장음표시 사용
221쪽
a.Radius AC maior sit recta AB iungantur CB, BD: M AB rectae , aequalis applicetur C E, iungantur ii A E, AD.Quoniam igitur CE linea, aequalis ponitur rectae AB. M CA aequalis ipsi AD, sint auar tem&circuli ABC, ABD per Construc.
inter se aequales, erit arcus a C Eae qualisa
eui AB , & arcus CEA , aequalis arcui ABD: unde angulus A B D, aequalis b angulo AIῖ C. sed angulus AEC una cum angulo ς ABC duobus rectis est aequalis. igitur & angulus ABD, cum angulo A BC duobus rectis aequatur. quare C B, BD lineae in directu m sunt. 3. Radius AC. aequalis sit radio AB. ρο- tet punctui, D , incidere in B. igitur, occaQuod L.it demonstrandum.
PROPOSITIO II. currant sibi denuo aequales duo circuli in A & B. circuli quoque
A E B diameter sit AB, ducaturq; recta quaevis A D occurrens
perimetris circulorum aequalium in D, & C, B: circulo A Emin,.
Dico in E bifariam diuidi tectam D C. Demonstratio.
Adant primo puncta E dc D , ad ean dem partem lineΣ AB: dueantur rectae DB , CB, EB : Quoniam angulus C ΛΒ,
duobus arcubus D B, C B circulorum aequalium insistit,aequales erunt subtenset D B,C B, ac proinde anguli EDB, ECB, aquales; sunt aute anguli DE B, C EB, tecti ob AEBsemicirculum, dc EA utrique triangulorum DBE , BEC communis , triangula igitur DE B, C EB, aequalia sunt inter se, M similia;
quare & CD in E bifariam diuisa. Secundo sit A punctum medium inter D, S Et Cum circuli AC B, AD B, sint aequales, & AB linea utraque communis triangulo
DE B, EBC, erunt anguli ADB, AC B, inter se aequales; quare cum anguli quoque a a Erecti sint, erunt triangula DER, E B C inter se aequalia dc similia; ac proinde D Erectet EC aeqyalis. Tertio linea AC contingat circulum AFB in A: punctuin quoque D idem si cum A, quia igitur AC contingit circulum Α F B, erit angulus C A B, aequalis a angulo δι σε i i segmenti DFB , ac proinde angulo ACB cum AFB, ACB segmenta sunt aequalia3 quare aequales quoque sunt anguli B AC, BCA : & quia angulus AEB rectus est in
222쪽
C I R C V L v s. res Diuiso circulo in sex partes aequales, punctis A, B, C, D, E, p. ductis, que B F, C E. ponantur BD, F D, occurrentes CE in G & H. Dico C E lineam in G & H trifariam esse diuisam. Demonstratio.
SEcent se inuicem aequales duo cireuli ABC, DE F- per mutua ce era C E, transeu lites: lineae vero B D, per utriusque centrum actae, 'Parallela ponatur quaevis HG, occurrens peri Petro in F ; & per lanea C F Α. Dico F, F A, aequales esse. .
DVcatur E H; quoniam HG, aequid istat BC erit anis gulos FHE aequalis angulo HEB. & quia areus I B, FE o b circulorum ςqualitatem aequales quo ue iurit, erit angulus FCE aequalis angulo HEB, adeoque angulo FH Ei unde parallelogrammum vel Rhombus eliC H & H F lineae aequalis C E, id elh CF i est autem rectangulo CPA, ςquale φ H FG rectangulum i igiturAU, GE lineae 4quqque inter seqquantur. Quωmit Qς.
Corosia um. HIoc sequitur H F, BE lineas quoque inter se aequari, cum H F linea aequetur ipsi EC i Ze quia H G est Quaecumque a quid istans diametro B C , sequitur paral. ,elas omnes rectae BE. caua circuli ABC, bc convexa FED peripheria interceptas, esse interse aequales, cum singulae aequentur ipsi B E. .
223쪽
PROPOsITIO V. Contingant sese circuli ABC, CDE. exterius in C, linia vero AE,
per utriusque centrum acta, ac diuisa bifariam in F, describatur quiuis circulus centro F, dc per C, punctum contactus, recta ponatur GCH: Dico G B, D H aequales esse lineas.. Demonstratio. ivngintur AB, ED, illi': aequidistans. ponatur FI, erit haec normalis ad GH, csim ABC angulus rectus sit i unde MGH in I diuisa est bifariam, estque A Fad F C, ut BI ad I Ct & permutando AF ad BI, ut PC ad I C. Deinde ut EC ad C F, ita D C est ad CI, & coponendo. permutando. ut FU ad I C, ita EF ad ID, sed ut FC ad IC, sic AF ad B L. . igitur ve AF ad B I, ira EF ad DI, Mpermutando ut AF ad EF, ita BI ad DI; sunt autem lineae AF, FE ex hypothesi aequales inter se et ergo D I .i I, quoque
inter se aequantur; quae si demantur ab aequalibus IH, I G, manent residuae G B. D H, inter se aequales. Quod filii demonstrandum.
P R. O POSITIO VI. ΙNtersecent sese quiuia duo circuli in A & B. assumptisque in ΑCΠperimetro punctis C, D; agantur per illa lineae Α C G, A D H: & B C E,
BD F. Dico iunctas E G, F Η aequales esse.
. Demonaratis. PRimo, arcus ACB ambitu AGB interceptus, vitumque punctorum C 8c D , contineat; quo casu cum anguli CAD, CBD arcui CD inustentes a aequentur, erunt EF, G H arcus b quoque inter se aequales: addito igitur communi arcu FG, erunt FH, EG arcus adeoque&lineae ς aequales. Secundo arcus ACB , extra AFB ambitum;
224쪽
contentus, puncta C & Dobtineat; cum igitur anguli CAD , CBD, arcui CD insistentes sint a quales, erunt quoque an Dii HAG, FBE reliqui aequales i ac proinde arcus FGE, FGH , adeoque iunctae EG, H F qquales. Tertio punctum C intra AGB circuli spatium contineatur; D vero pumstum extra collocatum sit. Ducatur GI aequi. distans CB, iunganturque HI: quoniam GI, CB aequidistant, anguli ACB, AGI, aequales sunt ι unde M angulus . AHI aequalis est angulo ADB: quia AHI , cum ΑGI, hoc est ACB duobus rectis ς qualis est,sicut est angulus ACB cum ADBo Vnde a qui- distantes sunt HI DF , adeoque& arcus HB, FI de consequenter H F, BI aequaleb. quare de iuncta H F id et B I ipsi EG aequatur. Quod erat de
tingens A B, B C latera in A & E: & per E ponatur recta D E occurrens AB, in F. Dico A B, B F lineas, squales esse. Demonstratis.
Ungantur A Et erit igitur angulus A ED in se-- micirculo rectus, uti & reliquus A E F: qui proinde aequalis est duobus angulis EF Α , EAF . est autem angulo EAF aequalis B EA, cum AB. DE sint eontingentes ex eodem puncto eductae, adeoque aequales; reliquus igitur angulus Α FE,
reliquo BEF aequalis est: quare BF rectς BE, hoc est A B, aequalis est. Quod etat demonstran
Circulum ABC, contingat intus circulus D E B, in B. transiens per D centrum circuli A B ductis insuper per D rectis A D F quae circulo D E Boccurrant in Er fiant DE rectis aequales D H, N perpendiculares ponantur HI ad diametrum BC. Dico E B, H I lineas, aequales esse.
225쪽
QVoniam BD, linee ipsi D A sunt aequales; veluti ScH D, rectis E D ex hypothes,erunt residuae His,t siduis EA aequales. quare AEF rectangula , rectangulis BHC aequalia, hoc est quadrata HI, quadratis EB: aequales igitur sunt EB, HI. Quod demou- strandum fuit.
ΡROPOSITIO IX. Esto circulo ABC,, cuius diameter ΑΒ, de
centrum E circumscriptum quadratum G F:& super AE ut diametro , descripto circulo Α Η Ε , per centrum E, lineae ponantur H L Mper I parallelae rectae AF, occurrentes FG, diametro quadrati in L , rectae veris F D in K. Dico HL, Κ L lineas inter se squales esse. Demonstratio.
Oniungantur H, As Sc rectae KL, secent /AB , diametrum in Μ : Quoniam L K lineae , tangenti GB aequi distant, erunt IM, a normales ad diametrum AB, adeoque anguli IME, angulis E ΗΑ aequales; sunt autem MI EM anguli, aequales angulis HEA, ad verticem positis, de EI Iineae, aequales rectae EA; triangula igitur H EA . triangulis IME sunt aequalia: unde HE, lineis EM, & H A. rectis MI aequales.Rursum cum LM, lineae G B x-quidistent, erit ut G B ad BE , ita L M, ad ME. sunt autem GB , BE aequales, ergo ML M, E Μ aequales quoque sunt. Quare cum M K. hoc est EB, lineis EI . dc rectae L M, ipsis ME, id est H E, ex demonstratis sint aequales, erunt HI lineς, aequales rectis L K: quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO X. QVod si per circulorum sese secantium centra, recta ducta sit, quam
altera intei secet, sectionum puncta coniungens. Dico duas illas sese orthogonaliter decussare.
Demonstratιο. Int enim circuli duo ABC, ADB quorum centra E, F, coruungat EF recta; M puncta intersectionum recta AB, occurrens EF lineaem G,oportet ostendere angulos ad Grectos esse. ducta EG normaliter ad AB, secta erit ΑΒ bifariam in Gi sed tecta quae ex G ducitur, ad Fcentrum, diuidens AB bifariam in circulo ADB, eidem quoque AB orthogonaliter insistiti patet
226쪽
CIRCULUS. 1 3. igitur lineas AB , EF sibi inuicem normales esse. Quod fuit demonstranis corollarium.
π Ine patet, EF lineam , quae eirculorum sese intersecantium centra coniungit, A bifitiam quoque diuidere arcus, mutuis periplieriss intercepto
PRΟΡOSITIO XI. Esto A BC triangulum, super cuius basi A C, descriptum sit quodlibet circuli segmentum ι oportet super reliquis trianguli lateribus, segmenta describere, similia illi, quod super base descriptu est segmento.
Construmo Ordemonstratio. anseat primo segmentum super basi positum, per D
singula tri/nguli extrema ι deseribatur autem cir-
ringat in B. Dico factum quod postulatur. Quo l
uiam BC Iinea contingit circulum ADB in Bi erit k l langulo ABC, aequalis angulus segnienti ADB.eo ic dem modo angulus segmenti B EC, aequalis est angu- llo ABC quare segmentorum anguli ΑΕΒ , ABC, I BDC, aequales sunt inter se : de similia proinde se- fgmenta. Secundo B verrex trianguli ABC, cadae infra pe- rimetrum legmenti, super A C exstructi: productis taeteribus AB, BC, donec occurrant peripheriae circuli A EC, in F dc E, describantur circuli per ' AEB, BFC : eritque peractum quod postulatur: ι Iiunctis enim A RCF. exsurgent anguli A EC,A FC I idem arcui insistentes a quales ac proinde ADB, i*AEC segmenta similia erunt: rursum cum angu-
Ius A E C sit aequalis angulo AF C, id est BFC, I Jerunt 3c segmenta AEC, BFo, inter se similia.
quare tria ADB , AEC, BFC, similia sunt. γ Tertio B vertex trianguli Α Β C, extra segmen- , ei ambitum constitutus sit, quod super basi exstructum est ; occurratque perimeter trianguli lateribus in pultillis F, dc G. Tum per B FC, BGA , circula describantur: Dico tactum esIequod petitur. Iungantur A G, FC. Quoniam an- sguli AF C. AG C aequales sunt, erunt de BFC, BGA reliqui aequales. quare dc arcus ADB, B E C quibus insstum, similas sunt. Rursus cum angulus RG C tam cit angulo b segmenti A H C, quam cum A G Η angulo . duobus rectis aeqv tur, dempto communi angulo AGC: erunt a guli AGB , A H C, adeoque dc residuorum segmentorum anguli ADB, A G C, aequales, AeΑGC, BD A, figmenta fimilia: est autem BAC segmentum ostensum simile segmento A D B, tria igitur segmenta AG C, ADB, BEC sunt inter se similia. Quarto B punctum cadens extra segmentum baseos , Constituat B A, trianguli rarus. Contingens circulum in GC in Α: latus vero B C, eundem secet in G. per puncta B, A, C, dc Α, Β, G, circuli describantur, dico illos satisfacere petitioni
227쪽
iungamur A, G. Quoniam ΑΒ contingit cir culum AG C in Α, erit angulo a B AC , ae qualis angulus segmenti AF C. unde B AC, AFC , ideoque reliqua ΑGC , BHC se gmenta sunt similia: ulterius cum angulus A GC tam cum angulo AGB, quam cum angulo segmenti AF C, ias obus rectis sit aequalis, dempto communi angulo A GC, erunt AG B AF C aequales anguli; unde Sc angulus segmenti AE B. aequatur angulo AG C, adeoque A E B, A G C segmenta sunt similia. igitur constac veritas propositionis. corollarium. IInc patet in secundo casu, si super AB C. trianguli lateribus similia desicripta sint circulorum segmenta rectas A B, C B productas cadere in communes intrescctiones E, Fili enim per B εc puncta quibus ΑEC perimetro occurrunt circtili describantur. erunt AEB, BFC segmenta similia segmento ΑΒ C.
PROPOSITIO XII. SVper ΑΒ C trianguli lateribus descripta sint A E B, Α Β C, B D C si
milia circulorum segmenta;ductaeque lineae ex A & C circulum ABC, contingant in A, &C, peripherijs autem occurrant in D. N E.
Dico E, B, D, puncta esse in directum posita.
Demon'atio.QVoniam E A, contingit circulum ABC erit anguis loe EAC, aequalis angulus segmenta ΑΗ C, hoc est segmenti AGB quod illi simile est, sed angulus
A EB, una cum angulo segmenti AGB, duobus rectis 4 est aequalis, igitur AEB , EAC anguli duobus rectis sunt aequales , adeoque EB, AC hneς parallelae: eodem modo ostenduntur AC, BD, et quidistantes esse; quare constat EB, B D, in directum esse constituistas: quod erat demonstrandum.
Uper lateribus trianguli ABC, similia circulorum segmenta descri- pta sint per quorum centra G, H , ex centro F, segmenti super ΛC
228쪽
e I R C v L v s. I sbasi trianguli descripti educantur reme oecurrentes petimetris in D & E. Dico puncta D, B, E, in directum consti tuta esse. . Semonstratis.
pRImo vertex trianguli ABC in perimetro sit
A circuli, qui super basi AC: describitur. iunganturque DB, EB.Quoniam FD, per centra F&G, acta est, secabit bifariam,tum a recta A B,tum araeum A D B. eadem quoque ratione radius FH,diuidet bifariam eum BC rectam, tum B EC arcum. Igiturcu A DB. B EC similia sint tegmenta anguli A B D. . CBE similibus arcubus insistentes, aequales sunt: quare Ac angulus ΑBD aequalis est angulo BCF, quia, EB arcus aequalis est arcui Ec. est autem angulus ABC aequales angulo BEC ex laypothesi . igitur anguli ABD, ΑΒ c. CBE aequaIes sunt tribus angulis trianguli B EC adeoque duobus rectis aequales. quare lineae DB, BE h sunt in directum. Setundo B apex trianguIi, super basi ABC erecti , intra segmenti AKC aream cadat; producanturA B ,T B, cadet illat in c5munesa circulotum interis.ctiones I& Κ: Ruoniam F FH lineae centra colungunt circulorusese intersecantium erunt arcus ADI,
KEC in D de E bifariam a diuisi, unde ABD,DBI anguli, item' ΚΒΗ, CBA sunt aequales, sed Sc anguli ABI, C B K ad verticem oppositi quoque inter se aequantur, igitur & angulus ABD, ipsi KEE MI B D, angulo E B C est aequalis. quare. in directum sunt D, B,E puncta. Quod erat demonstrandum.
PRO Pos ITIO XIRQuod si super AB c trianguli lateribus segmenta circulorum simiis
lia, descripta fuerintlc recta quaedam E o,peo B, verticem acta, . circulorum ΑΕΒ, BDC, perimetris occurrat in D,& E. Dico lineas inter cauas circulorum AEB, B Da peripherias N extumam circuli ABC interceptas, aequales esse.' . Demonstratis. It primo triangulum i stelium ABCi de ED eontingat circulum ABC in Br iunganturqde A E, CD; Quoniam E B est
contingens, erit angulo E B A,aequalis eanis gulus ACB eadem ratione angulus νC A B aequalis est angulo C B D: unde cum
anguli BAC, g CAper hypothesim sinta quales, erunt quoque anguli EBA, CBD inter se aequales. sunt autem dc anguli AEB.
CDB, sob AEB, CD B segmenta similia
aequales, insuper & AB, linea aequalis lineς BCιlo CBD & ΕΗ latus, lateri BD est aequale. Sedundis ED ponatur contingens, triangulo A BC existente scaleno, dico ED in B bifariam secari. sit AB' latus, altero BC maius, dc ED Con ingenti, po-
229쪽
- natur aequidistans CFr iunctaque AF, concur rat cum D B, producta in E. quoniam parallela:
f P sunt CF, DE, erit angulus AF C angulo AED
producta, fit in perimetro circuli AEB: Rursimac quia contingens cst ED,. eidemque aequidistat I CF, erunmgmenca BF, BC aequalia, ac proin- de iunctae FB, BC, quoque inter seqquales.Vn- de similia stant,& aequalia triangula P E B, B D C, Ο o id eoque E B aequalis BD. is ' Tertio, recta ED circulum non cutingat su-t per basi AC erectum , t d intersecet in pun-.
I G, BD lineas aequari. cum enim ED,AC aequi- distent, erunt, AG, BC arcus adeoque&subten- i ta aequalesi unde Manguli G AC, BC A aequa- . I les sunt,uti de anguli illis alternatim positi EGA, D BC: quocirca similia sunt de aequalia triangula
E A G. B D C: 3c recta EG , ipsi BD aequalis. Quarto, quod si recta ED per B ducta oc-
' currens perimetro ABC in G, non ae quidl- - - D stet AC, dueatur AF parallela ED,&ducta . CF, occurrat EB, productet in D. quoniam.
Mez - , --sse ED, AF erunt arcus A G, BR aequales, ade
que εκ subtens' A G, BF. cumque aequales sint
anguli GAF, BF Α, squglibus arcubus insi- stentes,erunt de anguli EGA, DBF quoque ae-' quales i sunt insuper aequales anguli AEG.BDF, ob segmenta similia; igitur triangula similia sunt de aequalia A EG, BD F;vnde&lineae EG, BD, aequales. Quinto cadat B vertex trianguli ABC in-. ira aream circuli supra basim trianguli destrico 'pti: & primo recta E I per apice B transiens. basi trianguli non.occurrat. ducatur CF aequi- distans EH, donec conueniat cum AF pro ducta in E. ostendetur uti prius punctum Ela, perimetro esse circuli AER, de FED HC toangula, adeoque&latera ED, GH inter
aequari.Secundo recta per apice B acta, Ccur. - rat basi trianguli r quo casu densenstrandum
m et ' est linem ED, rectς GH aequalem esse. Quoniam E H per B ducta occurrit bas trianguli A C; vel alte- rum eirculorum contingit in B. quo casu apparet ED,
IJ Ie ex datis ostendantur aequalia. vel utrumque circu. I lorum super lateribus trianguli ABC descriptorum Σ secat in G, & E, circulu autem super basi factu, in D, M HI: quo casu ducatur ex Aper G,linea AGF,iungatur -- que puncta EC, CF, FH, CD; angulus AGB una Cum angulo segmenti AIB. . aequali1 est duobus recti lsed angulo AI B, aequalis est angulus AF C ex hypothesi, de angulo AGB aequalis
230쪽
Iis angulus E G F ipsi AGB ad verticem positus: igitur anguli A FC, E G F, funt duobus rectis aequales; adeoque BD,FC parallelae, M ... ἐν Rrcus H F, CD , eorumque subtensiae aequa-
Ies: unde&anguli DHF, H D C aequalibus ιδ f υμ larcubus insistentes, aequales sunt: est autem l l iangulus AGB , aequalis angulo CEB , λ ι , - Y ol cum A GB, BEC segmenta reliqua sine si- Σ -lsiri miliaὶ ademsedc reliquus FGH, aequalis te- S Iliquo CEDι igitur triangula FHG, CED, I l usunt tuter se aequalia ι ω H G latus aequale la-
teri ED. Sexto, quod si recta GD per apicem acta, pet eommunem intersectionem E transeati die ostendetur aequales esse rectas G E, G. Erasint primo segmonea similia,-1- -
similia, semicirculis sunt maiora,erit E x ς 'I-tra lineam A C. si enim fieri possit, si CE A una eademque linea eum AC. cum ergo ob similitudinem se- πmentorum, anguli ΒΕΑ , BEC snt inter se aequalps , erunt etiam recti: his quodfieri non potest . cum segmenta sint*micirculis mxiora. quare punctum B n- st in linea AG Cum igitur et lus AF C. una cum angulo segmenti ADC, duobus rectis sit aequalis, sithue an .
o i Aenuo super A BC trianguli latetissim segmenta e ico nstructa fu rinti ae per B verticem ponatur E D, ad - γωxo P circvii super balidestriri, ducantur F E, F D.