장음표시 사용
161쪽
SEries rationis AB ad BC terminetur in G; seriei autem rationis A Bad C D, aequalis sit H Κ;item seriei rationis B C ad E F, aequalis sit L N. Dico seriem A G, duabus HK, LN, maiorem esse. Demonstratio. ΑIL.,a.Ainis. CEries B C, E F, dcc. minor est serie BC, DE, Alc. ergo series B C, E P, dee.eum serie Α B, C D. dec. minor erit, quam series BC, DE, &c. una cum serie Α B, CD, Sce. atqui per praecedentem series BC, DE, dcc. cum serie AB, C D, Ac . constituit seriem AB, BC, CD, DE,&c. hoc est magnitudinem A G. ergo series BC, IS F, dcc. cum serie AB, CD, dcc. minorem constituit, quam ΑGr ergo HK, LNs Eries aequales seriebus A B, C D, dcc. B QE F, dcc. minores sunt, quam series AG Quod erat demonstrandum.
o terminetur in L. Detur autem proportio a ad λ S multiplicata rationis Α B ad B C, iuxta datum aliquem numerum quatuor exempli caus J Aequot sunt unitates in dato numero, tot una minus fac magnitudines LM , OP, RS, aequales datae seriei terminis AB, BC, CD. Dico series, rationis α ad β, quarum primi termini sint L, O, R,simul sumptas, conitituere eandem magnitudinem , quam series rationis AB
Flat via ad a, sic L M ad M N, 8c O P ad P de R S ad S Ti erunt ergo omnes
luerationes quadruplicatae rationis AB ad B C: dc quoniam LM, A B. aequales sunt, eandem habebunt rationem ad MNi ergo de ratio AB ad MN, quadrupIicata est rationis AB ad B C : est autem δc ratio AB ad DE , quadruplicata rationis AB ad BC. ergo ut AB ad DE, ita A B ad MN. aequantur igitur DE de MD series igitur rationis LM ad MN, est series rationis AB ad DE. Similiter ostendam seriem rationis OP ad PQ Iesse seriem rationis BC ad EF, Ac seriem rationish-R s ad S T, seriem esse rationis C D ad FG. atqui hae tres , series stimul sumptae. adaequant seriem rationis A B ad B C ; ergo etiam de illae eandem adaequabunt Quod erat demonstrandum.
162쪽
SEries rationis AB ad BC continuatae, terminetur in K. Data autern sit LM aequalis AB, &quiuis numerus sputa s. in deinde fiat ratio LM, ad MN multiplicata rationis AB ad AC, iuxta datum numerum; sitq;rationis L M ad M N terminus O. Dico seriem A Κ, ad seriem L O, eandem habere proportionem,quam totidem termini seriei A B, BC, CD quot sunt unitates in dato numero, habent ad primum A B. Demon atIO.
Vm, exempli causa, numerus datus ponatur ternarius, erit ratio LM ad MN, - triplicata rationis A B ad BC: ostendendum nobis est , ΑΚ este ad Lo, ve re primi termini DA ad primu A B. ex serie AK sume sex terminos A G: Igitur proportio A D 3 ad D G, triplicata est proportionis AB ad BC, aequalis igitur est rationi LM ad MN, hoc esti, rationi LO ad M o. cum enim o sit terminus seriei L M, MN, erit Lo ad Mo, ut LM ad M Ni Deinde quia Κ term nus est seriei A B, . iιώ
BC, erunc tres ΑΚ, ΒΚ, CK continuae proportionales. adecim e omnes Ctiam sequentes erunt continuae: Quare&ΑΚ, DK, GK, inter quas par continue proportionalium uumerus interlocitur, ex elementis patet esse continue proportionales.
unde ΑΚ, i est ad DK, ut AD ad D G, id est squemadmodum iam ostendi veL Oad ΜΟ. Itaque per conuersionem lationis AK est ad AD, ut L O ad L M, ω permutando ΑΚ ad Lo, ut AD ad L M, id est ex datis AB. Quod erat demon
EX serie continue proportionalium ΑΚ , sumatur quiuis terminus ut HI. Dico seriem rationis A B ad B C, habere ptoportionem ad seriem rationis AB ad H I, quam habet H A somnes nempe termini ipsum H Ipraecedentes) ad ΛΒ primum terminum. Haec propositio, ut consideranti facile patebit, eadem est cum praecedenti, bed aliter & commodius fortasse proposita. Quare eadem erit utriusque demonstrario.
Coraliarium. T X hoc theoremate licebit plaxim desium ere, assignato quovis termino HI, in te-- rie A Κ. rationis AB ad B C, reperiendi magnitudinem toti seriei rationis Anαd HI aequalem. Nam si fiat vi H A ad AB , sic K A ad alia ni LO; erit Loaequa Iis toti seriei rationis AB ad HI.
Fateor tamen opus non esse ad hanc praxim recurrere, cum univcrsalem metho. Hum. eanaque facillimam reperiendi magnitudinem , toti seriei cuiuscumque ratio
nis aequalem, propositio 8o.huius suppeditet,
163쪽
PROGRESSION EsPROPOSITIO CIV. A B C DEFGH κ
M N Q. VDAtae sint continue proportionalium series binae, A X, Κ V rationum diuersarum, ita tamen ut Α, Κ, L, B etiam sint continuae. Dico seriem Α, Κ, L,M,N, dic. terminatam in V, eam habere propor tionem ad seriem A, B, C, D, 8cc. terminatam in X, quam Α, Κ, L simul sumpti ad A primum terminum. Demonstratio.
AD datur ipsi K terminus Τ in directum, aequalis ipsi A: ratio igitur quod ex hypothesi colliges T ad M, triplicata est rationis T ad K. Quia autem Α, Κ, L, BPUnuntur continuae proportionales,erit L ad B, ut K ad Li sed etiam L est ad Μ, ut ' L ' K ao Li ergo L ad B, c M, eandem habet rationem i adeoque a B Sc M aequRiς s. sun L. Sunt vero etiam aequales AT, ergo ratio A ad B, eadem est cum ratione Tad M. quare ratio A ad B. triplicata est rationis T ad K. eum ergo utriusque inici initium, idem litterminus A, erit series T, Κ, L, Sce. id est series A, L, M ,α b O , -b adseriem Α, Β, C, D, dcc. ut tres primi termini L, Κ. Τ, hoe est L, Κ, Α, simul sumpti ad T, hoc est ad A, primum terminum e qaod erat demonstrandum.
. N C P SDAtae sint binae series continue proportionalium magnitudinum ita diuersis rationibus, terminatae in K & M ; & ab aequalibus termia. nis A B, F G incipientes. Fiat autem secundo termino BC, unius seriei aequalis NO, & GH secundo termino alterius seriei, aequalis o P. Deinde ratio N O ad OP vel ratio OP ad No, si OP maior sit quam N Oὶ in infinitum continuetur. Dico N O esse ad P Q, ut C D ad ΗΙ & N Ο esse ad QR vi D E HI L, atque ita in infinitum. Demonstratio.
c Q. , im Hum series R K, F M incipiant ab aequalibus terminis, erit ratio e CD adHI. r Utionis B C ad G H, hoc est, ex constructione, rationis N O ad O P, duplicata; Atqui etiam ratio NO ad PQ, duplicata est, ex datis, rationis NO ad OP,eaedem igitur sunt rationes CD ad HI, M NO ad PQ; similiter ratio DE ad I L. triplicata est rationis BC ad G H, hoe est rationis N O ad O Pr Quare cum Et ratio No ad QR, eiusdem rationis N O ad OP, sit triplicata , eaedem erunt rationes DB ad IL, & NO ad QR. Atque ita in infinitum, simili demonstratiane proc demus. Patet igitur Theorematis veritas.
164쪽
ΡROPOSITIO CVI. DAtae sint duae rationes similes, AB ad C D, bc BC ad DE, quae
terminis sic alternatim positis, continuentur. Dico utriusque rationis in infinitum continuatae eundem terminum
Demonstratιo. Quoniam ex hypothesi AB est ad CD, ve BC ad D E: erit permutando compo. uendo, rursumque permutando Α C ad C E, ut BC ad DE i similiter quia CD est ad EF, ut DEad F G, erit permulando componendo, rursumque permia tando. CE ad EG, ut DE ad F G; hoc est ex hypothes ut BC ad DR, hoe est iam demonstratis, ut AC ad C E: sum igitur AC, CE, E G continuae proportionales. Quod si rationes AB ad CD, Sr B C ad D E, in infinitum continuentur,osten.
dam pariter, rationem AC ad CE, in infinitum continuari, per terminos continuὸptoportionales A C, C E. E G, Scc, Inueniatur igitur terminus semel AC, CE, EG ridie.sitque L Itaque non est punctum assignabile. inter puncta ΑΛ K. vltra quod non cadat aliquis terminus seriei AC, CE EG. Quare cum rationum AB ad CD, & BC ad DE continuatarum, termini omnes ita contineantur in serie A C, CE,&e. ut singuIι termini seriei AC, CE, &c. contineant unu in terminum rationis AB. ad CD, et unum terminum rationis BC ad DE i manifestum quoque est nullum punctum assignari posse inter Α dc Κ, vltra quod non cadat aliquis terminus, tam rationis AB ad CD, quam rationis BC ad DE; neutra igitur series terminabitur inter A & Κ: sed neque ulli dictarum rationum termini transilient K , eum perpe tuo contineantur in serie AC, CE, EG& quae ex constructione non transilit unquam Κὶ ergo binae series rationum AB ad CD, de B C ad DE, eundem habeat terminum K. Quoderat demonstrandum.
Λη Agnitudo Adbisecta sit in C BC autem in D; &CD in M&JVl o E in F, & E F in G F G in I; atque hoc semper fiat:
Dico alternae huius progressionis terminum fore in puncto, quo imFgnitudo A B, diuiditur in partes, habentes rationem quam unum ad duae siue terminum profrestionis abscindere Bra, tertiam partem magnitudi
ratione quadrupla. Itaque si alterna illa bisectiosne statu continuetur , constituetur utrimque progressio in infinitium, proportionis qua Arupher de quoniam AC qua Mdruplaesi CE . erit & BC eius evii CE qua rupta : est vero de C E, quadrupta Ε G, atque ita in infinitium i progressio igitur Α c, C EsE &c. eadem cst cum pla, gressione
165쪽
gressione B C, C E, E G, &c. & eundem terminum hab et: Atqui progressionis qua- ' - druplae B C, C E, &e. terminus H, secat a CB in ratione virtus ad duo, e TQ etiam verminus progressionis AC, CE secat C B, in ratione unius ad duo. Quare CH dimidia est ipsius HB & CB sesquialtera HB : ideoque AB eripla ipsius HB: aedenique AH dupla H B: ergo terminus progressionis AC, C E, &c. secat ΑΒ, in ratione unius ad duo. vlteritis cum progressiones AC, C E, &C. BD, DF, F I, &c. eiu idem sint rationis, nempe quadruplae,erit tota series progressionis A C, C E,E G, &c .ad totam seriem progressionis BD, DF,&e vi A C ad BD: Quare cum A C dupla sit DB, erit quoque series progressitonis AC, CE, &c. id est AH. dupla seriei BD. DF, &c. Atqui AH iam ostendimus etiam duplam esse H B: ergo AH, ad seriem progressitonis BD, DF, eandem habet rationem quam ad HB: vnde H B aequalis est seriei B D, DF i unde progressionis B D, DF, series termina. tur etiam in puncto H. Quare per eadem procedens puncta, cum alterna illa bise.ctio constituat utramque progressionem , illius quoque terminus erit punctum II. quo diuiditur A B in ratione unius ad duo: quod erat demonstiandum. Orosianum. NX hoc Theuremate reperietur arcus trisectio, si in dependenter atrisectione, al-Mternae illius progressionis terminus inueniatur. Cum enim Theorema uniuerside sit,&in quavis magnitudine demonstratio allata valeat, si in arcu dato AB, similis alterna fiat bisectio, terminus quoque progressionis alternae H,abscindet tertiam ariscus partem B Η r proindeque reperto alia via dicto termino, arcus etiam dati tui sectio reperietur.
atque sic alterna diuisio semper fiat, Dico virimque constitutum iri duas prrerestiones similes, magnitudi
num A B, B E, E H, &c. & C o, D F, F G, &e. continue Proportionalium in ratione duplicata proportionis AC ad BC.Demonstrario
analogia, & quidem eo ordine ut prima, tertia. quinta, septima, & sic deinceps tintermino semper numero medio in constituant seriem Ai secundαvero quarta, sexta, octaua, & sic deinceps semper omisso numero medio) seriem C, conficiant. igitur ut
AB ad B E. prima ad tertiam , sic CD est ad DF, secunda ad quartam; & sic deinceps; adeoque rationes ΑΒ ad BE, & BE ad EH, &c. similes erunt rationibus
166쪽
CD ad DF,&DF ad FG, dce. est autem AB ad BE, ut , AC ad BD, libe est. 1 in ratione duplicata AC ad BC,& CD est Ad DF, ut BC est ad ED secunda ad quartam, hoc est in ratione duplicata BC ad BD, hoc est AB ad BC. ergo duae illae progressiones , similes erunt, & in ratione duplicata A B ad B C. Quod erat
ex alterna illa diuisione nata, terminum habebit eundem in magnitudine A C. Demonstratio. SVmatur ST aequalis AC: 3e capiantur ex ea magnitudines L Τ, MΤ, N T,
O Τ,&c. quae aequales sint continuὸ proportionalibus B C. B D, E D, E G&α erunt igitur SL, L M, MN,N O, SI c. ipsis quoque AB, CD, BE, FD, Ne aequites; cum enim tota A C, S T, & ablata B C, LΤ, aequalia sint, siecesse est etiam reliqua AB, S L esse aequalia: & ruriam quia tota BC,LT, & Iblata BD, Μ Taequalia sunt, patet quoque reliqua CD, LM aequalia esse. Similiter ostendam MBE ipsi MN, DF ipsi NO, atque ita in infinitum, reliqua reliqui qualia esse.er so utraque progressio Α & C. progressi emi SL, L M, aequales sunt simul sumptae. 8c quoniam S T, LT, ΜΤ, lec. aequantur continue proportionalibus AC, BC, BD, dcc. etiam ipsae erunt continuae bideoque S L, L M, MN, See. sunt continuae 3 proportionales. atque ita sine termino continuatur ratio , SL ad LM; ergo pr - . , , sis; gressio . SL ad L M, terminatur in T, siue constituit magnitudinem Sir quare clim utraque progressio A dc C simul sumptae, aequentur progressioni SL,LM; etiam constituent magnitudinem ST, hoc est AC ex constructionet eundem igitur terminum habeant in magnitudine AC necesse est. nam si diuersos habeant,sint illi Y Sc Z. vel inter utrumque terminum Y, Z supereri e media quaedam magnitudo, quet ad neutram seriem pertineat, vel aliqua erit magnitudo,utrique seriei communis,eritque Z terminus semel A, de Y terminus seriei C: neutrum autem fieri potest; nam primo dato,constitueret utraque series magnitudine minorem quam A C, Et posito altero, maiorem quam A C. Quod utrumque repugnat modo demonstratis: non igitur diuerssis habebunt terminos dicti progressiones, sed eundemi quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CX. IIsdem positis, geminae progressionis AB, BE, &CD, Dp ex alterna
sectione natae, communis terminus P, magnitudinem A diuidet in ratione AC ad B C. D re batio.
OEr praeeedentem ponatur P esse communis utriusque terminus, 'quoniam igitur similes sunt pro ressiones A & G, erit tota series progressionis Α, hoc estAP. 4 φ
167쪽
.a.. Misis. si totam seriem progressionis C hoc est CP. ut AB ad CD. quia autem ex Itypo- . . in . thesi AC,BC,BD sunt continuae proportionales erit AB ad CD, but AC ad BC, est igitur AP ad CP,.ut AC ad BC. terminus ergo P virtusque progressioni diuidit AC, in rationa AC ad BC: quod erat demonstrandum.
IIsdem positis; terminus alternae sectionis, siue progressionis A C, B C, B D, E D, E &c. diuidet magnitudinem A C, in ratione Α C ad B C. Demonstratις.
ITriusque progressionis AB, BR& CD, DF, termini simul sumpti sunt ijdem
V cum terminis progressionis AC, BC, BD, ED, Acc alternatim sumptis. ergo progressio alterna AC, B C, B D, dcc eundem habet terminum quem progressiones AB, ΗΕ & CD, DR sed harum terminus per praecedentem, diuidit AC, in ratione AC ad C B; ergo&alternae progressionis A C, BC, BD, &C. terminus in eadem ratione diuidet magnitudinem A C. Quod erat demonstrandum.
DAta sit continue proportionalium series,constituens magnitudinem A Κ: sit autem LN, aequalis A Κ, fiatque primae A B, aequalis LM; secundae vero B C, aequalis fiat NO; tertiae autem CD, sit aequalis M P, & quartae DE, aequalis O R : atque hoc alternatim semper fiat, ita ut omnes AB, C D, E F, G H, dcc. sint ex parte L; omnes vero BC, D E, F G, Hl, &c. sint ex parte N. Dico terminum huius alternet progressionis, A B, N O, M P, O R, P in R S, &c, diuidere L N, in ratione AB ad B C. Demonstratio. A B C D E F G HI .. M PQ TYZVSRO LXQuoniam ΑΒ, BC, CD, DE, sunt continuae proportionales, etiam AB, CD, EF, Ecc sunt continuae, Si quidem in ratione duplicata AB ad BC; ut patet ex elementis. Similiter in eadem ratione duplicata AB ad BC, erunt continuae proportionales omnes B C , D E, F G, dcc atqui omnes AB, C D, 3cc. sunt ex part L, & omnes, B C, D E, dcc ex parte N. Igitur in magnitudine LN per alternam illam progressionem, constituuntur duae series appositae similes, eiusdem nempe ratio-e-nis duplicatae A B ad BC. Quare series tota L M, RUP, 3cc est ad seriem totain NO, OR, Me ut L Μ ad N O , laoc est AB ad BC. Deinde quia per series AB.4-4 C D, EF, Acc de series B C . DE, dcc simul sumptae, aequantur seriei A B. BC, . CD, Dri&c series quoque L, dc N, simul sumptae aequabuntur seriei A B . B C, C D, D E, dec. Quare cum haec ex hypollieui co nitituar in gnitudinem A K,id est ex hypothesi LN, etiam series L dc N, maggitudinem LN constituenti ergo eun
168쪽
. GEOMET MICAE. D dem in magnitudine L N, habeant terminum necesse est : si enim diuersos habeantvt Y, Z: vel inter Vtrumque terminum supererit media quaedam magnitudo, quae ad neutram seriem pertineat, vel aliquid erit utrique commune, ita ut rerminus se-ti et L, sit Z. terminus vero seriei N, fit Y. neutrum autem fieri potest: nam PIim dato eonstitueret utraque series magnitudinem minorem quam LN, altero autem posito maiorem, quod utrumque lain demonstratis repugnat. eundem igitur terminum X, habebunt series L dc N e cum igitur ostensum pinu sit, seriem L esse ad se--riem N, ut A B ad B C, utriusque seriei terminus communis X diuidet magnitudinem LN, in ratione AB ad BC. Atqui alipina illa magnitudinum LM,N O, MP, o R, Acc.progressio, constituit semes L Ac N. ergo ipsius quo queaterminus erit X, diuidens L N in ratione AB ad BC: quod erat demonstrandum.
DAta ite magnitudo A B utcumque diuisi in C fiat autem ut AB ad BC, sic BC ad CD, & CD ad DE,& DE ad EF,& EF ad FGiatque hoc tem per fiat.
G a ternae laurus progressionis terminum is, diuidere ΑΒ, in ratione A B ad B C. 'c .emonstratio.
vinati r enim LY aequalis Α Β , Ac sinsulis in quas diuiditur alternatim AB, con- emuli proportionalibus AB, BC, CD, DE, dcc. aequales fiant M Z, N Z, R Z, Ace. erimi igituresiam haea ideoque de L M, MN,NR,s c. continuae proportiona- Iesi de progrestionis huius L MςΜγ, ME, ieri sinus erit Z , & quoniam AB, L Z de BC, ΜΖ, κquantur, etiam 'CULM an at qrunt. Frsus' ua BC, ΜΖ, MCD, N Z, aequales sunt, etiam BD, MN aequales erunt' Simiait et ostendam CE, ipsi N & DF ipli R S, dc GE ipsi S T, d FH ipsi TU x se in infinitum uates es trabemus igitur progressiciuem alternam magnat lint Δ BD, CE. DF, dcc. quias Sin praecedςnte propositaope proponctatur ,ic elys turminus X diuidit AB in talibiae LM ad MN. Igitur cum ex Pr Uressiqne Alterna hic proposita ΑΒ, BC, CD, DE, EF, Acc. illa altera ortatur', ita ut tam progressio AB, BC, CD, DR a C. tquam progressio AC, BD, CE, DF,&c. in punctis ijsdem C, D, E, P. G, H, dcc. dividant magnitudinem A B, huius quo ue ter nus erita, diuidens AB in ratione LM ad M N, e hoc est in ratione L Z ad MZ, hoc est ex constructione in qtatione ΑΒ ad CB. Quod erat demonstrandum. Coroliarium. CI vero fiat ut AC ad CB, sic BD ad DC, de CE ad ED, & DP ad PE, atque - ita semper: huius quoque alternat progressionis terminus, diuidet AB in ratione A B-ad BC. οὐδ enim se ut AC ad CB, se B D ad DC Ac CE ad ED, Me. componendo erit AB ad BC, ut BC ad CD, de CD ad DE, dcc. atqui terminus progressionis A B, B C, D C, CD,&c, diuidit A B in ratione δε B ad BC. ergo Np ressionis A C, C B, B D, DC, Sce. terminus, diuidet A A iρ ratione Ais fidae C; cum enim utraque haec progressio in punctis semper iisdem secet A B, eundem vitaque terminum habere debet.
169쪽
DAta sit magnitudo AB sectain tres partes aequales, in Ι & Κ: 8c rursum aliter se. cta in C, inter Α & I. . , Dico bisectionem partis CB, cadere inter I& Κ In Di&bisectionem partis D A. . cadere inter I M C in E: rursum bisectionem partis E B, contingere inter D & Κ, in R ipsius autem FA bisectionem, inter E & I in G t atque ita in infinitum.
QVoniam CB maior est, quam IR dupla A I; erit ipsius CB dimidia, maior quam ΑΙ. ergo bisectio ipsius CB, cadit ultra I, versus B. Iterum C B plus est quam dupla KB, adeoque ipsius CB dimidia, maior quam BR : quare bisectio CB, cadit ultra K, versus Α, adeoque cadit interjI de K. in D. Deinde cum C Bpjussitquam duae tertiae, ipsius AB, erit CD eius dimidia, plus quam 'natertia ipsilis AB i sit autem AC ex datis minor , quam una tertia i ergo CD maior est A C. & bisectio ipsius D A, cadet ultra C versus B. smiliter cum AI etiam maior sit quam DI, cadet bisectio ipsius DA vltra I versus A, adeoque inter C &I,in E; non aliter ostendemus reliqua, quae in astertione proposuimus. Constat igitur vzritas lemmatiS. Lemmascundum.
DΑta rursem sit A B secta in trespartes aequales, in I & Κ: de rursum aliter iecta inter I&K, in C. Dieo bisectionem partis C B cadere inter Κ de B in D; de bisectionem panis D A, cadere inter C, dc Rin E; bisectionem autem partis EB, cadere inter Κ 8c D in F; partis vero F Α, bisectionem contingere inter E dc I in atque ita in infinitii. Demonstratio eadem propE quae Iemmatis praecedentis.
. .X magnitudine A B secta intres partes aequales in I & Κ, suma- stiir AC minor vel maior tertia parte totius AB, & bifariam diuida-ilit C B in D, & DA bifariam in E, & EB in F, de F Α in G. Rursum G B bifariam in re & H A tu i . atque hoc semper fiat.: Dico huius progressionis alternae terminos diuidere magnitudinem
AB in tres putes aequales. . .. .
vm CB dupla sit DB, Se EB dupla FB , erit OB ad DB, ut EB ad FB. xy - ergo CE ad D F , a vi EB ad FB. Quare cum E B dupla sit FB, etiam Cri sus D F dupla erit. Deinde cum D A dupla sit EA, itemque F Α dupla ipsius
170쪽
71 . , i RGA, erit D A ad EA, ut FA ad G A; ac proinde D F erit . ad GE, ut DA adai M. E A. Quare cum A ipsius. EA dupla st. etiam DII dupla erit EG unde C Equadrupla est ipsius E G. Si niliter ostendemus F, G duplam este FH, intam autem FH duplam elle GL, proindeque E G ipsius G L quadruplam esse: atque ita continuando sine statu, per alternam illam bisectionem constitui progressionem magnitudinum C REG, GI.,&C. proportionis quadruplae. eodem autem discursu Quo prius usi fuimus, demon stra bimus DF esse quadruplam FH, M RH quadruplam sequentis termini, ac proin de etiam hic progressione rationis uuadruplae statu LVlterius quoniam tam ratio C B. ad L B, quam lB ad ΚΒ, dupla est, et it CB ad DB. veIB ad ΚΒ,&. CI ad DK, ut IB ad RB. Itaque mim I B dupla sit ΚΒ, etiam bivi. CI ipsius DK dupla erit: si liter DK ipsius Et duplam esse demonstrabimus. Igitur CI quadrupla est EIr ideoque C I est ad EI. OCE ad Ec. unde pro-
Demonas CEς E. G,&c. terminus es I; ea dein methodo discurrendi, ostendetur φυ ἡμιε- L Κ esse ad FK, ut DF est ad FH. Quare de progressionis DF, FH.Sce terminus erit K dum igitur utraque progressa E, E G, dcc. D F, F H, dic. constituatur ab alterna illa bisectione, Inpropositione proposua . inius quoque termini erunt in Ide K vha trifariam diuiditur magnitudo AB. Quod erat demonstrandum.. - -- Α C minorem Hur maior aquase Win urna foret, bsectionei alterna m manifestum eis, assertisinem opositionis consideranti Lemmat sums-- Α C mnorem aut maiorem tertia parte magnirudinu GIAE A B'; quias
in eadem semper puncti I K inciderent ι uti
D A diuidatur in ratione V ad X sectionem cadere vltra I in Et rursum s E B di