장음표시 사용
81쪽
quales, igitur DF Η, ΗΕ G t iangula sunt similia. Unde FH ad UD, ut HEI G, adeoque D HE rectangula, aequalia tectangulis FH G. Quod fuit deinc
Esto ABC triangulum, ducaturque ex C, re cta quaevis CD, secans AB latus oppositum in D, diuisa autem CD bifariam in B, agatur per E linea lΚ , parallela basi A C, cui & alia quetuis GH, ducatur atquidistans, occurrens CD lineae, in F. Dico IE K rectangulum , maius esse rectangulo GFH. Demonstratis.
IJ Atio IE K rectanguli, ad tectangulum G F Η, bcomis posita est ex ratione IE ad GF, id eth DE ad DF. . . & ex ratione ΕΚ ad FH', id est EC ad FC sed exrjsdem quoque composita est ratio rectanguli DEC, adrectangulum DFC.Igiturve DEC re 2 ngulum, tectangulum DF C, sie IEΚ rectangulum, est ad re angulum G FH. est autem DEC rectangulum maius rectangulo 4 D F C cum D C in E diuisa sit bifariamin igitur & IE K tectangulum maius est rectangulo G FH. Quod erat demonstrandum.
OCcurrant A B lineae quotcuniaque inter se parallelae, rectis E B D, E C, E F: quas omnes secet linea F A D. Dico ABC rectangulum, ad rectangulum ABC, eam habere rationem, quam habet DBE rectangulum, ad rectangulum DB E.
tio rectanguli ABC, ad rectangulum ABC, e componitur ex ratione AB ad AB,id est D B ad D B. &ex ratione B C ad B C, id est B E ad B E , sed ex ijsdem composita est ratio rectanguli DBE, ad rectangulum DBE, igitur rectangulum ABC, ad ABC rectanguIum, eam habet rationem, quam DBE rectangvium, ad rectangulum DBE. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XXXIX. Esto ABC trianguli basis AC, bifariam diuisii in D, & recta ducta
82쪽
Ρ o T E N T I AE. Dico quadrata A B , B C simul sumpta, aequa lia esse quadratis A D, D B bis sumptis. NDemonstratio.
D mittatur ex B linea BE, normalis ad basim AC,
Se B E quidem I. cadat extra triangulum ABC: Quoniam igitur BE normalis , cadit extra triangulum ΑΒ C formans angulum AEB rectum, patet angulos
B A E, B D E, B C I, acutos esse : quare A B quadratum superat quadrata A D, D B, rectangulo AD Ebis sunt. pto. N BC h quadratum ab ij idem deficit rectangulo CDE, id est ADE bis sumpto: addendo igitur ad quadratum BC , excellum quo AB quadratum , superat quadrata AD, D B, fit ut A B, B C quadrata simul sumpta aequalia sint quadratis AD, DB bis sumptis. sitiam EB normalis, eadem cum latere BC, adeoque angulus ACB rectus; quadratum AB. superat e quadrata AD , DB, rectangulo ADCbis sumpto. id est quadratum A B , est aequale quadratis A D, D B, dc D C quadrato bis sumpto: led BC quadratum , deficit da quadrato B D, quadrato DCι igitur si quadratum DC, id est dimidium excessus quo AB quadratum superat quadrata A D, DB, addatur quadrato BC; patet AB, BC quadrata, aequari quadratis AD , DB bis sumptis. Cadat BE normalis, inter B C de B D lineast Quoniam anguli AEB, CEB sunt recti, erunt ΑΒ, BC qua ala, aequalia quadrato BE bis sumpto 3 Una cum quadratrs AE, IEC : sed AE, EC quadrata , . dupla sunt quadratorum AD, DE sigitur quadrata AB, BC, aequalia sunt, quadratis BE, AD, DE bis sumptis; est autem B D quadratum bis sumptiim, aequale quadratis D E,B Ebis sumptis;igitur quadrata AB, BC simul sumpta, sunt aequalia quadratis AD , DB bis sumptis. Quod erat demonstrandum. Est haec Pappi Lib. 7. Prop. a L.
PROPOSITIO XL. Esto ABC triangulum iso sceles, & ex C. alteru-
tr 'angulorum aequalium, ducta normalis CD,
Dico quadrata tria laterum trianguli, ABC aequa- u
ri quadrato AD semel; quadrato D B bis, & D C
QVoniam angustis CD B per constructionem rectus est, erit C B quadratum, aequale quadratis C D, D Bi sed A Blinea ex constructione est aequalis lineae CB;igitur Sc quadratum A B, aequale est quadratis C D , B D. Rursium quadra- erum A C, aequale est quadratis C D, DR: igitur tria laterum
83쪽
trianguli AB C quadrata, sunt aequalia quadrato AD semel, quadrato D Bbis, MCD quadrato ter sumpto. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO X L I. E io ABC triangulum. rectangulum, & ex B
recta demittatur quae uis B D, ad oppositum latus A C. Dico AD, BC quadrata simul sumpta, aequari quadratis AC, B D simul sumptis. Demonstratio.
Λ Voniam angulus B A C rectus ponitur, erit B C quadra- tum, una cum quadrato AD, aequale tribus quadratis AB, AC, A D, Iedijsdem aequale est quadratum BD una quadrato AC, igitur AD, BC quadrata, aequalia sunt quadratis AC BD. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO X L II. ESto ABC triangulum,& ex singulis angulis du
ctae lineae BD, AF, CE secent latera opposita bifariam in D, E, F. Dico AF, EC, BD, quadrata, ad quadrata tria I
terum trianguli ABC, eam habere rationem, quam tria ad quatuor.
Demonstratio.. Vadr ra AB, BC simul sumpta, aequalia sint quadratista , BD. η AD bis sumptis; dc AC, BC quadrata, argualia sunt quadratis EC, AEbis sumptis; quadrata vero AB, AC An nn Ha ih 'μφ' qV-dy xi AF, CF bis sumptis, igitur quadrata AB, BC, CA semel impia, aequalia sunt quadratis A RC E. B D, A D, ΑΕ, C Femel sumptis. Sed AD, AE, CF quadrata , sunt quarta pars quadratorum AB. BC, Si Turae dita eliqua AF, CE BD, habent quartas, quadratorum AB, BC, AC. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XLIII. IN triangulis rectagulis qua- '
dratum , quod fit a latere rectum angulum subtendente, aequale est eis lina lateribus regum angulum Continentibus, describuntur quadratis. Demonstraho. Ie A BC triangulum rectanguis ΑΓ ΛΠ C in o. v o P . . . - ivm νες laterum quadrata sint F, CH dc ΙΒ linea secet A D in C Quoniam anguli ΚCB E C A sunt m ter se aequales demito communi angulo ECGrunt anguli ACB, ECK teliqu'
84쪽
inter se aequales: sent autem EC, Κ C duo latera, aequalia duobus lateribus AC,CBugitur reliquum latus trianguli CKE, reliquo lateri trianguli ABC est aequale: unde punctum E est in tecta H Κ, M E KC triangulum , aequale triangu Io ABC. Eodem modo ostenditur triangulum ABC aequale triangulo DI. A , Se punctum D esse in directum cum I, Fproducta. Rursum cum D L latus,
aequale sit lateri C K, hoc est K Η, M FL aequale ipsi AB. id est E K: erit reliquum latus EII, aequale reliquo DF, est autem angulus FGD ob BF, LA parallelasὶ aequalis angulo DAL, id est IAC, id est angulo EI Hi & angulus E HI, aequalis angulo DFG, igitur DFG,
EHI triangula , & DG, I E latera sunt inter se aequalia. Iterum cum anguli ADI, GAC sint inter se aequales, & AC, AG latera , aequalia lateribus AD , DI, erit ID A triangulum, α quale triangulo GAC: unde dempto communi triangulo ABG, erit ABC triangulum , aequale TrapeZio I BGDI. Igitur cum triangulum ABC, id est E KC aequale sit trapeetio I BGDI, & DFG triangulum, aequale triangulo EHI, reliqua vero sint communia, erit AE quadratum, lateris rectum angulum subtendentis, aequale quadratis AF, C H,laterum rectum a gulum continentium. Quod erat demonstrandum.
DEmonstrat banc Cluuiui ad 47. primi Element. triplici alia methodo; secus qtiam Pelerarius fieri posse existimauit copia tamen , non necessitatu ergo , etiam nos istam, abasia demonstrandam assumsimul, maxime ocia ne sequentium duarum proposimnum.
PROPOSITIO XLIV. Esto ABC tri ngulum arn lygonium,& laterum quadrata AD, Α Ε,
CF. cliicaturi ex C linea CH secans orthogonaliter in H &I,lineas
AB, ΚΕ. Dico A D quadratum, superare quadrata A E, C F, rectangulo A B Hbis sumpto. Demonstratio.
Ducatur ex Alinea Α M secans in L & Morthogonaliter lineas CBGF, & super A C ut diametro describatur semicirculus AH C: atrasi-hitis per H&L. Iungantutq; puncta AG, CK, BD, BN , deincX B, recta demittatur B O , secans orthogonaliterino P , lineas AC, D N. Quoniam ΑM, C G lisseae, per Constructionem aequidistant, erit AG Ctriangulum aequale dimidio rectanguli GL: eodem modo triangulum C ΑΚ,aequale est dimidio rcctanguli AIi Rursum cum anguli CAN , per constructionem recti sint, addito communi angulo B A C. erunt anguli B AN , C AK inter seMqualas : sunt autem AB, A N late
85쪽
ra aequalia duobus lateribus A C, A K; igi tur triangulum N AB, aequale est triangulo C AK,&AI rectangulu, aequale rectangulo AB: eodem modo ostenditur reia gangulum C M, aequari rectangulo CP. Unde AD quadratum, aequale est rectangulis AI, C M simul sumptis.Sed A I rectangulum, supcrat quadratum A E. rectangulo BI, id est tectangulo ABH,8 CΜ rectangulum,superat quadratum C P. rectangulo B M, id est rectangulo C B L , id est A B H rectangulo; igitur quadratum A D, superat quadrata A E, CF. rectangulo ABH bis sumpto. quod erat de
TIRonsitionem hanc, uti orsequentem, licet demonstret Eaclides Lib. 2. prop. 2. Gm l 3. non1 iniucundum tamen foreputaui se utramque eo discursu quo Pythagor- Α .Prim Element. hoc loco demonstrarem.
PROPOSITIO X L V. ESTO ABC triangulum Oxygonium, & laterum quadrata AD, CE,
A F. Ducaturque ex A linea A G, secans orthogonaliter in H,& G, lineas CB, IE. Dico AD quadratum deficere a quadratis CE, AF, rectangulo HBC bis sumpto. Demonctratis.
nea, secans orthogonaliter in L 8e
cta AI,CM, BD, BN. descripto dein super AC ut diametro , semicirculo AH C, qui transi hit per . ΗΔ Κ) d - mittatur ex B, linea B O, secans ortho gonaliter in O &P. Iineas AC , DN. Quoniam ΑM, L Clineae aequidistant, erit MAC trianingulum, aequale dimidio rectanguli AK, eodemq; mo do triangulu AI C, aequale dimidio rectanguli CG. rursum cum anguli M A B'AN per constructionem sint aequales, addito communi angulo B AC erunt anguli MAC, BAN quoque inter se aequales, sunt autem & latera ΑΜ, A C aequalia duobus Iateribus A B, A N, igitur triangulum M A C,aequale triangulo B AN, & A K rectangulumaequale rectangulo A Pt duplo nimirum trianguIi B AN Eodem modo ostenditur rectangulum C G, aequale esse rectangulo CP : quare. AD quadratum, aequaIe est rectangulis CG ,ΑΚ. sed CG rectangulum deficit a quadrato CE, rectangulo HE, id est rectangulo Η BC: &ΑΚ rectangulum, deficit a quadrato AF , rectangulo L F, id est rectangulo AB L, id est rectansulo HBC : igitur quadratum AD, deficit a quadratis C E, A F,rectangulo H B C, Dassumpto. Quod erat demonstranda. ΡRO-
86쪽
Dico GH, H A, H C. tres esse in continua ratione.
CImilia namque sunt triangula, AH F.BΗC, quemadmodum &' triangula GH F, AH quare ut C H ad H A , hoe est B H ad HIR , ita ΗΑ ad HG. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XLVII. Sint A B C D cuiuscumque parallelo
grammi, diametri A B, CD. Dico diametrorum quadrata simul sumpta, aequalia esse quadrari IMterum figurae. Demonstratio.
DEr trigesimam nonam huius, quadrata Α C, 1 AD aequantur quadratis EC , ΕΑ bis sumptis: & per eandem quadrata CB, BD aequalia sunt ijsdem ι scilicet quadratas EGEB bis sumptis, sed quadratum C D a aer tur EC quadrato quater sumpto,& AB qu dratum, quadrato EA quater sumpto: patet ergo Fcritas propositionis.
PROPOSITIO XLVIII. Esto ABC triangulum is sceles, ductaque m C, alterutro angui
rum aequalium, utcunque linea CD, quae ΑΒ lateri, occurrat in D, fiat ipsi CD aequalis D E, iunganturque E C. Dico angulum BCD, duplum esse anguli ACE. DinwUratio.
RNgulus DA C aequalis , est duobus ingulis DEC, A CE, id est perconis
structionem, angulo D CE una cum an gulo ACE, id est angulo DC A macum angulo A C E bis sumpto. Sed angulo D AC aequatur' angulus BCA, cum A B C sit isosceles: igitur an3ulus BC Α, aequatur angulo DCA, una cum angu lo ACE his sumpto, dempto igitur comis muni angulo DCA, m et angulus BCD, aequalis angulo AC E bis sumpto Quod erat demonstrandum.
87쪽
PROPOSITIO XLIX. E sto ABC triangulum obtus angulum , oporteat AB latus subtenis
sum angulo obtuso ita secare in si, ut A E , E B quadrata, aequalia sint quadratis AC, CB. Constructis,oe demonstratι o. P Roducta AC in F, ut AC, C
lineae sint inter se .e tu ales, lungantur FR, producaturque AB in Gue G B, BF lineae sint aequales: tum AG bifariam secetur in E : Dico factum esse quod petituri Quoniam AC, C FI ineς sunt inter se aequales,erui ABC, C BF triangula aequalia, & quia angulus ACB obtusus est , erit ΑΒ latus, subtensem angulo ACB, maius Iatere BF, id est per constructionem, latere GB. qua re punistum E cadet. inter Α δc B. igitur cum AG linea diuisa sit bifa- -- η mam in E , ω non bifariam in B, erunt AB, BG quadrata dupla quadratorum . , 9-,. A E, EB sed R AB, BG qui drata, id est AB. BF, duplati sunt quadratorum AC, CB, igitur qua rata AE, EB, aequalia sunt quadratis AC, CB. divisimus igitur latus AB, dcc. Quod erat faciendum.
T Emittatur ex B linea BD, normalis ad recham AC, seceturque AB in E ut. -- A E B rectangulum aequetur rectangulo A CD quod fieri poste ex eo constat, quod A B linea maior sit linea AD. Dico factum este quod petitur. Quadratum ς AB aequale est quadratis AC, C B Sc Α CD ς rectangulo bis sumpto, sed&ABa .. s...... quadratum aer uale i est quadratis AE ,. EB & AEB tectangulo bis sumpto igitur si quadrata AC, C B, una cum rectangulo A CD aer ualia lunt quadratis AE,EB, una cum rectangulo AEB: sunt autem A CD, A E B rectangula inter se perconstructionem aequalia , igitur Sc quadrata AC, CB, aeuualia sunt quadratis A REB. divisimus igitur, dcc. Quod erat faciendum.
pROPOSIT lo L. DAtis duobus t iangulis ABC, CD E in aequalis altitudinis, super
eadem, x et aequali bas in directum constitutis, lineam ducere,parallelam basi A C, quae auferat triangula in data ratione ad N. Constructio m demonstratio.
DV catur ex D linea D R, parallela basi AC, occurrens C trianguli lateribus, in K: dein sat ut Mad Ν, sic
Κ triangulum, ad trianguluQ, quod simile sit trianguia
factum esse quod petitur. Quoniam FG est ad HI, ut L Κ ad Pinerc permia,ndo inuertendo ut L K ad F G, se P Q ad III sed L B Κ triangulum, est ads ij. Misi. triangulum FBG, in duplicata frat one eius, quam habet L Κ linea, ad lineam F G. EUPO a triangulum est ad triangulum CDE in duplicatag ratione sineς P Qua
88쪽
ad III, quii P OQ. FIDI triangula sit ni similia; igitur vi triangulum L B Κ triangulum F BG, ita est triangulum P ολ ad triangulum H DI, Λ permutando ut L BK triangulum , ad triangulum P O in sic FBG triangulum , est ad triangulum H DΙi te i L B Κ triangulum, per constructionem est ad triangulum P o O ut M ad N. igitur ut M ad N sic FBG triangulum est ad triangulum H DI. Duximus igiatur lineam, &c. Quod erat faciendum.
dem angulo ABC recham siubtendere L M, datae DE aequalem, quae auferat triangulum, dato AB c triangulo aequale. Oportet autem ABC triangulum , non esse maius isosceli, quod super D E poni potest, habens ad verticem angulum, dato ABC aequalem. constructio in demonstrario.
Cuper D E linea segmentum fiat circuli, continens angulum , ABC aequalem. Di visaque D E hilariam in G, erigitur recta GI , normalis ad lineam A C, iunganturque puncta DI, IE. Dein ex B demittatur linea BF , normalis ad basim AC' fiatque ut DE ad AC, ita BF ad HG, erunt ABC, D HE triangula inter se aequalia, Se H punctum non cadet supra I,quia ABC triangulum per constructionem non est maius, triangulo DI Et tum recta ducatur H Κ, parallela basi DE, occurrens circulo in K. Iunctiique punctis D Κ, ΕΚ, fiat B M aequa. Iis ipsi DK, & BL aequalis ipsi KE , iunganturque L M. Dico L E M triangulum satisfacere petitioni t Quoniam H Κ, D Elineae sunt parallelae, erit E KD triangulum aequale triangulo D H E, id est per constructioncm iiiiii gulo ABC; est autem angulus ABC, aequalis angulo DΙ Ε, id est angulo ου DKE,& DΚ, ΚΕ latera per con structionem aequalia lateribus L B, B M,i tur triangulum L BM ςquale est triangulo D ΚΕ, id est triangulo ABC,&M Llatus aequale lateri DE. igitur angulo ABC rectam subtendimus , &c. Quod erat
PROPOSITIO L II. DAta recta AB, utcunque diuisa in D; super AB triangulum consti.
tuere ACB, habens ad C verticem,angulum dato F, aequalem quenrecta ex C per D acta , diuid ad bifa
confractio-demonstrauio. Cuper ΑΒ recta segmentum describa.
- tur circuli, continens angulum BC A aequalem dato F: perfectoque circulo ACB, secetur arcus AEB biseriam in Ε,& ex Eper D linea agatur E C, occurrens circuli periphemae in C , iunganturque puncta AC, CB. Dico factum eta quod peritur, cilio enim arcus ΑΕΗ pee E , ' construis
89쪽
. , ris, i. conflauctionem bifariam in E sit diuisus,erunt ACF.B Eanguli inter se a aequales. adeoque angulus ACB bifariam diuisis, sed angulus ACB per constructionem est italis angulo dato F: igitur super AB recta triangulum constituimus . &c. . Quod erat faciendum.
PROPOSITIO LUI.DΑto Angulo ABC, rectam subtendere, quae ABC triangulum ae
quale constituat, figurat rectilineae G; sicut AB, BC laterum, di se relitia sit aequalis datae rectae H. Constructio,c demonstratio.
Fiat EFD triangulum i sceles aequale figurae rectilineae C, habens anguis tum ad verticem aequale angulo ABC habita dein media DF,& excessu extremarum H, b inueniantur extremae' A B , B C iunganturque puncta A C. Dico fictum esse quod petitur. moniam angulo A B C,per constructionem ςqualis est angulus EFD , si autem vi AB,d DF sc DF ad BC per constructionem, id est EF ad BC, erit AB Ctriangulum e aequale triangulo DFEι id est per eonstructionem, fgurat rectilineae G est autem H differentia laterum AB, BC i igitur angulo ABC rectam subtendimus, Stc. Quod erat facien
missa linea B D, angulum producat ADB, aequalem angulo AB abicindat s rectam CD ad quam AB linea , datam habeat rationem H ad I.
Coninuptio G aemonstratio. FIat vi H ad Ι, se ΑΒ linea ad lineam
- FG. dataque AB media, di FG extremarum differentia, inueniantur extre-niae EG, EFr erit EG maior pecta AB. Ducatur igitur ex Α linea AC aequalis rectae EG, occurrens BC lateri in C,sumptaque CD aequali ipsi FG, iungantur puncta DB Dieo factum esse quod petior tur. Quoniam tam AC, EG lineae, quam D C , F G ii int inter se aequales , erit A Dreliqua aequalis reliquae EF. Quare AD est ad AB, ut AB ad AC; est autem an- stilus.C A B , communis triangulis ADB , AC B; igitur triangula ADB , AC Bdis. Misi. sunt dinter se similia: angulusque A DR aequalis angulo AI, C. Rursum cum DC per constructionem si aequalis ipsi FG, erit ut AB ad FG , sic AB ad D C. sed A B est ad F G per constructionem ut H ad I, igiwrvi H ad 1, sic AB est ad DC, .unde angulo AB C rectam subtendimus Ne Quod erat faciendum.
90쪽
De rectangulorum inter e proportione. PROPOSITIO L V. SI A B linea, divisa fuerit utcunque in C & D:
Quadratum ΑΒ , aequale est BA quadrato ; sed AB δ quadratum aequatura . Mean quadratis AC, C D, D B, una cum rectangulis ACB, C D B , bis su Dptis, Sc si B A quadratum aequa r quadratis BD, CD, CA, una cum rectangulis B D A, ' DC A bissumptis: Igitur ablatis communibus quadratis AC, CD, DB , remanent ACB, CDB ructangula, aequalia rectangulis BDA, DCΑ. Corollarium. PRopositio haec quoque vera est, si AB Iinea, utcumque de quotcumque punctis diuidatur. Eidemque cli methodus progrediendi, de demonstrandi, qua ill propositione visi sumus.
PROPOSITIO L V I. Si fuerit ut AB ad BC, sic Α D ad D F, 3e B C lineat aequalis E F
Dico ABDE, rectangulum aequale esse rectangulo C B D. A B C D E PDemonstratis.
QVoniam per constructionem A B C A Fest, ut A B ad BC , sic A D ad DF, erit pcrmutando , inuςr- . tendo, ut AD ad A B. sic D F ad FE, id est ad BC i diuidendo, ut AB ad BD, ite F E ad D E, id est B C ad D Ei qu re ΑΒ DE rectanguluat, aequato . est rectangulo CBD. inod erat demonstrandum.
SI fuerit AB recta diuisa in C & D ut AC DB, lineae sint inter se
Quadratu R, aequale est quadratis AC, C B , una cum ACB rectangulo bis sumpto et ted AC quadratum, una dum rectangulo ACB , aequale est rea s- E 3 ctangulo