장음표시 사용
181쪽
corollarium quintum. TIsdem positis infero quinto si fuerit progressio AB, 8cc.smilium magnitudinum itemque alia progressio similium inter se magnitudinum αε,γ,o,8cc. uue umiles illae sint terminis alterius siue dissimiles: sit autem progressio utraque eiusdem proportionis: infero inquam totas series AK, αξ eam habere rationem inter se, quam primi termini A B 3c a.
hoc est per idem corollarium ut series ας ad seriem β ξ. Igitur per conuersionem rationis series AK est ad AB, ut series ada: M permutando series ΑΚ est adseriem ut AB ad α. Quod erat det non strandum. sero uriumstatum. H quamquam hactenus solum assumpserimus progressionem planorum, corpo rumve similium similiterque positorum. non est tamen quod existimet Ierior, uethactenus demonstrata sunt non subsistere,si planorum aut corporum non similium statuatur progressio, eadem quippe utrobique, ut cuilibet rem expendenti manite num est , & veritas est & veritatis demonstratio. idcirco autem figuras similes assumere placuit, quod & usus earum frequentior, & magis sint ad demonstrandum ac
Ex his hunc in modum demonstratis manifestum est progressionum proprietates, secunda parte explicatas progresilonibus magnitudinum in directum positarumquas deinceps prosequemur, non minus quam alijs conueniret ac proinde propositiones superioris partis in quibus 1I' tractantur,prorsus uniuersales esse. Quare has deincep, uti reuera tales in sequentium theorematum demonstrationibus citabimus.
eonstruista plana similia. Dico plana esse in continua analogia: & si plana dentur continue proportionalia: Dico etiam bases sere continue proportionale .
182쪽
Η ' est ad planum BN, in duplicata
n BN est ad planu CO in duplicata ratione BC ad CD,id est ex da-
later se esse in duplicata ratione ΑΒ ad BCt madifestum est igitur omniaeta in continua analogia: Quod erat primum. secunda pars simili plane discursu ostende. tuu patet igitur veritas propositionia.
PROPOsITIO CXXV. EAdem posita saura data sint duo plana similia , basibus homologis
indirectum politis, A M maius, B N, minus. Petitur inueniri terminus longitudinis, ad quem proportio dictorum planorum sine statu continuata excurret. : :
DEromiagesimahuius inueniatur progiessionis basium A s, B C terminus, sitq; MDieo etiam Κ terminum esse longitudinis ad quem series planorum excurret: plana enim sinulla quae fient mper terminis progrestionis ballum, per praecedentem erunt continue proportionalia , ac proinde linearum planorum': in infinitum progressio, pari pata procedent i quate utriusque terminus erit K. Quod erat demonis
sem igitur punebam, terminos est progressionis basium, & terminus longitudinis,aemnabet series figurarum similium t sive,quod idem est, linea quae aequalis estes balium, est Iongitudo semei figurarem similium, super basibus descriptarum.
DAta sit planorum similium eontinue proportionalium series, homo logis basibus A B, B C, C o, &c. in directum positis, habens termi-ri um longitudinis punctum ΚόDico, totam planorum seriem M Κ esse ad primum terminum A M, ut est totrseries basium imparium A B, C D, E F, dce.ad primam A B, Dis i Cooste
183쪽
T Er octuagesimam secundam huius , to ra planorum series Μ Kest ad seriem DK, ut planum AM ad planii BN t atqui cum plana sint similia, duplicatam habent ratione basium AB, BC; ergo series M K ad seriem Ν Κ dupli eatam habet ratio nem AB ad BC quia autem per corollarium proposit. praecedentis, . progressionis hasium N AB, BC,6cinerminus est K, erunt igitur Α Κ.B Κ a C Κ tres cotinuae proportionales. unde
ratio A K ad C Mispli-ς ra est rationis A Rad BK destrationis AB ad BC: ergo series MKest ad seriem Nx, ut A K ad CD quare per conuersionem rationis series M K, est ad planum A M. t Α K ad C A: de inde quia series AB. B G, CDDE, ω id est Iinea A est ad istiem Α B, CD, &e.vt C A ad B A, erit alternando ΑR a d CA, ut series AB, CD, dcc. ad Α B: sed series planorum M K , est ad planum A M ut AK ad C A. ergo series ΜΚ est adpIanum A ut series A B, C D, &e. ad AB Quod erat demonstrandum.
i s. . . Mamfissum TX demonstrationis discursu patet totam planorum seriem esse ad primum planam, . - . t K A ad C A. Quod quia postea usui veniet, sigillatim notare placuit.
. PROPOSITIO CXX VII. Iisdem positis sit Al disserentia primae AB. de tertiae CD.
Dico totam similium planorum seriem esse ad primum Planum A M. vi A B prima basis, ad Αι primae di tertiae disserentiam. Semmstratio.
, iis . Nat lineis AI, A B tertia S Τ continuὸ proportionalis. igitur a T d aequalis est i ii seriei basin mimparium AB, CD. EF. dec. ergo per praecedentem ota serie planorum M Κ est ad planum ΑΜ vi ST ad Agi Atqui exeon 'tuctione AB est ad AI, ut S T ad A B i ergo tota serim inad planum A M, vi Α B ad AI. Quod
ΡROPOSITIO CXXVIII. , EAdem manente figura, data sit quadratorum series basibus in dire
ctum positis, terminum habens longitudinis, punctum Kr fiat autemper octuagesima huius S T,aequalis seriei basium imparium A B, C D,&c.. Dico rectangulum super ST in altitudine AB aequari toti seriei quadratorum M K. 4
184쪽
Min m C D m ae γα PEt propositionem centesimam vigesimam sextam huius, tota series quadratorum 3 MK, est ad primum quadratum ΑΜ, ve S T ad ΑΒ, atqui rectangulum supers Tin altitudine AB, est ad quadratum AM, ut 'SΤ ad AB ; ergo series quadratorum ML est ad quadratum A M. ve rectangulum S T AB ad quadratum' Α Mi aequalia sunt igitur rectangulum & tota series. Quod erat demonstrandum. Corostarium. T Inc sequitur quadratum S Τ, totam seriEm ΜΚ, & quadratum A M in conti- . . nua ei te analogia: nam quadratum S T ad rectangulum super ST M AB, est vi S T linea ad AB lineam: sed rectangulum idem, hoe est tota series ΜΚ.est ad AM quadratum in eadem ratio elemo,&c.
ΡROPos ITIO CXXIX. Isdem positis vi Α B ad B C, sic fiat Α X ad X K.
Dico rectangulum X AB, toti quadratorum seriei aequale esse.
Demonstratio. O a AX est ad X K, ut AB ad BC, erit inuertendo ac componendo, Κ A ad ' ut CA ad BA: Atqui etiam KΑ best ad seriem linearum AB, CD,ut btos. A aa BA; ergo Κ Α eandem habet rationem ad XA, Sc ad seriem AB, CD, Q. Mit series AB, CD M linea X A. unde per praecedentem rectania guium X AB, toti quadratorum seriei est aequale. Quod erat demonstrandum. Gratiarium.
T v myropositionibus colligere modum licet, quo quadratorum datae series ih qu dx tum Vnum κquale. nimirum si inter AB M SΤ, vel inter
on, A X, media fiat proportionalis ι erit haec latus quadrati aequalis,toti seriei, ut patet ex duobus iam demonstratis theorematibus : Verum luculentius & uniueris salius hoc Theorema sequenti pris positione construemuS.
planorum quorumcumque basibus in directum A B, U IJ,&c. positis,ac terminum habens longitudinis punctum Κpetitur planis seriei uniuersae planum aequale ac simile exhiberi. Diuiligod by Cooste
185쪽
Constraetio ae demonstratio prima. Iat ut AC ad A K. sic primum serici planum A bs, ad aliud simile cuius diame
T ter vel basis sit T. Dico hoc toti seriei aequale esse. Per manifestum propositionis i 26. liuius, tota planorum series M Κ, est ad planum A M. ut AK ad AC, id est ex constructione ut planum Z, ad AM planum t ergo planum Z est ad planum AM, ut tota series ΜΚ, ad idem planum ΑM aequantur igitur inter se planum Z, & tota series M K. Cum itaque etiam simile sit ex constructione planum Z, planis seriei datae M Κ, perfecimus quod in problemate pete.
Sumatur AI primae AB. ac tertiae CD, basium disserentia: fiatque ut AI ad AB, scprimum seriei planum AM, ad aliud sibi simile ZiDico Z planum satisfacere problemati. Nam tota series M Kes adplamim AM ' via AB ad AIr Atqui ex constructione etiam planum Z est ad idem planum A M. ut AB ad AI; ergo planum Z,Sc tota series aequalia sunt. Invenimus igitur datae planorum similium seriei, planum aequale ac simile. Quod erat demonstrandum.
construmo ac demonstratio tertui. FIatvt AB ad seriem basium imparium A B, CD,m. sie primum planum ad aliud simile Z. Dico hoc seriei planorum datae ςquari. vel squod idem estὶ Fiat ut A B ad B C sa AF ad F Κ, utque ΑΒ est ad AF, sic planum primum fiat ad aliud simile.
Dico etiam hoc conficere problema:demonstratio eadem est quae primae ac secundae constructionis, ea tantum differentia, quod propositioris. huius, sit adhibenda. Dixi autem secundum huius tertiae constructionis modum coincidere cum primos eiusdem constructionis tertiae, quod ex praecedenti manifestum fit,FΑ aequalem esse seriei basium imparium.
sit, huic eιiam seriei conuenire: verum quia in progressionibuου huis generis, faciliores sabinde ae magis ex duae constructione suppetunt, visum est opera pretium si erum hoc loco. rum Hyi etiam deinceps in medium proferre. Lemma Di iligo hy
186쪽
CD progressio terminata in Κ, dc expunctis A, B, C, Ec . erigantur parallelς AM, BN, Co, 6 C. quae proportionales cnt ipsis AB, BC, C D, Sic. ducaturq; ex puncto M ad terminum progressionis N , linea MK. Dico hanc per omnium parallelarum extremitate , N , Ο, P, Ace. transire.
Consideremus primo lineam BN: si ergo MK non transit per N. secabit lineam BN supra aut infra N, in I. erit ergo MIK una recta. Et quoniam progressionis AB, BC,8ec. terminus est L pet 82. huius, erit ut ΑΚ ad ΒΚ sic AB ad BC, hoc est, ex datis ΑΜ ad BN t atqui etiam ut ΑΚ est ad ΒΚ, sia AM ad BI; ergo AM est ad B N, ut A M ad BI maiorem aut minorem quam BN, quod est impossibile. Non ergo secabit ΜΚiptam BN supra aut insta Mergo in N;similiter ostendemus rectam N Κ hoc est rectam MN K ostendimus enim modo puncto MN Κ esse in una recta transire pero. dc sic de ceteris in infinitum rPatet igitur veritas lemmatis.
PROPOSITIO CXXX i. Esto ptinorum rectilineorum similium similiterque positorum series
M Κ, basibus in directum collocatis, terminum nabens longitudinis punctum K. Ex vertice autem M, ad Κ ducatur recta MK. Dico hanc per omnes omnium angulorum totius seriei vertices N, in P, in&c. transire : siue totam planorum seriem angulo ΑΚ M inscriptam esse.
Demonstratis. DAta si primum sities figu
laterum. Cum igitur ex hypothesi planorum series terminetur in K , basium quoque progressionis terminus erit K per Iz4.huius: Si quoniam plana ΑΜ, BN,dec. similia sum, similiterqι posita, ex elemen iis patet latera BM , CN.
per omnes Vertices Ni O, P, Q,&c. erat aemonstrandum.
187쪽
Sintiam plurium laterum figurat quarum series terminetur in K. Quoniam igitur ..plana A M, BN, Ste. similia sunt similiterque posita, erunt Βα, Cis,D H Eξ, parallelae inter se, ipsisque A B, B C proportionales. quare per lemma praecedens puncta α, β, γ, &c. cum puncto K sunT in una eademque linea α Κ. quς cum similiter diuiti sit, ae linea B Κ, manifestum est progressionem linearum αβ, β γ, dcc. terminari quoque in L. Sunt autem ex punistis-β, γ, 8ec. erecta parallela latera a MβN,γο, &α quae lateribus BC, CD, DE, hoc est ipsis αβ, s γ, γε , sunt propor,tionalia quae omnia patent ex eo quod A M, BN, C O, &c. smilia plana sint similiterque postat ergo per lemma, linea M K transit per omnia puncta M,N, O, P, in
C D, dcc. progressio te minata in K. & ex punctis A, B, C, 3cc. erigantur A M, BN, CO, DP , 5ec. inter se parallelae , Se propo tiona
catur recta Mo. Dico hanc productam incidere in K ac per omnium reliquarum extremitates transire.
CI enim ita non sit 1 igitur M O producta, cis vel ultra K in B concurret cum Ilia nea AK; Ac quoniam progressionis AB, BC, CD terminus est K, erunt Α Κ, h πι- ΒΚ, CK, D Κ, E K proportionales continuae. quare etiam Α Κ, C Κ, E K ex aequo sunt continuae. unde but AK ad CK, sic AC ad C E. Atqui c A C est ad CE, iti duplicata rationis AB ad BC, id est ex hypothesi rationis A M ad BN; ergo AK est ad C Κ, in duplicata rationis A M ad B N: sed & ratio A M ad C O svi ex datis colligitur in duplicata est rationis A M ad BN, ergo A M est ad Co, hoc est MO V ad O V, ut A K ad C Κ', quod est impossibile: non igitur ciccurret Moipsi AK cis vel ultra Κ. Quod erat primum.hoc .urtem sic demonstrato, patet secunda pars ex lemmate propositionis praecedentis.Quae erant demonstranda.
PROPOSITIO CXXXII. FSto planorum rectilineorum similium similiterque positorum series
MK, uti prius;& terminus sit Κ, per quorumlibet autem duorum planorum AM, CO vertices ducatur recta MO. Dico hanc productam cadere in terminum Κ ac per omnium reliquorum
dcc. Quod erat demonstrandum. Lemma.
188쪽
quorum erilem N, P, Q, &ci transire, siue totam planorum seriem -- gulo A KM Imcriptam esse. Demonstratio. T 'IRNses de strationis planE idem erie qui propositionis praecedentis. Nam
umadmodum illic per lemma illi propositioni appositum demonstrauimus pro πια, ιtabis p - acia proximi applicationem propositionis veritatem com
Demonstratio. QPI tyri mr A B est ad BC, hoe
U totarc ulorum progressio diametris in directum positis, terminum 'abem long udinis punctum Κ :&ex K ducta linea K M tangat quem in datae seriei circulum,uerbi gintia circulum A M B. Dico uncam N M totam circulorum seriem contingere. onstratis.
v c emtro a ad con--- tactum ducatur M linea, cui ex cenim βparuisse a sit si X secans eirentum B NC in M. Recta igitur MK oc- rrit ipsi βκ vel iapuncto N. vel septa aut infra N in 1. non auatem Dra aut infra post 'st o urrere, sic dea monstro. occurrat enim , si fieri potest , supra vel insta Nin L quoniam uitur dantur errculi in tontinua analogia , etiam per ra . huius A B, BC Cn.&e sunt continuae t ergo A B est ad BC, ut hCad CD, hoe est vim ai C, sed M AB est ad BC, ut αβ adsCi ergo ut ΑΒ est ad B C , se αβ est ad
γ. Praeterea quoniam K terminus est progressionis basium A B, B C, ωc. per corollarium ras. huius, erunt per 82. huius continuae proportionaIes. A Κ ΗΚ C e. DK . quare per lemma etiam αΚ,βΚ,γΚ erunt continuae. ergo per primam hu-
189쪽
quod est absurdum. N5 igitur recta M Κ occur-- , : ret rectae s3I lupra vel e e . . infra di i ergo in N. ' Quoniam autem: centro ad contactum
.i,-ἰωι- M angulus KΜαι rectus est 3 quare cum ex eonstructione a N parati. i. --.. tela αM . angulus quoque R No rectus erit ι ergo b linea ΚΜ tangit cir lum BN C. simili ratiocinatione demonstrabimus ΚΜ reliquos etiam omnes circulos contingere. Quod erat demonstrandum. .
coroliarium. QVod in hoc Theor.de cireulis demonstrauimus,etiam de sumtibus Ellipsibu Parabolis, Hyperbolis demonstrari potest.
Tisdem positis duos quoscumque circulos seriei datae circulos,verbi gra- Itia Α M B, C o D tangat recta M o. Dico hane productam cadere in terminum longitudinis Κ, & reli
quos circulos omnes contingere. Demonstratio.. Entra circulorum. sint ἀ, β, γ, E. m.
. . tum ex vi ac γ Mi son tactus ducantur ἀαγ o. si igitur negetur auertio, tangens Moproducta occurret lineae AK eis vel vitta K in V. & quoniam per corollarium propositionis Ixs. huius et . -- terminus progressionis basium est in K, erunt φ AR, B Κ, C Κ, D Κ, E K. ωα ac proinde per lemma propositionis praecedentis etiam in K, β Κ, γ Κ, in continua analogia Quare patet ex aequo etiam αΚ,γΚ, Ex pila continuas, ergo a C est 4 ad
γ Κ, ut αγ ad γε Atqui ἀγ est alis E, H AC ad CE squod simili modo ostende-eios. . . mus quo in praecedenti ostendimus AB esse ad B C ut a B ad Bγὶ de AC est ad M. CE in . duplicata rationis AB ad BC, id est ut AB ad C D ι & AB est aa CD ut αΜ ad γο, ergo ας est ad γ Κ, ve ἀΜ ad γ o. Deinde cum a M, νο ex centris ad contactus ductae sunt, eruntperpendiculares ad M U, ideoque parallelae inter se. Q are MU erit ad ov, ut in M ad γ o. hoc est per iam demonstrata vi K ad γ K, quod est abserdum. non igitur Μ Ο occurret ipsi ΑΚ eis vel ultra x, sed in K. Quod erae pri num. Quo demonstrato, pater per praecedentem secunda
Quod si loco circuli COD assumatur circuIus B N C, ita ut linea duos vicinos circulos contingat, demonstratio longe erit facilior, quam proinde omisimus.
190쪽
corrigarium. III IOc quoque Theorema non tantum circulis,sed etiam alijs similibus sectionibus applicari potest.
PROPOSITIO CXXXV. LIo e rum AB, BC,
CD, &c. progressio Yterminetur in K: erectam ad quem uis angulum recta AM , ducatur MKr Deinde ex singulis punctis in progrestione Α Κrepertis, ad A M, parallela: erigantur BN, CO, DP, atque ita semper. Dico ex triangulo A MK relinquendum tandem triangulum aliquod quavis data sit perficie minus. Demonstratio.
v niam similia sunt triangula AM K , BNK, COR , deci erit duplicata eo .crum proportio , proportionis laterum AK , ΒΚ , CK, &c. quia autem progressionis AB, B C terminus est Κ, erunt , AR, BK, CK,&c. continitie proportionales. unde similia triangula AMΚ, BNK, 3le. etiam sunt in ratione convitinua de /iuidendo trapegium AM' N B ad triangulu B N K, ve trapeatum BN o Cad etiangulam COX , εe trapezium CP ad triangulum D P K: atque ita semper. Igitur , relinquetur tandem triangulum dato minus. Quod erat demonstrandum. b, t
pROPOSITIO CXXXV I. Esto planorum series lateribus homologis indit tum constitutis, te
minus autem longitudinis sit Κ.Drco ex ablatione continuata planorum AM, BN C O,&c. relinqui residuum seriei, quouis dato plano minus.
ta E a NOEr octuagesimam secundam huius, A M est ad teliquam seriem planorum NK, ut pIanum B N est ad reliquam seriem OK: de per eandem planum BN est ad reliquam seriem Ο Κ,ut planum C O, est ad seriem reliquam P K: Atque ita in infi
nitum. ergo ex perpetua planorum ΑΜ, BN, dic. ablatione residuum seriei proposi-eria tandem quouis dato plano minus.Quod erat demonstrandum. e, a