt duae - Wi- - reetae H DG LDH. Quod est absurdum. Nec aliter procedit demonstratio, in spirali partiali quod clarius, quam ut superflua repetitione indigeat.
SInus spirici maximo propriores maiores sunt
remotioribus Sit Spiralis Quadrantis, aut partialis ADB cuius sinus spiralis maximus DI.& constituantur primo inter maximum, irincipium lineae spiralis A. duo sinus EF.GH. ille vicinior maximo, hic remotior. Dico sinum EF. esse maiorem sinu GH. Tangat recta P piralem in E per datum possibileo cui parallela sit A M. ad utrumque νωρ. perpendicularis EN secans A. in N. AB in K. ipsi 'cro E K. ex puncto G. ducatur parallela GOL. sccans A. a s. si i ' O pC pcndiculiiij ter, , AB in L. manifestum cst A M. ii, esse dimetientem spiralis partialis AEM cui cum parali la ducta si PE angens spiralem in E. Ma puncto conta iusin. eius E duetus su sinus spiricus EN. is crit omnium sinuum hi, spiricoruni qui in spirali partiali AE M. duci possunt maximus Q die maior est quam sinus spuicus O ciusdem