장음표시 사용
191쪽
PROGRESSION EsPROPOsITIO CXXX v II. DEtur series planorum similium,homologis basibus in directum colia
locatis, terminum habens longitudinis punctum K t sumpto autem quouis plano Co, numerentur alia plana in infinitum E Q, GS, IU, &c. totidem semper intermissis quot inter planum Co& primum seriei planum A M intercedunt. Petuntur omnia plana Α M, CO, E G S, &c. ex proposita serie auferri.
ι:i i constructio re demonstratio.QVoniam ex hypothes plana ΑM, BN, CO, DP,EQ, PR, Os, simi in continua ratione, etiam ex aequo plana Α Μ, C O, E QiI U, in continua sunt analogia. igitur per propositionem Ia6.huius,series planorum Continue proportionalium AM, CO, BQ, &c. inueniatur planum aequale. hoc si aufers ex plano, quod per eandem propositionem I 26. factum fuerit aequale seriei datae M K, habebitur propositum. εPROPOSITIO CXXXVIII. . DEtur progressio quadratorum habens bases in directum, & terminum longitudinis K: & ex Κ per H ducatur recta Κ H, quie per
propositionem IsI. huius contingat omnia seriei quadrata & concurrat cum A L in G. Dico triansulum AGK, toti trapeziorum G B, H C, ID, &e. siue utrique quadratorum AH, B I, &c. ac triangulorum LGH, THI,&c. progressioni, aequale esse.
192쪽
logia. Quare toti seriei 4 η C B LEPzoportionis quam haia et trapezium G B ad trapeatum H C. sine statueontinuat . triangulum AGK aequale est. Atqui trapeaia ID, XE, Me .continuatit rationem trapezij GR , ad trapezium H C; scem enim triangui. AG Κ, ΒΗΚ, CIR, S c. sine continuὸ Proportionalia,eorum quoque differentiat nempe dicta trapeata erunt continuaJ ergo triangulum AGK, trapeziorum seriei uniuersae est aequale: Quod erat demon-
. PRO Post Tio CXXXIX. Esto quadratorum series H Κ; bases habens in directum, di terminum longitudinis K: dc ex K per H ducta recta KH tangat per proposi
tionem is I. huius omnia seriei quadrata, ac concurrat cum A L in Gι in
irenta deinde per propos. 8o .huius linea Α Q, quae aequalis sit seriei basium impartu AB,C D, E F,diuisaq; bifariam L G in M, fiat tectangulu QA M P:
Dico hoc triangulo AG Κ, aequale ella. 'Demonstratio. DRoduegi ut L Uin R.8e B H in o , linea MN o para Ista est ex datis ad A insuet- - 2quidistat L Hi ergo MN O parallela est aJ LH. 3equia G11 aequalis est M L. etiam GN aequalis erit N Ηι sunt autem& ΟΠ, ML, id est MG aequales,&anguisii OH N, ΜGN, aequales : ergo aequantur triangula MGN, NOHr additoque eommuni LΜNH, triangulum LGΗ , rectangulo LO aeqvgle esse quare quadraeum ΑΗ est ad triangulum LGΗ, ut idem quadratum, ad rectangulum L Oιhbe d est ut linea A L ad 'ineam L Μ Praeterea triangula LGΗ, THI, VIX, d is-;. similia sunt; Δ homologa Iatera L Η, τ I, V X: adeoque in duplicatae ratione lateis e istrum T H. TI, V X i&c. igitur cum quadrata AH, BI, A c. sint in eorundem laterum duplicata ratione: patet triangula dicta, quadratis propnitionalia esse.vnde permutando ur quadratum ΑΗ a triangulum L GH, sic quadratum B I ad triangulum T HI, &qua ir tu es CX ; ad triangulum VIX atque ita in infinitum. Ergo ut quadratum AH ad triangulum LGU. hoc est ex ante demonstratis ut A Lad
193쪽
ai L M, sic omnia quadrata, ad omnia triangula. Atqui ut A L ad LM se etiam est rectangulum AR ad rectangulum L P. Igitur ut omnia quadrata, ad omnia trian in. gula, sic rectangulum AR ad rectangulum L P. Atqui rectangulum AR, aequales toti , quadratorum seriei, est enim A inaequalis seriei basium imparium AB, C &c.& AL, AB in ergo cum series quadratorum ostensa sit aequalis esse rectane i . Din- gulo NR ; etiam tota triangulorum series tectangulo LP aequalis erat. quare totum rectangulum A P, utrique seriei quadratorum ac triangulorum, hoc est seriei ait,... r apeziorum G B, H C, ID, &c. aequabitur: sed trapeziorum series , d constituit - triangulum A G K. ergo rectangulum AP triangulo A G Κ aequale est. Quod erae demonstrandum.
Orestarium. H discursu demonstrationis eoIligitur, rectangulum M L R P, progressioni triangulorum GL H, ΗΤΙ, &e. en aequalet tectangulum vero GLR, duplum DIe ei utilem triangulorum progressionis,
PRO Pos ITIO CXL.Fβx0, Vt priui, quadratorum series ΗΚ, inscripta triangulo AG
iitque A Q aequalis seriei basium imparium AB, CD, &c. Dico rectangulum sub Aa de lineis G Α, ΑΒ, tamquam una con tentum, rectangulo G A K aequale esse. Demonstratis. Diuidatur enim LG bifariam iri Mi igitur linea eomposita ex GA, AB, bis
λς0nti upi Mneas L M, L A.quare composita ex G Α,A B dupIa est lineae A M ergo Diau ' rivm bub Ain& composta ex G Α, ΑΒ, dupIum esse ectanguli sub A Q. 0,. Atqui perrectangulum sub AQ& A M. aequatur striangulo AGK re go ςctangulum sub Ainde GA , AB tanquam una linea, duplum est triangulio K. Quare cum Ac rcctangulum G AK, eiusdem tria Muli G A K sis duplum, e. r. h. t. Unx se, est ngulum siub A χω composita ex o Α, ΑΒ, &rectan-guvam GAR. . Quod erat demonstrandum.
T Atus ΑΚ trianguli Α ,- - se diuisum per lineas I teri A F patallelas, in cota tinue proportionales AK, B L. C K. 1 C. Dico trapezia FB, GC, H D, Me. esse similia.
194쪽
OB linearum AF, BG, CH aequi distantiam , angulus FAB, angulo CBC, de GFA, angulo HGB, & BGF, angulo C H G, ac AB G, angulo B CH, aequalis eth. Deinde quia AK. BK, CK, dcc. sunt continuae proportionales, erit AB ad BC , de BC ad CD , ut AK ad BK. Cum igitur etiam FA sit ad G B, ut A K ad B K, erit F A ad G B, ut AB ad B C, 6c permutando F A ad A B, .e GA ad BCi similiter cum AB sit ad BC hut ΑΚ ad ΒΚ, hoc est ex hypothe- bnia. si , ut BK ad C K, hoc est ut B G ad H C; erit permutando AB ad B G, ut BC ad C H i non aliter etiam ostendemus B G esse ad GF, ut CH ad FI G, & GF
ad F A, ut HG ad G B. quare cum trapeZiorum FB, GC dc anguli omnes snt aequales, oc latera circa aequales angulos proportionalia, Trapezia ς FB,GC de omnia e m. reliqua, erunt similia. Quod erat demonstrandum.
DAta sit quadratorum series, habens bases in directum, & terminum longitudinis K, inscripta triangulo A G Kι ac primi quadrati latere LM hi secto in F, per F ducatur recta FK, occurrens ipsi A G in I. Dico triangulum Al K seriei quadratorum; triangulum vero I G seriei triangulorum LG M, T MN, dcc. aequale esse.
ualia esse, ac proinde adiaito communi ALFSB, trapezium A I S B quadrato A M aequale. Desnde ea pereorollarium propositionis V .huitis, progressionis hasium A B, BC terminus 1 . aensit K, erunt i ΑΚ, ΒΚ, dcc. continuae ' quare cum etiam AI, BS, CX, Bec. sint parallelς, erunt per lemma, trapeata I B, S C, X D, dcc. similia inter se. unde&φ trapeZia I B, S C, X D, dcc. sunt elo. M. in duplicata ratione laterum homologorum AB, B C, C D, dcc. atqui 3e quadrata ΑΜ, BN, C O, dcc. su ne in dictorum laterum duplicata ratione, ergo trapegia sunt quadratis proportionalia,&vt primum strapezium Isi, ad primum quadratum , ita sis ctota trapeziorum series, ad quadratorum seriem. Atqui primum trapezium, ostendiamus primo quadrato aequale esse, ergo trapeziorum etiam de quadratorum series quales lunt. Dcinde series trapeetiorum t G B, M C, N D. constituit triangulum A GK, ergo Ad series trapeZiorum I B, S C . triangulo AIR aequalis erit: Quare triangulum AIK, quadratorum seriei aequabitur: Quod erat primum; ex quo etiam pacer secundum. quae erant demonstranda.
PROPOSITIO CXLII. DAta sit planorum similium series habens bases homologas in dire
ctum, de terminum longitudinis punctum Κε, sitque seriei rationis AB primae, ad tertiam CD, aequalis linea VI: linea vero T seriei rationis AB primae, ad EF quintam sit aequalis;
195쪽
t 1 PROGREs 3IONE IDico seriem totam planorum A M, BN, CO, D P, M. esse ad seriem planorum imparium AM, CO, E Q, &c. vilinea VI est ad lineam T.
sit aequalis: itemque plana su-κ per his facta planis AM, CO, E Q, aequalia sint, & similia. pa- et igitur series rationis AB ad EF, ω rationis V X ad YZ. easdem esse. quare cum X aequalis ste seriei AB, EF, etiam seriei UX, YZ . aequalis erit. Deinde series . planorum A M, B N, C O, est ad planum AM, ut linea VI ad AB r & series planorum Va, x s. &c. est ad planum V X, id est ad planum ΑM, ut Tad Ua, id est AB Atqui ut VI ad A B, sic rectangulum se b U I N AB, ad qua dratum A B: 8c ut T ad A BGetectangulum sub Τ & AB, ad quadratum A Br ergo series planorum AM, BN Ecc. est ad planum ΑΜ virectangulum sub VI 8c A B, ad quadratum A B i & ω- ties planorum V ἀ,Xβ, dcc. est ad planum V α. hoc est AM, ut rectangulum T AB ad quadratum AB. Igitur permutando series AM, BN, est ad rectangulum sub VI. AB, ut planum ΑΜ, ad quadratum AB r itemque permutando series V a. Xβest ad rectangulum T AB . ut idem planum AM ad idem quadratum ΑΒ. ergo series AM, B N, est ad rectangulum sub VIA B ut series V a, X a ad rectangulumae ABr & permutando series A M, B N, est ad seriem V a, X s, id est exeonstructione ad seriem Α Μ, C O, E Q, ut rectangulum siub VI A B ad rectangulum ΤΑ Β, hoe est ut linea UI ad lineam Τ: Quod erat demonstrandum.
orae sint quadratorum series binae , quae habeant bases in directum, bc longitudinum termin ps puncta K & R. sit autem ΑΚ diuisa in O, in ratione AB ad BC , & F R diuisa sit in P, secundum rationem
Dico seriem quadratorum NK ad seriem quadratorum N R , rati nem habere compositam ex rationibus ΑΒ ad FG, & AO ad FP.
196쪽
Eties quadratorum M Κ, , ae-2 3ν. εα quatur rectangulo OAB.8c 'series quadratorum N R , rectangulo PFG aequalis est. Atqui ratio rectangulorum
FG, &ΑO, FP , rationibus componitur, ergo etiam serie. rum M K, N R . ex ijsdem rationibus proportio componitur. Quod erat demonstraniadum. Sed hoc Theorema una uersale reddamus.
ra, datae sint series binae planorum similium, - quarum longitudines sunt AK, FR : lit autem AK diuisa in O, in ratione AB ad BC, & F R in P, in ratione F G ad G H. Dico seriem planorum similium MK, ad seriem. planorum similium N R, habere rationem compositam ex rationibus AB ad FG, de AO ad FP. . t Demonstratio.
Cupet ijsdem basibus fiant binae quadratorum series, de lineis CD, HI, aequales fiant a B, EG t deinde ut A ad AB. & Fί, ad FG fiae quadraippi AB, ad Asquadratu,& quadratum FG ad quadratum F θ. itaque quadratum super A si aeqα butur b seriei quadratorum M K: planum vero super Αβ simile planis A S, B T, FGX, &c. aequabitur seriei planorum S K : similiter ab altera patie quadratum ti- per Fρ seriei quadratorum N R ,&pIanum simile super eadem Fo, planorum seriei VR aequalia etlihi. Itaque series planorum S Kest ad seriem planorum V R, ut planum super As, ad planum F θ : Item Ieries quadratorum M K est ad seriem quadratorum N R, ut quadraturi super Aa, ad quadeatum super F 3. Atqui pila. num Aβ est ad planum F θ. v quadratum A si ad quadratum n θι ctam enim ta in
quaZrata, quam plana ex constructione sint similia, utraque sunt in dyplicata ratio. nis AB ad F θ:ὶ ergo series planorum 4 K est ad seriem planorum U R, ut series quadratorum M K ad seriem quadratorum N R. Atqui per prςcedenζ. series quadratorum MK ad seriem quadratorum N R, rationem habet compositam, ex ratio. nibus AB ad FG,& AO ad F P, ergo & planorum series SK ad seriem planorum V R, rationem habet extasiam rationibus compositam di quod erat demonstraudum.
PROPOSITIO C X L V. DAtae sine quadratorum series HK, L G, in quibusvis rationibus,abarqualibus quadratis incipientes: sitque linea S seriei rationis primae AB ad tertiam C Q, itemque linea T, seriei rationis D E primae ad tertiam FR aequalis. Dico series quadratorum eam proportionem habere quam lineae, S,T.
197쪽
Etles ΗΚ. aequatur rectan- Ogulo S AB, item series LG' iii aequatur rectagulo TDE,hoc I est, i quoniam quadrata AH, N . DL , ideoque &lineae AB, DE. ex hypothesi aequantur
r rectangulo Τ Α B. eadem igitur est serierum, & S AB, ii 3 e e ' T A B rectangulorum ratio. - . Atqui rectangulorum S A B, Τ Α Β, eadem est ratio b quae rectarum S. Τ, ergo de serie t rum eadem quae S , T, linea- rum est froportio. Quod erat
P demonstrandum. Hoc quoque di Theorema faciamus uniuer-
ra, dentur planorum similium binae series quarumvis proportionum N Κ, P G, quae ab aequalibus incipiant planis, sintque lineae S,T, aequales seriebus AB, C Q, dcc. AB, FR, dce. Dico eandem esse serierum & rectarum S, proportionem.
E R D mos tio. A D huius Theorematis demonstrationem, eandem lector constructionem az ra. a tiocinationem si adhibeat, qua propositione pr cedenti fuimus usi, non aliter propositionis praesentas Veritatem ex praecedenti deducet, quam propositionis I4 ex I 3.huius deduximus.
Esto rectangulum est a parte longius Α G, a quo A M quadratum ablatum sit. Petitur exhiberi series quadratorum, quq aequalis sor ctangulo A G, & incipiat a quadrato A M.
AB fiat ad BI r Se ex Iducta I Η, parallela ad B M rectangulo IB M H, aequale fac quadratum BN, basi BC indirectum
posita cum A B: rumpro gressionἰs quadratorum AM, BN, ς continuatae inueniatur Κ terminus longitudinis. Dico seriem quadratorum ΜΚ, pr blemat
198쪽
D E Ehlemati satisfacere. Nam Cum ex constructione AB sit ad BI, ve AF ad BFierit AE aequalis a seriei ration s AB ad BI. Dein is/e ex constructione reis ctaneulum ΒΗ aequatur quadrato BN, ergo quadratum A M ad rectangulum B H , εe quadratum B N, eandem habet rationem, unde cum qua
Marum A M , sit ad quadratum FN ut AB ad CD, erit quoque quadratum A Mad rectangulum ΒΗ , ve AB MCD. atqui ut quadratum AM ad rectangulum B H, sie AB ad BI : Ergo ΑΗ est ad CD. ut ΑΒ ad B Ie aequantur igitu C DBI, AF etiam aequalis in seriei rationis AB ad CD: quare rectangulum 'ς angulum AG h i quale est seriei quadratorum AM, B CO .dee bret hoc elu seri et M R. factum igitur est quod postulabatur. - D onaratio aba. rota series quadratorum ML est per ga. huius ad reliquam seriem NK, ut qua . drδτx M AH βd quadratum B hoc est ex const. ad rectangulum AIq. Atqui ex mitrii sti φ . rectarentum AG est ad rectangulum BG, ut rectan. gulum Alii ad rectangulum B H, ergo series MK est ad seriem NK, ut AG ad BG. igitυν diuiuendo quadratum A M. est ad reliquam seri εm NK, ut quadratum adem A M ad reliquum rectangulum B G i ergo series. NK, ω rectangulum B G
eui aequalis ς inueniatur series quadratorum basibu in directum positis MN xi incipiens 4 quadrato A B, siue A M , & terminum habens songitudinis Kr Dico facium quod petebatur. Cum enim rectangulum AG ex constructione sit aequale se-rιca ΜΚ, AI erit ad I , ut AB ad BC, uti ex I29. huius facile demonstrari eou; dc quia terminus longitudinis seriei quadratorum est Κ, progressionis etiam bauum terminus erit K, ergo AK est φ ad B x, ut AB ad B C, hoc est per demon- e . ltra ea vi HI ad /Κ. Factum igitur est quod petebatur.
PROPO si TIO CXL VIII. ESto figura plina quaecumque Fl, aqua similis auferatur FG, petitur
ea hiberi series planorum hi milium,quae incipiat a plano ablato FG di dato plano F l sit aequalis.
199쪽
constractio σ demonstratio. Q planum FI ad segmentum GI, sie planum FG , fiat ad
segmentum aliquod G H, deind4 plano FG fac cimile dei aequata AM,& segmento GHiaequale sie S planum BN ,smile autem planas res. - G D A AM, FG, hi Deniqtie .progressionis planorum ΑM, BN, contianuataea inueniatur ter ous logitudinis M. Dico seriem planorum . similium M K postularo satisfacere, est enim tota deuex planorum MK, ad reliquam seriem NMb x.ώ. . vlb planun AM adpi num B hoc est ex constructioni, ut pia num F G aci segmentum G H; ὰλ rursum ex constructione planum
FI est ad segmentum G I, ut planum F G ad segmentum G H, ergo series M Κ , est ad reliqua N L. ut planum FI ad segmentum cI.
Quare per conuersionem rationis
series MN, est ad planum AM, ut planum FI ad planum FGr sed ex constructio ne plana ΑΜ, FG aequalia sums ergo etiam series planorum similium ΜΚ, sic planum FI aequalia sunt. Quod erat faciendum.
PROPOSITIO CXLIX. DAta sit progressio quadratorum ΜΚ, bc quadratum aliud D P,quod
A tudine ΑΒ , ς aequale seriei datae M R. deindς, quoniam quadratum D P ponitur minus serie MK, id est ex constructione rectangulo AG, auge quadratum DP, rectangulo ES, virectangulum totum D S ,α- quale sit rectangulo AG: tum rectangulo D S 4 inueniatur aequalis feries quadratore P RH. incipiens a quadrato DP. Dico seriem P QH soluere Problema. Nam ex constr. series quadratorum P RH incipit a qua drat dato DP, M aequaIis est restingui o D S, hoc est ex conia structione rectangulo AG, hoc est rursum ex constructione seis riei datae M L. Factum igitur est quod petebatur.
200쪽
PROPOSITIO CL. DAta sit iterum quadratorum series M Κ, & aliud quadratum DP,
item ratio quae uis siue maioris siue minoris inaequalitatis V ad Τ. petitur exhiberi series quadratorum incipiens a quadrato D P, & habens ad seriem MK, rationem datam V ad T. Constructis in demonstratae.
lum Α L, quod ad rectangulum A G, clatam habeat ra tionem. si iam quadratum DP maius sit aut aequale rectangulo A L, impossibile est problema. Minus ergo sie oportet quadratum D P rectangulo A L. Itaque -- geatur rectangulo ES, ita scio . ut totum D S b rectangulo A L aequale sit.Tum rectangulo DS inueniatur aequa lis series, quadratoru P Q Hincipiens a quadrato D P. Dico hanc soIuere proble
- T Ex constructione enim D P I series P Q H incipit a quadrato. DP, & aequalis est rectangulo D S, id est ex constructione rectangulo A L. quare cum rectarigulum A L ex eonstructione sit ad rectangulum AG, ut V ad Τ, etiam series P Q Herit ad tectangulum AG, id est tutium ex constructione ad seriem datam ΜΚ, ut v ad T. Fecimus ergo quod petebatur. Nunc vero utramque propositionem prae
cedentem uniuersalem faciamus.
PROPOSITIO CLI. DAta sit planorum similium progressio ut prius disposita MK, &