장음표시 사용
91쪽
Quadrata semiordinatarum ad quamlibet fretine iam diametrum,perbola sunt directe inter se, ut rectangula contenta sub eorrespondentibus abscissis, o sub recta composita ex dι ametro transversa, ct ex abscissa respectιUe. 111. Recta DO st diameter secundaria hyperbolae BAC, eiusque axis re. Eta LP, S centrum O Rectae voto eb, am, Tn sint semiordinatae ad ipsam Fig. q. diamettum. Dico, quadratum semiordinatae eb esse ad quadratum semio T XVI dinatae am, ni rectangulum ex 'abscissa Ab .de ex recta Q b composta ex diametro transversa A , & ex abscissa Ab, ad rectangulum eontentum subabscissa Am, & sub. hecta iam . S. mi I iter quadratum 'semiordinatae a m esse ad quadratum semior)inatae Tn, ut est rectangulum ex Am in iam ad rectangulum ex An in Qu.
Ductis tangentibus aF, Ad, nee non per punctum e recta m parallela angenti aF, in directum quoque producta semiordinata be in b, cum trian. gulum xbe si aequale trapeχio dae GF, ut s. t 7 num. I. demonstravimus,
si utrique auseratur commune trapeZium axet, reliquum triangulum a et baequabit residuum trapeatum te GE vn. μου ρ. 266.4 ι ac proinde etiam triangulum a od duobus trapeatis biod, te GF simul sumtis erit aequale g. 2 sis. . Constat autem , riangulum o AF aequare triangulum a od fg. 2 1 ITrgo triangulum o AF erit itidem aequale duobus trapeati bχοd, Te GF vn. fu g. 163.j, demtoque trapezio GFolu, triangulum GuΑ erit aequale tra. Izχio dbeu ι quibus si adiiciatur trapezium v e bΑ , triangulum G eb aequa. it trapezium d bbR s. 26s . . Per spieuum porro est, triangulum Fam esse aequale trapeno da-Α Ergo triangulum G e b erit ad trian. gulum Fam, ut est traperium d bbΑ ad trapeZium dam A. Ut autem trianiagulum G eb ad triangulum Fam, ita est quadratum rectae eb ad quadratum rectae a m Lib IX . i66 3 eum duo illa triangula , utpote aequi angula ,sint similia s. 66. , & rectae eb. am sint latera ipsortim homologa fg.67. . Ergo quadratum reciae eb erit ad quadratum rectae a m , ut est trapezium d bb A ad trapezium dam A s Lib. I. s. 6.), nempe ut excessus trianguli b Dbsupra triangulum ADd ad excessum trianguli mDa su Pia idem triangulum ΑDd. Huiusmodi porro excelsus sunt directe inter se, ut excessus quadrati lateras m supra quadratum lateris DR ad excessum quadrati lateris tam siuia pra quadra: um ejuidem lateris D A is .los Pi propterea quod cum ob parallelismum rectatum dΛ.M,am triangula d DR ,bDb .aDm sint similia Lib. IX. s. 6s.ὶ ι adeoque sint ut quadrὸta suorum laterum homologorum DA,m, Dur Lib. IX. .I66ὶ. Igitur etiam quadratum lateris eb erit ad quadratum lateris am,
92쪽
ut est exeegiis quadrati lateris in supra quadratum lateris ad exeessum
quadrati lateris Dm supra quadratum lateris DA . Constat autem , exces.sum quadrati lateris Db supra quadratum lateris DΑ esse rectangulum ex Ab in Qh, & exeessum madrati lateris Dae supra quadratum lateris AD esse rectangulum ex Am in iam cs. 246. . Ergo quadratum semiordinata eb est ad quadratum semiordinatae am, ut rectangulum ex Ab in Qb adrectangulum ex Am in iam . Ducta modo ex puncto T ordinata Te, eaque producta in G, atque per punctum e ducta bb parallela tangenti Ad, manifestum est ex superius traditis , triangulum Xbe aequare triangulum I a T. Hinc trapezium n b b I erie aequale trapezio ubeT Dv. 261. & si utrique adjiciatur triangu. tum G e b, triangulum GTn aequabit trapeχium n bba una cum triangulo
Geb s. Trapezium autem bb Ad est aequale triangulo Geb, sicuti
supra ostensum est, ut proinde trapeχlum Adrn sit aequale trapeΣlo nbis una cum triangulo Geb cs. Ergo triangulum GTn erit aequale tr pezio Adru s. χε I.ὶν eritque propterea triangulum GTn ad trapezium Α itIn, ut est triangulum Fam ad trapeZIum dare A, de alternando, trian. gulum GTn erit ad triangulum Fam, ut trapeΣium AdIn ad trapeχlumdam A Lib. I. g. I 23. , nempe ut ex eessus triangulν nin supra triangulum
ΑDd ad excessum trianguli mDa supra idem triangulum ADd, fle ideo ut excessiis pariter quadrati lateris Da supra quadratum lateris DA ad exeeia sum madrati lateri x Dm supra quadratum ejusdem lateris DA is. Io9. , videlicet ut rectangulum ex Aa in Q n ad rectangulum ex Α m in iam β. 166. . Ut autem triangulum GTu ad triangulum sibi simile Fam, it quadratum lateris Tu ad quadratum lateris sibi homologi a m Lib. Ix s. I 66 . Igitur quadratum rectae Tn erit ad quadratum rectae a m itidem . ut rectangulum ex An in in ad rectangulum ex Am in Q Lib.I. g. 78. Quadrata ergo semiordinatarum δέ c. quod erat de COROLLAR Tu M. 23 Θperbola quadrata semiordinatarum ad quamlibet diametrum secundariam habene omnia eandem fationem ad Dam respective rectangulam eontentum fab abscissa, or sub recta eamp
sita ex ipsa abscissa, σ ex diametro tran bersa. 2 3. Perspicuum fiet eodem ratiminio , quo g. a I. idipsum ostensum
est de quadratis semiordinatarum ad axim..
cta ex Alias vertice ordinatis parallela, adeoque hyperbolam tangens extam ratio ad diametrum ipsam transversam eadem ess eam illa, quam habet qum dratum, cujustibet semiordinata ad rectangulum contentam sub cineΦοηdente
93쪽
obsessa, ct suo recta composita ex eadem abscissa, ct ex ipsa diametro trans iresa, cujusmodi itidem est parameter axis transversi.
1ss. emadmodum in ellipsi diameter feeundaria alteri coniugata est recta transens per centrum, media proportionalis inter illam diametrum, ejusque parametrum g. I 23. , ita in h=perbola illa recta linea transiens per centrum, in quo bifariam dιvidatur, dieitur diameter transversa diametri est 4 agata, qua est media proportionalis inter diametrum ipsam transversam, σιllius parametrum. COROLLARIUM I. as6. Hine quadratum diametri eoniugata in perbola est aquale rectan. Iulo, qMOd sub diametro tranDersa, eui illa ponitur/eoniugata, ct sub ejusdem parametro comprehenditur.
COROLLARIUM II. M . QuadratAm vero eiusdem semidiametri eaniugata est quarta pars re. ctauuli tantenti sub Lametro transversa, eui illa est conjugata , o sub illius
. THEO REM A X. In Dperbola RAc, euius axis tranDersus sit recta EA, dactis laventιbus verticalibus ER, AT Oecurrentibus tangenti laterati Itb in punctιs E, F , rectangulum eontentum sub tangentιbus ER, AT est aequale quadranti figura transvers axis EA. 218. Ex puncto contactus , ducatur recta bH ordinatim axi AD appli. eata ι rectaeque directrici TH oceurrens in puncto H, ex quo ad punctum Fig. s. F, in quo axis transversus L Α a tangente laterati R b dividitur , dueatur T.XV. recta P F , & ex puncto eontactus b ast extremum L recta bE , nec non ex eodem Per verticem Α recta bS . quae occurrat tangenti Lia directe productae in puncto S. Recta quoque ΑΤ occurrat rectar bE in V, sitque ΑGParameter iplius hyperbolae, directrix recta EH , & subdirectrix recta Me.
94쪽
istem, esse GΑ - 1 NA Igitur erit etiam ΑV αα IAT, seu ΑΤ - TV, & ideo ΛV - 2TV. Rursus quoniam in triangulo SbE pro .pter parallelismum rectarum SE, AV, tam recta SE est ad rectam AV , quam recta RE ad rectam TV, ut est recta Eb ad rectam Vb c Lib. IX. 19. , adeoque sit S E. RV me RE. TV , erit SE . RE - ΑV . Tv
Lιb. I. s. ras.). Est autem ΑV - χTU. Ergo erit etiam SE tra x RE, seu SR RE. Hi ne rectangulum ex recta RE in rectam AT aequabit quadrantem rectanguli ex tota SE in totam AV Lib. IX. s. I o. . Rectan gulum porro ex SL in ΑV est aequale rectangulo figurae axis transversi LA. Quandoquidem , cum triangula SAL, A ab sint inter se aequi angula. adeoque similia g. 66. , erit SE. ΕΑ - ab , Aa s. I. . Est autem Ha. ab M ab . Aa s. 223. . Ergo erit SΕ. ΕΑ-Ha. ab c Lib. I. g. 76. . Cumque sit etiam GA. AV Ha . ab , erit quoque SE. ΕΑ - GR. AU g. 8. , ae propterea SE AV m: ΓΛ GA Lib. IX. s. Io . . Igitur rectangulum RE H AT sicuti est quarta pars rectanguli SE AU, ita erit quarta pars rectanguli EA GA Lib. s. s. I D. s de ideo in hypei bola &c. quod erat ostendendum.
Si in axibus AR, EL Dpeν bolaram oppositaram B c, DEF, quaν amaxis transversus si recta EA, sumantur duo pancta b. a, qua ita disent a stio vertice A, E , ut tam rectangulam ex Ab in k b, quam rectangultim ex a E in , sit aquale quadranti figara lateris transversi EA, recta ac, bc diacta ex ιllis punctis a, b ad quodvis pvictam C curva Dperbolua Boc, constitaenteum recta tangente Κc per illud punctum tra)ecta,
219. Lx utroque vertice A, E ducantur tangentes vertie alcs Ad, ΕΚ, quae tangenti laterati ΚC oecurrant in punctis d, Κ. Ex datis vero pun. Fix tctis b, a. ad puncta Κ, d ipsarum tangentium verticalium apantur rectae T.xvI'
Cum rectangulum ex a L in A a ponatur aequale quadranti figurae axis transversi ΕΑ, quemadmodum eidem quadranti est aequale tectangulum ex LΚ in Ad g. 138. , duo ista rectangula aE Aa,LΚ Ad erunt aequa-l ia vn. Ast. s. 2 9. . Igitur erit a L. LΚem Ad . Aa Lib. IX. s. II . . Duo autem anguli ΚΓa, aAd sunt aequales inter se, utpote recti. Ergo duo triangula KEa, aA nudi s milia tς 69. 3 dc ideo aequales erunt linsorum anguli aΚΕ, Α ad , qui proportionalibus lateribus continentur s. I. . Constat autem, duos angulos ΚaE, LΚa in triangulo rectangulo KEa aequare unum rectum Lib. Hs. I 8. . Ergo etiam duo anguli ΚaE, Α ad simul
95쪽
simit unum rectum angulum aequabunt, seu angulus Nad erit rectus. Lodem modo ostendam, angulum quoque rad ese rectum. Si ergo eirca reis .ctam vi, cul duo huiusmodi recti anguli ineum hunt, describatur circulus bRaΚ, is necessario transibit Per quatuor puncta Κ, a, d, b c VI l. s. 8. 3α ideo anguli bad, bra, utpote in eadem cireuli portione politi , erunt inter se aequales cs. 73. . Ducatur modo per punctum d recta eN parallela rectae M . Quoniam igitur anguli parallelatum alterni Κae, aed, nec non AEd, KD, sunt aequales c Lib. IV. g. is . , sicuti etiam anguli ad vertieem oppositi ΚPa , era Lib. III. g. si.), duo triangula ΚPa, ePd erunt similia I. ιι. IX. g. 66. latisque propterea erit Ka. edma ΚP. Pd s. 6 . . In triangulo autem KCa ob parallelismum rectarum G, d N, habetur Κa. dN KC . dC g 19 ι 3c aliunde constat, esse ΚP. Pd - ΚC. dC f. 237 . Ergo erit Ka .ed Κa.dN Lib. I. s. 6. ι & ideo ed - d N g. t Is . . Perspicuum Porro est, angulos ad e, ad N esse inter se aequales 3 cum angulus ad N adaequet angu lum Κad Lib. IV. g. 3 3. , quem demonstravimus rectum , de duo anguli
ad e, ad N valeant duos rectos Lib. IlI. 1. o ι adeoque uterque angulus ad e, ad N sit rectus. Ergo duo triangula ead, adN ita sunt aequalia, ut angulus da N angulum ea d adaequet Lib. V. g. 9 . . Ostensum est autem, angulum ead esse aequalem angulo bΚd. Igitur etiam angulus daN eidem
angulo bΚd erit aequalis clan. Ag. 9 262. . Q iam rem in directum pro. ducti rectis Κb, ad , donee simul concurrant in puncto Q , simulque iunctis piinctis Q, C recta QC, spectari optime potest recta OG , veluti chorda circuli Q TΚ, cui aequales anguli QKC , QiC ad illius peripheriam
positi insistant, vi)elicet, cum aequales anguli in eadem sint portione circuli Lib. VII s. s. , eire ulus QCTK describi potest circa rectam Κὰ, veluti diametrum, qui simul transibit per puncta Κ, a, C. Q. Igitur angulus KC., utpote in semicirculo ΚTQ consistens , erit rectus g. s. ε& ideo recta in ad perpendiculum incumbet rectae tangenti ΚCι & quo.
niam anguli ΚQa, KCa in eadem circuli portione, ut patet, reperiuntur, erunt inter se aequales cs. 73. .
Praeterea, quoniam duo anguli K bd, dbia valent duos rectos Lib. III. s ηο. , S angulus Κ bd jam ostensus est rectus, rectus erit etiam angulus db Q. Rectus autem itidem est angulus QCd, qui eidem insistit rectae dia. Ergo circulus bMQC descriptus circa rectam d transibit per puncta d, b, in C c Lib. VII. s 78. 3 ac proinde anguli bia d, b C d in eadem ei reuli
portione consistentes, erunt inter se aequales s s. 73. γ. Demonstravimus a
em, aequales esse inter se etiam angulos ΚQi, KCa, sive biad, d CN. Ergo duo anguli bCd, dCN , sue ΚCb, ΚCa erunt inter se aequales c Du. ls. s. I 19.). Itaque si in axibus dic, quod erat &e.
aso. Posto ergo lumine in puncto a , omnes ipsus radii lnei dentes incurvam hyperbolicam BR C ita ex illa reflecti debent, ut, si eurvam ipsam
96쪽
reflexio luminis ex curva hyperbolica BAC ea constanti naturae lege poctest perfici, ut angulus reflexionis angulum in identiae adaequet, quin cim. nes radii, qui ex puncto a in illam curvam cadunt, per punctum b post res exionem transeant, facta nimirum hypothesi, ut radii curvam ipsam ii terboli eam trajiciant. Duo idcirco puncta a, b foci, sive umbilici hyper-olae BAC eommuniter dicuntur g. 2 o. .
rsi. Quoniam vero radii luminis, qui ex puncto a incidunt in eurvam superficiem hyperbolici speculi BAC , non uniuntur re ipsa in puncto b, sed extra illam disperguntur , ut patet de radio a C, qni ita ex illa curva re silit, ut secundum rectam CZ vi reflexionis propagetur , posita nimirum aequalitate angulorum incidentiae a CK,& restexionis V, ideo puncta a, b fuci hyperbolae non quidem reales, sed imaginarii vocantur, quatenus nem. pe punctum a Objecti radiantis in speculum hyperbolicum BAC, in altero puncto b sui imaginem exhibet, perinde omnino ac si in puncto b reipsa consisteret, cujus ratio est 3 quia si radius re sexus CZ directe intra specu. tum mente producatur ι puncto b occurrit, propter aequalitatem scilicet angulorum aCΚ, ΚCb si perius ostensa , adeoqtie etiam angulorum KCb, ZCV, ex quo fit, ut lineae ZC, Cb sint in directum positae Lib. III g. 1 f. , ac proinde radius reflexus CZ assiciat retinam oculi eodem plane modo, quo ipsam assideret , si ex puncto b re ipsa erumperet , nempe si objectum t dians in puncto b re ipsa haberetur, vimque suam ex Illo emitteret.
quae ita hone in .se distant a suo vertice, ut rectangulum eontentum sub eoris respondente abscissa, o sub recta eomposita ex ipsa abscissa, ct ex axe transeverso, sit aqua te quadraηtι figura ipsius axιs.
Uterque focus h perbolae ita distat a suo vertice, ut rectantulum contentam sub correspondente abscissa, oe sub recta composita ex ipsa abscissa, ct ex axe re nerso sta quale quadrato seni; ax. 1 conrugati. 163. Demonstravimus enim , quadratum semiaxis conjugati esse aequale quadranti figurae axis transversi s. I 37. .
97쪽
Uterque secus h perbola aquaIiter distat a suo vertice. pax. L 26 Punia a, b sint seci hyperbolae BAC, euius axis transversus sit T. xvi. recta EA, duoque puncta E, A eiusdem vertices. Dico, distantum stet ba vertice A aequare distantiam Dei a a vertiee E, seu esse Eam A b.
Cum enim xectangulum Eb H Ab adaequet rectangulum Aa Ea Sm..Ast. , quatenus utrumque est aequale quadrato semiaxis eoniugati I. 263. , erit Eb. Aa- Ea. Ab s Lib. IX. It . I 3 ae proinde M. Ea -Αa. Ab c Db. I. g. ras. , nee non Eb-Ea. Ea et Ra - Αb. Ab cum Au. s. 236. . Ergo erit etiam Ea Ab Lib.Ls. I 18. . Itaque uterque socus &e. quod erat ostendendum, COROLLAR Iu Mai Oei hyperbola AEqualiter distant ab illias tentro 26s. Ut s punctum osuerit centrum hyperbolae BAC. eiusque sciet pulsicta b, a, erit Obmum. Quandoquidem cum si ΟΛ g. I98. ι& Ab Ea s. 16 . , erit etiam OE-- λ - Ο Α-Αb , sue in Obs S . S. s.
In Dperbola recta linea ducta ex ano puncto extrema axis tranIverse ad extremum axis eo uati a quat distantiam Dei a eentro. 166. Recta EA sit axis transversus, GH axis coniugatus, & puncta b, aED et hyperbolae BAC. Dico, rectam ΑΗ, qua extrema puncta A, H axium, K ρ GH simul junguntur, aequare distantiam foci b a centro o, videlicet esse ΑΗ bo.
Quoniam rectangulum ex D in Ab est aequale quadrato semiaris eon iniugati OH s1. 263.ὶ , si utrique adjietatur quadratum semiaxis transversi ΟΛ, rectangulum ex Eb in Ab una eum quadrato semiaxis ΟΑ erit aequa. te quadratis semiaxium OH,ΟΑ S . Ast. s. 266. . Rectangulum autem ex M in M adaequat rectangulum ex a Λ in Ab 3 eum si Ab Ea
98쪽
adeoque Et Aa ivn. Ast. f. 166. ,& rectangulum ex aΑ In Ab una eum quadrato semiaxis OA est aequale quadrato rectae Ob g. 2 s. , ex eo nimirum quod sit ob in Ergo etiam rectangulum ex Eb in Abuna cum quadrato semiaxis ΟΑ erit aequale quadrato rectae Obi atque propterea eidem quadrato rectae ob duo itidem quadrata rectarum ΟΑ, OH smul sumta erunt aequalia Syn. Ast. . 262. . Perspicuum porro est, quadra. tum rectae AH aequare quadrata rectarum oΑ,ΟH Lib.UL 1.37. eum an.
gulus ΑOH trianguIi AOH sit rectus cs.ro . . Ergo quadratum rectae AH aequale itidem erit quadrato rectae ob con. Ast. s. 161. 3 ae proinde rectae AH, in erunt inter se aequales Lib. I. I. I 87. . Itaque in hyperbola &equoὸ erat ostendendum.
Di Dperbola semiordinata ad axim ducta ex illius Deo adaquat semiparamotrum Useus axis.16 . Ex Meo a hyperbolae BAC dueatur ad axim Aa semiordinata ab Dico , rectam ab aequare dimidiam partem parametri AD.
Cum en ἰm rectangulum ea ex abscissa Aa in rectam La eompositam ex ipsa abscissa,& ex latere transverso EA ipsius hyperbolae, sit ad quagratum ad semiordinatae a b, ut est axis ipse transversus ΑΕ ad parametrum A cs. 2o3. , di axis transversus ΑΕ si ad parametrum AD , ut rectangulum ex DA in AE , nempe FDAE, ad quadratum GDAH ipsius parametri Lib. IX. s. 99G, rectangulum ae erit ad quadratum ad . ut est rectanguis tum FUAE ad quadratum GDAH c Lib. I. s. 76. 3 8e alternando , quadratum ad erit ad quadratum GDAH, ut rectangulum a e ad' rectangulum FDAE si xx s. o Rectangulum autem ae est in ratione subquadrupla ad rectangulum FDAE si 161. . Ergo etiam quadratum ad erir in ratione subquais drupla ad quadratum GDAH; & ideo recta ab erit in ratione subd. pla ad parametrum AD c Lib. IX. s. I I. . Igitur in hyperbola Sce. quod,
COR LLA TU κω Σεῖ. In dimi ergo sectione estniea semiordinata ad axim ducta ex illius eo adaquat dimidiam paνtem parametri ipsus axis. Quod enim modo demonstravimus in hyperbola, ostensum est superius in ellipsi cL r εα , dc in parabolae TM. in
99쪽
si recta linea secetur ute unque, rectangulum contentam sub tota, o una parte erit aequale rectangulo comprehens sub Partibus . una cum quadrato illius partis. 269, Secetur utcunque recta AB in a. Dico, rectangulum ex tota AB in partem Aa esla aequale rectangulo, quod fit ex una parte M in alteram Aa, una cum quadrato ejusdem partis A a.
Descripto cirea totam AB semicirculo ΛbB, recta ab sit ipsi ΑΒ pem pendicularis 3 puncta autem Λ, b iungantur recta Ab, & puncta b, B recta Bb. Quoniam igitur recta Ab est media proportionalis inter totam ΑΒ, & partem Αa t Lib. IX. g. . , rectangulum ex AB in Ra erit aequale quadrato rectae Ab Quadratum autem rectae Ab est aequale quadratis rectarum Aa , a b. Lib. VL 37. . Ergo iisdem quadratis erit aequale etiam rectan lum ex AB in Aa S . .. g. χε a.). Constat autem, quam dratum rectae ab esse aequale rectangulo ex Aa in a B sLub. IX. . II .st, a proinde rectangulum ex Aa in au una eum quadrato rectae Aa aequare quadrata simul sumta rectarum Aa, ab s. 261. . Igitur rectangulum ex AB in Ra erit itidem aequale rectangulo ex Α a in a B una cum qua drato partis Aa g. 26I. ι & ideo si recta &α quod erat ostendenduα-
Foeorum distantia in perbola es media proportionalis inter axim transversum, cir rectam compositam ex ipso axe . . : tro verso, o ex parametro .
et O. Puncta a, m sint soci hyperbolae BAC, eurus axis transversus se re cta EA, parameter ΑΚ, & recta composita ex axe transverso, & ex Para VS metro DICO, rectam am socis interjectam esse mediam proporti nalem inter axim transversum LA, & rectam A L.
100쪽
Quoniam rectae xa, xm sunt aequales cs. 26 - , adeoque a m 2 xa, quadratum restae ma erit quadruplum quadrati rectar xa Lib. IX. Rectangulum autem ex EA in Ra, seu ex mΛ in Ra, una cum quadrato rectae xΑ est aequale quadrato rectae xa s. 246. . Ergo quadratum rectae ma erit quoque in ratione quadrupla ad rectangulum ex Ea In Aa sumtum una eum quadrato rectae xΛ Lib. I. I. III. . Manifestum porro est, rectarugulum ex EA in ΑΚ esse quadruplum rectanguli ex Ea in Aa g. 161. , de quadratum rectae EA esse quadruplum quadrati rectae xA Lib.IX.s. I 2. ὲ cum sit EΑ - 2xΛ s. I98.)l ac proinde rectangulum ex EA in ΑΚ una eum quadrato rectae EA esse in ratione quadrupla ad rectangulum ex Ea in Aa una eum quadrato rectae xΑ Lib. I. g. I . . Ergo rectangulum ex EA in ΑΚ una cum quadrato rectae EA erit aequale quadrato rectae ma si Io 3. . Rectangulum autem ex EA, seu KL in ΑΚ, una cum quadrato rectae EA, seu KL adaequat rectangulum ex AL in KL s. 269. . Igitur rectangulum ex AL in ΚL erit aequale quadrato rectae ma Syncisu. s. 262. 3 atque propterea recta ma erit media proportionalis inter rectam KL, & rectam ΑL, seu inter rectas EA, AL Lib. IX. s. II 8. . Foeorum itaque distantia &e. quod erat ostendendum.
si ex Deo b hyperbola BAC ducatur ad quodvis punctam c ipsius eurva Dperbolicae recta b , σ per punctum C recta ta gens c M, eui ex centro O occurrat recta IN. recta bc parallela , recta O cerit aqualis semiaxi transverso OE. 2 I. Ex altero Aeo a agatur ad tangentem CV recta aΜ rectis os, in riparallela, ductisque tangentibus verticalibus ΓΚ, Ad, ex seeo a ad puncta r xvi K, N, d, C dueantur rectae aΚ, aN, ad , α , de ex vertice E ad punctum N recta EN, sicuti ex altero vertice A ad idem punctum N recta AN. . Demonseratio. 'Itaque cum anguli alterni Mb, CNO parallelarum No, b C sint .macies c Lib. IV. F. I s. , sicuti etiam angulus externus ONC, & internus a MCparallelarum a M , ΟΜ g. I . , duo anguli NCb, NMa erunt inter se aequales SIn Ast. . 2sq. . Angulus autem MCa adaequat angulum MCb s. 219. . Ergo angulus MCa angulum quoque NMa aequabit vn. Ars. 261. , eruntque propterea duo latera abi, a C trianguli MaC inter se aequalia cLib. U. g. 61. , seu triangulum Μ a C erit , sceles. Producta porro in R recta NO, perspicuum est, in triangulo ba C esse a C. a R ab . a P Lib. IX. g. 1 . . In triangulo autem ΜCa itidem habetur ΜC . MN a C . a R . Ergo erit MC . MN a b. a o Lib. I. g. 76. 3 a proinde cum sit ab lao, seu ao ob s. 261. , erit etiam ΜC 2ΜN, seu Elem.Math. T.IH. G 3 MN