장음표시 사용
101쪽
onstructis in demonstratio. Ividatur A D in H i & C B in I bifariam i & tecta H I diutis sit in E Vt st
QHE ad E I, si eut est F ad G. Dico rectangulum AED, ad C EB rectangulum habere rationem quadrati F, ad G, quadratum. Huius rei demonstrationem reperies libro de parabola. Ex cuius proprietatibus est
utcunque in C & D, denuo partiri in E, ut rectanguluA E C ad BED datam rationem cotineat quadrati F,ad Gonstructio in demon Dario. Dividantur ut prius rectae AD, CB, in H, & i punctis bifariam, quo facto diui
datur H I recta in Ε, secundum proportionem G,ad F. Dico rectangulum AEC, ad BED rectangulum, datam habere rationem quadrati F, ad G quadratum. Hui us quoque demonstrationem inuenies eodem libro de parabola.
sam utcunque in C & D, iterum diuidere in E , ut i
rectangulum , datam obtineat rationem quadrati F ad G. coninustio in demonstratio. HMNoL cIae ut AC ad DB, ita HI, ad KL, dive F ad G, ita IM ad KN, tandem fiant ita continuata analogia HI, MI. O I: dc similiter v L, N K. P Κ: denique diuidatur
CD in Ε, secundum rationem Ioad K P, Dico factum quod requiritur. Rectans,iami. gulum A CE, ad B DE, habet rationem compositam ex A C, ad D B , hoc est HI, ad KL, dc ex ratione CE ad ED, hoc est OΙ, ad K P. Igitur rectangulum ACE, ad BD E eandem obtinet rationem, quam rectangulum HIO ad LΚPι sed HIO ad LΚP, eandem habet rationem, quam quadratum IM ad KN, sex constructione enim sint tres in continua analogia tam Io, IM , IH , quam K P, Κ N,ΚL.ὶ hoc est quam quadratum F, ad G, quadratum; Igitur rectangulum A C E, ad B D E, eandem rationem continet, quam F quadratum, ad G quadra-' tum. Perfecimus igitur quod imperatum fuit.
Ata basi, aggregato laterum , ω altitudine trianguli, exhibere
102쪽
Α' Constructio oe' demonstratio. DAto laterum aggregato , aequalis ponatur A B; qua bitariam diuisa in C, fiat DF. aequalis basi trianguli, bifariam
diuisae in C, & altitudini aequalis ponatur F ex lateribus AC, CB, DE, fiat triangulum DI I si 1 nam A C. CII simul sumptae maiorcs sitiat DE. erit igitur 13 H E Iso sceles: deinde fiat vi II C quadratum, ad quadrat uva F, sic ACB rectangulum, ad rectangulum AKR , scorigatur Κ. G aequalis ipsi F , parallela H C, iunganturque D G, GE. Dico D GE triangulum esse qliaestum. Demonstrationem huius inuenies libro de cli ipsi Proposcini.
PROPOSITIO LXXX LII. DAtam AB sectam in C, diuidere in D, ut quadratum AD, aequa
le sit CD B. rei tangulo.c onstructio oe demonsIratio. luisa CB in F, bifariam, ponatur X Enormalis EG, aequalis ipsi A E: iunctisque A G, describatur per C, B. G, puncta circulus C B G, occurrens EG lineae in Fr diuisaque FG bifariam in I , agatur per I recta III parallela ipsi C B, occurrens A G lin ae in Id puncto: ex quo normalis erigatur H D, occurrens CB Iineae in D. Dico factum esse quod petitur: cum enim HI parallela sit ipsi AE , ponanturque A E, EG lineae aequales, erunt & PII , IC ouoque inter se aequales, de H communis intersectio linearum III, H G cum circulo. Vnde & H D eundem contingit in II: estque C DR , rectangulum aequale quadrato H D, id est AD. Divisimus igitur ΑΒ lineam , dcc. Quod crat faciendum.
PROPOSITIO LXXXIV. DAtam rectam A B sectam in C , denuo partiri in D, ut quadratum
AD, ad rectangulum B DC , datam obtineat rationem. Constructio em demonstratio. DAta sit ratio E ad F, &fiat rectangulu aliquod GIΚ, quod id rectangulum L IM rationem Candem cu ratione E ad F contineat a hoc facto ponatur quaedam I S, orthogonalis ad G M,&inuenta IN media inter ΚΙ, Ι G, diuidatur K G bifariam in O,Sc erigatur OΤ parallela I S,donec concurrat cum T S, quae aequi distet GM, in T: Miungatur Τ N , quae S I productae occurrat in P.
103쪽
rens TS protractae in R. tandem diuidatur LM bifariam in V, & erigatur V X aequidistans Τ Ο, concurrens cum P Q in λ , Sc fiat ut V λ quadratum, ad quadratum X λ, ita quadratum V L, ad X γ quadratum : Dico T Z lineam diuuam esse in S , γ, secundum rationem postulatam ι unde si diuidatur AB in D, & C. ut est diuisa Τ Z, in S , &γi habebitur ratio quadrati AD, ad CDB rectangulum, in ratione E ad F. quod fuit postulatum. Ulterius non pergo in demonstra tione huius rei, cum non sit huius loci i sed eam reperies libro de parabola Geome. trice tractatam, & perfectam. .
104쪽
esens liber, quem de progressionibus Geometricis inibimus, omnino necessarius est ad sternendam viam, am inimus circulo ad quadratum reducendo: non ita velim intelligas, ut omnes omnino propositiones, quς in toto eius decursu reperiuntur, ad cum finem requiri credas; sed quod sine usu huius libri, quoad partes maxime principales, dissiculter ad scopum peruenire quis possit: exigebat autem libri argumentum, ad doctrinae formam vel leuitor saltem concinnari,& cognatis materijs exornari, ne faetum imperfectum ederemus. Idem de sequentibus libris iudicium ferre dignabere.
ARGUMENTUM.L--ι de hoc argumento Speculationes non tantum Theorematicas, rum etiam Problematico constra runt: si omnes, ovi ex bbris hue,sique consecrΨ: is cognostere potvi , Arithmeticad materisae concernentes , m. medium attulerunt: qu, aut horata uis omnino intactas relinquo ι mei enim instituti ea progressiones tradiare Vmmetricas, non Anthmeticas e S per ιEMeognsere quantιratum omnM Jecim maenitudines, siue illa in lineis, siue superficiebus,veletiam stissis exhiberi debeant. Occasionem huic considerationι subminstrarunt nonnulla, cὐm in Archimede, tum ιn Euchis loca , quae iubent inconstrumone Geometrica, auferri 'Verbigratia,ὶ ab aliqua quantitate dimιdium, oe huius iterum dimidi, dimidium, in pro clausula adfertur, bc hoc semper fiat. Tinstauit me haec particuti, meoebi morosiore cogitatione circa hac mersiri e tandem post longas vexas intellistas ea quae mihi inciderut,tili benitne Lector commanico, t quae huic materiadi sunt supplere digneris. ligam eteni iam direxι adcognostendas quantitates, quas instituto meo necesserim ese arbitratus sum: communι enim Geometria, quam amete-G x ribu
105쪽
11 ARGUMENTUM.ribus aecepimus , non existimaui posse quempiam miam sibi sternere, ad problemata
soluenda , quae a Mathematicis per tot secula desiderantur: inde nouas artes V -- odos nouas tussicaui excogitandas, quae Fupplerent Geometriae antiquae de tu; H-gnaberis itaque benigne Lector, bonι haec consilere , in cum aduerteris , multa hic esse quae incudi reddi debearit, itpote male tornata ; memineris metim ita silentias in orbem esse ingressis; prim)ὸ muni, in inconcinnas, quas multorum tandem manus ad persectum nitorem reduxerunt; facili etenim negotio inurartu quidpιam addi potest, plura quippe ident oculi, quam oculus; qui domini sui iussu certis terminis si conti
In quatuor partes partimur hunc tractatum, γο distinctius procedamus, in captuι ronum magis In rura mus. Prima instrui et contemplationi progreFonum inchoatarum, siue necdum termis rarum , quia terminus progressionum nondum ιn considerationem adducatur. quid autem sit Praerois Geometrica, quu eius terminus ,.his similia, patebit exsequentibus.Sed tribus ierias conabimurpraemiis partis nomencluturam expbcare. tur quaeus ratio M ad Βι in petatur tertia ABC proportionalis ad bas duat quantιtates,exhibeatura. o qμe tertia C: continuatio trium horum terminorum dicetur esprogresonu interminatae ι eo quod possiemlterius procedι in eadem serier nam si dentin tres quantιtates D, E, F, in addatur quarta G, quae eontinuet eandem rationem D ad E, progressis terminorum CD, E, F, G, isterius est producta, quam sit proPressio terminorum A, B, C: cum haec consistat in duabus rationibus ι ilia vero in tribus. Porro hae methodo procedendo, eontinuo auctis rationibus ; augetur proPressio ; manet ιnterim per intermιnata. Haec igitur pars prima non perget interius, σ Aset infla consid ratione Progressionu bums, quam Nocamus ιntermιnatam, ad Utiumonem alterius, quae tota exhaurietur, ac proinde terminabitur stipsa. variu igitur proprietatibus inchoatae progressionis in medium astatis, Abstqvitur
Secundapara, qua tota Ner itur circaprogresonem terminatam, absilutam Me exhaustami atque hoc niuersim in quocunque genere quantitatis: andagando flicet cuiustunque ra tionis, si in infinita censeatur continuata, magnitudinem, quantitatem. neque melim quis in animum inducat, nos materiam ingressi, quae placitu phi&8borum contradicat: imo ostendemus luce elanus, b nostra methodo dissolus etiam
teria quantitatis inuicem esse molesti. quod ut exemplo uno man stilis explicetur. subeat memoria Meumenit, quod Achisies Zenonis nomιnatur, quo omnem motum rΓ- minare ex orbesiposse contendebat: omnibusquefludebat persuadere, fasti oculos,iam quid loco moueri arbitrarentur i Meumento ad ιd formato duorum , qua mouerentura
MehiltasAbcet telocissime mentis, in testudinu tardissime replautu. B D E CPonatur , inquiebat ille , ochilles curserpernici mus , ex se puncto , testuαι-nem pergento per semitam P C tardissimo motu , velis assequi Νο cursu: Quo tempore An sies tendit ex A in P, mota est testudo ad aliquod L auum , perueniens in D i igitur necdum Aebulis assecutus est tessu mem et iterum quo temP re
106쪽
re ex A. Achιlges currit, mi assequatur testudinem existentem in P, mota ea testari perueniens ad E. punctum ι ιPtur nondum assitum stestudinem, atque hoc in infnιtum continget I igitur nunquam assequetur Ochillis testudinem. Argumentumhoe Zenonis secil&me expedietur per ea, quocunda huius libra parte ad eremus ι, nam ex doctrina ιδώspartis, nonsosiim mani seseu et, Acbissemperuenturum ad testudu-nem,sid ipsum punctam absignabitur in quo approensio testudinusutura est.
Tertιa Fars huius libra mesbitur circa pro Vsiones termιnatas lanorum pra- sertim ilium, qua commodiora sunt it adristrinae finem redueantur: it si datis Asbuae quadratis in ratione maioris inaequalitatis, quu requιrat superficiem exhiberi, qua aquatis existat magnitudinι, quam tota ilia series quadratorum produceret, orta ex progressione rationiis primi quadrati adsecundum, inbuiuscunH ad tertium, essie in infinitum: atque mi ιδνum familiarius exponam, ponatur quis equum generosissimum iesie a quopiam mercara, qui muli opinione milis aureis aestimatum cumquemide aurei mdem non sint ad manum , hae sponsione contrabit, se post mensim centum aurera ei donaturum; postsecundum meia mensim quinquaginta, post tertium mero Fitιquinque,atque ιta deinceps postisingulos mensis,perpetuo censu dimidum aemι- dijpreti, pendat mur, quodpostremo mensi creditori perstruerim. tandem pertaesus molesiarum, conetur pacto cum eodem, osserendo ducentos aureos pro residuo, t ab illaeensum expediat, quia borum duorum tris contractu decipitur , emptorne an mendi Dry huius σsimilium quaestionumsolutiones, domina tertiae partis huius bbra, hquidissime expediet: σ assignabit, qua post singulos mensis summasit residue debitι imo si quo postularet nos qualis summa residua est futura ,3 1 eentesimum,imo MLlesimum mensim,Geometrita certitudine ex praesentis Pannissentia cognosset. Guarta Tars totam doctrinam prioribus partibus expbeatam corporibus Flidrique applicabit: spero binuae traetatus argumentum non fore Hia ingratum, quι communi Geometria excubisunt admonia enim Theoremata huius ιbri notula eruuntur, es Problemata sque communi Veometria dissiciis methodoseluuntur praxi commodissimaeve suntur et sine adminiculo enim huius tari nulla esset huius operis lucubrationum rartitudo, qua maxima ex parte hin ulcimento innixa est.
107쪽
DEFLNITIO PRIMA.GEometricam seriem voco quantitatem finitam , diuisam secundunt
continuationcm cuiuscunque rationis datae.
QVamuis sensus,quem verba indicant obscurus non videatur, nihilominus mentem meam circa definitionem praesentem censii apponendam: ponatur itaque Iinea quaevis A B, diuisa in C, secundum quamcumove proportionem; & fiat quemadmodum est tota AB ad CB, ita CB ad DB, de denuo vi CB ad DB, ita
DB ad EB, & hoc semper fiat. Oritur in hac ratione procedendi duplex consideratio; prima, rationis AB ad CB, &CB ad DB, stulterius DB ad E B, atque ita deinceps: altera rationis A C ad CD, & C D ad DE, iterum D E ad EF, Mita consequenter, de licet hae considerationes videantur diuersae , in unum tamen scopum collimant: nam cum ratio AB ad CB, & C B ad DB, eadem sit cum ratione A C ad CD, 8t CD ad DE, atque ita ulternis, si fiat rectae AC aequalis HIM haec H I, - Η Κ Ι. M Idiuidatur in punctis K,L,M , secundum rationem A Bad CB, &CB ad DB, m. tunc apparebit ratio, qua duae istae considerationes in unam coalescunt, si quis igitur petat, quid velim intelligi nomine seriei t respondeo me nomine seriei , totam illam continuarionem linearum intelligere, quarum prima est AiC, sccunda C D,ita ut ratio AC ad CD, eadem sit cum illa quam obtinet CD ad DE, atque ita deinceps terminatam eodem termino, quo terminatur ratio AB ad CB, &c. Et quia indefinitione, particula adiuncta est 3nitam,hinc hoc loco explicare cogor seriem pertationes AB ad C B, & C B ad DB, & ita consequenter, cum necdum demonstratum sit quo puncto lineae AC D terminus existat seriei rationis AC ad CD.nam plusquam notum est, apud philosophos, nunquam perueniri posse ad terminum continuationis, per partes proportionales AC ad CD, 8c CD ad DE , cum residua semper remaneat quantitas diuidenda, secundum easdem rationes; quare terminus, hoc tenore progrediendi acquiri nequit : sed si quis procedat iuxta considerationem continuationis AB ad C B, & CB ad DB, & sic in infinitum, sempcr includit terminum , ad quem per continuationem rationis AC ad CD , perueniri nequit ι seriem itaque voco, quantitatem finitam AB , diuisam secundum continuationem rationis A C ad C D, & CD ad D E. quae eadem semper existit cum ea quae fit continuando rationes A B ad C B. Quotiescunque igitur occurret mentionem fieri continuationis alicuius seriei AC ad CD,& CD ad DE , subeat animo continuationem hanc finitam esse, & totam illam terminorum infinitorum collectionem, alibi terminatam esse: quq collectio stries alicuius rationis Geometricae nun cupatur.
DEFINITIO SECUNDA.PRogressio Geometrica est quotcunque terminorum secundum ean
Est itaque omnis progressio pars seriei, cum ut explicatum est amnis series sit continuatio alicuius rationis eousque producta, donec amplius protrahi nequeat,mo do prius explicato : Progressio vero prout differt a serie, proprie interminata est, ac proinde eius pars: ubi iamcn inueneris in contextu sequentium, agi dc tota progio clione rationis alicuius continuata, de seri e agi memineris, neque enim haec magis scru-
108쪽
lupulose obseruari volo, quam a Geomettis omnibus seruarur nomenclatura proportionis, vel rationis;quarum Iicet altera in duobus terminis consistat,altera in pluribus,nihilominus, pro arbitratu scribentis,passim confunduntur.Sint igitur haec praemisia,si non exactarum defitinionum loco, salteua uberioris explicationis supplememto. Datis itacitae A & B: vellatio A ad B est maioris inae- A B C Dqualitatis, vel prorsus aequalita- tis , vel minoris inaequalitatis: A B C Dquod si fiant cotinuae proportio uales ABCD. huius imodicon. A B C Dtinuatio progressio Voceruri . quotcunque tandem termini exstant. Progressio vero Geometrica iam explicata duplex est;alia continua, alia discreta. Continua est cum omnes termini rationem connectentes, habent rationem antecedentis, & consequentis i ut in scemate rationum explicatarum, si fuerit quemadmodum Α ad B, ita B ad C; & quemadmodum B ad C, ita C ad D, atque ita in
quovis tanὰem numero terminorvin: huiusmodi progressionem continuam voco. Discreta progressio est similium rationum secundum aliquam continuationem positio, ut consequentes non fiant antecedentes. exempli causis; si fiat quemadmodum
A est ad B, ita C ad D. &B fuerit minor quam A, vel A B in
C, talem progressionem in quotlibet randem terminis constituta sit, voco discretam; etiam in his terminis i L. I, Io. 3,ε, 8,16. vhi discreta ratio valde interrupta est, quia est continuatio simili uiti
DE p INITIO TERTIA.1 Erminus progressionis est seriei finis, ad quem nulla progressio pertinget, licet in infinitum continuetur; sed quouis interuallo dato Propius ad cum accedere poterit.
Ponatur recta AB, diuisa in CD E F G. ut continuent eandem rationem A B. CB, DB, Eli, FB, GB Cum sit eadem ratio AC ad CD , ω CD ad DE,
atque ita deinceps, cum ea, quae reperitur inter lineas AB, CB, DB, &c. similis quoque erit eiusdem ratiotiis progressio AC ad CD, cum progressione ΑΒ, ad CB. terminus autem ratioms AC ad CD, dicitur punctum B, siue illum intrinia secum velis, siue extrinsecun , per me licet: nam de re nobis est hic quaestio, non de verbo: ad quod punctum nulla progressio pertingere valet, cum omnis progressio interminata pars seriei existat: nihilominus tamen, poterit ad illum progrestio per continuationem magis ac magis accedere, ita ut vicinior vltimus terminus progressionis interminatae existat ipsi termino seriei, quam sit distantia quaecunque propo
An autem talis detur terminus progressionis, & quo pacto inuestigari debeat, libro secundo huius tractatus disceptabitur, illud interim insinuatu hoc loco desideto, huiusmodi terminum solum reperiri in ijs progressionibus,qui proportionem maioris inaequalitatis Continuant, nam earum progressionum quae vel terminis semper aequa thus constant, vel certe terminis minoris inaequalitatis, nullum asii gnari posse te minum,manifestum nimis est, quam ut explicatione indigear: quandoquidem dictae progressiones , si continuentur , magnitudinem quavis data maiorem exhibere natae sint. Itaque secundo libro, tertio, & quarto, in quibus progressiones iam terminatae
109쪽
cons deramur, nullae proponentur, praeter eas, quae maioris erunt inaequalitatis: in primo vero, quoniam illi e a termino adhuc abstrahitur , etiam progressiones aequalitatis , & minoris aequalitatis contemplabimur. Terminus igitur progressionis talis est, quemadmodum explicuimus, cum scilicet aggregatum, siue summa terminorum progressionis , quantumuis continuatae, numquam excedit quandam magnitudinem ; excedit vero omne minus illa magnitudine, atque ita post et etiam dici productiam siue quantitas totius, datae progressionis, & magnitudo illa aequalis dicetur toti progressioni datae: hoe est omnibus terminis proportionalibus simul sumptis. Issem igitur quoad rem erit, sue terminum quaerere progressionis , siue magnitudinem toti progressioni parem sue ipsam mei integram seriem progressio nis exhibere. sed haec melius propositione quinta, secundae partis, huius libri, percipi poterunt. Si quid praeterea pertinebit ad terminorum explanationem, indecursu operis exponetur.
110쪽
Tro re ones considerat indeterminataι. PROPOSITIO PRIMA.ontinue proportionalium differentiae sunt in continua analo gia eiusdem rationis suorum integrorum B C D E F GSint magnitudines continuat proportionales A G, BG, CG, DG EG, FG. ostendendum eth AB, BC, C D, DE, EF differentias in contianua esse analogia suorum integrorum, & contra si A B, B C CD,&c. fuerint continuae dc F G addatur ut A G, B G, A B, B C sint proportionales; Dico de ΑG, B G, C G,&c. esse in continua analogia.
Demonstratio.QVomam AG est ad B G, ut BG ad C G: etit diuidendo ut AB ad B G , se BC ad C G: & permutando AB ad BC, ut BG ad CG, siue ut AG ad B G. Similiter B G est ad CG , vi CG ad D G: S: diuidendo B C ad CG ut CD ad D G,& permutando B C est ad CD, ut CG ad D G, id est ut B G ad C o, id est ut AG ad B G. atqui erat ut AG ad B G, sic AB ad BC, ergo BC est ad
CD ut AB ad BC. Continuae stant igitur proportionales AB, BC. CD, dc quidem in analogia suorum integrotum 'AG, BG. simili ratione ostendam reliquas cum liis tribus esse continuas:quod erat primum. Sint iam A B, B C, C D, ice. continuae, quibus addita sit FG, sic ut A G sit ad BG ut AB ad BC. Dico omnes AG, B a CG,DG, Acc. esse in continu.tan'ogia differentiarum. Quia ut AB ad BC, sic AG ad B G, ergo permutando Ac d uidendo, dc rursum permutando ut AB ad BC ho est ex datis ut AG ad BG, sic BG ad C a quoniam autem iam BG est ad C, ut A G ad BG, hoc est ex datis ut A B ad BC, hoc est rursum ex datis ut BC ad CD, eodem plane discursit ostendemus BG, CG, DG elle continuas, de quidem in ratione C ad CD, hoc est AB ad BC. Quare clim etiam Ata BG D snt in eadem rati ne continua , omnes quatuor AG, BG, CC, DG erum in ratione AH ad BC continuae. similiter ostendemus 3c reliquas cuni isdem esse continuas. Patet igitur veritas proposi
Si quatuor fuerint quantitates in continuata analogia, erunt aggregata ex prima & secunda, ex secunda & tertia, ex tertia & quarta, in continua proportione.
Vnto quatuor in continua analogia AB, BC, CD, DE. Dico etiam AC, BD, CE , esse continue proportionales. cum enim sit ut AB ad BC, ita BC ad CD, H erit