장음표시 사용
231쪽
alta redi. ontingat recta E. D, circulum ABC in Bi erit igitur BF normalis. ipsi vi vnde cum lineae B E, B D, per praecedentem aequales sint, erunt ediam aequales FE, FD: Iam vero ED, circulum ABC secet in puncto quodam II: ducaturque ex P te F G, perpendicularis ad E D: igitur x H G, GB aequales sunt 3 ostendimus au eiem EH, BDquoque aequales este, igitur FRFD aequales sunt. Quod finde monstrandum.
C Upet ABC, trianguli lateribus, segmenta circulorum similia consti O tuta sint,&ex Crecta educta Cos cui ex B vertice trianguli paralleiala ponatur B occurrens circulo AH B in FiDico E D, B F, aequales esse lineas. Demonstratio.
CIt primo vertex trianguli in perimetro eirculi ABC constitutus, linea vero DC sit extra triangulum ABCr ponatur iunae BD aequid istans AF, occvrtentrectae CD in E ; igitur angulo BDC, aequalis est AEC , sed & BDC angulo aequatur angulus segmenti ΑEC, igitur punctum Ε, communis est intersectio cit- euis ABC de rectae CD r & quia segmenta cireulorum ABC, BDC similia sunt, erit angulus AFB aequalis illi qui segmento AIC continetur ι igitur & punctum F communis est intersectio circuli AH B, ω rectet BF: cum igitur parallelogrammum sit B F E D,manifestum est Eb D, B F lineas inter se aequales esse. Quod
232쪽
aequalis duobusrectis. sed angulo BFA, per constructionem est aequalis angulus segmenti CGB. Initur CDB angulus, una cum angulo segmenti CGB duobus rectis est aequalis. qua re punctum D est in perimetro circuli CGB & AC linea eidem bis occurriti quare cum FD parallelogr/mmum sic: patet FB, ED lineas aequari. Tertio recta C D eadat infra basim trianguli ABC, oecurrens circulo B C D, In D: de circulo A BC in E: ita tamen ve ducta B F parallela ipsi C D cadat supra latus ΑΒ, dico BRDE lineas esse inter se V uales. ducatur enim ex E per A linea, occurrens BF in F iunganturque BD , cum igitur segmenta BDC , AEC similia sint, erit angulus BDC, aequalis angulis AEC, adeoq; B D,F E lineae aequi- distantes.vnde F D parallelogrammum est 5 FB,DE latera aequalia. Rursum angulus E F B vna eum angulo F E D id est angulo segmenti A G B aequalis est duobus rectis: quare punctum F, est in peripheria circuli Α FB .in secunda vero figura,quia angulus BDC id est ABC una cum angulo A E C,duobus rectis est aequalis,erunt BD, AE parallelet: reliqua ut ante. Quarto, sit BF linea eadem cum re cta AB; ducatur ex C recta CE aequi- distans AB: iunctaque FE, demittatur ex B recta BD , quae aequi distet EFroccurrens CE in D r ostendetur ut prius punctum D esse communem intersectionem circuli BDC, & rectarum BD, CE r quare cum FB, CE de BD, FE, sint aequidistantes, patet FB, EDaequales esse. Z , Quin
233쪽
Quinto, quod si rectae DE, BF in fialatus ΑΒ constituantur , & BF quidem secet circulum APB in F: ponatur recta AFE, occurrens CE iii E i de AF aeqdidistans BD , ostenia detur ut prius punctum E. in perimelao AEC circuli consistere, uti fit punctum D in perimetro circuli BDG unde cum paralleIae sint F B. DE, FE, BD, manifestum est, F B, E Desse aequales. Sexto tandem lineae F B,D C, supra basim AC constitutae sint, & CD occurrat circulo ABC in Et agaturque per E. recta A E, occurrens FB in F. deinde ex B ponatur BD parallela ipsi AF: erit angulus A FB in segmento A F B : & punctum D,communis intersectio rectarum CD, BD, de perimetri BDC et cum angulus
B D C aequaIis se angulo segmenti A K C. qui cum angulo Α E C, hoe est A F B,hoc est B D E, duobus rectis est aequalis: patet igitur lineas FB, DE, aequales esse inter se. Quod fuit de
PROPOSITIO XUII. Contingant sese intus in B eirculi duo ABC, EB G: sitq; E centrum
maioris; posita deinde BF contingente, ducantur EF, occurrentes circulo E B G in G ex quibus normales ponantur ad B D diametrum, tectae G I. Dieo EI, E G, E H, E F esse quatuor in continua analogia. Demonstra Io.
Cunt enim ex elementis continuae
proportionales EI, EG, EB, hoc est E Hi sed ut EI, ad EG, ita est E id est E H, ad E F: sunt igitur in continua ratione EI, EG, E H, EF.Quod fuit demonstrandum.
Contingant sese item circuli duo ABC, AEF, in Α; quo
normaliter CG,DH, quae occurrant perimetro AEI, in E & F. collocentur AC, A D: & Α E, A F. Dico AG ad AD, eandem rationem habere , quae inter A E, A
234쪽
C I R C v L V S. Demonstratis.
Quadratum enim AC, ad AD quadratum est ut GAB rectangulum ad rectagulum H A Bper elementa: hoc ei ut GA linea a ad lineam H A i sed ut G A ad Η Α, sie G AI rectangulum ad rectangulum HAI, id est quadratum Α Ε, ad AF quadratum: ergo ut quadratum AC, ad AD quadratum, ita est A E quadratum ad quadratum AF, quare ut AC linea ad AD lineam, ita ΑΕ, ad A F. Quod erat demonstrandum.
Cint continuae proportionales AB, A C, A D, diametri circulorum in sese intus in eodem puncto contingentium,erectaque ex B normaliter BG occurrente perimetris in H dc G, iungantur AG, AH. Dico AB, ΛΗ, Α G, esse in continua analogia.
CVnt enim in continuata ratione AB,ΑHAC. I S. veluti etiam AB , AG . AD per elementa. . t
quate AG media est inter AB, AD; sed ex hy- Ηpothesi ipsa quoq; AC media ponitur inred ΑΗ. N AD.Igitur AC, AG lineae sunt aequalesi adeo- η due in hontinua sunt ratione AB, AH , Αα si Quod suit demonstrandum.
SI diuisa fuerit diameter AB in cotinue proportionales AC, AD, Α E,
A F, Acc. ponanturque normaliter a d diametrum, C G, D H, EI, F K. Dico iunctas A G, Α Η, Λ l, A in continua quoque esse analogia. Demon alio.
CVnt enim quρdrata A; AH, AI, AK Inter se veς tectangula A AC, B A D , BAE, B AF ut ex ele mentis patet; sed rectangula illa sunt ut AC,A D. A E, AF ς igitur de quadrata AG, AH, ΑΙ. ΑΚ suntve lineae AC, Α D, Α E, AF: quae cum ponantui cone n uae proportionales, patet & quadrata A G . AH, AI, 6 Κ, adeoque At lineas, in continua este analo. gia. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO X X I. l , i iIN semicirculo ABC recta collocata sit BD perpendicularis ad dia
235쪽
as CIRCULUS. scribatur circulus B G D, ponanturq; H C, quidem occurrens perimetro circuli BG D in G, recta vero BG , diametro AC in E. Dico AD, DE, E C, tres lineas, eandem rationem continuare. mons tio.
Donatur EF, aequidistans BD, i iunganturque D G, GF. ΑΒ, quoniam EF aequidistat BD quae
qualis IF r unde ut EI ad ΒΗ, id est FI ad ΗD. sie EG ad G B id est I G ad G H, dc permutando ut FI ad I G, ita D H ad HGqua re cum anguli DΗG, FIG Iateribus proportionalibus contenti sine aequales sob H D, FI parallelas similia erimi triangula FIG, ΗD Gr sicut M G IE, BΗG. item F EG, B DGrsunt ergo in directum D,G,F, puncta, ut ex elementis patet.vlterius quia similia sunt triangula BD G, DGE, erit BD ad DE ut B G, ad D Gi id est EG ad GF sed ut AG ad GF se DE est ad EF eum D GE, GE F similia sint triangula, igitur BD est ad DB ut DE ad ER quare iurit proportionales BD, DE, EF de rectangulum BDFE, quadrato DE aequale. sunt autem similia quoque triangula ADB, EF C. igitur ut AD, ad D B, ita FE ad EC. unde rectangulo A DEC. seqirale est rectangulum BD EF, hoc est quadratum D E. sunt igitur continuae proportionales AD, D E, E C: quod fuit demonstrandum.
SEmicirculo ABC inseriptum esto triangulum cuius alterum latus B C, semidiametro sit aequale.' Dico B RA B,& aggregatum ex A C,C B,tres esse in continua ratione. Demonstratio.
cIat A D sesquialtera i iungaturque B Da meus ΑΒ duplus est arcus BC. quia CBlais hexagoni est; igitur 3c angulus B C A. du- Ilus anguli B A C : sed angulus BC Α. quoqueuplus est anguli a BD A cum sit BCD Holeo les per constructionemugitur angulus BDAaeis a qualis est angulo BAD N AB, BD lateram qualia inter la;vade similia sunt triangula BD C.
B D Ai ac ut C D id est BC ad DB, ita Duhoe est AB ad AD, hoe est ad AC, CB. Quod fuit demonstrandum.
INtersecent sese ad rectos, diametri AC, BD, positisque A EC, AF
iungantur ED, FD. Dico D E, ad DF, eandem habere rationem quam aggregatum
duarum A E, E C, ad aggregatum A F, F C.
236쪽
Entro B, interuallo AB describatur cireu- Ulas AC G, cui productae AB, AE, AT Occurrant in G,H, I; Quoniam A G,ΗD, circulorum suorum diametri sunt, anguli A H G, AI G aequales erunt angulis D E B,DFBsed & anguli B AE, EAs aequales sunt angulis BDE, EDTqudd ijsdem inbstant arcubus: similia igiIur sunt triangula G AH, H AI triangulis BDEI. ED F; AH, AI lineς proportionales ipsis ED, FD. quare cum siniςquales AH, A I, rectis AEC, Α FC, patet aggregatum A E, EC, ad aggregatum AF, F C, candςm obtinere rationem, quam tecta D E,ad DF.Quod fuit demonstrandum.
Contingat AB in aequales circulos, conueniens cum recta per utriusque centrum acta in Ai: ex quo ponatur AD occurrens circulis in E, F, G, D. ' Dico AB ad AC eandem continere rationem , quam obtinet AG ad AD, vel Λ E ad A F. . i.
AD puncta contactuum ex centris dueantur diametri I C, Π B, itemque aliae bi-nς diametri H N,IM M ad rectam D A normales, quoniam igituranguli ad BZe C recti sunt, parallelae erunt rectae HB , IC. Ergo ut AB, ad AC,sic HB ad I C, hoc est H Q ad I R. Peinde, quia anguli, IK R, H L Q recti sunt, & IR MHQL anguli squod HM, IR sint parallelς, suntςquales: triangula I RΚ, H Querunt similiai ac proinde HL esta a IK, ut H Q ad I R, hoc est ilicut iam ostendi)vt HB ad 1 C, hoc est quoniam H N,IM diametri, aequantur diametris HB, C vi H N ad I M. Quia igitur est HL ad IK, ut HN ad ΙM, erit permutando ac in uertenaci NH ad pH, ut MI ad ΚΙ, adeoque quadratum N H ad quadratum L H, ut quadratum M I ad quadratum K I. sed b quadratu N HEquatur rectagu h=s Hlo NLPeu quadrato .L H,8c quadratu MI rectangulo Μ ΚΟ cu quadrato Κ I . ergo rectangulu NLP,eum quadrato L H est ad quadratu LII virectangulu MΚΟ cu quadrato Κ Iad quadratu K Iaergo diuidendo rectangulii N L P est ad quadratu L H,
237쪽
virect pDIum M K Ο ad quadratu KL Atqui rectangula N L P,M x o aequantur quadratis GL DI quod GL, DK 4nt ad diametros Np,MG normalea ι ero quadratum G L est ad quadratum L H ut quadratum DK ad quadratum KLe gotecta GL est ad rectam L H, ut recta DK aa rectam x Ii quoniam 3gitur auri Lia guli quoque G L H, D ΚΙ. xxpox e recti ex coni p. aeqqale iunt, erunt tria tala GL H, DK I similia, adeoque anguli HGL, I DK aequales. ergo GH, DI pa. raIlelae sunt. Ergo N AG est ad AD, sie ΑΗ, ad AI, hqc est quia HB, IC G- iam sunt parallelae, ut AB ad A C. Quod erat primum. simili ratione ostenduntur iunctae I F, HE aequidi stare, adeoque esse ut AH ad AI, id est ΑΒ ad AC. MA E ad A F. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXV. Sit A BC semiei reuli diameter A C diuisa uteunque in E : deseriplin
que super Α E,EC semicirculis ADE, EF C, erigatur EB normaliter ad diametrum, ponanturque A B, B C, occurrentes perimetris in D
Dico rationem CF ad DA, triplicatam es illius , quam habet CB, ad AB.
Demon Patio. ungantur DREF.Quoniam E B norma. AIis est ad A CZἱametru semicirculi ABC, erunt AC , CB. CB, item AC, AB, AEContinue proportionales: sed ut BC ad C Ese EC ad CF iob EF C, BEC triangula similia, & ut AB ad AE sie AE ad iob ABE, A DE triangula similia ὶ igitur
, Ur errangula limalia in istisve
- ἁ . ν AD 1urit continuae proportionales r istat eum utrique seriei prima sit communi AC, tria adquartam , in triplicata ratione C B ad AB, secundae ad
QEceiu sese tres circuli inpunistis A, B,&ex Aquaevis tectae RE, A P, in eductae perimetris occurrant in E, F, G, He
si. yi δ ς, restiis H F, F D, se proportionales.
238쪽
. Demonstratis. AGatur recta BK per G, occurrens AD in I. reperimetris in I ω Κ,cum rectangula ΑLΗ, GLB, aequalia sint:vti & rectangula IL B, A L F, de ΚL. B, ALD; erunt rationes,laterum recipro cat: hoc est,erit A L ad LB, ut GL ad HL , de AL ad LB, ut II, ad L F, vel KL ad L Di quare etiam ut G L ad L Π,ς ita I G ad H F, de L K ad LD, sive IK ad FD. rursum cum sit ut AG ad G B, ita I Gad EG vel ΚGad GC ob AGE, IGB, item KGB, AG C rectMagulorum aequalitatem erit I G ad GE, vi K I ad EC. quare ex aequo EC ad FD ut G E ad H F. Quod fuit de
PROPOSITIO XEPuncto A extra circulum posito , ducta ad centrum eiusdem li
nea AD diuisa sit in tres continuo proportionales. quarum media 'lit semidiameter BD, tertia CD et ereciaque ex C perpendiculari CF, iungantur A F. ιDico A F contingontem esse & contra.
DemonstratIst. Donatur D F. Quoniam D C, D B id A es DF, DA, circum angulum Cominmunem A D F proportionaIes sunt, erunt FCD, AF D triangula similiarvnde angulus .ΑFD aequalis est angulo FCD per hypoclie sim rector quare ΛΑF circulu cdtingit. Quod erat primu. Iam vero sit AF contingens MFC normaliter ad AD diametrum posita. Dico A D, B D. C D in continuaesie analogialcum enim AF se contingens Ze FD diameter,etie angulus A porectus adeoque aequalis angulo FC D, est autem angulus ADF communis triangulis AF D, F C D, igitur triangula illa similia sunt, te Α D ad D F,id est D B, ut D Fad DC. Quod erat demonstrandum. EB hae linoni, Inim propos .aliter demonstrata.
trum ponatur ad illam orthogonalis B E, quam in G secet quaedam AF, occurrens circulo in H, F: Dico quadratum AB, aequari rectangulo F G H, una cum quadrato G A. A a
239쪽
Demonseratio. Est enim quadratu Α B aequa
te quadratis BE , EA, hoc est rectangulo B GI,Vna in qua dratis GE, EA, ut ex elemotis patet: est autem quadratum. GA, aequale duobus GE, E Mergo AB quadratum aequaIur BGI hoc est GFH rectangulo una cum quadrato GA: quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XXIX. ΙIsdem positis si iungantur HE,FEι
Dico lineas tres H E, B E, F E, in continua esse analogia: Demonstratio.
Si enim HE intelligatur produci in Κ, erit E K aequalis ipsi EF, ut ex elemen iis educitur, unde& Η EF rectangulum, aequale est rectangulo B EI,id est quadrato BE. Quod erat demonstrandum a
Dico AF ad A H, eandem habere rationem quam F G ad G H, sisue AF in G & H diuisam, extrema & media ratione proportionali. Demonstratio.
D Ectangulum FGΗ, una cum quadrato G A, aequatur B A a quadrato , sed BA, quadrato aequale est brectangulum FA H, igitur FGH rectangulum una cum GA quadrato aequatur FAH rectangulo: quadratum autem A G, aequat est rectangulis AGH, G Α Η: rectangula igitur FGH, A GH, G AH, aequansurFΑΗ rectangulo e Rectangulo autem FAH, aequalia quoque sunt .l rectangula FGHA, G AH. ablato igitur communi rectanguIo G AH, manet FGHR rectangulum, rectangulis AGH, FGH, id est rectangulo FAGH aequale. vade V F Α, ad ΗΑ, sic FG ad GH. Quod fuit demonstrandum. Suilon. VI aec propositio proponitur a Pano libroseptimo propositumo is . si quiassi est videor anticasa qua recta A D, per centrum ducta est circub B D C. adrea, or videatur recta A F excludere, pimis octendere uniuersatim promis es: Euod etsem practa θεει- πι- lib. 3. Vostraone 37 .sed duaeso a prasinu duscui s. '
240쪽
C I R C V L v S. PROPOSITIO XXXI. EX A ducta sit per centrum cireuli B DF recta AD, sitque AD ad
A Bratio eadem,cum ratione DC,ad C B:erecta deinde normali C F, iungatur AF. Dico AF contingere circulum.
CI enim non contingat, ponatur per P . eontingens FG occurrens AD in G; erit ergo per praecedentem D G ad
G B. ut DC ad CBi sed ex hypothesi ut est DC ad CB . ita est D Α ad AB, Igitur ve DG ad G B sic D A ad AB, - - n& diuidendo ut DB ad B G, sic DB ad x Isset B At quod fieri non potest: cum puncta
A & G supponantur diuersa r quare FG non est tangens , sed ΑF. Quod
PROPOsITIO XXXII. Sit A B utcunque diuisa in C, dc ex A ducta quaevis A E, exhi
bens angulum E A B recto minorem: Oporteat in linea A E, puncta assignare E & F, a quibus ad C & B rectat eductae, angulos AFB, AEB bifariam secent. Constructis c demonstratio. DRodocta All in D , fiat ut 3 AC ad CB , ita AD ad
DB : de super CD diametro descriptυs sit circulus CF D:
cuiusceretrum 1 I: secabit autem ille. vel continget rectam
AD vel neutrum praestabiti Secet igiturprimo A E lineam . in F & E punctis , Dico illa esse, quς desiderantur e erecta enim BG. perpendiculariter ad diametrum CD, iunganturAG, FC, FR, FH: CE, BE. ME. quoniam igitur ut AC ad CB, ita est AD ad DB, & normalis sit BG. diametro CD: erit AG recta contingens circulum unde de AH, CH BH, continuae simi proportionales. est autem FH, vel Em bH.-- mediae CH, aequalis; ergo e anguli A F B, A E B, per tectas CRCE. diuisi sunt farianis Quod si eirculum C GD contingat AG,in G: iungantur puncta GB GC GH: quoniam Α Η, C H, B H. sunt in continuata ratione I dc GH linea mediae C Hiae qualis est, d erit A G R angulus bifariam diuisus per rectam C G: Manifestam autem est v AEF recta circulo non occurrit, cessare materiam propositam.