장음표시 사용
201쪽
DLanis . seriei MK aequale ac simile fiat planum Τ U R, si iam planum d tum DP, aequale aut maius sit plano T UR, fieri problema non poterit : minus ergo sit necesse est. Itaque inueniatur series b planorum similium PQH, quae aequalis se plano T UR, M incipiata plano dato DP. Dico hanc soluere problema. Nam ex constructione, series P Q Hincipit a dato plano DP, & aequalis est plano T U R, id est ex constructione seriei datae Μ Κ, Factum igitur est quod postulabatur.
M. DAta sit iterum planorum similium series MΚ , de aliud planum
DP, simile datae seriei planis, itemque ratio quae uis, siue maioris, siue minoris inaequalitati' α ad β. Petitur exhiberi series planorum similium, quae incipiat a plano D P, & ad seriem M datam nabeat ratione.
structio .c demonstratist. UIat planis seriei LMR e aequale planum L, deinde ut vi ad si, siefiat planum simile Τ ν R ad planum L, si iam planum
M le vel maius est plano TVR,fieri
problema non poterit. Minus ergo
oportet , planci TVR: Ieaque in ueniatur 4 sexto planota similium PQ H , incipi fia plano D P . a qualis vero planci Tu R. Dico hane problema soluere. nam ex constructione series P QH, incipit a plano dato DP, Be aequalis est plano TVR, quare cum planum T V R ex constructione datam habeat rationem ad planum L, etiam series PQ H ad planum L, hoc est rursum ex constructione ad seriem datam MN, habebit rationem datam: Factum igitur est quod petebatur. πD
202쪽
GEOMETRICAE. PROPOSITIO CLIII. Esto progressio quadratorum GH Κ, basibus in directum positis,&
terminum longitudinis habens punetum K. Dico quadratum super tota A K factum, ad seriem datam, proportionem habere compositam, ex ratione Κ A ad B R, & C A ad B Α. Demonstratio. FIat enim AD ad D K , ut A B ad BC. Igitur rectangulum D AB, siue A E,
aequatur strici G . ergo quadratum AP, eandem ad seriem GK, & ad re. ' ctangulum AE habet rationem. quoniam autem AD est ad DK. ut A B ad BC,' erit in uertendo ac componendo Κ Α ad DA, ut CA ad BA. Ergo cum quadratum AF ad rectangulum AR rationem habeat . compositam ex rationibus K A ad bissem . DE,&ΚΑ ad DA, habebit quoque quadratum AP, ad idem rectanguIum, compositam ex rationibus K A ad DE, dc CA ad B At quare eum series GEM rectangulum AE, aequalia sint, habebit quoque quadratum AF ad seriem GK rationem compositam ex rationibus K A ad DE, hoc est B A, & C A ad B A. Quod erat demonstrandum placet hoc quoque theorema uniuersaliter demonstrare.
PROPOSITIO CLIV. D Ara sit planorum similium quorumcunqne progressio FG Κ, ha
bens bases homologas indirectum,& terminum longitudinis da tae progressionis. Dico planum A PK ad totam seriem F G Κ habere rationem compositam, ex rationibus K A ad BA, & C Α ad B A.
203쪽
CVper ijsdem basibus AB, BC. Acc. eonstrimur quadratorum series DE Kr fiat que quadratum AD ad aliud AHI, ut AC ad AK, quod toti, seriei quadra torum DE K aequabitur. Super A I vero fac planum ANI simile plano AF. Ita- , , i. sis, 'ue planum AF est ad planum ANI i vi quadratum AD ad quadratum AHI, hoc est ex constructione ut AC ad A K.Quare etiam planum ANIferiet planorum e lib. . similium FGK aequale erit; ergo series FGK est ad planum ANI, ut series D E K ad quadratum ΑHI: atqui planum ANI est ad planum ΑPK , d ut quadratum ΑΗ I ad quadratum totius AK t igitur ex aequalitate series FGK est ad planum AP Κ, ut series DE K ad quadratum ΑΚ,&inuertendo planum ΑΡΚ est ad se- et13 a, riem FGK, ut quadratum AK ad seriem DE K. sed quadratum ΑΚ . ad seriem DE K, proportionem habet compositam ex rationibus K A ad ΒΑ At CA ad BA. ergo Si planum APK ad seriem FGK, proportionem habet ex ijsidem rationibus compositam; quod erat demonstrandum. '
PROPOSITIO CLU. Esto quadratorum series habens bases in directum, & terminum lon
gitudinis K , inscripta triangulo AGK, iuxta propositionem Isi. huius, & completo rectangulo Al, latera quadratorum producantur in L S, dic. item in Q, O, R, dcc. Dico ex hac laterum productione perpetua, oriri progressionem rectangulorum M I, L, &c. similium , & continue proportionalium, quae progressioni quadratorum quoque sit aequalis.
. OVoniam ex hypothesi K terminus est longitudinis quadratorum GHei, etiam NM terminus ferit progressionis basium AB, BC, Me. igitur ΒΚ gest ad C Κ, vi
204쪽
G EOMETRICAE. I . Isa AB ad BC, hoc est ut PM ad ΗN. hoc est ut G Μ ad MN. hoc est quia QGNI, H MN similia sunt triangula ve QM ad Mil, hoc est denique ut Q M ad O 4 primo igitur ad ultimum, BK est ad C Κ, hoc est ML ad NS, ut O M ad
ON : rectangula igitur M.I, NL , proportionalia habent latera. Quare cum sint Maequiangula, erunt similia; quod erat prunum. Deinde dicta rect/ngula complementa sunt eorum , qu circa diametrum sene. Ergo singula quadratis singulis datae seriei, aequantur. ergi,& progressio tota toti t. progressioni aequalis erit , ex quo etiam secundum patet. Cum enim quadrata ex hypotliesi sint in ratione continua, etiam complementa illis aequalia, in continua erunLanalogia et quae erant demonstranda.
PROPOSITIO CLV l. 7ΙIsdem positis fiat A X haequalis serieitationis AB ad C D, Se expunctis. M'-
X, ducta normalis X T secet lineas P L, G Κ, in. T dc U. Dico rectangulum sub BK. V Y, toti complementorum seriei Mi,
T Vcatur enim AK perpunctum V parallelais3. Igitur rectangula ἡ MI, A ''
itemque rectangula M Y , α M, aequalia sunt inter se. Igitur figura M QIA Vfigurae M PAX U aequalis est. quare communi addito rectangulo Z T, erunt rectangula ZI, AT squalia. Atqui rectangillum ZI est rectangulum sub Zis, id est B Κ, dc sub Z ideli v Γὲ rectangulum vero AT seriei quadratorum. 4 est aequa Ie. ergo rectangulum sub BKUY, seriei quadratorum, hoc est per praecedentcm seriei complementorum est aequale. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLVII. Isdem positis, quae supra,
Dico ea quae circa diametrum sunt rectangula P H Ο, dcc esse similia inter se de continue proportionalia ; rectangulum vero sub AB NV Υ, toti eorum progressioni esse aequale. IT PMest ad MO, siue HN, sie GP est ad ON, ob triangulorum G MP.
MON, similitudinem: quare eum rectangula PQ HO, & latera habeant proportionalia, & angulos aequales, erunt similia , ac proinde dc reliqua cimatae dem Aiscursu simila erunt i quod fuit primum. Deinde cum similia sint dicta rectangu Ia, erunt in duplicata homologorum latetum PM,HMAcc. ratione. Quare cum M quadrata sint in eorumdem laterum ratione duplicata, eadem erit rectangulorum ac quadratornm proportio.Atqui haec ex hypothesi sunt in continua analogia, ergo de illa ι quod erat alterum.Deniq; rectangulum ἀΜ, aequatur e tectangulo M T. Ad dito
205쪽
dito igitur communi P Iequabitur rectangulum α O. hoc est rectangulum ChAB de YY, rectangu Io Ρ Yt Atqui rectangulum P Υ, duplum est progressionis triangulorum GPM, M HAE&e. ergo Stre angulium sub ABS VΥ, progressio niS triangulorum est duplum: quare cum progrellio rectangulorum P Q, HO,N etiam sit progressionis triangulorum dupla, rectangulum sub ΑΒ & UΥ, dc progressio rectangulorum aequalia erunt: Quod pol remum fuit eurum, quae erant de monstranda.
PROPΟsITIO CLUIII. DAta sit quadratorum series, basibus in directum positis,& terminum
habens longitudinis Κ : impares autem quadratorum bases A B,
CD, E R&c. notentur numeris imparibuS I. ys. 7. 5cc.
Dico, primum quadratum A Messe ad secundum B N, ut AB ad CD: rursum primum quadratum AM esse ad tertium Co, ut AB ad ER& ad quartum D P, ut A B ad G H. Atque ita in infinitum, bases notatae imparibus numeris, sunt primo quadrato cum subsequentibus compa- to , proportionales. Demonstratis.
omparemus exempli gratia quadratum AM, cum tertio C Ο: Quoniam qua. v Α ' citata omnia ΑM, BAEC &α incontinua sunt analogia,erunt v bcbases continuς proportionales; ex aequalitate igitur etiam Α B, C D, E F, erunt continuae: csi inter ipsas aequalis continue proportionalium numerus interceditὶ ergo quadratum ΑM est ad quadratum C ut ΑΒ ad EF; scum rationes tam quadrati ad quadratum, quam lineae AB ad lineam EF, sint rationis ΑΒ ad CD duplieataein eadem' valebit demonstratio,si quadratum A M cum quouis alio comparetur. Constat ergo propositionis conclusio.
p RoΡos ITIO CLXIX. . EAdem posita figura; data sit planorum similium series M Κ habens
bases homologas in directum,& terminum longitudinis K. Dico seriem MK ad nullam sui partem, verbi gratia ad seriem NKaut seriem O vel seriern P Κ, dcc. eam habere rationem, quam inter se habent duae quaecumque in hac basium serie, rectae lineae, inter quas par
linearum numerus intercedit. Damonstruulo. REries enim data MK, cum ea sui parte comparatur,ut inter utriusque primum ter minum, vel par intercedat planorum numerus, vel impari comparentur primo series ΜΚ Δe OK, inter quarum initia, impar terminorum numerus intercedit; quia igitur
206쪽
GEOMETRICAE. ' Issigitur plana sent in continua analogia, etiam bases AB, B C, &c. erunt continuae 33 4. proportionales. Quare ex aequo etiam AB, C D, EF, erunt continuaer ergo planum ΑM est ad planum C O, v tb AH ad EF. Atqui series M K ς est ad seriem OK, ut planum AM ad planum CO, siunt enim similium rationum series ergo series MK est ad seriem OK, ut A B ad EFι inter quas impat numerus basium intercedit, nempe. I. Atqui in tota serie basium , non possunt reperiri duet aliae lΙ-neae, quae eandem rationem habeant, quam A B, EF, nisi illae inter quas idem ternarius numerus linearum intercedit, uti ex elementis demonstraturi igitur nullae lineae ex serie basium, inter quas impar linearum numerus inter licitur, eandem habent rationem, quam series MK ad sui partem O K. Comparentur modo duae series MK , PK, inter quarum initia par planorum sit numerus: Rursum igitur ostendemus uti pruis seriem MK esse ad seriem PK , ut AB ad GH quare cum inter AB & GH, impar linearum sit numerus, nemiape si tota demonstratio primae partis huic etiam quadrat: unde patet propositionis
PROPOSIT lo C L X. DAt sit quadratorum series habens bases in directum & terminum
topngitudinis K. Deinde ex singulis punctis B, C, D dcc. erectae sint perpendiculares Al, B L, C M,&c. proportionales continuat in ratione dimidiata proportionis AB ad BC; & super illis perpendicularibus in altitudine linearum A B, BC, dce. fiant rectangula I B, L C, MD, &c. Dico seriem rectangulorum I Κ, ad seriem rectangulorum L Κ, tripli- Catam habere proportionem rationis Al ad B L; cuius quadruplicatam habet series quadratorum E Κ, ad seriem quadratorum F K. DemonstraIIo.
DRimum enim rectangula I B, L C, Idcc esse in continua analogia sic ostendo. ratio rectanguli I B ad L C, Coponitur ex rationibus A I ad B L, hoe est ex hypothesi B L ad C M, MAB ad BC, hoc est BC ad CD, Atqui etiam rectangulorum L D, ratio componitur ex rationibus B L ad C M, 8c BC ad CD i ergo eadem est rectanguli I B ad L C, &LC ad MD ratio t ergo illa rectanis gula sum in continua analogia, habeturque progressio Continue proportionalium rectangulorum I,L,M, I - 4N. K: quare series IK est d ad seriem L Κ, ut rectangulum 1 B ad rectangulum L C: , R equi ratio rectanguli IB ad LC , componitur ex ratione AI ad B L, 8c ex rati ne A B ad BC , quae ponitur esse duplicata rationis ΑΙ ad B La Ergo ratio rectanguli ΙΒ ad L C, hoe est sicut modo ostendimus, ratio seriei IK ad leciem L Mest triplieata rationis A I ad B L. Series autem quadratorum E K est ad seriem FK, .ut quadratum BE ad quadratum CF, hoc est in duplicata rationis AB ad BC. 'hoc est sui ex hypothesi colligitur) in quadruplicata rationis A I ad B L, cuius triplicata est ratio seriei rectangulorum I Κ, ad seriem L Κ. Quod erat demonstra
207쪽
PROGRESSION EsPROPOSITIO CLX l. Iisdem positis loco rectangulorum intelligatur super normalibus ΑΙ,
B L, &c. construi series quadratorum. Dico seriem quadrato tum E Κ, ad seriem F Κ, duplicatam habere rationem eius, quam habet series quadratorum AI, B CM, &c. ad seriem quadratorum B L, C M, D N, &c. Demonstratio.
a nM B. CEries ΕΚ est ad seriem a FK ve. O quadratum B E ad quadratum CF, hoc est in duplicata rationis A B ad B C. similiter ratio fieri quadratorum AI, BL, dcc. ad seriem κ quadratorum B L, C M.tic. eadem est quae quadrati AI ad quadratum B L, hoe est duplicata rationis ΑΙ. ad BL hoc est ex hypothesi ratio seriei quadrarorum AI, &c. ad se. riem quadratorum B L, &C. eadem est quae AB ad BC. quare cum ostensum sit rationem seriei E Κ, ad seriem FK, esse duplicatam rati nis AB ad BA, erit quoque duplicata rationis, quam habet series rectangulorum IK, ad seriem rectangulorum L Κ: Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXII. Indem positis quae supraι inter BA, AI, CB, B L, DRCM, &c. in
ueniantur mediae proportionales AO, B P, C Q, dcc.
bi=s L Chuoniam B Α, Α Ο, AI, sunt continuae proportionales ,erit quadratum Α Ο, re- angulo BAIl, quale: similiter reliqua quadrata B P, C Q .c. reliquis re-e tεο. . ctangulis C B L,D C M,Acc. erunt aequalia.quare eum rectangula e dicta sunt contia nue proportionalia in ratione triplicata AI ad B L. quadrata quoque ΑΟ, B P. ' εce. erunt indictorum laterum A L, BL, Et c. triplicata ratione continue propo ali. -..tionat,a. Atqui etiam cubi A I, Bia dcta sunt in laterum ΑI, B L, dce. d triplicata remi ratione; ergo quadrata A BP,&c. cubis AI, Bia &c. sunt proportionalia. Quod erat demonstrandum.
208쪽
Doctrinam Medenti parte in planis demonstrata ,corpori- bin, Abduc, applicat. . . PROPOSITIO CLXIII.
DAxa sit quadratorum continue proportionalium series , basibus in directum positis, cuius longitudinis terminus sit Κι super singulis
autem quadratis cubi construantur. Dico constitui seriem cuborum continue proportionalium, quae cumdem quoque habeant terminum longitudinis K.
Mtio cubi AM ad cubum B N, triplicata est rationis AB ad BC, item ratio v v M euhi BN ad cubum CO, triplicata est rationis, BC ad CD; id est rationis 'tarii. AB ad BCi sponuntur enim quadrata AM, BN , CO dcc. in coni rura analoianain Mare cum rationes utraeque, cubi ΑΜ ad cubum B N, &cubi BN ad cubum C o. stiplicatae sint rationis AB ad BC, eaedem erent. Sunt igitur Cubi AM, BN, O in continua analogia a eodem modo erunt & reliqui omnes continue proportionales. Quod erat primum. ex quo patet etiam secundum: Cuies enim qua dratorum & cuborum series, pariter semper procedant, id m utriusque terminus sit longitudinis necesse est. Quae erant demonstranda.
PROPOSITIO CLXVI. ΙΙsdem positis; primae AB, &quartae DE, aequales fiant RS,ST: eonistinueturque ratis RS ad SL perplures semper terminos T v, V X, 8cc. Dico cubum primum AM, esse ad quemlibet cubum seriei propositε, vecti gratia ad quartum D P, ut est Iinea RS ad quartam V X. Υ VX
209쪽
Cubus AM adcubum D p. est in triplicata a rationis AB ad DE, hoc est per constructionem lationis RS ad S T. Atqui etiam RS ad quartam V X, est in triplicata ratione eius, quam habet R S ad STt ergo ut R S ad UX , sic cubus
ΑΜ ad cubum D P. Simili ratiocinatione ostendemus cubum primum,ad quemuis. seriei cubum, eandem habere rationem, quam habet RS ad lineam quae aeque distabit a prima RS, atque cubus a cubo primo A Μ. Quod erat demonstrandum. Coraliarium. Duo haec theotemata eadem seruata demonstratione, ad omnia similium nrpo- . rum genera licebit extendere.
PROPOLITIO CLX ViDAta sit quadratorum series, habens bases in directum, & terminum longitudinis K. super quadratis autem singulis, exstructi sint cubii Petitur seriei cubicae aequale parallelepipedum exhiberi.
. . construmo or demonstratio - . CEriei rationis primae bai seos ΑΒ , ad quartam DR
. M o gulum A G : deinde super. 4ectangulo A G, in altitudi-l l κ ne AB, construe parallel is x D A pipedum rectangulum. Dieo. hoc seriei cubicae aequari. vel super quadrato AB in altitudine lineae, aequalis s riei rationis ΑΒ ad D E, fac parallelepipedUm. Dico hoc esse quaesitum. Fiat enim B I aequalis D E. Quoniam igitur ex constructione seriei rationis A B ad BI, siu AB ad DE, aequalis est AF, erite A F ad BF, ut A B ad B I. hoc est ri AR ad DE: quia autem quadrata ex hypothesi sunt continua, eruntd lineae AB, BC. --. CD, DE, dcc. in continua anaIogia ζ unde Metibus Ο ΑΜ ad cubum B ut A Rad DE, hoc est sicut ostetidiὶ ut AF ad BF: Quare cum parallelepipedum A Gi se sit ad parallelepipedum BG, s ut basis A G ad Dasim BG, hoe est v te AF ad BRui. erit cubus ΑM ad cubum AN, ut parallelepipedum ΑG. ad earallelepipedum BGr Aequi tota li series cubica ΜΚ, est ad seriem eubicam NK, ut cubus Au ad --. cubum ΗΝ, ergo parallelepipedum A G, est ad parallelepipedum B G, va series cubica MK, ad seriem cubicam NKr ergo diuidendo cubus Arus, est ad parallelepipedum BG. ut cubus idem AM, ad seriem cubi eam ΝΚi eum enim parallele- .pipeda AG, BG constructa sint supra bases A G, B G, in communi altitudine AB. patet cubum ΑM esse excessum parallelepipedi A G super parallelepipedum BG. Itaque series cubica N K. M parallelepipedum BG, erunt xqualia i communiquet addito cubo AM, tota series cubica, & parallelepipedum AG aequalia erunt. Famam igitur est quod petebatur.
210쪽
. Corolgariam x taque si fuerint propositae biny . vel plures cuborum progressiones, etiam ratio. Auum dissimilium, cognoscetur earum proportio inter se, si per hanc propositionem fingulis cuborum progressionibus aequalia paralleleeipeda constituantur.
PRO pos ITIO CLXVI. DEntur binae, sed aequales cuborum progressiones rationum dissimi
Dico seriem cubicam ΑΚ, ad seriem cubicam HR, rationem habere compositam, ex ratione primi quadrati A F,ad primum quadratum H O, di ratione seriei rationis ΑΒ primae, ad quartam D E, ad seriem rationis H I, prima ad quartam MN. i' Demonstratio.
AB ad DE. per praecedentem seriei cubicae ΑΚ, erit aequalet similiter parat 1elepipedum super quadrato HI, in altitudine lineae seriei rationis HI ad ΜΝ, se tiei cubi ex HR aequale est. Quare cum series cubicae ponamur aequaIes,dacta qum. que parallelepipeda aequalia erunt , ergo reciprocam habent basium de Raltitudinum rationem, hoc est habent rationem compositam ex rationibus basium & altitudinu: Quare Ac series cubicς AR Sc HR illis aequalps, rationem .habent compositam ex ratione dictarum altitudinum, hoc est ex ratione seriei A B, D E,&c. ad seriem HL MN, &e. At ex ratione baseim, hoc est ex ratione quadrati Α F ad quadlatum H o. Quod erat demonstrandum.
PROPOSIT 1Ο CLXVII. DAta sit quadratorum progressio , basibus in directum poctis; quae
terminum longitudinis habeat K. & iuxta ij t. huius inscripta sit triangulo A Q Κ; completo autem rectangulo A M, producantur latera quadratorum in N, O, P, &c. & in H, I, L, dcc.