장음표시 사용
121쪽
m Erminorum seriei A,B,C, mutuus excessus sit M; N, veris excessus alterius; M -- tem & N sibi additi, faciant Pi quoniam igitur A superat B excessu M, & DQ-lperat E excessu N, A de D simul sumpti , hoc est G, superabunt B M E simul sumptos, hoc est H, excessibus M 3c N simul sumptis, hoc est excessu P : similiter ostendemus H superare 1 excessii P. sunt igitur G. H, I in Arithmetica analogia. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XX. Esto A B ad B C, ut B D ad DE; & fiat ipsi BC aequalis E F , ubi
cumque tandem cadat punctum E.
Dico esse ut AB ad AC, se AD ad AF, di BD ad B E.
Demonstrano. ABC DEFABDCEFABDEC F
QVoniam est ut A B ad B C,ita B D ad D E, erit componendo,conuertendo ut AB ad AC, ita BD ad B Et ulterius, cum sim EF, BC aequales, erit tota ΑΗ. aequalis quatuor proportionalibus AB, BC, BD, DE : de AD aequalis prima: Se '' 'tertiae, uti Ac A C primet ac secundae r quare ut AC ad AB, ita AF ad AD & inuertendo ut AB ad AC, ita AD ad AF, & ut ante ostendimus, ita BD ad
DAtae sint quatuor proportionales, minima A B, secunda AC, tertia AD, quarta Α E. Dico primo D B differentiam primae & tertiae, minorem esse E differentia secundae & quartae:
122쪽
GEOMETRICAE. 69 Secundo si BD minori auferatur aequalis EF, ex CE maiori, ut AB ad BD, vel vi A C ad C E, sic BC differentiam primae de secundae, fore ad CF differentiam differentiarum BD Ze C E. Demonstratio.
Cum ex hypothesi A B sit ad AC, ut AD ad A Ec igitur permutando ut AB ad AD, si e AC ad A E: & diuidendo ut AB ad BD, sc AC ad C E ι igitur permutando ut A B ad A C, sic BD ad CE: atqui ΑΒ minor est quam A C,igitur& B D minor est quam C E. Quod erat primum. deinde ex discursu iam facto, ut A B, ΛΔ AC , sic est BD ad CE; quare cuni EF ex nypolliesi sit aequalis ipsi BD. erit etiam AB ad AC, ut EF ad CE; ac diuidendo ut AB ad BC, se EF ad F C. Et permutando ut AB ad ΕΓ, id est ut AB ad BD. sic BC ad CFi atqui etiam veAB ad BD, sic est AC, ad CE, ut ante ossetidi y ergo ut AB ad BD, vel AC ad CE, sic est B C ad CF. Quod erat demonstrandum.
AD, quarta A E. Dico primo, differentiam primae dc secundae B C, minorem esse differentia D E, tertiae & quartae et Meundo si ex E D maiori tollatur EF, aequalis minori BC, fore ut
AD ad DE, sic BD differentiam primae 5c tertiae, ad DF differentiam differentiarum B C, DE. . Demo iratio.
AB ad AC, ut AD ad AE, igitur inuertendo, diuidendo , rursumque inuertendo, ut A B ad B C , fic A D ad D E Itaque permutando ut A B ad AD, ito BC ad DR sed ΑΒ minor est AD, ergo & BC minor est quam DE. Quod erat primum. iDeinde cum modo ostensam sit, esse A B ad A D, ut B C est ad D E. ω cum F Eponatur amualis B C, etiam A B est ad A D, ut E F ad D E. Itaque in uertendo , ac conuertendo ut AD ad BD, sic DE ad FD: ac demum permutando ut AD ad
DR sie BD ad DF. Atqui etiam ut AD ad DE, sic est AB ad BC, i ut ante ostendiὶ ergo ut AD ad DE, vel AB ad BC, sic est BD ad DF. uod erat de-
SInt continui proportionalium processus AB, B C,CD, D E,Eptassium ta vero qua uis alia N, fiat ut A B ad N, sic N ad H l: vique B C ad N,sic N fiat ad I Κ,& ut CD ad N,sic N ad KL, & sic deinceps:
123쪽
EX hypothesi lineae A B, N. H I, sunt continuae proportionales ; item BC, ΙΚι
ergo tam rectangulum ABHI qua in rectangulum BC IK aequatur quadrat 'si' i N. ac proinde aequalia sunt interie rectangula: ergo ut A B ad , B C, sic IK-HI, similiter rectangula BC IK, CD KL, aequantur in ter se, quia eidem quadrato N,
aequalia sunt; igitur ut BC ad CD, sic ΚL ad RIt atqui ex datis BC est ad CD, ve AB ad BC, lioc est, ut ostendi, sicut I K ad AI, ergo KL, est ad IK, ut IK ad HBeontinuae lunt proportionales igitur HI, IK, K L. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXIV. SI continuὸ proportionalium rectangulorum bases sint in continua
analogia: erunt & altitudines in continuata proportione.
. . nisi in Continua analogia, Dico etiam CD, DF, FH&C. ei IC continue proportionales. Rectanguli enim ABCD proportio ad rectangulum BEDR componitur ex rationibus AB ad BE, M CD ad DF r item rectanguli BEDF proportio ad EG FH rectangulum, componitur ex rarionibus B E ad EG, de DF ad FHi quia re cum ex hypothesi rectangulorum ABCD, BEDF, EG FH,aequales siue eqdem proportiones sint, erunt quoque rationes AB ad BE, MCD ad DF, simul sumptae aequales, siue eaedem cum rationibus BE ad EG,& DF ad FH simul sumptis.1unt aute ex hypothesi etiam aequales rationes AB ad Bri& BE ad EG: Quare si ab aequalibus rationibus, nempe a composita ex rationibus AB ad BE, & CD ad DF. itemque a composita ex rationibus BE ad EG,&DF ad FH. auferas aequalesta. tiones, AB ad B E, & BE ad EG: patet reliquas proportiones CD ad DF, EeD Fad FH fore aequales e ut constat ex definiri ne compositionis Proportionum. eontinuς sunt igitur proportionales CD, DF, FH. simili discursu etiam reliqua: HK, K M.&c. cum praecedentibus eandem continuabunt rationem. constat ergo quod propositum erat demonstrare. Coramum Nodem genere discursus, si rectangula AB CN, BEDN, EG FN,&c. itemque --,ases A B. B E, E G, &c. sint in continua analogia, demonstrabimus eorum altitudines CN, DN, FN. Sc. continuam quoque seruare analogiam.
PROPOSITIO XXV. Ponantur denuo AB, B C, C D proportionales , uti etiam EF,
FG, GH;&ratio AB ad EF, continuetur quomodocunque in I. Κ, P 8c sii militer ratio B G ad F G producatur in L, M, & ratio C ad G H, pergat in N, O, R, MC. Dico etiam I, L, N, & K, M, O, item P, Q, R, continuare suam rationem. Denun
124쪽
GEOMETRICAE. dii. Demonstratio.
quale tectangulo sub A B Et A s G HI; dc quadratum FG, aequale est rectangulo sub BC dc I. vii I L.
ctangulo sub CD N N eoo, itento : igitur Vt quadrata EF, -- FG, GH inter siesόnt, ira etiam ntectangula sub lateribus AB M -- I sub BC de C, item sub CD, & N contenta: sed quadrata sunt in continuata analogia , Icum latera super quibus fiunt ex hypothesi sint in continua analogiaὶ igitur etiam rectangula, sublateribus AB &I, BC 8c L, CD dc N, simi continue proportionalia t cum autem ipsorum bases ponantur in continuata ratione AB, BC, C D, etiam I, L ,N, a Ititudines erunt in continuata analogia per praecedentc. Eodem modo quia ex hypothesi EF, F G, GH, dc ex demonstratis modo I, L, N, sunt con tinuae , itemque ex hypothesi EF, I,Κr de F G, L, M; item G, H, N, O, continuam seruant analogiam : demonstrabimus K. M, o esse continuas. limiti ter quoque procedetur in lineis P, Q, R, atque ita in infinitum. constat ergo veritas propositιonis.
SIne series continuae proportionalium,habentes primum tetminum A, communem, A, B, C, D, E, F, dc Ai M, N, O, P, Q, continuata autem serie utriustiue, fiat ut B ad A, ita A ad G, &c.&vt M ad Α, ita A ad R, sicut omnes F, E, D, C, B, A, G, H,l, Let item omnes O, P, O, M, A, R, S, T, X sint in continuata analogia. Dico esse B ad M, ut R ad G, dc G ad N, ut S ad H, & 'D ado, ut T ad I, dic.
Demonstratio. 'um B, A, G, sint ites coriti- - nuae. item M, A. R, erie ramhrectangulum BG, quam rechan guIum M R, quadrato A, ideoque& inter se aequalia. Quare ut B aὁ Μ, siee R ad Gi similiter quoniam C, B, A, G, H, sunt continuae, itave mediam A , aequalis utrimque proportionalium numerus cingat: patet ex elementis, A esse mediam Pproportionalem , inter C ac H : - - --ι- rectangulum igitur UC aequatur quadrato A; eodem modo rectangulum S N quadrato A aequale erit: ergo inter se aequantur rectangula H C, S N. Quared ut C ad 4 μ N, se S ad H, simili discursit erit ut D ad O, sic T ad I, Ac sic de caeteris: Quod erat demonstrandum.
125쪽
P R O G R E .S SIONES PROPOSITIO XXVII.
O portionalium eandem habentes - p rimam., A, B, E, F, dc A, G, H, I, Dico proportionem hi ad G ,eL se duplicatam pro 'brtionis G ad B
dc rationem I ad D, rationis G ad Bessu triplicatam: dc rationem Uad Ε, quadruplicatam: L vero ad F quintuplicatam eiusdem rationis G ad Brde sic iri infinitum.
Demonstrat hcnc pr. 28. de quatuor continuὸ proportio tibia. Noseit' em de quotcuns, o istu'une methodo demonstrabimus. O, 4 Demoinratio. . QVoniam tam A, G, Hamam A, B, C sunt couti ae proportionales , PCctangulum H A, qtia 3rato a. &rectanguluin C A, quadrato a B aequale erit. unde rectangulum H A, ad rci angulum A i est ut quadratum G, aaquis dratum B: itaque v cum quadrata G, B, sint b uusuplicata ratisne basium G ad B , erit de rectangulorum proportio d'plicata, rationis G ad B: led ratio rect .viguli HA, ad rectingu- i, tum C A, est ratio e H ad c ι ergo proportio H ad C est duplicata rationis . Ad B. Deinde quoniam tam G, H, i, quam B, C; D, sitiat continuae, erit tectangulum I in quadrato II, it retiangulum DB, quadrato C aequale. itaque ratio rectangulorum' D B , hoc est ratio 4 composita ex oportioribus laterum I ad D,&G ad B, aequalis est rationi quadrati H, ad Cr atqui ratio quadratorum I C. est quadruplicata rationis G, B; est enim ratio quadratorum V, C duplicata rationis H ad C, quae ostensa modo est duplicata rationis G ad B:ὶ ergo proportio composita eLY tionibus I ad D. de G ad B, est quadruplicata rationis Gad R ex quo patet rationem I ad D solam, esse trillicatam rationis Gad B. Simili discu sudemonstrabimus rationem K ad A, esse quadruplicatam idc rationem L ad F. quintuplicatam rationis G ad B. constat ergo veritas propositionis.
PROPOSITIO XXVI liSInt duo ordines continuarum A, B, C, D, E; de Α, F, G, H, I eandem
nacti primam A : ponatur autem tertius Ordo conli et proportionalium, Κ, L, M N, Ο, secundo ordini silmilis; ita tamen ut A Ze Κ, sint ita aequales. Dein delinter tertias C & G, ponatur media P ; de inter quartas D Zc H, ponaretur duae mediae Q dc R; tandem inter quipias ponanturta es mediae S, T, U, & ita deinceps. 4 Dico esse ut L ad L, ita M ad P, dc N ad R, ut o ad V, dcc. ABC DE
126쪽
e , vomam utriaque seriei,primus terminus idem est A, ergo per praecedantem G Mest ad C, in duplicata ratione F ad B a sed G etiam est ad C, in duplicataratione G ad P, igitur G est ad P, ut Fad Bi 'd ex supposito F ad G est ut L ad Μι igitur alternando M est ad G, ut L ad Fi est igitur ex aequo M ad P. ut L ad B. Simili modo perpra cedentem H ad D, triplicatam habet rationem, Fad B; sed etiam H ad D, habet triplicatam eius, quam habet H ad Ri ergo ut F ad B, sic H ad R: deinde est F ad H, ut L ad N, unde alternando, de ex aequo N ad Rut L ad B. Eadem prorsus ratione demonstrabitur esse O ad U,ut est L ad B. Q re patet veritas propositionis. Hinc etiam patet B, P, R, V esse continuas cum L, in N, O. sint continuae , dc quidem in eadem analogia in qua sint Iineae A, F, G, H, I. ut patet. 3
continua analogia. Demonstratio.
sonantur enim inter Α & Μ, media proportionalis' Sr inter A & N me dia X: similiter a, mediae ponamur inter Α, O,N A, P, dc A F. Quoniam ergo A, B, C,& Α, U, M sunt continuae proportionales, erit ratio Cad M, iupli ea ta eius, quam habet B ad V. vlterius eum Α, V,M,3c Α, X, N etiam snt continuae Proportionales,erit ratio b M ad N, duplicata eius quam habet V ad X i eodem h sacto ostendetur, rationes Nad O, & O ad P,& P ad F, esse duplicatas rationum ad Y , & Y ad Z Ee Z adis: Quare cum C, Μ, Ο, P, F ponamur esse conistinuae, etiam B, V, X. Y, a, patet esse continuas. Est igitur ratio B ad a, quintuplicata rationis B ad V, ω quia tam , quam E, mediae sunt inter Α & F, inter se aequales erunt; ideoque & ratio B ad α, & ratio B ad E. eadem est i ergo ratio B adta quintuplicata est rationis B ad V. quia autem Β, Η, I, L, E ponuntur continuae, etiam ratio B ad E, est quintuplicata rationis B ad Hi est igitur B ad U, Ut B adH. unde aequales sunt H de U. Similiter ostendetur I & X. Κ dc T L8c Z aequales esse. Quare cum ex constructione A. U, M; A X N ; Α Υ Ο; A, Z, P, sine continuae: etiam Α, Η, Μ: Α, I, Ni Α, Κ, Os A. L, P continuae erunt. Non alia ratione ostendemus, etiam ipsas Α, H, M,QUtem A, I,N, R,&c. esse in Continuata analogia,
127쪽
Si nempe ipsis A, Η, Μ inueniamus quartam S, Se ipsis A , I,N quartam γν de ipsis Α, Κ, O quartam δ. de ipsis 'A, Ι., P quartani t. denique ipsis A, E, F quartam ξ) demonstrabimus esse ut Nius ipsas β, γ, δ, ι,ε, ipsis R. S, T, G equales, ac proinde emine .vatu*η Α, Η, AI,Q; A, LN Ri&c. tale continuas. Quoὰ erat dzmon
D Ei turbinae sellii tρntinus oportiogalium in diuersis rationibus;
mo omnes Κ, L, B, N, O: C, QER, D, & sic deinceps, somisso
ἐν. με tionem: aequales igitur sunt B M M- ideoque rationes h B ad C, M ad C aequalessimi. Quoniam autem Α, Κ, L, B suile quatuor continusi proportionales,erit ratio Aad B. id est ex hypothesi ratio B ad C, id est ex demonstratione ratio Μ ad C. tripli. t ratiouis A ad K: sed ratio A ad K. ex hypothesi est ratio Κ ad L, id est ratio M ad N . ergo ratio Μ ad C, triplicata est rationis M ad Ni est autem ratiora a P, triplicata rationis M ad N, lunt enim M, Ο. P continuae igitur ut vi ad C, sc M ad P: vnde de aequales sunt C de P. quare cum Ioco M, Inserie statuatur illi aenuasisII, de loco P, illi aequalis Gerunt Α, Κ, L, B, N, O, C cootinuet proporti males. similiter ostendemus seriem hanc per terminos Q, R, D. &c. continuari in im finitum. Quod erat demonstrandum. . Corollarium. . ' o TTIne sequituet rationem A ad B, triplicatam efferationis, K ad Lr Ae B ad C, tri- Adplicatam ipsius L ad Mi item C ad D, triplicatam ipsius M ad Ni&sic dece- feris . nam ratio A ad B continuatur, estque illa triplicata rationis N ad L, qui per
reliquos terminos continuatur.
N triangulo quovis ABN quatuor ponantur parallelae AB, CD, ERIG H, in continua analogia: ac inter AB, G H, media sit IK. inter E FVero & G H, media sit L Mi. . Dico rationem AB ad IK timplicatam esse rationis L M ad
Atio AB ad GH, dupli rata est ex hypothesi, rationis AB ad ΙΚ: de: ratio E F ad GH , duplicata rationis . LM ad G H; ergo cum iteruin,ex hypothesi ratio AB ad GH triplicata sit rationis EF ad GH, erit ratio AB ad I K.
128쪽
quae dimidiata est rationis AB ad GH, triplicat rationis et M ad GH, quae ditas. diae est rationis EF AEd GH. Quod erat demonstrandum,
QVantitas ex quo tuis continue proportionalibus cornposita, a laliam ex pari numero termino tum ciuidem tetiei productae confucam, multiplicem rationem habet proportionis primae ad secαι-im, ex quorio in is alterutra quantitatum coaeponituE: . sis , t Uinibiis ob in i . . . . Ii ait i l idam H d b .E D tu λ a Demonstrittio. I ri D
producta conficiat quantitatem BC3 hod tamen pactout utraquσ fari numero constet terminorum continue proportionalium eiusdem seriei productae: verbi gratias numeret Α Β quantitas terminos' octo αomimo proportionales, de BC totidem eiusdem letiei productae , dico A B ad B C, octu plicatam habere rationem eius qua A ad DE. Cum ere tota Ieries ratis iv AD ad DE spergat informitet Meontinuo ex suppost a vixque adio. Misim, Mitrammi ethideluserierin AB, quot urim BC, exempli causa init ut docto; hauebat ergo primat AD ad BF, cictuplic eam rationem eius, quam habeti AD ad DE: similitet ratio D E ad FG, octu ρIi-eata est rationis D E ad B H ad est rationis in D ad DBr quare cum rationes A Dad EF, dc DE ad FG, in plicatae sint aetasdem radianis AD ad DE, erit ut AD ,4 BF, sic DE v4 F G : eodemmodomi ut 1 A ad G, sic SH M GI-sie A sit , ceteM Quare omnes, antecodentes ,ad est octo term radiqui constituune AB, sellaian. hem ad omnes coram aenoea, hoc est vi veho ternantis 'ut conitituunt B C, ut una antecedens A D. ad unam cium equentem B F. Quam eum A D ad BF rationem hineat Ochu plicaram laticiniae in D. M. DE. hahebit quoque A B M BC octuli ἀtam us, quam habe AD aia: Eo Quod erat det aarandum. fmul si fi
129쪽
DAtarum linearum alteram ita istare, ut partes lineae sectae, cum in secta, sint in continua analogia. .
130쪽
alteram scilicet A B, oporteat diuid SN in D puncto, vs AD, DB, BC sint ii ' 'cotin'3 anglogia. pro constructione per. ' Z P
& ex puncto B erigatur perpendicularis 1 η BF , ad rectam λC ; ducat utque ex F puncto, linea FI. per centrum minoris dieit u IJ; fiat disique rectae G equalis sic I GD. L eo factum se quod imperatum fuit a quoniam quadrato F B tam rectangulu-A B C. quam EF I, hoc est BDC, erunt BDC, Ad C re aequaIta interser sed A B C rectansulo aequantur rectangula ADBC , L BD C rectangulo aequatur rectangulum DBC, una cum quadrato DBi igitur communi rectangulo DBC, manet DB quadrato, aequale rea: A D B'ta igityr AD, D B, BClunt Ebiitinuae
ita ducatur HKI. ut ' LRI aequalis sit Α Η quod ab alijs factum , 3e nos libro nostro de cire, is alta atquε ε alia methodo praestabimus Renique ex R electa normali x L , aequali ipsi C D, praescii datur ex KL ostendam enim e maiorem linea RN , aequalis ipsi HK. Dieo factum quod Petebatur. Nam rectangulum o HK aequatur tectangulo GH F, id est ex constructionere. 1 3 .sω ctangulo ABCD, id est rutium ex constructione IKL, ergo ut 1 Had KI, ita est reciproce. KL ad RHrat qui IH maior est quam 1Κ, ergo &LK, quam Κ Ηmaiorcest, quod assumptum iactat in copstructione: perficiantsr iam rectangula I HK, IK L, Abis per N δι Lparat iis ad III, M normalibus ΗΜ,IOP. Quoniam igitur rectangula IM, I L aequalia fiant. ablato communi K o. reliqua O L, K M aequalia rurar Quare cum K M lut ex crinstructiorie patet) sit quadratum,erunt N Ο, KN LN tres continuae. Atqui N Ο est KI, hoc est A B; de KL est C D. Factum igitur est quod petcbaLur.