장음표시 사용
151쪽
Cl A M, dissicrentia primorum duorum terminorum i fiatque ut A M ad BC se cundum terminum, sic BC ad tertium quempiam C K. Dico C X magnitudinem cum primo AB. & secundo termino BC , aequalem et se seriei uniuers e AB, BC, CD,&αi Conmuttiosecunda. I Iat ut AM duorum primorum terminorum differentia, ad AB primum rermi- num, ita secundus terminus BC, ad tertiam aliquam magnitudinem ΗΚ. Dico magnitudinem B Κ, cum primo termino,exhibere quantitatem aequalem toti seriei. Constructio tertia. V Isterentiae duorum primorum terminorum AM, Sc primo termino AB , tertia proportionalis fiat A K. Dico A Κ totam seriem exhibere.
mis terminis, toti seriei aequalis est. Secunda contiractionis ; A M est ad AB, ut BC ad DK ex constructione: igitur diuidendo, ut AM est ad M B, id est ut A M ad BC, sie B C ad C K. itaque per demonstratione m primae constructionis,A K hoc est B Κ una cum primo termino A B aequatur toti seriei. Tertia cons ructioni , Cum sit ex constructione AM ad ΑΒ, ut AB ad AK, erit inuertendo, diuidendo. rursumque inuet tendo Abi ad MB, ut AB ad B Κ : Aecomponendo AB ad M B, hoc est B C, ut A Κ ad B K. Quare AK b toti leti ei , 3.buim aequalis est. Factum igitur est quod petebatur. Prima igitur constructione exhibetur rota series prater primum essecundum terminum. 2.constructione habeturseries tota praeterprimum. terminum. 3. constructione simul tota producitur series. Huius autem problematis, ac conctructionis eis dem uniuersalitatem , ampliι deductam habes in propositione I 23. huius, o corollario quarto ibidem. .
ratio quarumcumque quantitatum ad lineas reduci
potest, bino et i μιμ-quenti methodu, IN neam toti series pho-
152쪽
. GEOMETRICIA syhypothesi, minor sit quam ΑΒ, ac proinde etiam BN cum AM, BN proportio- 'nales sint ipsis AB, BCi sit igitur concursus in Κι erit ut AB ad BC, sic ΜΑ ad N B: sed ve M A ad N B, sie ΑΚ ad BK , ergo ΑΒ est ad. BC, ut A ad BK. unde ΑΚ toti seriei aequalis est. Factum igitur est quod petebatur. . . Ibia.
MCIt magnitudo Α K, series tota rationis ΑΒ ad BC continuatae ino infinitum. - J '
-- C Κ, neque peresutando ΑΒ erit ad BC, id est B N, ut B K ad C Κ, ergo ne- . qae diuidendo A erit ad N B, vi BC ad CK. Fiat igitur ut A N ad Nn , se BC ad aliam magnitudinem CM, maiorem vel minorem quam CK. Itaque com ponendo, o B erat ad N B, hoc est B C, ut ΒΜ ad C Μ: dc perinutando AB ad. Bbinvi BC ad C M. Quare totius seriei b rationis AB ad BC, terminus erit Masiue ΑM aequalis erit se ei rationis ΑΗ ad BC, quod est absurdum,cum A Kmaior vel minor quam Abi, sit ex hypothesi aequalis seriei datae. non erit igitur alia ratio AB ad BK ratione BC ad M, ergo eadem quod erat demonstrandum. Reliquas autem assertionis partes ex prima deducemus. Cum enim iam demonstratum sit ex hypothesi theorematis, qui ΑΒ esse ad BK ut BC ad K, componendo erit A K ad ΒΚ, vi I K an C Κ. quod erat secundum Et quoniam ΑΚ est ad B K. ve BK ad CK, igitur per conuersionem rationis, . AK est ad AB, ut BR ad BC:&inuertendo AB ad ΑΚ, ut BC ad B R. quod erat certaulla. rursum quoniam ΑΒ est ad BK ut BC ad CK, erit permutando AB ad BC, ut BK ad C . quod erat quartum. denique quoniam ostensum est ΑΒ esse ad ΑΚ, ut BC ad B Κ, etiam permutando AB est ad BC, ut AK ad B Κ: qua Oinnia erant demonstranda.
. Corollarium. .FX quinta inertionis parte hoc theorema deducitur i data sit teries magniti idia num continue proportionalium A B, BC, CD, Acc. sine termino continuata Dico esse ut Una antecedentium, nempe AB, ad .unam consequentium BC. sic omnes, hoc est infinitas antecedentes, siue ΑΚ, ad omnes sive infinitas conlequentes,siu B
It ΑΚ magnitudo producta ex ratione ΑΒ ad 'BC, in infinitum Icontinuata ; primi autem & secundi termini differentia sit A rg, Dico primo; ὸifferentiam A M, BC secundu terminum, & CK totasti
153쪽
Ioo . PROGREs SION Esseriem, praeter duos primos terminosi in continua esse anastogia. Dico ieeundo, A M differentiam, ad primum terminum AB, esse VEB C secundus terminus, ad B Κ totam seriem, praeter primum terminum. Dico tertio,differentiam AM,primum terminum A B,& totam seriem A Κ, in continua esse analogia. '' . .
inoniam AN magnitudo producta est ex ratione AB ad BC in infinitum continuata,erit per praecedentem AB ad vK, ut BC ad C Κ: igitur perua tando ut BK ad CR. sie AB ad BC, hoc est MB. de diuidendo AH ad ΜΒ,hoc est BG, ut BC ad CR. quod erat primum. Rursum cum sit ut ΑΜ ad BC. hoc est M B, sic BC ad CK. erit componendo inuertendo, ut A B ait M B sie B K ad C KI.& conuertendo inuertendo ut ΑM ad ΑΒ, ita BC ad BK. quod erat secundum. Iterum cum sit ut ΑΜ ad AB. se BC ad ΒΚ, erit permutando , ut A M ad BC, hoc est ΜΒ, sic ΑΒ ad ΒΚ:& inuertendo componendo , de iterum inue endo ut A M ad ΑΒ, sic ΑΒ ad Α Κ. suod erat tertio loco clamonstrandum.
DEt octuagesimam secundam huius Α Κ est ad B Κ, ut A B ad BC, hoe est, scum' ex hypothesi AB ad BC, MN ad N similes sint rationes) ut MN ad No. sed per eandem etiam est MR ad N R, ut MN ad N igitur ΑΚ est ad ΒΚ.vtMR ad N R. unde per conuersionem rationis Α Κ est ad AB, ut MR ad ΜΝ:& permutando series A K, est ad seriem M R, ut primus terminus Α Β Rrimae seriei. ad primum terminum MN secundae seriei ; quod erat, &c.
QVamquam ex iis,quae iactensu et iversitier demonstraνι muν propositione omiste sima, re δctogesima prima, notasit proportio tot nuserari , adsumam magni- tussinem . placuit tamen exercui, causa, notissmis quibusdam propo ionibus anticare; maxime cum deutas sepe mentio sutura sit.
P Rimum igitu data sit, quocumque in genere quantitatis, proportio dupis, AB ad BC: .
Dico totam seriem proportionis huius, sine termino continuatae, constituere magnitudinem, quς dupla sit pumae magnitudinis.
154쪽
B. ClotFrat enim ipsi B C , aequalis BI, & fiat ut AI ad A B , sic. 1 B ad AKi erit Κterminus arationis A B ad B C, temper eontinuatae. & quoniam BA, dupla est BC, estque BI aequalis B C, erit quoque B A dupla IA: Quare cum sit ex constructione ut B A ad IA,se AK ad AB, erit etiam AK, si dest tota series ratio nis AB ad B dufa ΒΑ, ptimae magnituditiis. Quod erat demonstrandituri
PROPOSITIO LXXXVI. Etur deinde proportio tripla A B ad B C.
Dico totam teriem , fore sesquialteram primae magnitudinis.' Demonseratio.
Fiat enim secundae magnitudini BC, aequalis BI; critergo BI, tertia pars AB:8t AI excessus, seu distetrentia primat de secundat unde si fiat ut AI ad A B. sic A B . ivi ad ΑΚ, erit ΑΚ v aequalis toti seriei ι ει quia I B, tertia pars est B A, erit B Asesquialtera ipsus AI: quare cum sit ut B A ad AI . sic A K ad Α Η, ecit quoque A sesquialtara primae magnitudinis AB. moderat demonstrandum.
DEnique proportio data sit quadrupla A B ad BC.
Dico totam seriem else sesquitertiam primae magnitudinis r siue eam habere rationem ad primam magnitudinem, quam quatuor ad tria. Demonstratio. BAFIat enim BC aequalis BI: erit ergo BI quarta pars AB, dc consequenter Isesquitςrtia ipsius ΙΑ. Fiat igitur ut AI ad AB, sic AB ad AK, etie AK eta series. Quare cum K A sit ad B A, ut BA ad I A, erit Κ A sesquitertia primae magnitudinis B A. Quod erat demonstrandum. sed de his modὸ satis: poterit enim quilibet ex propositione ex octuagesima huius beneini L
lecta, durae proportionIs rationalis, seu numeri adnumerumstolamsteriem, , consequemer ratione erare, ad primum terminum exh bere. . . ' . . Schobon. ' .
QVod si constructioneriecisaeam octuagesima propositionὐ adbi reptiesserit , habebitis
rurica operatione proportio prima magnItudinis id reliquam steriems vero ρrima constra. ctione rutamur, exhibebitur proportio prima , secunda magnitudinis simalsumρtarum, ad . seriem reliquam. . Prasim materia memorem me fatu eius, quod in argumento huius libri praefatus sum, cum mentio incideret Zenonici discursus, quo sie eredebat omnem motus rationem re medio tollere posse: nucleud autem arguments tanta apud thorem aut horitatis exstitit, ut eundem Achi lis inuicti mi Ducis nomenclatura dignaretur : pers sum habens, eum nucleum usique adis dare tortice faturum, qui par foret omnibus Philosephisorum Elenchorum mas is sustinendis. Repetam disicusam Zenonis, igsdem verbis, quibus in praefatione huius libri sum usus. con si bat iste in duobus 'uamouerentur ;primo Achiilis, veiscissimὲ curreniis, altero restudinis
155쪽
Ponatuν inquiebat ille, Achillis curserperniciFimus, ex A puncro te H em reptantem per semitam B C, lotissimo motu, veste assequi ;.quo tempore Achisira tenaei ex A m II, mria est testudo aὰ aliquoddarium, eraeniem in D: Visur necdum Achilles assecuim est testud emi, Derum quo tempore Achilles ex B currit, malequatur tubdinem exist rem m D , morNesistida ad E punctum; igitur Achilles exi sens m D nondum a secutus est re, dinem ι atque hoc in infinisum eueniet: quoniam continuum diuisibile est in infinitum , undenumquam Aiachilles assequetur testudinem. Dc-bit igitur nobu hunc nucle m efringem, ex doctrina huius libril quod assecutos nos esse cognosces, cum ibis um punctum assignaueramus, quo Achillis 'tritudinem avrehendet. . '
Vt nodum . . Gordiam, ex principiis huius libri dissoluamin, supponemus, non minuy M rhillem, quam resudinem in suo cursu uniformiter procedere I ita ut ceseritin, privi parte motus assumpta, perseueret in eodem statu que ad ultimum temporis momentum quo sis statia decurrunti supponemus insuper, quoniam omnis morus strales eu quantitatis dari hoste motus,cismumformes ponantur, insuis partibvi, sirtiri inferse aliquam proportionem, quod nec erit Geniat. inter omnes quantitates, quae in eademsserie versaniura osunt duo motuου rectis formes. ' Ponatur igitur proportio duorum harum mobisium, secundam celeritatem , consi Iereis ratione dula: ua τι Achillis duplo eteri.seaIlum decurrat, quam teisuis: igitur quo tempore te furi ad quartam partem sta 'promota fuerit, mediam starium conferent schilles. Educta
cisinini itaque Achilles in Auei A C semitam repraesentans stadio longitudine aequalem: testudo mera constituta in di nidio stagj, in sancto B , vel D. posita DC is uali ipsi BC. , onium Achilles ex A mo eri incipit, quo tempore ex D inchoat cursum res do . Quis perraeneni Achilus ex A D B.quo tempore ex D, testudo pertinges in E: O suo/empore Achilli, ex B pertinget in F, eodem peruenerit tes G m E rn G ose consequenterri quia vero romisis progresonis rationis AB aia BF terminatur in C, prout propositione octuagesmί qisinta demonstratum est ; similiter c m progreso , secundum raraonem B F, ad FH, ωel D E ad E G, emfrDMur in puncD C , Iecμηdum eandem propositionem: igitur con- . cursus duorum horum mobilium, Achillissilicet se restudinu, continget in puncto C rvdsi loco vortionis dupla, assumaturproportis tripla, νηπc absignabitur concursus per propositu-nem octuage am sextam huius.Si vero qMdrupla, in miser propositis aia gesima septima,
o sic de reliquii. in captioses Zenonis disicursus molestias cre non consideranti iusirimen , quod in eo exf--σit, innerduplicem progresonem, qua arg ment/tionis lum dubiumstit: alia enim est μι- reso per partes aequales : alia per ρ r ei proportionales i his utriuriiue cursus supponi- ιυν eri r partes uniformes, sue per passei AEquales , cam passus primus a secundo, vel tertio non discrepet. licet duos pasus Achillis, verbi gratia, leodem eontingant tempore quo unau passus testudinis: secundum vero bos passus is utriusique cursus: Zeno autem in decursa a mentisi. intinguiι motus cur rum per partes proportionales, secuniam quas mobilia nulgo modo mouentur; at proinde m idem tam discursus recidit, ac si dicat quis, eo tempore quo Hai-
dam tineam DE, i artes quatuor aequales, alius eam subdiuidet secundum aliquam senem per partes proponionales prosem citius alignabuntur termini quatuor partium aqualium,qainfiniti termini partium proportionalium: Achilles enim stetiado decarrores A E θatium,pa partes aquales ι suorum passuum aqualium terminum tandem acquirant ; Zeno vero dum hac contingunt, a cursoribus diuidivult θatium Α Ε, in partes proportionales, secundum quas mobilia non succedunt.
156쪽
vi areumentum pyrro reJondendam est, dam dicitur . Priusquam Achilles ex Aperueni .it ad B punctum, inota est testudo ex B in F i
sessum huius opsitionis coιncidere cum hoc quo Acetur, praus debes Acbilles aflunare punctum B, quam ter punctum F. quod repugnat eursim secundum rationem motus; nam omnis assignano in hae materia continet ratione ubissentia,ut Mathemarici semiant , saltem se- eundum an ellectam, ac troyndeat cura I qu et , qua moxus repugnat. Verum hae in gratiam
PROPOSITIO L X X X VIII. Α - XEE D C BD Ata A B, cuius tertia pars sit C B; fiat ut tota A B, ad C B tertiam sivi partem, ita C B ad C D, de C D ad D E , de D E ad E F, at
Dico K terminum Euius progressionis,bifariam diuidere propositam magnitudinem AB.
Demonstratio. cstit enim ex hypothesi AB eum ΒΚ, aequalis toti seriei proportionis πιplae. at a qui tota series rationis triplar, sesquialtera est magnitudinis primae , ergo AB cum B K, sesquialtera est primae magnitudinis AB, ergo ΒΚ, est ciusdem dimidia. quo3 erat demonstrandum.
P i R. O POSITI O LXXXIX. A . Rpa D C κDEtur quantitas AB, cuius quarta pars sit B C; si fiat ut tota A B ad quartam sui patitem B C, ita B C ad C D , dc C D ad D E, 3e D Ead EF, atque ita se per continuando, punctum K huius progressionis
Duo BKeste tertiam patrem propositae quantitatis AB.
Π Am ex hypothesi AB cum B Κ, est tota series proportionis quadruplae . Atqui to--- ta series rationis qu druplae est b ad primim magnitudinem, ut quatuor ad tria, . 7. . qergo B K cum AB, est ad A B, ut quatitor ad tria. de diuidendo K B ad A B, vevnum ad tria, hoc est Κ B tertia pars est ipsius AB. Quod erat demonstrandum.
157쪽
fac ad BC. Dico factum esse quod petebatur. cum enim sit ut AK ad BK , sici' ' A B-B C, erit 3t reliquum B K a ad reliquum C Κ, ut AK ad B Κ: unde rationis AB ad BCb terminus est Κ : est autem A B ad BC ratio eadem cum ratione AK ad B L, id est G ad H. constat igitur propositum. Oratarium. CX hac propositione manifestum est, omnem magnitudinem, omnes rationum χα
gnitudinem L O , oporteat diuidere in tot partes , quot datae sunt rationes, nempe in L M, MN, NO, ita ut partes illae eandem habeant rationem, quam primi datarum rationum termini, A, C, E& praeterea singulae partes LM , MN , No singulis datis rationibus, sine termino continuatis, sint aequales.ci ructis oe demonstrario. flat GHI K, omnibus A, C, E,aeqnalis; &ut diuisa est GK, se diuide Lo iaM & Ne denique per 'o. huius LM ita diuide in P & Q. visit L P, ad PQ sicut A ad Bi ω rationis L P ad P Q. terminus sit M. similiter MN, No diuidem punctis R, S, T, V secundum rationes C ad D, E ad F, ita ut rationum M Rad RS,NT ad ΤV, termini sint N Sc O. Dico factam quod petebatur. Demonstratio ex iseonstructione est manifesta. 7 f
A B C D E F G HI DAtis quotcumquo rationibus AB ad BC, DE ad EF, GH adHI, 8cc. magnitudinem inuenire, quae omnes harum rationum , series progressionum adaequet. seminustio oe demonstratio.
DEr octogesimam huius inuem -1r magnitudines. quae singularum ratiorum*ries A adaequent: atque omnibus illis magnitudinibus,vaa fiat aequalis. hae vi patet, d. aequabit omnes series datarum rationum . . t
158쪽
GEOMETRICAE. 1ον PROPOSITIO XCIII. DAtas quotcumque series diuersarum rationum ita constituere, ut
sint in continua analogia datae proportionis. Const-tio in demonstratio.
A ad Z. Fiant tres magnitudines KL, Μ OP continue proportionales, in ratione Y ad Z. de KL ita diuidatur in Q T,&c. ut seriem constituat rationis AB ad ναμ-. BC: &M N ita diuidatur in R U, dec. ut adaequet seriem rationis D E ad EF: aedemum diuidatur similiter OP in S & Z, ut rationis GH ad HI constituat se, riem factumque erit quod petebatur.
D B C ADAtam magnitudinem Α Ε, semel sectam in B, ita rursum secare in C& D, vitam progressio rationis AB ad BC, quam progresso rati nis A D ad DB, terminetur in E. consimilio in demo ratio.
o Eperiatur primo ipsis AE, BE, tertia proportionalis C E. Dico progressionem A B, BC,terminari in E. patet ex septuagesima nona huius. Deinde inter A E,B Rinueniatur media DE. patet rursum progressionem AD, DB terminari in E , per eandem propositionem : fecimus ergo quod petebatur.
DAta magnitudine D G, & proportione maioris inaequalitatis A ad B, itemque alia magnitudine C: examinare quomodo series progressionis datae rationis A ad B, cuius primus terminus sit C, se habeat ad datam D G magnitudinem. CDisiti su by Cooste
159쪽
constructio . demonstratio. UIaeve A ad B, sic D Gad EG. Primositur si data magnitudo C, qu primus terminus progressio in is este debet,aequalis sit D E, erit series rationis A a1 B habens pri-
mum terminum C. aequalis datae magnitudini DG nam fiat DE id est C ad EF, je' Α ad B. quoniam igitur DG est ad EG ut A ad B erit B quoque D E ad EF ut D Gad EG. ergo progres io . rationis D E ad EF. id est progressi orationis Αad B. habens primum terminum C in constituet magnitudinem D G. Secundo si magnitudo C , quae debet esse primus terminus , maior sit quam DE, erit progressio A B, h*bCD primum Lerminum C. maior quam DG. Fiat enim ipsi C aequalis HI, utque A est ad B, sic HI sit ad IK, de progressionis HI ad ..... IK h reperiatur terminus L. Igitur eri Vt HI ad DE se HL tota series pro . im gressionis. HI, IK, ad D G tot m seriem progrestionis D E, EF. atqui HI maior est. quam DE, ergo&HL,inator est quam DG. Si denique C, minor sit quam D E erit quoque progrestio rationis A ad B, habe nrptimum terminum C, minor quam D G; quod eodem modo ostendemus, quo priomum. Fecimus igitur quod petebatur.
H IK LDAta sit progressio rationis A F ad F G, terminata in B ι & alia magnitudo C E: Oporteat in magnitudine C E, ita utrimque ad C &E constituere progressionem rationis Α F ad FG sprogressiones, nempe C H, H l, &c. & E K, K L, bcc.ὶ ut eundem habeant terminum D, qui ita diuidat C E, ut A B, C D, D E, sint in continua analogia. construmo in demonstrauio.
D Ectam CE ita diuide per trigesima in sextam huius ut AB, CD, DE sint A continuet p oporrionales. Deinde per nonagesimam huius ita di ide C D. in HMI, ut ratio CH ad HI, eadem sit cum ratione AF ad FG, ac simul progressio C in III, terminetur in D. Idem facito in E D. Factumque erit quod petebatur.
PROPOSITIO XC VII. SI duarum serierum Α M, B N termini A, B, C, D, E, F, G, &c. alte
natim in continua sint analogia. Dico illas inter se eam proportionem habere, quam primi termini. Demonstratio.
QVoniam A, B, C sunt tres continuat proporrionalassergo A est ad C, in duplicata ratione A ad B; iterum cum C, D, E sinr tres continuae, C erit ad E. in dupli. rata ratione C ad D; hoc est, ut patet ex datis A ad Bet ergo cum rationes Α ad C. Ate Cad
160쪽
C ad A eiusdem duplicatae sint, erunt A,C.E tres continue proportionales in rationes duplicata A ad B. Quare series Α Μ est series rationis duplicatae , rationis A ad B : deinde quia B , C, D iunt continuae proportionales , erit ratio B ad D, duplicata rationis B ad C. similiter ostendemus, rationem D ad F, duplicatam esse rationis B ad C. continuae proportionales sunt igitur B, D, P. unde series BN, est series duplicatae rationis B ad C, id est ex datis, Α afl Br similes αμ--α igitur series sunt AN Et B N. quare sunt inrer se, ut primi termini A&B. quod erat demonstrandum.
Quia Η Κ est series A B, C D, dce. Ac LN est series A B, D E, &c. sumanti exHK partes HI, I P aequalevipsis AB, CD: ex LN vero partes LM, Moaequales ipsis AB, DE. Quoniam igitur seriei HI, II terminus est Κ, erit H Kbad IK, ut HI ad I P: At quia seriei L M, MO,&c. terminus est N, erit LN . ad:IT 'MN, ut LM ad M o. sed HI ad I P minorem habet rationem, quam LM, id est HI ad MO. Ergo HK ad IK, minorem habet, quam LN ad L M, N per conuersionem rationis xΗ ad HI, maiorem habet quam LN ad LM. exgo permutando HKad LN, maiorem habet, quam HI ad L M. Quare cum ex const. HI,LM sint aequales, necesse est HK maiorem esse quam LN. Quod erat demonstrandum.
SEries rationis AB ad B C, terminetur in M assumatur autem ex serio A M, terminus quicumque D E. Dico rationis Α B ad O E seriem, una cum serie rationis B C ad E F, ac serie rationis CD ad F G, aequari seriei rationis A B ad BC. A D E F G H IKL M Demonstratio.
Ovandoquidem omnes A B, A C, C D, D E, dec. in continua sint analogia, palee
inex elementis AB, DE, GH Ae sic in infinitum esse Continuε proportionales. Si militer B C, EF, HI, dcc itentque C D, FG, IK esse continue proportionales; ergo series trium rationum AB, DEB BC, EF, CD, FG, continuantur perpetuo; intra seriem AB, BC, CD,&c. ita ut in histribus seriebus simul siumptis, nec plures, nec pauciores termini reperiantur,quam sint in serie Α B, B C, C D, Ace. inanifestum igitur est has tres series, seriei Α B, B C, dcc. aequales esse Quod erat demonstrandu.