장음표시 사용
241쪽
II serotarium. IN lii em recidit,eodem , modo soluitur problema quo ijsde postris petuntur in RE exhiberi puncta F ω E, ad quet ductis ex C & B lineis: fiant AC, CR proportionales rectς AF, FR, AE,EB : inuenta enim per praecedentem puncta F &Ea quibus ad C & B ductae lineae, angulos AFB, AEB bifariam secant, problema soluunt: nam angulis AFB, AEB, diuisis bifariam perrectas FC, EC, crunt AP ad FB ,&AE ad EB ut AC ad CB.
PROPOSITIO XXXIII. SIt BFE cireuli diameter B E producta utcunque in Α: ex qua secans ponatur AFr&όx F, recta C F, ut A F sit ad FC, sieut A B ad B C. Dico AB ad BC eandem rationem obtinere quam Α E ad E C. Demonstrinis.
Ungantur DF, BF: eum igitur se Ap ad FCut AB ad BC, erunt anguli AFB, BF C aequales; Rursum cum D F. aequalis sit D B,otune. AD , BD, C D in continua analo agi a. unde A B est ad B C, ut b ἡ Λ Dad BD. &cum D E recta sit aequa- Iis DB erit ut d AB ad B C ita A gad E C. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XXXIV. 'It AB ad BC, ut A E ad EC sitque BE diuisa bifariam in D.
Dico AD, BD, CD fore in continua analogia. DemonstratIo.. Eseribatur circulus centrox D , interuallo B D, & erigatur CF normaIiter ad Ariocurrens circulo in F. ducanturque DF, AF: cum igitur sie
erit linea et AF contingens circulum, unde AD, BD , CDr lineae in continua sunt anal L 1 1 , . . I gi . Quod erat demonstradum Imores hane in libro de Meu propositune quarta vel quinta adter demonstra*am.
CIt ΑΒ recta, per centrum circuli CF Ddu sta, fiat autem ut A C ad , di ix CB-B Nducta AF secante circulum in Friungantur Dico AC, CB, & AF, FB, proportionales esse lineas.
242쪽
EX E eentro ponatur EF. Quois niam ponitur ut AD ad AC, sic DB ad CB, erunt A E, CE, B Elinea a in continua ratione. Igi tur cum FE sit aequalis inediae C E, est A C t, ad B C, ut A F ad F B: r hae ron ema trigesima terria -
pROPOSITIO XXXVI. CIt A D linea utcunque diuisa in C: descriptosi, super CD circulo,
O ponatur ex A linea A E occurrens circulo in F: ducatur autem FB, ut AF, FB proportionales sint, lineis A C, C B, Ze ex B erecta normalis
occurrat circulo in G. Dico A G lineam circulum contingere.
Demonstratio. Cum sit AF ad FB, ut AC
ad CB, erit angulus AFB diuisias e bifariam quia veia lineas H , rectar CH aequalis est, erunt Α H. 4 C Η, B H in continua ratione: unde dc GA circulum φ contingit. Quod fuit demonstrandum.
Circuli ABC diameter AC, utrimque producta suin D & E puncta, aequaliter a centro H distantia, posita deinde DB contingente in B, demissaque normalitet B G, ad C A diametrum, sat CF, aequalis ΑGi ductisque rectis DI, IE: iungantur I G, I F. Dico DI, Ι Ε, ipsis I G, I F proportionales esse.
D-onstratis. ungatur H I. quoniam DB contingit circulum de BG normalis po
243쪽
CIrculi ABC diametrum AB, secet in Frecta quae uis DE, sumptO-que AC arcu aequali AD , ponatur ex C per E linea C G conu
niens cum diametro in G. Dico AG ad G B eandem habere rationem quam AF ad FB. Demonstratio.
Vngantur ΑΕ, ΕΒ, 8c per B ponatur IK aequidi- flans ipsi A ΙΞ: quoniam Ac , A I arcus sunt aequales, erunt & anguli AEC', AE D quoque aequalest quia vero angulus ΑΕΒ in semicirculo rectus est, adeoque duobus AEC, GEB angulis aequalis, dem piis AEC, AED aequalibus, aequales remanent anguli D Κ B, G EI. sunt autem de anguli E B G , E B Irecti, cum IK aequidistet AE , a qualia igitur lant
latera I B, ΚΒt quare vi A E ad I B est B id est A F. ad F B, sic A E est ad K B, id est A G ad G B.Quod
CIrculum ABC intersecet alter, centrum habens in Perimetro ABC: iunctisque intersectionum punctis BC, ponantur ex Acentro circuli intersecantis, quaeuis Α Ε, occurrentes perimetris in D NE, rectis. vero B C in F.
Di eo lineas AF, Α D, A E in continua esse analogia. Demonstratis.
Ponatur ex A per centrum circuli ΑΒ E diameter AG occurrens Pe timetris in G & H rectae vero BC in Liunganturque GE,AC: cum igitur Α G transeat per centra circuloru 2se intersecantium, erit B C an I a normaliter diuitit unde angulus ΑΙF aequalis an gulo. ΑEG in lemicirculo posito : est . autem GAE angulus communis virique triangulorum AI F, A GE . similia sunt igitur triangula A IF , AGE; quare ut ΑΙ, AF,uc ΑΕ ad G Αr a.deoque F A E rectangulum qquale, rectangulo I A Gud est quadrato A C, id est AD quadrato: proportionales istitur sunt Α F, AD, A E. Quod erat demonstrandum.
244쪽
PROPOSITIO XL. SInt AB, AC contingentes circulu. B DC. ductaeque BC, ponatur
aequid istans Α Ε, & ex Α diameter A G, occurrens perimetro in D: per quod ex B, agatur B H; dein per quodlibet punctum in perimetro assumptum F ducantur CFI, BFE. Dico rectangulum i AE quadrato AH aequale esse. Demonstrati .
PROPOSITIO. XLI. DAto segmento circuli ABC &recta CD, utcunque ad A C posi
tas oporteat rectam ducere A D, quam diuidat arcus ABC in B, secundum datam rationem F ad G. constructis in demonstra MDIuidatur AC basis segmenti in Ε, secun
dum datam rationem F ad Gierecta deinde EB, quae aequidistet C D , occurrente perimetro in B, ponatur Α Β D: Dico factum quod petatur. Patet ex elementis. His notatu dienum hy, q-0κnctum C, assum, post non stam in termino recta A Cin duri 1aι , vel extra circulum, inquauis parte AC rodina.
245쪽
DAto circulo ABC, linea A qua non sit maior diametro BD, de ratione G ad H, oporteat alteram F E, circulo inscribere, quae aequidistet ΑC, ut quam G, ad H, habet rationem, habeat quoque FEad AC. Rructis in demonstratio.. Donatur B D diameter normaliter ad - ν AC, fiatqtie vi H ad G, ita AC ad
Z Ixi quae in circulo ABC applicata, di A uidatur bifariam in puncto Li iunctaqueis I M L, fiat rectat Μ L aequalis M P, pona-λ ri tuiqι FP E,quae aequidistet A C; patet f . ctum quod quaeritur.nam rectae FE, IK eum sint atque a centro remotae, Inter se
H squales senti RZct m AB quae non sit dia
meter, altera Co intersecet ad angulos rectos in E, ut DE ad E C datam habeat rationem F,
Constructionem o demonstrationem Maiis inuenies in libro nostro de est si et quaσMe non ponendas iudico e. qa.d ab estis Foesu dependeos.
APuncto extra circulum dato, lineam
circulo immittere quae datae litaequalisιmodo ea diametro circuli non sit maior. constructio G demonstratist. APplicetur dat et rectae A in circulo BCDae
qualis BD : dein ex F centro describatur alter circellus, Contingens BD, in Hi Deinde tum ex E puncto dato ponatur E G. contingens' eundem circellum in G; occurrens vero circulo ABDC in K N C. Dico; Κ, fore quaesiuam, cum enim aequalitet D B, c Κ, distent a centroF
246쪽
Ιmm sne re a puncto iretra aream citcissi posito. oportet autem M tIΑ hoc calii seu minorem esse recta illa, quae per E posita ad istiametrum, per E quoque transeuntem normalis lit. Dιmonstrast .
quae tebam per B ductam fedat orthog a- ει---μ -- - Pliter, maiorem non esse diametro, quae li- V heam D B datae A se tha m reri uigona iter diuideret. vrae pireultis mora PHoesdriptus,vel transitper Eses msta cassit. viroque casti agatur per E contingens circulum radio FH deicriptum, patet illam aequari rectae U B, id est datae Α: quare fecimus quod postulabatur.
Amto extra circulum puncto lineam educere quae in data ratione a
perimetro dindaturi oportet a stem nationem datam, maiorem non esse illa qui reperitat inter partes hneae qme a dato puncto per centrum dueitutam η βιε er aismonstratio.
datam punetiam A re eloeulus BCD Odata chaolue ratio sit B ad F, quae mino
IGH rectangulum quadrato Κ, ponatur autem & L A ad Ac vi I G ad K, erunο GI, Κ, GH lineae proportionales eiusdem T Grationis eum AD, AC, AM , Udorim L aema G I ad exeessium FI L id est per con- fructionem ut B ad F. fio A L quarta ad excessum LM. eduximus igitur dato pumam aec. Quod araa faciendum.
247쪽
Ptersecent sese inuicem duo circuli A B D, B E C in B. Oporteat per B, pectam D B E ponere, quae BD rectae, atq-lem BE constituat.
Conarinis er demonstratιo. Ponantur AB, CB oontingentes in B, circulos
C : dein per A, B, C, circulus describatur ΑΒ C, quem in B contingat DE: dico factum quod postulatur. cistensum est enim legmenta, ADB,B EQ* ABC esse inter a se similia adeoquo D Etangentem in B diuisam h bifariam posuimus igi, turper B rectam, dec. Quod erat faciendum.
teat ex B rectam educere BEF, ut EF perimetris intercepta sit datae D, ςqualis. 'Conurullio in demonstratio.' olstituat L BC contingens circulum ΑΗΒ iaz B. oportet datam lineam D, hac contingente ma. - iorem non esse : iunctis AC fiat ut CB, ad AB, irat ': ix D, ad G. Dein ipsi G, fiat aequalis AF, & iumsta BFG π e Pertingat ia Eet dico factum esse quod petitur. Ducatui . t enim AE. quoniam angulus AFB tam cum angulose. Vi gmenti AH B, id est A BC angulo sob C B tangen temὶ quam cum AFE, duobus rectis est aequalis, dempto communi AFB remanebunt squal es anguli AFE.
A B C, sunt autem & anguli AC B, AEB eidem insi. l .R- l stentes arcui quales: similia igitur sunt triangula AER, O l ACB. unde AF est ad FE ve AB ad B C , id est per constructionem ut G ad Drdc permutando ut ΑΗ ad G, sic EF ad D : quare cum Α F , re G aequales
ponantur, erum Sc EF, .m lineae aequales. Perfecimus. igitur quod postulabatur.
PROPOSITIO XLIX. - TN dato segmeto circuli ABC,ex A, dc C duas
' . V l Ilineas inclinare, sese inperimetrodecussantes:
248쪽
De Angulorum es arcuum circularium comparretione. PROPOSITIO L. Circulum ABC, cuius diameter Α B, contingat in A recta Α Ε, in
qua assumpto quovis puncto E, natur E C contingens quidem circulum in C, occurrens autem illametro AB protractae in D, iunganturque C A. Dico angulum C EA duplum esse anguli C AD. Demonstratio.
Er eentrum P diameter ponatur CG r Quo- . uiam ED circulum contingit in C, & CG diameterest, erita angulus GCD rectus, adeoque angulo E AD aequalis. est autem angulus EDA communis triangulis CF D, EDA; igitur CFD angulo , angulus AED aequalis est sed angulus , CF D duplus est anguli CAD, igitur & anguius ABD, eiusdem CAD duplus est. uod arae demonstraudum.
PROPOSITIO L I. Assumptis in perimetro ABC, tribus arcubus aequalibus, ΑΒ, B C, CD, ducantur per duo quaedam puncta F, E, rectae AF, BF, CF, α B E,C E, DE, Occurrantque in G, H, I. . Dico angulos I, H, G, inter se aequales esse. Minus tm.
Ponaarer ex puncto R , rectae ER , EL, - ΕΜ, quae aequi disten x lineis AR BF, CRount laque anguli ΚΕΒ, LEC, NED, ae- sues angulis I, in Gi quia vero arcus AB.B C, CD ponuntur aequales, Ac A Κ, BL, C Ma ux aequantur arcui EF. adeoque de inter se, reliqui quoque areus K B, LC, M D, & angulix A R, AEC, Μ BD illis insistentes aequales sunt: quare S anguli I,H, G, sunt inter se aequales. Quod erat demonstrandum.
249쪽
Contingant inuicem interius circuli duo ABC, DEC, in puncto Clex quo eductis CA, CB, sumacitur puncta G, F, in singulorum arcubus ex quibus rectae ponantur G G D, F B, F A. Dico si lineae illae conueniant, angulos GIF, FH G aequales esse. DemonstratIs. Sint primo G, & F, puncta vel septa vel infra angulum ACB posita: Quoniam
anguli CBF, C AF, CF arcui insistentes aequales a sum, ut ob eandem causam. anguli CE G, CDG. id est IEB, Η DA ad verticem positi, erunt anguli IER, EBI simul sumpti, aequales angulis FIDA, DAH, quare & tertius EI B, tertio D HA aequalis erit. ' .
tione assertione d emostra - . mus: cii anguli h ACB, AFB, duobus rectis aequales sitit. vii & anguli ECD, E GD: dempto igitur communi angulo ECD ' manet AFB, i angulo EG D , ac proinde reliquis 3ΑFI, reliquo DGI aequalis . simi autem ad se licem anguli FΚΗ . GK IV aequalesὸ igitur reliqui FI G, FH G aequales quoque suriri Cadat iam alterutrum punctorem , puta F , intra , & aliud extra angulum ACBr dico rumum angulos H, I esse inter se aequales, cum enim angulus FA Cc IM. tam cum angulo FAC,quam eum EBF duobus rectis sit eaequalis, dempto communi
250쪽
muni FAC, erit angulus EBI aequalis angulo FAC id est D AH, sunt autem de anguli CE G, CDG eidem insisten
tes arcui aequales, igitur reliquus I, aequatur reliquo angulo A. Quod erat demonstrandum . . 'I
PROPOSITIO LIII. . Uistat sint normales a terminis trianguli ABC, ad opposita
Dico illas sese in eodem puncto decusiare. Demonstratio.
Ireum seribatur ABC triangulo circulus, MN per A C puricta alter circulus describatur ADC, aequalis circulo ABC. productaque BI, occurrat perimetris in D, dc R, dc per D quidem ex A Ae C, agantur CDF, A DE, iunganturq;A F, C E, C K. erunt itaque anguli A F C, A E Carcui AC insistentes aequalesi quia vero angulus ΕΑC , utrique circulorum aequalium communis est, arcus quoque DC,C E aequales sunt, uti illorusubtenis; ob eandem rationem quoque linea: AF, AD sunt aequales. Rursum cum angulo DKC,id est Κ DC ob circulos aequalesὶ duo anguli interni DCB, DBQ aequales sint, erunt duo arcus P B, KC id est DC aequales duobus areubus B E,EC; ablatis itaque aequalibus arcubus KC, C E, remanent quoque aequales arcus F B. B E; quare anguli r C B. R C E quoque sunt aequales. sicut de anguli F AB, B A D. undeciIm' AF, AD line , adeo preM anguli AF D, ADF aequales sint, erunt de reliqui FH A, D H A quoque inter se aequales, adeoqtie dc recti.eodem modo ostenditur angulos ad G positos, esse reiactos. quare patet normales BI, C H, A G, sese in eodem puncto decuilate. od fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LIV. IN datum circulum ABC , a dato extra eum puncto D, ductae sint
DCE, D GF auferentes arcus F E, GC. Oportet ex alio puncto e tra circulum ais gnato, H, duas rectas in citculum immittere , quae a cus duos intercipiant, duobus FE, GC arcubus aequales.