장음표시 사용
441쪽
exemplum i In oppido Ancoia a stiperest quinta tricesinna, laoc est, Ancoiace, quae est Hetruriae ciuitas, si gnomon habuerit triginta quind pedes, vin bra erit 3 s. Quintum exempli mi: In parte Italiae quae Venetiae appellatur, eisdem horis vita bra gnomoni par fit, hoc est, in his locis, quorum est ele ua tio si. graduum , semper umbra par est gnoinoni,& licut hactenus in omnibus locis, in quibus eleuatio poli minor fuit s. grad. semper umbra meridiana fuit minor gnomone, ita in reliquisvscue ad quadrantem semper umbra maior est gnomone ut in paralelo qui transit per Venetias, Mediolanum, Lugdunum, &est ordine I s. umbra gnomoni par est, statim postea in t 6. superat gnomonem quinque gradibus, in II. nouem gradibus, & sic consequenter. Vt autem haec umbrarum discrimina rectius intelligi possint, generalem quandam doctrinam de umbraru disse
rentiis trademus, quomodo & latitudines locorum, & ele-itationes poli ex quantitate umbrarum colligantur. Initio autem sciendum est, quod terra ad orbem sola- 'csi ina. rem sit veluti punctum: nam obseruationes in superficie terrae factae perinde se habenta id si in centro fierent, unde semidiameter terrae pro nulla quantitate reputatur ad semidiametrum orbis laris. Si it ad aliqtiis quaerat, quomodo terra habet se ut punctum, cum tamen huius in odi accidentia, ut eleuationes poli & umbrarum discrimina, accidant ratione tumoris ipsius, ergo liabet magnitudinem. Respondeo: Collata ad nos habet magnitudinem ivnde eleuationes poli accidunt non ratione coeli, sed hominum diuersas terrae partes habitantis. Sed breuiter umbrarum differentias percurram.
Secundo & hoc constituendum est , quod quando Plinius loquitur de umbris, tantum intelligendi im est eum loqui de umbris aequinoctialibus & in et Mianis. Erigatur ita umbilicus ad superliciem horiχontis perpendiculariter, ex cuius umbra meridiana dum Sol in aequinoctiorum punctis existit, colligitur latitudo loci seu eleuatio potaris. Efficitur
442쪽
autem hoc modo triangissus rectangulus, cuius tria latera haec sunt. Gnomon est loco hae S ra. Radius Solis a loco incidentiatusque ad stipei ficiem hori Zontis unde reflectitur, hypotentisam repraesentat. Rcti sutim latus trianguli atqtie- distans superficiei horigontis basim trianguli refert & vmbram. Gnomonis caput semper velut index monstrabit Ze-nith seu polum horiZontis, quia ad angulos rectos &aequales ubio consistit. Cum autem in omni triangulo sint tres anguli aequales duobusrcetis, atque ex Iaypot laesit angulus virus rectus sit, quem constituunt gnomon & umbra, neces se est de reliquos duos ad hypotenusiam existentes similiter aequales esse uni recto, siue aequales inter se sint, siue inae
A, B, gnomon & iaspex. A, C, hypotenus a& radius Solis. I, C, basis& vmbra repraesentans simul horigontem. E, A, D, an gulus aequalis angulo, C, A , B. Sunt enim anguli contrapositi per I i. primi.A , B, C, angulus rectus. A, C, B , inferior in hori Eonte. C, A, B, superior versus Zenith. Concludo igitur, quod angulus C, inferior repraesentet eletiatione na aequinoctialis. Cum enim lay- potenusa sit radius Solis incedentis in aequatore, & umbra velut horigon, complectetur hic angulus inferior arcum meridiani, qui est ab horiχonte ad aequinoctialem in ipso circulo meridiano. Item, quod hic angulus debeatur aequinoctiali, certum signum est, quia semper crescit aut decrescit curn eleuatione aequi
443쪽
noctialis. Item , angulus superior A, accommodari debet eleuationi polari, cuius rei multiplex demonstratio afferri potest: haec tamen est simplicissima. Sicut angulus A, C, B, ostendit maximam distantiam aequatoris ab ipso hoesron te , ita etiam angulus C, A, B, patefacit maximam distantiam eiusdem a puncto verticali. Colligitur autem huiusmodi maxima distantia semper in circulo meridiano. Pariter autem distantev aequator a Eenith & polus ab horigonte, Ergo angulus E, A , D , virid rei scrutet, &per consequens eius angulus contrapositus: Ergo hic angulus debetur polo, quia cum eleuatione polari crescit & decrescit. Quia vero dictum est, radium solarem esse hypotenu- Radiorum sam, subiiciendae sunt horum radiorum species. Prima: S'larium Rectus radius seu perpendicularis ex omni parte habet reuchos de aequales angulos ,& constat breuissima linea, ut A, B. Secunda: Radius obliquus angulos inaequales habet, alterum obtusum,& alterum acutum, semper longior recto radio existit, seipso vero tanto longior quanto obibquior, ut A C, A D, A E, A F. Tertia: Radius paralelus horiχonti linea infinita constat, neue angulos ullos efficit, ut A G, horiZon F, B, H. Et ut haec umbrarum ratio intelligatur, subiiciam qtias di regulas de umbraru differentiis. Prima. Quando umbra aequinoctiali S excurrit sine fine, ves, i serit maxima eleuatio poli, adeo ipsum gnomonis caput disteteriae. nionstrabit polum, simul verticale punctum, id accidit habitantibus sub ipso polo, tum vero hypotenusia de basise perpe-
444쪽
perpetuo aequedistant, nec in ullo puncto concurrunt, est cis radius paralelus horiEonti & aequili octialis ipse horiχon. PEt hi Peri scii vocantur, quia habent una bras meridianas Naequila octiales circumet intcs in orbem. oh uti. Secunda. Quando umbra aequinoctialis nulla es , tunc
etiam nulla est eleuatio poli, sed aequinoctialis transibit per punctum verticale eorum qui illic habitant, quod est polus
hori hontis. Nulla ita tue erit vel hypo tenusa vel basis. Hoc fit his in anno apud eos qui habitant scib aequatore, cum scilicet Sol ad alterutrum punctorum aequinoctii peruenit, radius vero est rectus seu perpendicularis,& hori Zon per utrunq; pol una transibit. Et quanquam in hoc situ perpetuum aequinoctium existit, tamen dum Sol est extra aequatorem, umbrae ratio diuersificatur, prout vel accedit vel discedit ab aequatore. Et hi vocantur acto imiti, hoc est, qui in utrand partem umbras aequinoctiales & meridianas habent, iam in meridiem , iam vero in sep tentrionem, & sunt illi qui intra duos tropicos in Eona torrida habitant. et ebrii:,. Tertia. Quando umbra gnomoni s longitudinem adaequat, eadem eleuatio poli S aequinoctialis continget, in circulo meridiano: aequales enim sunt inter se reliqui duo anguli , qui ad hypo tenusiam constituuntur , alter cum alter cum ipsa basi, aequalibus autem angulis aequales arcus subtenduntur, alcue hi cmse mis, vocantur, qui perpetuo umbras meridianas habent tantum in unam partem, vel versus septentrionem, vel versus meridiem. Quarta. Cum autem umbra minor seu breuior est gnomone, angultis inferior maior erit angulo superiori, ideo magis eleuabitur sit pra nostrum hori Zontem ipse aequatorquim polus. Valet enim consequentia ex iis, quae paulo ante de angulis huius trianguli dixi rnus. iinta. Cum umbrae longitudo superat altitudinem gnomonis, inferior angillus minor erit superiori, & per consequens eleuatio aequinoctialis non erit tanta, qtianta
445쪽
Sunt igitur tres principales umbraruin aequinoctialium
I. Cum aut infinita est , idd apud eos qui Peri scii vocatur. g. Auliursus nulla, id*apud eos qui Amphis ij dicuntur.
C - . t Par est, is . Aut finita, tunc enim umbra gnomoni aut Minor eo. scios dicimus.
Aequatur aute umbra gnomoni, cum de poli & aequatoris eleuatio continent gratius gi. seu medium recti anguli. Ante istam poli eleuationem umbra semper minor gnomone existit: Post vero umbra pari ratione augmentum recipit supra gnomonem. Est& hoc admonendum, diuersa ratione augeri umbram ante i. grad. de post. Nam a primo gradu eleuationis polaris v siue ad sy. grad. ita accrescit umbra, ut in s. non excrescat ultra longitudinem gnomonis. Postea vero per reliquos gi. longil maius augmentum habet, donec tandem infinitam quandam longitudinem consequatur. Praeterea & hoc est admonendum, polum semper eleuari supra hori Zontem verius eam partem, in quam umbra gnomonis vergit ac excurrit, Sole in ipso aequatore existente. Vnde colligi potest, gnomonem pertinere ad eleuationem aequatoris, umbram ad eleuationem poli, hypotest usam complecti quartam circi ili, seu esse communem gnomoni &umbraei Hypo tenusa vero si conferatur ad basin, creabit angulum eleuationis aequatoris, eo quod isti angulo opponatur gnomon. Sed ad gnomonem comparata hypotenula angulum monstrantem latitudinem loci, & per consequens etiam potarem efficiet, quod eidem angulo subtendatur basis trianguli seu umbra.
quantitate in planum describatur. e S
446쪽
Constitue longituditiem gnomonis D, E , & umbrae E, F, ad rectos angulos, a id a capite gnomonis D, usque adfiitem umbrae seu basis F, dticas hypotenulam, quae subtensium habebit rectum angulum concursu gnomonis & vmbrae excitatum. Erit igitur illa hypotenusia semidiametet circuli tui describendi, centrum alitem figas in concursu hypotenti & basis. Iam si extendas utrino ad extremam circumferentiam circuli basin tui trianguli, repraesentabit tibi illa linea horiEontein istius umbrae atque eleuationis.
447쪽
I N L I R. I I. C. P L I N. subi autem gnomon cum superiore angulo attingit circum- serentiam, constitue aequatoris locum&eleuationem eius stupra horigontem. Postremo, si ex centro circuli excitaueris lineam perpendicularem ad ipsam hypotenusiam, eam perpendicularem extenderis ad cireumferentiam, patebit locus poli eiuscue eleuatio. Semper autem ab aequatore distat polus quarta parte circuli. Tantum etiam elevabitur polus supra horiχontis superficiem, quantum aequator e puncto verticali recessit ad aliud mundi latus. Idq; sic demonstratur,&primum de Polo. Angulus C F A, aequalis est angulo B F D, ambo enim per constructionem recti sunt. Si ergo angulu B F C, scilicet medium communem abstuleris e duobus rectis, necessario aequalia erunt residua iuxta communem sententiam. Angulus etiaC F D, aequalis est angulo F D E, quia sunt coaltcrni: nam per constructionem aequeda statat lineae C F,& D E. Ergo angulus F D L, aequalis erit angulo B F A, quq derat demonstrandum. Potest liuiusmodi typus ad quascunque eleuationes in plano describi. Potest etia circulus amplius extendi, quam pro ipsius hypotenti quantitate, si modo centrum in ipsa sectione basis& hypotet ausae figatur, ipsa enim hypotenusia producta ad eandem circumferentiam sub eodem situ manifestabit locum aequatoris.
exeroplis huius capitis. I. Iuxta propositionem 6. primi Quadratum hypotenusae aequale est Quadratis catheti D E,& basis FE simul
sumtis. Cum ergo cathetos ut gnomon ex constructione, hasis ut umbra ex obseruatione nota sint, Quadrato viro numero si fiat additio, producetur quadratum hypotenta-sae s quam diximus initio esse aliquam particulam radii so-
448쪽
laris, eius la vice fungi isi hoc triangulo huius quadrati radix erit longitudo hypotentiis, Ut si basis tres habeat partes , gnomon q. quadrata virtutis coniuncta reddunt quadratum hypotemis , scilicet a s. cuius radix s, indicat partes hypotentiis. E. In onani circulo respondent angulo recto, constittito ad centrii meiusdem so . partes seu gradus, quae est quarta
pars circumferentiae: continet enim circuitis quatuor rectos anguloS.
3. Cuni in omni triangulo sint potentia duo recti anguli, oportet reliquos duos in rectangulo simul sumtos atqui ualere angulo recto. . Clim autem isti duo anguli sibi inuicem aequales sunt, erit triangulus I sceles, id est, umbra par gnomoni, uter vero medium recti anguli sit oportet. chia vero aequalibus angulis respondent aequales arcus in circulo, oportet latitudinern loci,& per consequens eleuationem potarem dc aequinoctialem, similes este: idem , si alterutrurn eoruna erecto angulo subtraxeris , complementum vel residuum aequale erit subtracto. Ideo polus & aequator pariter attolluntur supra horiχontem, ex diuersis scilicet laterib. mundi. s. Sed si anguli isti duo inaequales sint inferiori D F Eexistente maiori, qui scilicet eleuationi aequatoris respondet, oportet gnomonem longiorem esse ipsa umbra, quae respicit superiorem angulum, per consequens maior portio ci culi continetur ab angulo inferiori, & minor a superiori r quare aequatoris eletiatio superabit latitudinem loci siue polarem. Item, si angulus inferior auferetur a recto angulo seu quarta parte circuna ferentiae, relinquetur minus subtracto, & id quod rostat vocatur complementum 'O. grad. 6. Quod si angulus inferior angustior fiterit superiori, contrarium eius, quod modo dietum esst, eueniet, scilicet umbra sua longitudine superabit gnomonem, curn minorem circuli portionem ambiat inferior angulus, siti perior autem maiorem, manifestum est polum altius extolli ab hori-
449쪽
hori Zonte quilna aequatorem, de aequatorem esise hora 1onti' propiorem, quam puncto verticali. Item, si angulus inferior subtrahatur ab integro, id est, recto, continente cio. grad. maior pars residua extabit, id est, complementum maius erit ipso subtracto, de loci latitudo maior erit altitudine aequatoris. . Hi ne colliges istam regulam practicam: Si alterutrum angulorum cognitum habueris , scilicet quot partes circumferentiae ei respondeant, alter manifestus erit, si cognitum subtraxeris e partibus recti anguli, reliquus enim vocatur complementum totius sinus, siquidem isti duo anguli simul additi aequipollent recto angulo. g. Quantitas alitem alterius angilli sic cognoscitur. Hypotenusa est sinus totus, quia hypotenus a comprehendit euiu n- rectum angulum. Gnomon sinus rectus primus. Vmbra si-q mnus rectus secundus: est enim residuum versi sinus aequale esti , iiii prorsus sinui recto secundo. Si igitur per regulam propor- uenianda.tionum ex sinu toto collegeris sinum gnomonis, scilicet rectum primum, s sicut enim se habet hypotentisa ad suum rectum angulum, ita se habet gnomon ad suum angulum, itidem selaabet umbra ad suum o tunc etiam ex tabulis li-nuum colliges quantitatem anguli aequatoris, quas partes si a vo. subduxeris, restabit angulus alter, scilicet complementum quadrantis dictu latitudo loci, semper aequale altitudini polari. Est autem ista regula proport. Sicut se habet sinus totus ad partes hypotenu , ita se habet simus rectus primus ad partes gnomonis, de viceversa, sicut partes hy potenusae habent se ad sinum totium, ita se habent partes gnomonis ad sinum rectum primum monstrantem aequatoris eleuationem, quae subtracta a so. grad. relinquit latitudinem loci, hoc est , distantiam aequatoris a punctopolari, quae semper est aequalis eleuationi polari.
450쪽
Qtiadrata laterum continentium rectum angulum ad se inuicem iuncta plerunq3 producunt numerum irrationalem, hoc est, non habentem radicem in numeris integris. Vt autom minus prochil aberret computatio, ex integro faciendus est nil inertis fractus, ut quadratum hypotentisae multiplicetur per aliquem magnum nil merum rationalem,
qui pro arbitrio sumi potest, vi sint in ille milia partes, quinii merus more fractoriuia sub priorem est collocandus, &ex utroq; radix quadrata quaerenda est, ita ut denominator semper sit mille, deinde radix hypotentis ponenda est primo loco, deinde medio loco sinus totus , qtii est partium. centies mille, secundum Petri Appiani tabulas sintium. Postremo loco partes gnomonis ponendae, quae cum fimi integrae, multiplicantur per primi numeri fracti denominato- rein, hoc est, per mille, ac deinde iuxta legem regulae proport. fit computatio, ut in integris numeris.
in Aegypto superiore, quae est sicut r. ad a. Quadratum umbrae est I, gnomonis , ambo addita faciunt i quadratum hypotenusae, cuius radix cum non possit haberi in numeris integris, tum multiplico quinariunumerum per millies mille, &eundem multiplicantem subtus scribo, ut fiat haec minutia , 888-888, cuius radix ex utrod suinto ostendit partes hypotenus e lem, hoc ita ordinenti meros dispono : sicut se habent his partes hypotentior ad sinum totum, quem pono esse parti u Io oooo, ita se habent partes gnomonis, videlicet et, ad sinum rectu primum, qui monstraturus est arcum eletrati aequatoris. quia vero primus numerus fractus est & vltimus integer, per denominatorem minutiae multiplico postremum numerum, ita ut ex binario fiant bis mille, & sic stabit et 1 3 e .
1 o o o o o. 2 o o o, &iam secundunt legem regulae proportionuni, sunt ma collecta ex multiplicatione duorum posteriorum