장음표시 사용
211쪽
iues PROGRAss Io NisDico seriem parallelepipedorum, super rectangulis E M, F N, GO,
&c. in altitudine linearum B E, C F, D G, &c. aequalem esse seriei cubi cae super quadratis exstructae.' Dem ratio.
DIcta enim EM. PN, Me. rectangula, sunt complementa rectangulorum , quae stant circa diametrum,ergo singula quastratis singulis ordine sunt aequalia. Quare parallelepipeda super complementis illis exstructa, cum easdem quoque cum cuin bis quadratorum habeant altitudines B E, C F, dcc. patet singula b parallelepipedasingulis cubis aequalia esse : ergo tota parallelepipedorum series,toti seriei cubicet aequatur: quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO C LXUIII. DAta sit progressio linearum AB, BC, CD,&c. terminata in &
super lineis quadrata, superquadratis autem cubi. Petitur cuborum series inscribi pyramidi, quadratam basim habenti. Conminio re demonstramo.
K S, occurrant Iineis A st, A X productis in L M Z r producto deinde plano x i. occurrat linea KF in M, iunganturque L M, ZM. Dico factum quoa petebatur . Ducantur enim in aduersis cuborum planis diametri AE, BF, CP, Dab &c. primo igitur ex hypothesi manifestum est utriusq; seriei quadrata ΑL B N, C O, &e.
212쪽
GEOMETRICAE. II 'AS, B Τ, &c. esse in eodem plano. quare lineae δ ΚIL, Κ S Z transeunt per omnia Fui puncta N, O,&c. T, Y, S c. hoc est tangunt totam cuborum seriem. Superest ergo ut demonstremus lineam KF M transire etiam per omnia pii iacta P, Q.. &C. quod
se praestabimus. IF est ad HG, ve I B ad ΠΗ, id eli vi I K ad N Κ, hoc est ut BK ad CR; Aequi cum seriei AB, BC, C D terminus sit Κ, b A K, B K, CK sunt
continuae proportionales; ergo B K est ad C Κ, ut AB ad BC: Si l P ad HG ut AB ad BG quare cum ΑΗ, IF aequales fini, etiam B C & intercepta HG, aequales erunt; ergo BF rransit per verticem anguli G, quadrati S B HG, cuin intercipiat parallelam H G aequalem lateri dicti quadrati; unde B, G, F sunt in directum. Itaque cum ex elementis constet diametros aduersas CP, BG elle paralle . . las, etiam CP, BF erunt parallele. Quia igitur linea BF in m ς planci BF K, et. - iam CP in eodem 4 plano BFK erit. Similiter ostendemus lineas D Q, CP, es Iepatallelas,& proinde cum CP sit in plano B FK, etiam D Q esse in plano B F K. eodem discursu demonstrabimus omnes BF, CP, Din. Xβ,&c. esse in eodem plano BFK, siue AM K: deinde BI , CP,&c. cum sint in oppositis planis parallelis, productae nunquam conuenient. quare cum sint omnes in plano BFC, erunt omnes inter ese parallelae. Praeterea ex clementis & ex datis patet diametros B F, e Ibid.
CP, m. esse lateribus I B, NC, dcc. hoc est AB, BC, CD, Sc. proportionales hi quare K F M transit per omnia puncta P, Q β, &c. Quod autem etiam basis Z Mquadrata sit, sic ostendo: Z A est ad X Α, ut Lia ad S K, hoc est ut ΑΚ ad B Κ, iis, hoe est ve LK ad IK, hoc est denique ut L A ad R A : Quia ergo X A , R A aequales sunt, etiam ZA, LA gaequales erunt. Praeterea LM est ad IF ut L K ad S iIK, hoc est ut AK ad ΒΚ, hoc est ut AZ ad B S, atqui I F, B S aequales sunt, ergo etiam LM, AZ aeuuales erunt. Deinde eum L Κ sit ad IK, ut , MK ad FK, erit LM parallela ad I F, quς cum ad A X Z parallela sit, etiam LM ad A X Zparallela erit. Quia igitur M Z de A L aequales de parallelas L M, AZ connectunt, ipst quoque t aequales ¶llelae erunt: est autem angulus L A Z rectus, ac u ρο- νproinde etiam angulus M Z A, & consequenter anguli illis oppositi sunt recti, basis igitur Z L est quadrata: Factum ergo est quod petebatur.
PROPOSITIO CLXIX. SEries seu pyramis cubica inseripta sit pyramidi Α L G K. Oporteat
pyramidis includentis, & inclutae differentiam exhibere. Construelio oe demonstratio.
CVper quadrato A B in altitudine lineae aequalis seriei rationis ΑΒ ad DE sae pa- talleIepipedum, hoc est seriei hcubicae aequale erit. Deinde fiat ut quadratum AB h tri. ad qciadratum AI. G, ita pyramidis GL Κ altitudo AK ad aliquam . t denique seper quadrato AB in altitudine lineae, quς contineat unam tertiam tectae in fiat parallelepipedum,erit hoc pyramidi L Κ aequales nam parallelepipedum super qua
213쪽
drato AB in altitudine lineae Q, aequale est parallelepipedo super quadrato A Gι- . in altitudine ΑΚ, cum habeant baies ex constr. & altitudines reciprocas. Quar:
eum pyramis, LK sit una tertia pqrallelepipedi super AG in altitudine AK sest.... ' enim Α K altitudo pyramidis, quia ΑΚ vi ex construct. prqcedentis propositionis patet, est normalis ad AL itemque parallelepipedum super quadrato AG in altitudine tertiae partis rectae Q sit eiusdem parallelepipedi tertia pars, erunt pyramis de dictum parallelepipedum aequalia. Quare cum pyramis maior sit inscripta cubi pyramide, etiam dictum parallelepipedum nempe super quadrato A B in altitudine tertis partis tectς Q, erit maius parallelepipedo quod pyramidi cubicet et quale feceramus. Eadem igitur erit pyramidis includentis & inclusae quae horum parallelepipedo tum di serentia. exhibuimus ergo,&c. quod petebatur.
PROPOSITIO CLXX. DAtae seriei siue pyramidi cubicae, pyramidem super F quadrato da
to, aequalem exhibere. sensis D O dmonstratι .CIt series cuborum ΑΜ, BN, CO, 3tc. x datum quasi tum sit F, & fiat ut quadratum F ad quadratum A B . ita linea aequalis seriei rationis AB ad DE ad lineam Q.Dico pyramidem cuius basis sit quadratum P, altitudo autem tri pla ipsius Meriei cubicae aequalem esse.Nam parallelepipeis dum euius basis sit quadratum F altitudo inaequatur c parallelepipedo, cuius basis sit quadratum AB,altitudo vero series rationis AB ad DR hoc est 4 seriei cubicae. Ergo paralis telepipedum cuius basis sit quadratum F de altitudo tripla rectae eriplum erit seriei cubicae. atqui idem paralleleia ι- pipedum triplum est pyramidis habentis basim Faltitudinem vero triplam rectae inergo pyramis illi seriei cubicae aequalis erit. Factum igitur est quod petebatur. PRΟ-
214쪽
BInae cuborum series quarumvis rationum ab aequalibus cubis A D, E Q incipians. Dico cubicas series eamdem habere ad inuicem proportionem, quam habent lineae S L, N O aequales seriebus rationum AB ad D Ι ,& EF ad H M. Demonseratio. Ρ
pROPOSITIO CLXXII. D Ara sit quadratorum prbgressio selita, superque illis exstructa series
cuborum, & inscripta parallelepipedo A G,cuius basis sit quadratum AB, altitudo AK, eadem nempe quae longitudo seriei cubicae. Dico parallelepipedi ad seriem cubicam ,eamdem esse rationem,quae est D A trium primorum laterum, ad latus primum AB. Demonstratio.
DA ad B A Quod erat demonstrandum. 'Linea AF aequalis f at seriei ra. tionis AB ad DE; erit paraulelepipedum super quadrato AB in altitudine AL quod vocemus parallelepipedum AIq) aequaleb seriei cubicς;sed parallelepipedia A G est ad parallelepipedum A H, cum eadem sit basis utriusque) ut AK ad AF, hoc est vix I A ad fB A; ergo parallelepipedum AG
etiam eril ad seriem cubicam vi
215쪽
. PROGRESSION EsPROPOSITIO CLXXIII. DAta sit vi supra cuborum series. Oportet exhibere superficiem omin
a C Datio. UIata rectangulum EFIGF aequale progresoni quadratorum AM, BN, Eee. tum Et sextupla fiat lineae E H. Dico rectangulum FI esse id quod quetrituri Cum superficies singulorum cuborum constet sex quadratis aequalibus, manifestum est omnes seriei cubicae superficies constitui ex lex seriebus quadratorum AM, BN,&c. atqui rectangulum H F ex constructione seriei quadratorum ΑM, BN, estae. quale. Ergo sex rectangula FH, hoc est ex construct rectangulum FI, constituet omnes seriei cubicae datae superficies. Fecimus ergo quod petebatur.
PROPOSITIO CLXXIV. DAta sit cuborum progressio sibi mutuo insistentium , constituens
pyramidem cubicam. Dico residuas basium superficies, nempe BKICHG, DONEM L& teliquas omnes in infinitum simul sumptas, quadrato primi cubi aequa les esse. Demonstratio.
EIat enim seriei rationis primae AH ad tertiam E equalis v super qua in altitudine AH fiat rectangulum Ζα, sumptaque V X aequali, ΑΗ ducatur actv α parallela Xβ, quae abscindae quadratum Xα aequale quadrato AG seu H B. Rectangulum αZ per 79. huius aequatur seriet quadratorum A G, CL, EP, de . hoc est quoniam cuborum plana omnia sunt quadrata aequalia; seriei quadratorum IB. MD, Q F, ct c. ergo cum αX ex constr. quadrato AB aequale sit, erit reliquum a Z reliquae quadratorum seriei MD, Q p, dcc. aequale. Atqui series qua
216쪽
dratorum MD, Q F,&c. eadem est cum serie quadratorum KC, OE, Sce. rectangulum igitur β Z seriei quadratorum C Κ, OE, dcc. aequatur. Quare cum rectan gulum Z ia series quadratorum H B. Μ D, Q F, Aec. itemque rectangulum βZω series quadratorum CK, EO, &e. aequalia sint, etiam excessus rectanguli αZsuper sZ, dc excessus serim ΗΒ, MD, ωc. super seriem C Κ, Eo, dec. aequales erunt. Atqui excessus α. Z super si Z est a X, id est ex constrin. quadratum H Blexcessus vero seriet quadratorum B H, MD,ως. super seriem quadratorum C Κ. Eo, m. sunt figura: BKICHG, D ONEM L, F R δT QP ergo figurae illae omnes simul sumptae aequantur quadrato HB. Quod erat demonstrandum.
Dico superficiem cubicae pyramidis, aequalem esse superficiei paral-Ielepipedi γε, cuius basis γε sit primi cubi quadratu, altitudo vero γ λ a qualis seriei rationis prima: Α H ad tertiam E Q. Per superficiem autem pyramidis cubi eae intelligo hic superficies omnium cuborum, exceptis quadratis C N E O, T R, dcc. Demonstratis.
o manguIum λ δ continetur Ii- nea γλ, aequali seriei rationis AH ad E Q.& altitudine γλquq aequalis est ΑΗι est enim quadratum γε aequale quadrato AG r igitur a rectagulum λδ omnibus quadratis A G, C L, &c. aequale est: teliquae igitur hederae τε, δθ, γπaequales sunt seriei quadratorum oppositae seriei A G , CI., Ece. M seriei qMariatorum BY,DI, 3cc. nec non illi que infra huius opposita est: est autem M quadratum γε basis parallelepipedi aequalis qua-
217쪽
drato AS basi pyramidis cubiis, de per praecedentem, quadratum II B, id est aequale est omnium basium residuis. Ergo tota superficies parallelepipedi, tota π ramidis cubicae superficiei aequalis est.Quod erat demonstrandum.
DArast quadratorum progressio cui terminus longitudinis sit Κ, Ω- per quadratis autem exstructa sit cuborum series. Deinde per i 6s. huius factum sit parallelepipedum MP, aequale seriei cubicae. Dico superficiem huius parallelepipedi, ad superficiem pyramidis cubicat sumendo hic superficiem pyramidis cubicae, ut in proposirione praecedenti sumpsimus in eam habere rationem, quam linea aequalis seriei rationis AB primat ad D E quartam, una cum dimidia ipsius AB, habet ad aequalem seriei tationis primae AB ad CD tertiam, una cum dimidia AB. Demonstratio.
PArallelepipedum ΜΡ factum est aequale seriei cubicae, igitur latus MN aequa. le est a seriei rationis AB ad DE , de NO, OP aequales sunt singulae ipsi AB. Fiat i m super quadrato RΤ quod sit aequale quadrato ΑΒ , parallele. pipedum Q Τ , in altitudine QR, aequali seriei rationis Α B ad CD. erguper praecedentem superficies parallelepipedi Τ aequalis erit superficiei cubice pyramidis. Deinde superficies parallelepipedi ΜΡ aequalis est reciangulo , quod linea composita ex quadrupla ΜN & dupla No, de altitudine No siue OP continetur. Similiter superficies parallelepipedi Q T aequalis est rectangulo cuius basis sit composita ex quadrupla QR de dupla R S; altitudo vero RS siue ST' sunt enim RS, SΤ aequales quia latera sunt quadrati R T. Quare cum di rectangula sint ut bases taltitudines enim NO, RS aequaIes habent eidem ΑΒ, ideoque aequales inter se in etiam erit parallelepipedi Μ P superficies, ad superfi-
218쪽
eiem parallelepipeli Q T, ut basis ad basian , nempe ut eomposita o quadrupia MN Ec dupla NO, ad composipam ex quadrupla Q R dc dupla RS, Atqui vequadrupla MN cum dupla No, ad quadruplam QR cum dupla RS, sic MN eum dimidia N O ad iam cum dimidia R Si ergo superficies par Ilesepipedi ΜΡ, est ad superficiem parallelepipedi QT. li R. est ad supersi. ορο ρος -- cubicet, ut M N cum dimidia N O , hoc est vi series ratiocin A R ad DB cψoadimidia A B, ad QR cum dimidia R S, hoc est ad seriem rationis A B ad CD
cum dimidia AB: quod erat demonstrandum
P Roportionem ex bibere quam superficies pyramidis habet ad in
scriptae sibi pyramidis cubicae superficiem : eci modo intelligendo superficiem seriei cubicae, quo an praecedenti prorositione.
mis Q LM R N isoscetis, cuius balis sit quadratum Q M, cui pyramis cubiga AB, CD. 8cc.inscripta intelligatur, factoque quadrato OK aequali quadrato ΑΒ reperiatur linea GH aequalis serici rationis ΑΒ primς ad tertiam E Filc seper quadrato OK in altitudine GH, fac parallelepipedum, cuius superficies aequabitur a superficiei pyramidis cubicae. Dico virectangulum super dupla LN Ze LM at s birem. tamquam una reAa, in altitudine LM , est ad tectangulum sit per quadrupla GH de Hupla AO tamquam una recta, in altitudine. HΟ, sic pyramidis includentis superficies, ad Inperficiem incluta pyramidis cubicae. Ducatur enim ex vertice pyramidis N ad LM normalis N P, quae ut ex datis facile colliges, bisecat LM in Pr rectangulum igitur NI P duplum est trianguli rectanguli L PN, ut patet ex elementis; ergo rectangulum N LP, aequale est triangulo LMN. de re n-gulum N L M duplum est trianguli LMN. ergo rectangulum seper dupla LN,ic altitudine L M, est quadruplum trianguli I. MN, hoc est aequatur toti superficiei pyramissis pr ter basim et quare rectanguliun super dupla LN dc LM tam-X 3 quam
219쪽
quam una recta in altitudine LM . aequatur toti . superficiei pyramidis. simili discursi demonstrabimus tectangulum stiper quadrupla GH bc dupla HO tam- qu am una recta, m altitudine H o aequari superficiei patallelepipedi; ergo superficies pyramidis N, est ad superficiem parallelepipedi, hoc est ex construct . adispersietem pyramidis cubicae, ve sunt dicta reaingula inter se. Exhibuimus e
220쪽
Liber hic omnis in quatuo antes velati membra ἀπι--. Prima de linearum in circulis agit propontione. Secunda angulos sarcus circulares inter . comparat. Tertiacirculorum mutum intersiectiones scontactin exhibet. 2uarta linearum in circulupotentiam contemplatur.
De linearum in circus oportione.
Equales cireuli sese intersecent in Α & Bι centroque Α, interuallo AC, circulus describatur, occurrens aequalibus circulis in C D. Dico C,D,B,puncta esse in directum.
CSIe primo radios AC, minor AB, ducaturque C B, AEOCcurrens' A D B, perimetro in E. iunganturque fAE, AC Quoniam angulus ABC, utrique cir- euIorum aequalium ADB, AC B communis est, erunt x arcus a A A, A C. illorumque subtensae aequales i hoc est tecta A F, aequalis A C, k E punctum in peripheria cireuli ADCi sed idem Β, per constructionem est in perimetro eirculi ADB, igitur E punctum cum D, idem est,transitq; C Brecta,per D,3c C. quare in directum sunt puncta C, D. B.