장음표시 사용
171쪽
ergo sectio ipsius E B in ratione V ad X, cadit ultra D,versus B: ergo cum etiam vir a K versus A cadat, inter D N K, contingat necesse est,nempe in F ι similiter lectionem ipsius FAinter I dc F, futuram in G deinonstrabimus, atque ita in infinitum a discursus enim idem omnibus diuisionibus sequentibus quadrat.
Isdem positis; si C cadat inter I de Κ na si inter B & Κ caderet, foret casu primae partist simili plane discursu demonstrabimus eadem omnia contingere quq prius, hoc solum mutato, quod signa diuisionum E, G, K,&c. DF, HM,&c. ad alterum
DAta sit proportio V ad X, & magnitudo AB ita secta in I & Κ, ut AK sit ad ΚΒ , de B l ad IA, sicin V est ad X. Aliter deinde diuidatur AB in C ι quocumque tandem loco cadat C, modo non incidat in I aut Κt Fiat autem C B ad D B, ut V ad X; & D A ad E Α, vi V ad X: item EB ad FB,&FA ad GA, & G B ad ΚΒ, & HA ad L Α, fuerint imter se ut V, est ad X r Atque hoc semper continuetur. Dico alternae huius progressioni, terminos, fore in I & ubi AB,dtiuiditur in ratione V ad X.
Quoniam est ex constructione CB ad DB, ve EB ad FB sunt enim utraque ad inuicem in ratione V ad XJ etiam C E reliquum , D F reliquum, erit ut C B adi DI . id est sicut V ad X: & quia D A est ad EA, ut F A ad G A nempὶ in ratio-ndi V ad X, riurium erit D P ad EG, vi FA ad GA, hoc est ut V ad X di sunt igitur C E, DF, E G, tres continuae proportionales in ratione V ad X. ergo ratio CE ad EG duplicata est rationis V ad X. Similiter ostendemus EG, FH, GL esse continuas In.ratione V ad X, ideoque rationem EG ad GL, duplicatam esse rationis V ad X. Cum ergo etiam ratio CE ad E G, sit rationis V ad X duplicata, erunt CE, EG, GL. in continua analogia; atque ita continuando sine statu alteris nam illam diuisionem,detnonstrabimus constitui progrellionemanagnitud num CLEGIGL, LN, & c. continuὸ proportionalium in xatione duplicata v ad X. abalo sta veri, parte, eodem plane discursu Ostendemus D E,F H, H c. esse continuas in ratione duplicata V ad X; ac proto de sic quoqpe constitui progrestionem proportionis duplicatae v ad X. vlterius quia AS ess ad K B, ut Si ad I R. componen do ΑΒ ebit a4 ΚΒ, ut As ad A r; ideoque S B, AI aequansur radditaqνI K ω muni, aequales erunt IB,A K; ergo ut A K ad K B, id est ex o0structione ut V ad X. sic IB ad EB rQuare chm Si CB ad DB, sit ut v ad X, etiata. C B erit ad Db ν- - ad K B.allinis ergo I B, K B, C I eri bad DR, ut CB ad DB reliquum ad reliquum, hoc est ex eostructione ut v ad X. simillier dein5strabimus D KesIe ad EI,vt V ad X.
172쪽
erunt igitur C I, D Κ, EI continuet proportionales in ratione V ad Yt ideoque ratio Clad IlI, duplicata erit rationis Vad X: quare eum & ratio CE ad EG, eiusdem ostensa sit esse duplicata, erit C I ad EI, ut C E ad EG, Ac permutando ut C E ad Cri sic EG ad EI. unde terminus a progression is CF, EU,&e. est I. simili discursu ars ostendetur, etiam D K esse ad F Κ, ut D F est ad F Η, quare huius quoq ue progressio. nis terminus erit Κr itaque cum utraque progre illo CE, E G, &c. DF, FH, aec. ab alterna illa diuisotie constituatur, ipsius quoque termini erunt I &Κι ubi magnitudo A B, diuiditur in ratione v ad X. Quod erat demonstrandum. Seholos. TT e quoque motu;mus punctum C non inridera in i .ur Κi eo qΛιὰ si in alteraretim incia
A/νes,dmisones vo eahernis, eadem semper ptincta I s Κ, deserent incidere; vi pater eos erantisattim Theorematis. Caseram quι hanc propositione eam priori contabris scio inresides hane is mutem esse, illum mera parricularem casum remptim Haruit enimi asinis tam sis, ι- abbifamiare, ram Pia in parsiolarisas casibas ei iam orare iis merisus, cώνtas non raro atqtie illu-Brias emicat, tum quia apanisalarium caseum cognitione, facitius adpercipiendab vmuersatium Theoremasam demonstrariones procedi uri
C F H ROD 'int duae quantitates A B, CD; sitque A B diuisa in E & C, ita ut A E, Osit non minor dimidio AB, & EG non minor dimidio EB; eodem modo diuisa sit CD in F & H, sintque A E, EG; CF, FH proportiona les: & hoc seni et fieri postit. Dico totam AB esse ad totam CD, ut est AE ad CF. Demonstratisi
Si enim non est proportio A B ad CD aequalis proportioni AE ad CR erit vel
maior vel minor: iit primo minor. cum ergo poliatur AB ad CD, minorem habere rationem, quam AE ad CP, habebit AB ad aliquam b minorem quam CD ba. p. E. nempὸ ad C R , eandem proportionem,quam A E ad C F :&huoniam ex quantitatibus AB, CD, earumque residuis semper non minus dImidio aufertur, si continuetur haec ablatio per aliquos terminos, verbi gratia per tres C F, FH, H relinquetur tandem OD v minor quam KD 3 ideoque C O erit maior quam CR : sctim Qiam ex AB totidem partes ad mentem propositionis AE, EG, G1, tollantur, erit
ex hypothesi AE ad EG, ut CF ad FH. R EG ad GI, ut FH ad HO: ideo que permutando ut AE ad CF, sc E G ad FH, 3e ut EG ad FH, sie GI ad Flo.
ergo 4 ut AE una antecedentium, ad CF nam consisquentium, sic omnes ante
cedentes, id est linea ΑI ad omnes consequentcs , id est ad lineam Coi sed ut AE ad C F, sic est ex constructione AB ad C K i ergo Α I. est ad C O, ut Α Η ad C Kι quod est absurdum; vς patet ex elementis. non est igitur proportio AB ad CD minor proportione AE ad CF.
Sitiam, si fieri potςst,tro itio AB ad CD maior proportione AE ad CPr itaque aliqua φ minor quam AK, habebit ad CD eandem rationem quam AE ad ' 'CF. & quoniam aufertur semper non mimis dimidio, post aliquot partes, exempli gratia post tres ΑΕ, E G, GI, ablatas, relinquetur tandem ΙΒ minor quam A K; ideoque AI erit maior quam AK. Si iam totidem auferantur ex quantitate CD, nempe partes CF, FH, H O, erit ex hypothesi,&permutando A ad C F,ut EG, ad
173쪽
ais.1.imi. ad FH,item VL GI ad Ho ergo ut A E una antecedentium,ad C Funam consequentium, ita omnes antecedentes, id est linea AI. ad omnes consequentes, nen lineam C O. Atqui ex constructione ut AE ad CF, sic erit AK ad CDι ergo A Iest ad C O ut ΑΚ ad CD, quod esse absurdum patet ex elementis. non est igitur ratio AB ad C D, maior ratione ΑΕ ad CR patet ergo propositionis Veritas.
R Duabus quantitatibus AB, C D, auferri possint A E, CF, aequalia, & non mino' Ata dimidio ipsarum AB, CD Na residuis EB,.FD rursum auferri possint EG, F H, aequalia de non minora dimidio residuorum ri si hoc semper fieri possit, aequales erunt quantitates AB, CD. Patet ex demonstratione propositionis. Quamquam fatear hoc Theorema aliud non continere, quam particularem casum propolitionis prioris: tamen quia in libris sequentibus non semel usui veniet, visus mihi stim operae pretium facturus, si facilitatis causa explicite hic apponerem. Similiter hoc quoque Theorema eiusdem propositionis uniuersalis casus etit et si fuerint duae quantitates, a quibus auferri semper possint non minora dimidio, sic veablata singula unius, dupla perpetuo sint singulorum ex altera ablatorum , eriζ una quantitas alterius dupla. Quod si ablata unius, semper tripla fuerint ablatorum alterius, erit una quantitas, alterius quasrupla. Atque ita in infinitum per proportiones quadruplam, quinc Nam, &c. licebit procedere.
Q. RA G HI si C RI MD A N OPPDAtae sint tres magnitudines, aut plures AB, CD, EF & a singulis
auferri possi non minus dimidio, ita ut ablata AG, CK, EN lint in continua analogia Q ad R. Deinde a residuis auferri possit iterum non
minus dimidio, ita ut ablata G H, KL, N O sint continue proportionalia in ratione eadem Q ad R: & boc semper ficti possit. Dico propositas magnitudines AB,C D, E F esse in continua analogia. Demon Iraris.
moniam AG est ad CK, ex hypothesi ut in ad R : 3e GH ad Fl alLM, vi in ad R , erunt partes ablatae A G, C K, G H, K L i HI, L M, atque ita in finitum inuicem proportionalest uuare cum ex hypothesi etiam singulae sint noni, minores dimidi js suorum integrorum, erit AB ad C D, ut RG ad C Κ, hoc est ex datis vi in ad R. Similiter ostendam C D esse ad EF, ut C K ad EN, hoe est ex
datis ut Q ad R. erunt igitur Α B, CD, E F. concinuae proportionales magnitudines. uod crat demonstrandum.
174쪽
GEOMETRICAL rat PROPOSITIO CXVIII. A G H I B C RLM D E NOΡ P in R P Ropostae sint tres, aut plures magnitudines A B, CD, Eseratio Q
ad R quaecumque, minoris inaequalitatis: Auferantur a singulis A G, C Κ, E N, ita ut ablata A G, C Κ, E N , sint ad sua tota, in ratione QIdR & in eadem ratio 'eo ad R inter se continue proportionalia; Dico si hoc semper fieri possit, pro possitas magnitudines AB, CD, EFesse in continua analogia a Demonstratio. . 'Quia ex hypothesi AG est ad AB, ut G H ad G B, erit etiam , teliquum G Bad reliquum H B, ut tota AB ad totam G B; sunt igitur AB, G B, H B & eodem discursu etiam IB reliquaeque in infinitum continuat proportionaIest unde et iam , ablata AG, GH, HI, dec. sunt in continua analogia, bc e terminus huius pro . bgressionis AG, GH,&c. est B. similiter ollendam ablata C K, KL,LM, dcc. esse 7ν - in continua analogia, cuius terminus sit D. di quoniam ex hypothesi A G est ad A B. ve in ad R, Sc CK ad CD, ut Q ad R, erit AG ad AB ut CK ad CD; dein uertendo ac per conuersionem rationis ΑΒ ad G B, ut CD ad ΚD. Atqui AG, GH, HI , Scc. sunt 4 continuae proportionales in ratione A B, ad G B; hoc est 4 6. -- ut iam ostendi CD ad K D; Ac per eandem CK, KL, dec. sunt etiam continuat in ratione CD ad KD: Igitur A G, G H, dec. CK, Κ L, dcc. similium rationum series sunt. Quare ΑΒ est ad qCD, ut AG ad CR. simili prorsus discursu ollendam CD esse ad EF ut CK ad EN. sunt autem ex datis AG, CK, EN, tres continuae proportionales; ergo dc A B, CD, EF in continua sunt analogia. Quod erat demonstrandum.
SI dita quaelibet proportio maioris inaequalitatis A ad B, continuetur
perpetuos, deuenietur tandem ad magnitudinem data minorem.
Ponatur enim magnitudo qua uis F , defiat F ad aliam G. ut B ad Α i eontinueturque ratio F ad G, donee per septuagesimam septimam huius habeatur L magnitudo, maior Α magnitudine i dc per totidem terminos continuetur ratio A ad M. Dico E minorem esse quam F. est enim ut A ad B, sic Gad F;&vt Bad C, sie H ad G ,3cc. ergo ex aequo in proportione8ςrturbata, ut A ad Ε, sic K ad F, sed A t. - . minor est quam Κ, ergo de E i quam F. Quod erat demonstrandum. Schobou. HVe etiam pertineret propositi eptuagesimaseptima, nisiHamclaod ad terminum progressisnis inueniendum essu necessaria,coacti essemus citeriori loco colueare.
175쪽
SIt magnitudo aliqua AD, secta in tres partes A B, BC, CD t ablata
media B C vel alterutra extremarum, residuis A B, C D fiat aequalis E H, quae diuidatur in tres partes E F, F G, G H in eadem ratione qua 1 cta est A D: si hoc continuetur: Dico relinqui tandem magnitudinem data minorem. Demonstratio. Quoniam AB est ad BC, ut EF ad FG, & BC ad CD, ut FG ad G Ηtigitur permutando A B ad EF, ut BC ad FG, & CD ad GH : ergo , ut AB ad EF, sic AD, ad EH: & permutando AB ad AD, vi EF ad EH. similiterbio sum- demonstrabimus DC esse ad DA, ut HGadHE: ergo AB h cum CD, ad AD, ut is cum GH ad ΕΗ :& inuertendo AD ad ΑΒ cum CD, id est ex hypothesi ΕΗ, ut FH ad EF cum G H, id est ex hypothesi I M. sunt igitur AD, E H,1M in
Continua ratione minoris inaequalitatis. non aliter demonstrabimus N Q, caeteraque residua in infinitum cum prioribus eandem proportionem minoris inaequalita-eti, m. cis continuare. Quare e relinquetur tandem magnitudo data minor. Quod erat deis
DE F CDAta sit AB magnitudo utcumque secta in ac inter A B, CB media proportionalis ponatur D Bι rursum inter DB, CB media sit
E B,& hoc continuetur. Dico ex A C relinqui tandem magnitudinem data minorem. Demon Patio. DEt primam huius;AD est ad DC ut AB ad DB; atqui ΑΒ maior est quam DR1 ergo etiam AD est maior quam DCt ergo AD maior est quam dimidia AC iSimiliter quoniam DB, EB CB sunt continuae, erit DE ad EC, ut DB ad EB: quare DE maior est quam EC, ideoque & maior quam dimidia D C.Eodem modo probabitur EF esse plus dimidio EC. atque ita in infinitum semper plus dimidio ab AC, eiusq; residuis auferetur.Quare 4 relinquetur tandem magnitudo data minor. Quod erat demonstrandum.
176쪽
INter duas magnitudines inaequales AB, inueniatur media proportionalis C, & inter has tres Α,C, B, inueniantur duae mediae D & E: rursum inter illas quinque, quatuor statuantur mediae, & hoc semper fiat. Dico hae 'axi tandem exhibendas lineas quae simul sumptae maiores sint data quavis magnitudine.
Demonstratio. Quoniam C media est inter A & p,ubebit A ad A maiorem rationem, quam ad Ci ergo C maior est quam B , ergo tres magnitudines Α,C, B maiores erunt quam tripla ipsius B. Similiter ostendam D Ac E maiores esse singulas, quam B: ac prsinde A, D, C, E, B simul sumptas maior esse, quam quintupla ipsius Br atque ita demonstrabimus si plures semper mediae reperiantur,summam magnitudinum,excessu.diam B magnitudinem determinatam, secundum quemvis numerum assignabilem. ex quo liquet magnitudines illas simul sumptas, uturas qua uis data quantitate malois
177쪽
Progressiones terminatad plano applicatenassertim vilibus. a is pro sombur Cleometricis secunda parte hactenus demonstrauimus,
absique isto distrimine lineis, Fuperficiebus, eorporata que conueniunt hac enim de causa nomen magnitudinis, non lineae perpetuὸ assumpstam, mi propositi num et niuersabio ιniuraretur. quia tamen superficierum corporumqae Dibum sim literque positorum provolanes,si extra inuicem in iurectum constituantur, singulares babent proprietates Κοπρο-- , si tit opera pretium futurum illas hae tertia ac
Nota, duplici modo planorum ae eorporum progressiones instituiposse. primo P
dem it termini progressAnis simul sumpti, mimam magnitudinem continuam, ae homogeneam componant: et i in figuris appositis relabetur. secundis enim terminin N oeum primo M N, inam magnitudinem M o componit, . tertius o P, eum secum do ac primo , constitvit Unam magnitudunem M P ; omnes denique terminι simul sumpti am componunt magnitudinem M R, continuam ac homogeneam.
Secundus modus est quando termini praPressionis similis inter se sunt, similiterque positi, neque iuxta positionem qua dantur, conmmunt simul umpti mam magnitu- ' obnem: huiusmodi progressiones squo quiana insequentibus prosequemur exbibent gurae appositae A,B, C, D, E, K in quibus termini
terquepositi,ac in directum constituti, ita it neques eundus terminus B C,eum primo A B , neque tertius C D, cum primo essecundo, neque caeteris sequentes eum praecedentibus componant
178쪽
figuris sic positis terminum quidem ad quem basis itarum figurarum excurrent silicet Κ, per praecedentia reperiemus; in heterogeneae mero idius serio sita enim
literque extrastpositas, ad illas reuocando , quarum prima cum sicunda, σμcunda cum tertia, Me δε- inceps nam aliquam magnitudinem con lituit. Visi exempli gratia sint figurae ΑΒ, B C, C D c simi lusimibterque oe extra si inuicem positae ι barum termini in in Listum continuataru Iumptι magnitudinem non Unam aliquam, sedaggregatum quoddam figurarum constituent si igitur magnitudo huic series figurarum aequaus quaeratur,
oportebιt figuras similes A B, B C, C D, D E, ore. ad figuras M N , NO, O Rcre. reuocare. quae jurae M N,N O, OP magnitudinem rugam constituunt ; ssi oportio M N ad N NO ad OP continuata terminetur in Re erit M Rrati sieriei progressionisAgurarum A B,B C σα aequalisi qua omnia equenti propositione aemo barassent Hanora.
PROPOSITIO CXXIII. DAra igitur si e secundi generis progresso AB, BC, CD, D E, &α
conflata ex sirrulibus terminis similiter & in directum positis, siue planis, siue solidis, & quidem planis vel solidis cuiuscumque generis. Dico omnes progresilonum proprietates superiori parte demonstratas huiusmodi etiam progressionibus conuenire,ac proinde propositiones,in quibus illae proprietates demonstrantur, prorsus uniuersales esse: in hac igitur demonstratione, progressio posterior si ueheterogenea, reducitur ad priorem siue homogeneam.
179쪽
SIt enim primae magnitudini AB, aequalis quaecumque alia MN; be ut A B ad B C. ita sit MN ad aliam N O, quae cum M N, unam masnitudinem eontinuam &h mogeneam componate continueturque ratio M N ad N O, in infinitum per plures semper terminos O P,P Q, &c. qui perpetuo cum praecedentibus terminis unam magnitudinem componant. Quoniam igitur aequales sunt Α Β , MN, erit AB ad
N O, ut MN ad N O , sed MN est ad N O, ut A B ad BC, ergo AB est ad N ut AB ad BC: aequales ergo sunt BC,N O , ergo BC est ad OP. ve N O ad OP. sed NO est ad OP, ut MN ad N O, id est ut AB ad B C , id est ut B C ad C in ergo BC est ad NO, ut BC est a4 CDe aequales ergo sunt CD, O P. similiter
ostendam singulos utriusque progressionis terminos inter se aequari in infinitu. Qua re dc series tota AB, dic. aequalis est toti seriei MN.&c utpote constans aequalibus siue iisdem terminis: atqui quaecumque toto secundo libro demonstrata sunt de progressionum proprietatibus, conueniunt progressioni MN, No&c: ergo etiam eonia ueniunt progressoni AB, BC,&c. Quod erat demonstrandum. verum ut res clarius pateat,idipsum per aliquot consectaria seu corollaria explicabimus.. Corollarium primum. Ehis igitur ijsdem positis in insero primo : progressionem uniuersam magnitudinum A B, R C, &c. producere eandem determinatam magnitudinem seu quantitatem quam series MN, NO.
Eties enim AB, BC, dcc.aequalis est seriei MN, N Ο, &c. ergo eandem producit.:,. Mis. quantitatem atqui serics M N consti ita finitam de determinatam quantitatem exempli causa M Rὶ ergo & series AB producit quantitatem finitam Μ R. . Coroliarium secundum. Isdem positis in sero secundo, series ΑΚ id est omnes antecedentes est ad seriem aBK id est omnes consequemesi ut AB antecedens ad B C unam consequentem. Et series B K est ad seriem CK ut AB ad BC. Et tres series ΑΚ, ΒΚ, CK, sunt in continua ansogia.& similiter alia inseremus quae prop.octuagesima secunda habentur.
It M R aequale toti seriei MN,N O, dcc. erit ergo x tota series, AB, BC,3ce et iam,vt ostensum antea, aequalis ipsi MR : cum igitur & AB aequalis sit MN, erit quoque series B C, C D, 6cc. aequalis ipsi N R. Igitur series A K est ad seriem BK ves...i... MR ad N R LAtqui M R h est ad N R ut MN ad No ergo series A K est ad se.
180쪽
riem ΒΚ ut MN ad N R, id est ut AB ad B C. quod erat primum. Similiter reliqua quoque demonstrabimus. orbitariam tertium. Isdem positis infero tertio; AF differentia primi & secundi termini, AB primus
terminus, tota series A K, sunt in continua analogia. Et A F differentia, est ad A B primum terminum, ut B C secundus terminus ad totam seriem dempto primo termino nempe ad seriem BK:& ΑF differentia, BD secundus terminus, tota series demptis duobus primis terminis, i series nempe CK, sunt in continua analogia.. Demonilratio. It MI disterentia primi de secundi termini, in progressione M R. quoniam igitur AB, MN, BC, NO, aequantur, excessus quoque A R MI, quales erunt: &quia iam AF ipsi MI, 3c AB ipsi MN, aequalis est, ipsis AF, AB eadem magnitudo erit tertia proportionalis, quae ipsis M S,MN, ut Paret ex elementis: atqui ipsis MI, , MN, tertia proportionalis MR:est tota series rationis MN ad N Oiergo ipsi, ei iam ' Τ' AF, Α Β eadem tota series M R, tertia proportionali erit: atqui series AB, B C, per corollarium primum,eandem producit magnitudinem M R, quam series MN, NO, ergo etiam productum seriei A B, BC, &c. siue tota series Α Κ, erit tertia proportionalis ipsis AF, AB iunt itaque AF differentia , ΑΒ primus terminus, tota series AK in continua analogia. Quod erat primum. Similiter reliquas eorollarii partes demonstrabimus. Φ . Gratiarium quanum. Istem positis Infero quarto,luc etiam valere uniuersalem illam ac triplicem constru. ctionem qua propositione datae seriei magnitudinem aequalem inuenimus. Fiat enim ut AF differentia primorum terminorum ad A B, sie A B ad aliam magnitudinem Z. Dico, Z aequalem esse toti similium magnitudinum seriei AK.
CI non est Z aequalis toti seriei, ergo alia magnitudo maior vel minor quam Z ipsi aequalis erit; saliqua enim magnitudo per Corollarium primum toti seriei AK aequalis est. sit illa Y. ergo per corollarium praecedens ARA B,Y,sunt continuae.atqui etiam ex constructione AF, A B, Z sunt continuae, ergo ΑΒ est ad rivi A F est ad ΑΒ:& ΑΒ est ad Y, ut AP est ad AB. eandem igitur Α B ad Z & Υ rationem habet: aequales igitur sunt Z de Y contra hypothesim: ponebatur enim Y maior aut minor quam Z. non erit ergo alia minor malorue quam Z, a qualis seriei A K. ergo Z aequalis erit. similiter duas alias propositionis octuagesimet huius constructiones clemonstrabimus.. coro