장음표시 사용
111쪽
erit utraque a recedens AC, ad utramque consequentem BD , ut AB ad Be una tecedens, ad unam eonsequentium t smilli modo quia BC ad CD, est ut CD ad DE, erit utraque antecedens BD, ad C E utram quo consequentem, ut BC ad CD, id est ut AB ad BC, hoe est ut AC ad B D. Sunt igitur Α C, B DιC E in eontinua analogia quod fuit demonstrandum.
A C D B O It Α B diuisa in C & D. ut ra-n otio AB ad A C duplicata sit eius, quam habet BD ad D C.
Dico AC, AD , ΑΗ. tres esse in continua ratione. Demonstratis.
Ponatur ΑΕ, media inter AB, M AC; igitur tres erunt continuae quantitates AC, A E, AB. quare per primam huius erit ratio AH ad A ta eadem cum ratione B E ad E C. sed ratio A B ad A C, dupli eata est rationis A B ao Α Ε, igitur & ratio AB ad AC duplicata est rationis BE ad EC. quare diuisa est Cnidi E,vt diuisa est eadem C B in D ac proinde punctum D,unum idemq1 est cum puncto E. Vnde Cum sint tres continuae proportionales A C. R E, A B, ex constructione, erunt quoque in continuata ratione AC, AD, AB. Quod demonstrandum fuit.
Demonstratu. Milo enim AD ad AB, duplicata est rationis AD ad AC, sed per primam huius ut AD ad AC, ita quoque est DC ad C B, igitur ratio A D ad AB duplicata est rationis D C ad C In quod erat demonstrandum.
DDico D, E, F quantitates, in continua fore analogia. - C Int tres continuae proportio-onales A, B, C sit autem ratio A ad B , triplicata eius, quam habet D ad E et ratio quoque Bad C, triplicata rationis E ad F. Demonstratio.
CVm ratio A ad B, sit eadem cum ratione B ad C; igitur etiam ratio B ad Ctriplicata est rationis D ad K est autem Ac ratio B ad C ex suppositione triplicata eius quam habet E ad Fi igitur ratio D ad E, est eadem eum ratione E ad F. Sunt igitur in continuata proportione D, E, F. Quod demonstrandum fuiε.
112쪽
GEOMETRICAE PROPOSITIO VI. SIt A ad ΒΚ in minore ratione, quam C ad D.
Dico A ad Et mediam proportionalem inter Α & ΒΚ, esse in minori ratione, quam sit C ad F mediam inter C & D. Demonstratio. H
FIat enim A aci BG in ratione C ad D,erit, B G minor quam B Κ. Et fiat inter M.. - - A dc BG media EH, crit quoque ΕΗ minor quam E I. Rurs im quia A adn. I, G, duplicatam habet rationem A ad EH, M C ad D eamdem ex constructione habet rationem, quam A ad BG ι habcbit pilam C ad D rationem duplicatam eius, quam habet A ad E He sed de C ad D duplicatam habet eius, quam C ad F; igitur ratio C ad F. eadem est cum ratione A ad EH; sed E I ostensa est maior quam .E H , igitur A ad EI x nuvolcm b hedrationem, quam A ad EII, id est quam C ad F. Quod crat ostendendum. n ollarium. iC Imili modo demonstrabitur si plures meaiae inter primam Ac secundam, Fc inter
tertiam & quartam ponantur, sucritque in prioribus maior proportio vel minor primae ad secundam, quam in posterioribus tertiae ad quartam; fore etiam in prioribus primae ad primam mediarum , vel secundam , aliamque qtiam cumque maiorem vel minorem proportionem , quam tertiae ad similem ordine mediam inter posteriores.
Int duo ordincs continire proportionalium A, B, C, D,& E, F, G, H : & ma- atratio A ad B, quam E ad F.
Dico maiorem quoque esse rationem
A ad C tertiam , vel D quartam , quam E ad G tertiam, vel H quartam. Demonstratio. EGH CVni enim sit eadem ratio A ad B, quae B ad C, & C ad D: Similitet F ad Gratio, & GadH eadem, quae est E ad F, sitque A ad B maior ratio , quam E ad F , erit etiam tam B ad c quam C ad D maior ratio, quam F ad G , aut G adH: Zr proinde erit A ad x C maior ratio, quam E ad G: de similiter B ad D maior τ ι .stri raratio, quam F ad H: de A ad D maior quam E ad Hr quae erant demonstranda.
113쪽
PROGRESSION EsPROPOSITIO VIII. 3 Int tres magnitudines AC, AB, AF; & F E aequalis sit CB. O Dico si AC minima trium , & CB minor differentia, & B E,
utriusque differentiae, differentia sint continue proportionales,ipsas qu que magnitudines A C, A B, A F esse in continua ratione.
T BC ait CA, se FB ad BC, id est Est igitur eomponendo ut BA ad CR, si e Bb ad EF, hoc est BF ad BC: ergo permutando de eomponendo F A ad B A, ut B A ad C A. Quod erat demonstrandum.
cI autem A C, C B, EF fuerunt troportionales, & B E aequalis C B minori differentiae , erunt rursum A C, A B, Α F continuae proportionales. Demonstratio eadem est, quς propositionis iam positae.
PROPOSITIO IX. SInt in continua analogia ΑΒ, AC, AD, & minori disserentiae BC,
A B aequatur rectangulo DBA, & quadrato AB: rectangulum, Α δ aeqvuurrectangulis ABC, & AB ED, id est rursus rectanguia thia ri Vir ς' M SD B, C l mea: aequale in & rectangulo A B C E: ergo rectana ..i- u His' q RV qψ-4 - A B, & rectangulo ABC bis, & praeterea rectan gmo AB CE; quadratum vero A C, atquatur quadrato A B, rectangulo AB C bis,. ω quadrato BC: Atqui cum AB, AC, AD ponantur continuae proportionales.
114쪽
GEOMETRICAE.- ' Aliter. QVoniam D A, C A, B A ponuntur proportionales, ergo per primam huius DC ad CB est ut CA ad BA : quare cum aequales sint DE, BC ex hypothesi) ut CD ad ED, sic CA ad BA, ergo diuidendo CE ad E D, hoc est, C B, ut CB ad B A. Quod erat demonstrandum. Coroliarium.
QVod si positis continue proportionalibus AB , AC, AD, sumatur CE, aequalis minori differentiae B C, erunt AB, BC, ED in continua analogia: quod demonstrabitur prorsus eodem modo quo propositio iam polita.
Sine tres magnitudines AB, A C, AD, in coit tinua analogia; ponantur autem maxima trium A D, & maior differentia C D, dein& tertia quaepiam E D, continuae proportionales. Dico BC, C E, . equales csse lineas. A
Demonstratio. DECum tres ponantur continua: A B, A C, A D, erit D C ad ' C B, ut D A ad C A: . , qualeb tectangulum DC A rechmgulo DA BC , aequale cst. Similiter cum bis. s.xιν. ponantur continuae AD, CD, ED, est AC ad CE, ut AD ad CD: ergo rectan- ei.misu. gulum idem A CD aequatur etiam rectangulo ADCE. rectangula ergo AD BC, A D,C R inter se aequantur ι unde B C, d CE aequales sunt. quod erat demonstrandu . dt.ω Aliter.
QVandoquidem ponantur continuae AB, AC, A D, ergo per primam huius tD A ad C A, sic D C ad C B. Iterum quoniam ponuntur continuae A D, C D, ED , per primam huius ut AD ad CD, sic AC ad CE: & permutando ut AD ad AC, sic CD ad C E. Sed ut AD ad AC, sic ostendi esse C D ad BC: ergo CD est ad C E, ut C D est ad B C. aequales igitur sunt B C, C E. quod erat demonstran
CImili planὰ modo, si positis continuis AB, AC, AD , etiam ΑD trium maxima, CD maior differentia, Ac tertia quaepiam C E fuerint continuae proportionales. Dico B C, E D aequales esse. Demonstratio eadem est quς propositionis decimae.
PROPOSITIO XI. SInt AB, AC, AD in continua analogia, & minori differentiae BC aequalis sit C E. Dico E D, C D, A D in continua quoque analogia esse. B C E D
115쪽
., isu. IJ Ectangulum ADE aequatur rectangulo AED cum quadrato ED: rectangu-b i su . 'flum autem A ED, aequatur rectangulo, DEC, dc DECB, lio est rursus rectangulo DE cum CE, CB sine aequales derectangulo DI B A. Sed per corollarium nonae huius, AB, B C, ED sunt continuς, ergo rectangulum ED A B aequale est quadrato BC,lioc est quadrato EC. rectangulum igitur AED aequatur rectangulo DEC bis, & quadrato EC. quare rectangulum A DE aequatur rectanguloe . s. a. DEC bis, dc quadratis EC,EI , laoc est φ quadrato C D. Unde AD, CD, ED lutit
in tres continuae proportionales. quod erat demonstrandum. Abierimoniam D A, C A, B A ponuntur continuae, erit per primam huius D A ad C A, licut DC ad CR, id est C E: quia aequales fiant ex datis B Q, CE: Itaque diuidendo ut D C ad C A, sic D E ad EC: & in uertendo vi A C ad CD , ita C Ead ED, S: componendo ut AD ad CD, sic CD ad E D. Quod erat de inostrandum. Corollarium. ΕX hae proposition p seducitur hoc Theorema. Sint A C B, DB proportionales, erigatur autem ad angulu quemcunque recta BE, aequalis ipsi C B, tu ganturque puncta A E, C E. DE. Dico AF, C, CED angulos este aequales di & si AEC.. CED angula fuerint aequales, MCB linca aequetur rectet BE , dico AB, CB , DB esse proportionales: si vero AEC, CED anguli aequentur, ic ΑΒ, C B, D B sint proportionales 3 dico C RE B lineas este aequales.
Quoniam ponitur ut AB ad CB , hoc est BE , sic BE ad DB, & angulus A BEsit communis,erit DEB d triangulum , A E B triangulo simile, adeoque angulus D E B angulo E A B aequalia. Rursum cum C B, E B latera aequentur , eruntos anguli CER, ECB aequales; est autem angulus ECB, aequalis eduobus angulis E AC, A EC, igitur angulus CE B quatur duobus angulis A EC E A C: sed DE Baequalis cistensus est angulo E AC ι demptis igitur aeqxialibus E AC DE B, manent A EC, C E D reliqui aequales. Sint iam anguli A E C, C E D dc CB, BE linea: aequales, dico A B, CB, DB ibi . esse continuas. Quoniam angulus ECB hoc est C E B ςquetur angulis E A C. AI C;& CED ponatur aequalis ii ii AEC, erit DEB reliquus reliquo E AC aequalis: est autem angulus A RE communis; ergo tertius tertio ςquatur, adeoque de A EB, DEB triangula similia: unde ut AB ad EB hoc est C B, ita EB siue CB ag DB. Quod erat secundum. Iam vero sint AEC, CED anguli ςquales,& Α B, C B,D B tres continuς proportionales 1 dico C B, E B lineas aequari. si enim non sint qquales,sit CB maior, fiatque CG ipsi BE aequalis. erunt igitur per secunda partem huius propos. AG, C G, D Gg N eontinuet proportionales. unde si fiat HC aequalis ipsi CD, erunt eam g AG, AC, AH; quam AB, AC, AH continuς proportionales; igitur tam RG AH rectan-gillum, quam R B A H rectangulum, aequale quadrato A C medis communi: quare hi . s/BL AGAH, A B AH rectangula aequantur inter se. Unde ut AH, ad AH h sie AB ad A G; sed A H liant aequales, ergo A G, A B rectae equantur, de G punctum idem est quod punctum B: & CB, C G,id est B E lineae aequales. eodem modo ostenditueC B non esse minorem ip a B E.
116쪽
DEntur tres lineae in continua ratione A B, BC, CD, ita ut BC se maior AC, de narrectae A C aequalis B E. Di eo AB, B E, ED esse proportionales. A C LE D B- DemonstratIo. 'um ponantur in continua analogia AB, Be, CD, lx tiis erit ut B c. ad C D' ita A C. hoc est ex constructione B E ad B D. Ergo diuisendo ut B D ad D C, ita ED Q DBi de inuetiendo uti CD ad BD, ita se habet BD ad DE. Quareb BD quadratum aequatur ED C rectangulat quadrarum autem e B E aequale est 'et quadratis BD. DE. he restingulo EDB bis sumpto i atqui reaangulum ABED aequatur iisdem: nam rectanguluin Α Η Ε D, rquatur EDC a tectangulo hoe est, ut 4 ostendi quadrato BDὶ & rectingulo ED AC thoe est rectangulo B D, id est GSumh quadrato ED eum sectangulo EDA, & rectangula miapet EDA .
Ponantur AB, B C D; tres lineae in continua pho portione: &fiat . B C ae ualis DE. Di eo Α E, E C, C D. tile in continua analogia. Demon inis.
vandoquidem ponuntur esse continuae proportio Ies lineae A B, B C, C D, et Gam erunt continuae proportionales A B i D E, C Di de B C mediis aequalis D Eetit quadratum D E rectangulo AB C D aequale .quadratu autem l CE Equatur C D, ς ε 'A B D nDE quadratis, ocre tangulo C DE bis sumpto: quibus etiam aequatur rectan . Ium A ECD nam rectangulum AECD aequatur ECD rectangulo thoe est qua.drato b C D cum rectangulo C D Bl 3c rectangulo DCB, hoc est quia ex constru At ctione B GDE aequantur) iterum rectangulo C D E & rectangulo insuper ΑΒ C D, tid Est,ut modo ostentumus qua liato D E) quate tectangulum ABCD cum iisdeni aequale sit, quadrato C E aequati necelle esti adeoque C D. C E, E A eta in comi- tua analogia. Quod erat demonstrandum.
iit Aa, A C, AD, in eontinua analogia i &fiat ut AB ad BC, ita in BC ad E lineam , & ut A D ad DC, sic DC fiat ad F.
Quoniani supponuntur eontinuae AB, AC, AD, si fiat D G aequalis Brierunt continuae AB ι B C, CG, ergo cum ex datis etiam cui in Tinua rationet ' AB, BC, Duili Corale
117쪽
AB, BC, & E, erit linea Eaequalis CG: deinde quia continuae sunt AB, AC, AD, ε xx si s.it B C aequalis GD , erunt quoque in continua analogia C G, DC , D Ar ponuntur auten continua: AD, DC bc s; crunt igitur continuae F, DC, AD; est igitur Faequalis C G: unde F de E quoque sinat aequales, utpote ipsi CG aequales. Quod erat proposit uni demonstrare. Lemma.
1 Ati sint duo ordines trium quantitatum C A, B A, DA de C F, EF, GF: &- sit ut CA ad Ia A. sic CF ad GF, sit te item ut B Α ad DA, sic CF ad EF. Dico eιiam ei se C A ad SA, ut EF est ad GR
. - . Demonstratio. I enim non est C A ad B A, ut EF ad GF , erit ergo aliqua maior vel minor, CA, nempe Z ad BA, ut EF est ad GF; quoniam ergo ut CF prima ad EF secundam, ita in altero ordine B A secunda est ad D A tertiam, de vi EF se cunda ad GF tertiam , ita in ordine altero Z prima, cst ad BA secundam , ergo exb ae μ' aequo in prpportione perturbata, ut CF ad GF, ita Z bad D A: atqui ex hypothesi etiam C A erat ad DA, ut CF ad GF, ergo ut CA ad D A, sic.Z maior vel milios quam C Aὶ est ad D A, quod est absurdum: non est igitur C Α ad B A, in alia Proportione, quam EF ad GR
ΡROPOSITIO XV. Sint proportionales A B, AC, AD; & linea BD composita ex utra
que differentia BC, CD, diuidatur bifariam in F, ac mediae proportionali A C, aequalis sit produeta Λ G. Dico FC, F B, F G in continuata esse proportione. G ABC DDemons Iis. CVm enim GC bisecta sit in A, 3c BD in F, erit CG ad AG, ut BD ad PD.
praeterea cum AB, AC, AD ponantur continuae, erit per primam huius B C ad CD, ut AB M AC, id cst AG :&componendo ut BG ad AG, ita BD ad CD: sed ante ostenderamus elle ut CG ad A ita BD ad FD. Quare per lemma praecedens etiam erit ut CG ad B G: ita CD ad B F, hoe est F Di 5c diuidendo C Bad BG, ut CF ad FD, hoc est FB; Itaque in uertendo, permutando, Jc componeudo erit ut GF ad DF, ita BF ad CF; ergo GF, BR CF sunt proportioqales. Quoa
EX hic propositione hoc Theorema deducimus. 'int tres proportionales A B, B C, CD, diuisaque sit A B bifariam in E. Dico A E, E C de compositam ex AE MIineis AC, CD bis sumptis, esse proportionales, & si A E, EC, Ac coinposita ex AE& BC, CD lineis bis sumptis, sint continuaei dico AB, BC, CD esse in continua
118쪽
DRoducatur CD in P, ut DF linea aequetur BD compositae 1 B A vero produ- tu n f,MA, BC ae Uent ur. Quod iam G A, B C lineae sunt aequales, erunt a D P Η Ν ςMnxiuvae proportionales. Rursum cum G A aequetur reistae B C. & a .H- M.
ctionem; go EB, EC, b EF, hoc in AE,EC, Meompiata vis NM ex AE&BC CUbis sumptis , sunt continuae proportionales. quod erat primum. a. Quoniam EB, EC, EF sunt continitae, sic E in exaequatile T G. & BF linea e fon uc,su in D bifariam damia. erunt D C, D B, e D G eontinuae: quare fle A B, C, CD tres eruntd contapuae proportippa s. quod erat demonstrandum. . 4
Cisit ut rix cunctam, ita tertia ad quartam, erit ut prima cum
is secunda ad temtar, ita omnes quatuor ad primam cum tertiat vel ut prima cum secunda ad secundam, ita omnes quatuor ad secundam cum quarta.
teceaens A C ad A B unam consequentem.quod erat propositum. Corollarium.
119쪽
Pappo lib. tertio propositione decimaseptima in tribus continue proportionalibus Propoma ruit; quaecum uniuerialis sie, censuimus etiam hoc ipsit in verbo indicano cum ad ampliorem usum.
PROPOSITIO XVI I. SIt A aequalis B, & C aequalis D; omnibus autem A, B, C, D, pona
tur aequalis E; duabus verJ B, o, ponatur aequalis F: similiter duabus C, D, aequalis G ; dc rectae D, aequalis H. Dico rationem E ad F,&G ad H esse duplam. Quod si rectis E, F, G, H, aequalis ponatur I,& duabus F& H , aequalis statuatur Κ, de lineis G, H, aequalis ponatur L,denique residum H, fiat M aequalis; Dico rationem I ad K, & L ad M esse t iplam.
mul sumptae. duatum B, D, simul sumptarum duplae sunt. Sed lineis A, B, C, D aequalis est E, & lineis B, D, aequalis F, ergo E dupla est F t similiter C, D, simul sumptae, hoe est G ipsius D, id est Η, sunt duplae. Quod erat primum. Secundam partem ita expedimus. E continet rectam A bis, A C bis; ipsa vero F continet A semel, &C semel. ipsa tandem G continet C his: dc H aequalis est C: igitur omnes E,F, G, H,hoc est recta I,continet A tertio,& rectam C sexies: recta vero K, continez ex hypothesi F,& H; sed F continet B & D, hoc est ipsam A semel, & semel rectam C, igitur si addatur H, hoc est C, recta K erit semel A, Je C bis sumptain. sed A siumpta semel, cum C bis, est tertia pars A lineae ter sumptae, & lines C sexies sumptae: retio ergo I ad Κ tripla est. Eodem modo ostendemus quod L, sit tripla lineςM, nam L aequalis est G, H : ipsa vero G continet bis C lineam, cui si adiungatur H, ipsi C aequalis, erit G cum H, hoc est L, tripla rectae C, hoc estHi hoc est Mapatet ergo veritas propositione exposita. Schobo. olpus lib. ρrvo tione I8.tribus continuis quantitatibus an5cuit hane materiam quasill
A cet eandem continuant rationem; quia vero aduerti non solum eontinuis rationibus conuenire hane proportionalium prurietatem, verum etiam discretiFmis, modo rationessimiles assumantum. hine opera pretium siri, hoc insinuare. Noratu autem dignum existimo , si quis τI
120쪽
teriau proportiones ita eonvertar, quemadmodum haepropessioneferimus, in infinitam reperiri μώω ac plures sebdiuisiones rationum, sola axis in propositione mussa obseruatione.
Pint quaecumque & quotcumque magnitudines A, B, C, D, E; pona o turque F omnibus spraeter ultimam) bis sumptis, ac ultimae E semel sumptae aequalis; G vero aequalis omnibus simul sumptis, denique Haequalis ultimae E. Dico F , G , H arithmetieam A B C D A
H F Inea F, id est A, B, C, D , his sum-
- - ptae, una cum Esemel ,excedit recta -----
G, id est A, B, C, D, E semel sumptas, excessu A, B, C, D, semel sumptis. Sint eodem excessu excedit linea G, ipsam H, quae aequalis ponitur tectar E, igitur F, G, H lineae arithmeticam continitant propor tionem. Quod erat demonstrandum. Sebobon. QVMe mirum videνi non debuit Frederiso Commandino, Panum,eum bb. 3.ex Geometria ea proportione, analogi ae , ae medietates eruit, Arithmetica neglexisse; quandoqaidem non ex Geometrica tantum sed saeumque quantitatum ferisAroducatur, quod ravum in cateris sagacissimum latere potuisse vix eredi potest; vel certe operturget Commandinam dum Pani defectum, ut vocat, eodem libro propositione I9. supplere nititur, continuitatem Geometruam signare, ex qua, cum quapiam ratione Arithmeticam analogiam deduxisset, non ideo casem non proportionalibus qaantuatibuν commune esse, posset demonstrari siquidem a problematici nitoris stlendore alienum videtur,certum es determinatum quid in constructio nem adhibere, eum obviam quodlibet fueritsufficiens. Sed hae ingratiam ana.Pitatis dicta snt, quam venerari omnes deberent: istius enim scuti virorum labores, o ingentorum paria Buciaque non vidi a recentioribus adaquata.