장음표시 사용
131쪽
DAtarum duarum rectarum alteram ita iecare, ut rectangulum sabinsecta: & narre lineae sectae. ad residuae lineae Quadratu datam ha-
C secari rectam D F in E , ut rectangu-- - tum sub C re Ep, ad quadratum DE . D E P eam rationem habeat, quam data quad-- - datam A. Fiat C ad G, ut B ad M& per praecedentem secetur Du in puncto ta ut sitat tres continuae proporti alas li- . A neae, G, DE, EF. Dico faebiniquod pe--- tebatur.fiat enim ut B ad A, sic H ad D E: erit ergo ut G ad C, sic DE ad Hi permutando ut G ad DK ita C ad H i 2d ut Gad DF, ita DE ad EF ex constructione; ergo ut DE ad EF, in CadH οῦ rectangulum igitur super lineis C Ec EF, aequale est rectangulo sub DE & Morro rectangulum sub lineis DE &H constructum , ad quadratum DE , eam habetb . - proportio em quam lineae ipsae , scilicet quam habeth H ad DR ergo & tectingulum C&EF, est ad quadratum D E, ut A ad DE: id est ut Bla Ar igitur garatum rectatum alteram,&c. Quod fuitPraestandum. ..,
DAta media tuum in continua ratione existentium , dc aggregato
trium linearum primam & tertiam constituentium, exhibue pridiae aequalis r quate esim AC orthogona sit δ' ad B R. erit AECd rectangulum aequato quadrato EC:igitur data media trium continue proportionalium, illarumque aggregato; exhibuimus primam & tertiam Quod erat faciendum.
132쪽
CI Detint tres B A, D A, C A in continua analogia , rectangulum super maxima ΑΒ,&excessu CD secundae supra tertiam, non erit maius quadrato dimidis ipsius AB. i ,
inomam enim B A, DA, C A sunt continuae proportionales, eritve BA alai sui . DA, sic BD ad DC. Quare rectangula o B ACD,&BD A aequantur. Sed h ε - ι rectangulum BD Α, non est maius quadrato dimidiae ΑΒ ut patet. ergo nequα tectangulum BACD maius erit quadrato dimidiae Α B. mod erat demonstrandin
Ata maxima trium continuarum, & excessu quo in nimam, exhibere mediam & minimam. media superat mi
G tolIta sit AB linea maxima trium proportionalium, & G aequalis excessui 'uo A media superat minimam : oporteat igitur inuenire mediam & minimam. fiat rectangulo ABG aequale quadratum EF quoniam ergo per lemma prawedens quadratum EF, id est rectangulum ABG, non maius est quadrato dimidiae ΑΒ pateta ita d secari posse ΑΒ, ut rectangulum subpartibus, aequale sit quadrato EF. Ita. - que diuidatur recta AB, inpuncto D, ut rectangulum ADB aequale sit quadrato EF. Di copunctum Dosse quod problema soluit et fiat enim rectae G , aequalis linea DC: erit itaque rectangulum ABCD aequale rectangulo AD B, cum utrumque aequale sit quadrato EF tergo ut AB ad η AD, ita est BD ad DC: si iam a rectais hsuIo ABCD, auferas rectangulum BD C, remanebit rectangulum AD Gi si ve ba rectangulo ADB, auferas idem BD C, reliquum erit rectangulum AC D B: atqui tota A B C D, A D B sunt aequalia, itaque ablato communi. erunt & reliqua rectae1-gula ADC, AC DB aequalia inter se: igitur ut BD ad DC, id est sicut iam inea si sisti di ve ΒΑ ad D A. sic DA ad C A. Sunt igitur tres in continua analogia AB,AD, AC; & CD aequalis G, est excessus, quo media A D, excedit minimam Αα Factum igitur est quod requirebatur.
DAtis duobus excessibus, trium magnitudinum in continua analogia existentium, exhibere tres continuas. constra in demonstratio.
T Ati sint exeessus AC,C B, qui ponan-L tur in directum, & erigantur AD, CE parallelae , quae inter se eandem rationem scruent quam AC ad CB , ω ducta per puncta D & E recta DE, conueniat cum AB producta in puncto quodam F. Dico factum quod postulaturi
133쪽
' nam AD ad C E. eandem habet rationem, quam linea AF ad CF. Sed quam rationem habet DA ad C E, eandem ex constructione habet AC ad CB; igitur quam rationem habet tota AF ad totam CF , eandem habet AC ablata ad CB.-- ablatam. Ergo ut AF toea ad CF totam sic quoque C F reliqua ad reliquam BRO, Quare rectae AB adiuncta est linea B F, quae faciat AF, CF, B F incontinua p portione;quod petebatur. Aliter
ου Vm l e constructio solis lineis conueniat, subiungamuvaliam, quae in.-ω M- nere quantitatis locum habeat: Dati igitur sint excessus AB, BC: fiat A E differentia datorum excessuum, ipsin que AE, AB inueniatur tertia proportionalis continua ΑD: Dico AD absolue reproblema.Cuin enim ex constructione ΑΕ sit ad AB, ut AB ad AD, erit diuidendo AE ad EB, ut AB ad BDi & componendo ΑΒ erit ad BE , hoe est BC, ut AD ad BDιdc permutando A B ad A D , ut B C ad B Di de divide do Α B ad B D ut B C ad C D , componendo igitur Α D, B D, C D sum continuae. Fecimus ergo quod petebatur.
in equalitatis, ita in duobus alijs punctis B N D subdiuidere, ut qu tuor partes A B, B C, C D, D E sint in continua proportione; quae tantidi taut rationis AC ad C E, ex prima diuisione ortae. structis in demin auis.
DEt quadragesimam huius addatur EF, Vt AF, C F, EF sint proporticinales itum A inter AF, CF media ponatur BF: inter C F quoque M EF, media D F. Dieo factum quod petebatur.Cum enim intra tres continuas A F,CREF nediae um BR DF, patet ex elementis omnes AP, BR CR DF, EF, esse continue proportio ἀνιεμ. . las. Quare etiam' A B, B C, C D, D ri sunt , continuae, dc quidem an rationc A F ad BF, quae exeonstructione dimidiata est rationis AF ad CP, hoc in AC φ ad GE. Factum igitur est quod petebatur. Alisera
Nier AC, CE inuentam mediam F H ita diuide, ut FG sit ad GH. ut AC ad FG seu F H ad C Ei fiantque C B, C D ipsis F G, GH aequales. Dieo factum quod petitur. cum enim fit AC ad FH. ut FG ad G H. id est BC ad CD, emouocue AC ad B D quae ex constructione aequalis eth F Η) ut BC ad CD: &pe mutando A C ad B C ut B D ad C D: Be diuidendo A B ad B C, ve R C ad C D.
Sunt igitur A B, B C, C D tres continuae proportionales in ratione BC ad CD. Δι- militer cum FH se ad C E, ex constructione ut FG ad GH.erat CF vi BC ad CD, ac permutando conuertendo BD ad CD , ut C E ao Ideoque dividendo BC est ad CD , ut CD ad DR Sunt igitur tres continuae: BC, CD, DE, in ratione BC ad CD t ac proinde omnes quatuor sunt continua propqrtionales in ratione BC ad CD. ideli FG ad GH, id est AC ad FH, quae
134쪽
est e structione dimidiata est rationis AC ad CB; fecimus ergo quod fuerat propositum. cstro arium. EX hoe problemate licebit praxim desumere , non solum sub diuidendi duas inquatuor continuas , sed etiam in sex continuas; imo quotuis datas in duplo plures continuas , N quidem in ratione dimidiata eius, in qua ipsae exist uni.
C Int ΑΒ, BC, CD in con- tinua analogia; deinde secetur quaepiam linea F G in E, ut 8 FE ad EG, eandem habeat ratione ira, quam AB ad BC. Dico rectangulum B C F G, aequale esse duobus ABEG & E F C Drectangulis. Demonstratio. c viti enim sit ut AB ad BC, ita FE ad EG, rectangulum BC EF, aequale est rectangulo ABEG. Similiter quia ut B C ad C D, ita FE est ad E G, erit etiam rectangulum BC EG aequale rectangulo CDF E. duo igitur B CEF, BC EG re- si iis .ctangula, id est brectanguluna BCFG, aequalia sunt duobus ABEG, CD FE rectangulis. QAod erat ostendendum.
siduis EF, DE; CD, AC esse inter se aequalia; modo retrograde coniungantur.
Quoniam est ut A B ad . C B, se D E ad EF, rectangulum AB EF aequaturς t 4 rectangulo CBDE. similiter quia ut C B ad D d. ita C D est ad DE, erit4- rectangulum CBDE, aequale rectangulo DBCD. rursus quont m DB est . ad EB ut AC ad CD, rectangulum D BCD aequale erit ipsi EB AC ι aequalia sunt igitur omnia inter se. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO X L I U. I sdem positis:
Dico tectangula EB AC, DBCD, CBD E esse inter se aequalia. Demonseratio.
Cum enim ut C B ad D li, ita CD sit ad D Ei igitur tectingulum C BDEaequale est grectangulo D B CD. Sed rursum ut D B ad EB, sic AC ad hCD,quare etiam rectangulum DBCD, aequale erit rectangulo E B A C: ostensum autem fuit rectangulum CBDE, esse rectangulo D B CD aequale, quare & haec duo E B AC
M CBDE, proindeque omnia tria inter sis erunt aequalia. Quod erat demonstranadum
135쪽
Pari ratione si ponatur ulterius produci series progressionis, ita ut A B, C B, D B, EB, FB,3cc. ponantur Continuae proportionales, demonstrari poterit quatuor rectangula F B A C, E B C D, DB DE &CBEF inter sese aequalia esse.
A C D E BSInt A B, C B, D B, E B in continua analogia, dcc. Dico quinque rectangula inter se aequalia esse, quorum primum est illud, quod lub AB, BC tanquam una linea,&sub D E continetur: alterum , quod describitur a CB, dc D B tanquam una, ac recta C D; tertium, quod a DB & EB tanquam una , & recta AC conscituri quartum , quod ab EC, & CB; denique illud quod ab AD , DB describitur. Demonstratio.
Ectangulum enim ABDE aequale est . rectangulo CBCDi & tectangulum h ο- BD E aequale est rectangulo b DBCD: duci igitur tectangula ABDE, NC B D E, id est rectangulum sub ABCB tanquam una,&DE, aequalia sunt duobus CBCD & DBCD,id est contento sub CBDB tanquam una, & sub recta CDi eodem modo ostendam sub DBEB Be AC contentum, aequari prioribus: de reliu is quoque idem simili discursu demonstrabitur. Constat ergo veritas propositionis.
AC DB, denique trium aggregatum, scilicet quadrati CE , rectanguli A C E, de rectanguli CE B, esse tuter se aequalia. Demonstratio.QVoniam est ut A C ad C D, ita C D ad DE, erit componendo Ac alternando, Vt A D ad C E ,sie C D ad D Ei sed ut C D ad D E. ita est A B ς ad C Bi igiturai. mi ve AD ad CF, sic est AB ad CB, 8erectangulud ABCE. aequale erit tectangulo CB AD. Insuper quia est ut AB ad CB ita AC ad CD, erit tectangulum A B CD. aequale rectangulo AC, CB. Quia vero ex aequo etiam est ut AC ad DR, ita AB ad DB, erit quoque rectangulum AC DB , aequale ipsi ABDE : sed rectangulum arare si AB DE, una eum AB C D, aequalia φ sunt rectangulo ABCE, rectangulum igitur AB CE, aequale etiam est duobus ACB & AC DB. Deinde quia recta AB i. . . secta est in C & E, erit s A B CE aequale tribus CE in C A. Ac CE in C E ducto. illoc est quadrato CE) 6c eidem CE in EB ductor aequalia sunt igitur inter se. Quod fuerat demonstrandum.
136쪽
. &c. esse omnia inter se aequalia. Demonseratio. Utatisve AB ad AC, sic IH ad GH, ergo rectangulum. A AGH. aequa δ'
tui rectangulo ACΙΗ. rursum ex datis ut AC ad AD, sic KH ad I Hi ergo tectangulum AC IH brectangulo AD KH aequale erit. simili discursu reliquoia b Ibuctum aequaIitatem ostendemus.manifestum est igitur quod fuerat deuionstrandiun. Corollarium. niam per primam huius positis continud proportionalibus ΑΒ , AC, AD, MAE. AF, itemque GH, ΙΗ , NH, L H, M H, earum differentiae FE, ED, DC,&c. GLIΚ, ΚΙ., Λ c. sunt etiam in ratione continua, manifeste patet eadem discurrendi methodo demonstrari rectangula FELAI, DE KL, CD IK, BCGI quoque inter se aequalia esse.
CInt duae series quotcumque continuarum eiusdem rationis, A, B, C, . O G, H; D, E, F, I, K: sit autem rectangulum AB, aequale DE revictangulo: Dico etiam rectangula BC, EFι CG, FI; GH, IK; & sic deinceps aequalia esse. A R C G HDemonstratis.
DRoportio rectanguli AB, ad rectangulum D E, componitur . ex rationibus Αadς s. mi A D. &B ad Ei sed rectanguli BC, ad rectangulum EF , proportio quoque componitur ex rationibus B ad Ε, & C ad F, hoc est A ad D nam cum ex datis de ex aequo sit A ad C, ut D ad F, erit permutando A ad D, ut C ad F. ergo eκ ijsdem rationibus componuntur proportiones rectangulorum A B, D E: B C, E Radeoque eaedem sunt. quare eum ratio rectangulorum AB, DE pona ur aequalitat. tis, rectangulorum quoque B C, DP aequalitatis proportio criti eodem modo reliquaxeliquis ostendentur aequalia. od erat demonstrandum. ti
um tectangulum AB, aequale sit rectangulo DFυι&rectangulum BC, rectata- . gulo EF tergo ut rectangulum AB ad DE, sic BC ad EF : permutando L a vi
137쪽
ui AB ad BC, sic DE ad EF. atqui rectangulum AB ad BC, est ut A ad C,& D IL ad L. F est ut I) ad F, ergo A ad C, ut D ad F. Eodem discursu erit B ad. - , ut E ad I. Quod crat demonstrandum.
singula singulis aequalia sint: Dico utramque laterum seriem A, B, C, G, H; & D , E, F, Ι, Κ, si ponantur esse continuae proportionales, esse quoque continuas eiusdem rationis.
ΡEr praecedentem est A ad C,ut D ad Fr quia autem tam A, B, C, quam D, E, F, sunt Continuae proportionales ex datis, erit tam ratio A ad C, cid est D ad F, rationis A ad B duplicata a quam ratio D ad F sid est A ad C duplicata sit rationis D ad E. Quare si A ad B, sia D ad Ei &B ad C, ut E ad F, dcc. sunt igitur A, B, C, G, H, dc D, E, F, I, K continuae eiusdem proportionis. Quod erat de
Si prima A ad secundam B, eamdem habeat rationem, quam tertia C ad quartam D: Dico tria rectangula ea hisce facta, ese in continuata proportion nempe rectangula AB, BC & CD. Demonstratio.
D mangulum A B, est ad rectangulum BC, ut A ad , C, sed etiam rectanguis
tum BC, ad CD, ob eandem rationem jest ut B ad D. cumigitur sit ratio Αad C eadem eum ratione B ad D; eam quoque rationem habet rectangulum AB, ad BC, quam habet BC ad CD rectangulum; sunt igitur in continua a ratione, prout erat demonstrandum. . .
PROPOSITIO LII. SI prima A ad secundam B eandem habeat rationem, quam tertia Cad quartam P, fiatque ut prima Alid tertiam C , ita tertia C ad
quintam E: - Α Dico rectangula ex his lineis constituta, ef se in continuata ratione; nempe rectangula
D Ectangulum AB ad BC rectangulu tr eam rationem, b quam Α d in sed ratim , habet ratio A ad C. eadem
138쪽
eadem est, cum rat Ione C ad E ex constructione, igitur ratio reistanguli AB, ad B C, eadem est cum ratione C ad E. sed quoniam ut A est ad B, ita C ad D, erit permutando A ad C, ut B ad Di ergo ratio rectanguli A B ad BC, est ratio Bad D: sed rectangulum BC ad C D, etiam est a ut B ad Di ergo ratio AB rectanguli UM ad rectangulum BC, eadem est cum ratione rectanguli BC, ad CD rectangulum. est suuςm ratio B ad D, hoc est A ad C, eadem quae est C ad E: unde etiam volo te anguli CD, ad Dii rectangulum , eadem est cum ratione rectanguli B in ad CD rectangulum o quocirca in continua analogia sisne tectangula A B, B C, CD, i DE cum luit in ratione A ad C. Constat igitur veritas propositioins.
PROPOSITIO L I I I. SInt A, B, C, tres in continua ratione. Sint, D, E, F, in eadem vel di
Dico rectangula CD, CE, CF; item BD, B BFi item AD, A E,
A F esse in continua analogia. ι
I angulum CD est ad ri ctangulum CE, ut D h linea est ad E: δc C E rectan- , i sisti. gulum est ad rectangulum C F, ut E as F: sed D, E, F ex hypothen sunt continuae proportionales; ergo dc rectangula C D, C E, CF sunt in continua analogia. Eo demmodo probatitur BD, BE, AF rectangula, item A b, R E, A F Elia continue proportionalia.Quod erat demonstrandum.
i PRO PO SI T I O LI V.CIt A prima ad B secundam, ut G tertia ad D quartam. o Dico quadratum sub prima , rectansuluna sub siecundiet tertia, ti
quadratum quarta Pin calvinua elle analogia. iii ''
-, O . ij p RO P Os. I Tu O . sSint tres linea: A B, B C, C D in tantinua analogia: λ - .si: at Dico A B quadratum prima , lectangi tum A B C , sub prima de 1ecundat quadratum B C sub lecunda; rectangulum BC D sub seeunda ae terriai denique C D quadratum tertiae, esse in continuata serie eiusdeA
139쪽
Quadratum AB a est ad rectangulum A B C, ut AB ad B C r ω rectangulum ABC est ad quadratum B C . ve A B ad B C. Rursum quadratum B C , est ad rectangulum BCD, ut BC ad C D, id est ex datis, ut AB ad BC; derectangulum BCD est ad quadratum CD, ut BC ad CD, hoe est iterum ut AB ad B C, ergo quinque illae figurae sunt in continuata serie rationis A B ad B C. Quod
Dico de rectangula G HI, DE F, A B C, in continua esse analogia. Demonstratio. Fiat ut DE ad GH. sie GH ad K, levi EF ad ΗΙ, sie HI ad Lugitur rectan
gulum sub DE & Κ, quadrato GH, dc rectangulum sub EF dc L, quadiato HI , eaequale esti ergo rectangulum D ΕΚ, est ad rectangulum EF L, ut quadratum GH ad quadratum H I. ex hypothesi autem DE est ad EF,induplicata rati ne GH ad ΗΙ, hoc est, DE est ad EF,ut quadratum G Η, ad quadratu HI: ergo tectangulum sub DE dc Κ, est ad rectangulum sub EF & L, ut DR ad EF. EGgost x de L linee sunt aequales: quia autem ex hypothesi GAEDE, AB. Ac exeonis structione Κ, GH, DE, sunt Continuae patet omnes quatuor GH, DE. ΑΒ esse contibuas. Iam alias quoque lineas L, HI, EF, BC., dico esse continuas i si enim non sint, fiat tribus lineis L. HI, EF, quae ex constructione sunt continuae, quartaeontinue proportionalis, quaeuis ΒΜ, maior vel minor quam BC. habemus ergo duas continuarum series Κ, G H, D E. A Bi L, H I, EF, B M quae incipiant ab squalibus terminis R&L. quare ratio AB ade B M, erit triplicata rationis GH ad HI: Atqui ex hypHthesi etiam vatio AB ad BC, etae triplicata rationis GH ad HL est ergo ut AB ad BC, ita AB ad ΒΜ, quod est absurdum. ergo HI, EF, BCet. iam sunt conti ae. Itaque ratio composita ex rationibus GH ad DR Ze HIM ERhoe est. ratio rectanguli GHI ad rectangulum DEF. eadem est cum ratione composita ex rationibus D E ad AB, & EF ad BC , hoc est cum ratione rectanguli DE F, ad rectangulum ABC. recta via gitur GH I, DEF. ABC sunt incoa-tinua analogia. Quod erat dei tonstratid 3.
SIt ratio A ad B, eadem cum ratione C ad Di & inter utramque tam A, B quam C, D interponantur quae uis lineae: E quidem inter A, B; F vero inter C. D. - Dico Diqili od by Cooste
140쪽
o Atio rectanguli AE ad EB rectangulum , est ea quam habet A ad B; sed ut A. i. v. , ad B , ita ponitur C ad D, ergo restangillum A E ad E B, est ut C ad D sed rectangulum CF ad PD rectangulum,etiam est ut linea b C ad D,igitur rectangit. tum A E, ad EB rectangulum, eandem habet rationem, quam habet CF ad F Drectangulum. Quod demonstrare oportebat.
Ponantur tres lineae A, B, C;&aliae tres D, E, Fi vitam primae,quam
secundae, suam analogiam licet diuersam continuent. Dico etiam rectangula AD, B E, A B CC F esse in continua analogia. o D F, FDemonstratio.
REctangulum sub Α & D, ad rectangulum sub B& E habet e rationem compo e x3. Missitam ex rationibus A ad B, M D ad E et proportio quoque rectanguli sub BM E ad tectangulum sub C de F composita ex rationibus B ad C , hoe est A ad B, Ae ex ratione E ad F, hoc est D ad E ; unde ratio tectanguli sub B de E, ad rectangulum CF, componitur ex ijsidem, ex quibus ratio rectanguli sub A M D, adiectangulum suiu B & E cst composita : Quare cum proportiones exi sdem rationi-hus compositae eaedem lint, erunc rectangula A D, B E, C F in continua analogia. od erat demoustrandum.
PROPOSITIO Ll X. SInt duae diuersarum rationum series continue proportionalium A B, Λ C, A D, A E, A F; G H, I H, Κ H, L H, M H. Di eo rectangula Α Β G H, A CI H, Α D K H, A E L H, A. F M H esto
in continua analogia.. Demonstratio.
o Ectangulum enim sub ABGH, ad tectangulum sub ΑCIFt rationem habet compolitam ex ratione. AB ad AC, & ratione GH ad III: &rectangulum AC I H, ad rectangulum Α D KM ratione habet compositam ex rationibus AC ad AD ,3c IH ad KH. Quare cum ex datis silvi A B ad AC, sic AC ad AD, 8c ut GH ad III, sic IH ad KFIugitur ratio rectangulorum ACI H de AD ΚΗ, ex ijsdem rationibus componitur, ex quibus rectangulorum A B GH, A CI Hi sunt igit ut tectangula A B G H, AC ID, AD RH in continua analogia: idemque in telia quis eodem discursu ostendetur, coro