장음표시 사용
251쪽
C I R C V L v a. senstructis es demonstratio.
mucantur ex H lineae H I, HA, . vi K I, BA, circu- interceptae, a qR Ies sint rectis C E, GR M tactu in erit quod fuit imperatum.eum enim AB, FG sint aequales lineae , erunt arcus GEF, AIB a quales , uti&arcusCNE, Κ MI, ob IK, CE aequales lineas. ablatis igitur aequalibus arcubus K MI, CNE. remanebunt arciis ΚΒ, ΙΑ, arcubus GC, PE aequales. demisimus igitur ex II puncto lineas. &c. Quod praestandum fuit.
PROPOSITIO L V. A Dato extra circulum puncto, demissa sit per
eundem recta A B; oporteat alteram ducere
AE, quae arcus auferat C F, B E, qui simul sumpti, angulum contineaut aequalem dato D. A Construmo or demonstratis.
L Tlat angulo D, aequalis BC G: Ac ex A ponatur. li AE. quae rectam EE, aequalem lineae CG.bexhlia. H l IV - beat; eritque peractum quod requiritur: cum enimio , , CG, FE lineae aequentur . erit arcus F Bri aequalis/ l I arcui CBGi unde ablato communi CB, remaneti l NI axeus BG, aequalis duobus BE, CP. quare angulos i D, aequalis est angulus . qui duobus arcubus C R
B E simul sumptis cominetur perfecimus igitur quod peteba M.
252쪽
D--ratio. m AB sie eontili aequalia eruntquadrato A B, et se,igiturlineae D AM BD risipi analogia; sunt autem DA se aequales Ze ΑΒ media com-sr etiam primarum & Wrtia tum
Eifferentiae DE, Ri Aemonstrandum
Super ΑΒ radio quadrantis circularis ABC, eixeulus deseriptas si Α E B; ducti pe rectis AED, occurrentibus circulo in E pet L E
ponantur D F notmales ad radium A B. Oico rectis AK aequales esse A E. Demonstrauis.
atera aequalibus angatis subtensa
253쪽
Quod si rectae DF demittantur norma. inet ad hi lim Ac, sic ostendetur propositum cum DP tat τquidistan&s ΑΒ, igitur anguli B AD, A DF, aequales sunt:pro indeqi cu M anguli A E B AF D, recti sint vi milia sani de aequalia triangula ΑΒ Ε, Α D F. Ac latera aequalibus angulis subtensa, lod fuit demonstrandum.
acha diametro D CE,ponatur CB con ingens minorem a puncto quo a diametro intersecatur. Dico circulum radio B C descriptum aequalem esse annulo duabus circumferentiis intercepto.
duo quadrata BC, CR, ita circulus
manebit annulus perimetris aequit ista natium circusorum iniseceptus i circula
B M G aequalis r quod fuit demonstran.
PROPOSITIO LIX. SVper trianguli AB C, lateribus se enta circulorum s milia eonsti
tuantur, centr-- cireuli, qui superbas edistiustus est, circulus describatur qui alterutrum circulorum A E B, B F C confingat.
oleo quod be tertium quoque continget D mo ratio. T V nigrex D, Ur ista
254쪽
& cum eadem DF centra DG utriusqtie coniungat, patet circulum EF, a in F - , , contingere circulum B FC. Quod erat demonstrandum.
Iisdem politis: si circulus centro D descriptus alterutrum circulorum A E B, B F C secuerit: Dico quod & alterum secabiti & secures ab utroque auferet similes.
a Ccurrat circulus centro Ddescriptus, circulo AEB in M & Ne cadet igitur infra E MED lineam secabit in I, quia M. xo rectae DE, D F b aequales limi, patet circulum radio DI descriptum, quoque infra F cadere, adeoque & circulum B FC secare in L& O.Quod erat primum. Hoc posito dico secures MEN, LFO ablatas inter se esse similes. ducta M B occurrat circulo L F Oin Ι- ostensum est propos trone I s. huius, iunctam DL, aequari rectae D M, quare cum punctum M in perimetro est circuli NL O, erit de punctum Lin
eadem perimetro. eadem ratione osteniletur, Iunctam OB communi occurrere in
tersectioni circulotum M EB , MLO in N, unde cum N B M angulo angulus L BO ad verticem insistens, qualis sit;similes erunt arcus MEN , LFo. Quod
PROPOSITIO L X I. SVoer ABC trianguli lateribus semicirculi describantur Α LB, A RQ
BFC quos contingat circulus centro D, descriptus, in F & L. Dico F G diametrum circuli utrumque contingcntis, aequalem esse diametris circulorum A L B, BF C.
Demonstratio. Er centra D & H ponatur recta - - FG, iungamurque centra D, Eὴ quoniam segmenta similia super trianguli Iateribus descripta, semicirculi sunt, Ac A B B C a diametris D HI Ein circulo ABC bifariam diuisae, erunt anguli DHB, DEB recti, unde AB, D H aequi dis ant& HE parallelogramum, adeoq; BE, H D, item B H,ED lineae aequales sunt. quare cum FG dupla sit DF id est dupla duarum FH, H D. id est ΒΗ. BE. erit FG aequalis duabus diametris AB, B C. Quod erat demonstrandum
255쪽
I Terum similia segmenta constructa sint super singulis lateribus trianguli ABC centroque D circuli super bali descripti, circulus describa- cur KF EI qui circulum AGII contingad interius in E. Dico quod di alterum B LC continget in F. -
. cliit Demonstratio. ' DEr cetra circulorum AGB, BL C; recta ponantur ex D, D G, DL:& DG quidem producta occurre perimetro circuli AGB in puncto contactus E 1 DL vero in aliquo puncto F circulii BL C, iungantur que BF, FE, cum igitur DL, Dotranseant per eantra cir lorum AGB, BL C, erunt LB, G B ductae . in directum i quia vero LMF diameter est circuli BL C, crit angulus L BF adeoque de G BF rectus, ac
proinde BP pertinget in E. Rursum eum L D, DG lineae sint aequales, erunt Manguli quoque BL D, BGD aequales: sunt autem anguli ad B ostensi recti', reliquus igitur BED aequaIis reliquo est L FB, id est EF D r unde M aequales linea sivit DE, DF Si punctum F perimetro circuli K PE commune: & cum M D, li-Frs, Mi . neat cr F ducta, centra doniungat D & Μ, patet et rculum ΚFE b in F continsere circuluin DLC. Quod erat demonstrandum.
Super trianguli lat ribus constructa sint segmenta similia A E B,
AD, FC, BL C. & ab intersectionum punctis D, F, ad puncta A, C ducti; lintis DA, FG, aptetur in circulo KH aequalis FG, dc parallela rectae DA: deseribatur deinde circulus IKGH aequalis circulo B L C O, transiens per puncta Κ, H. Dico hunc tangere circulum ADI.
onstratio. Rium circulorum A E R ,- - ADFC BL C centra sine S, N, T. per centra S, N dueatur recta QSINPG, occurrens circulo A F, R iu Ι, & eirculo K G H in G : per centra vero T, N ponatur recta LRTN ODccurrens circulo BL C in o. Quoniam . iungit centrahi, Si normatis ς est ad AD. a C
rallelam. centrum igitur circuli
ΚGH est quoque in linea RG. considererer iam punctum I quatenus est intersectio circuli AEB ac recta: QG. uoniam NR, est aequaIis N Ρ, & RL daequalis PG, erit N L aequalis N G. Est vero per demonstrata 63 huius, etiam ON aequalis I N. erso OL equalis est I G, quae nempe posita est inter punctum G, dc punctu I, Z in
256쪽
in quo cireulus ΑΕΒ secabat rectam Q G. Quare cum circuli ΚGH diameter aequalis sit recta: O L, diametro circuli BL CO, aequalis quoque erit rectae I G. circulus igitur KGH transit per I. Atqui etiam supra ostendimus centrum eius aia se in recta QM transeunte per centrum circuli AEB; ergo circulus ΚGH tangit circulum AE BC. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO L X I U. CVper A BC trianguli lateribus semicirculi describantur A BL,BIR
OΑGC, quorum centra sint D, E,F, centris autem F vel B, circuli construantur H G, KN, qui circulum AG C contingant in G de K. Dico eosdem, quoque reliquos contingere in I, de L. Demonstratio.
DVeantur FE, DEG, DF. quoniam diametri AB, CB bisectae sunt in renitis E, M F , erit EF parallela AC, ergo ut ΑΒ ad EB sic AC ad EF.quare cum A B dupla sit EB , erit ΑC dupla quoque E F. Ergo AD dimidia ipsius AC, hoc est GD, aequalis erit EF.umiliter quoniam tres diametri A C, A B, B Chi sectae sitnt in centris D, E, F pateca E D, B C, dc D F, Α B esse parallelasιparallel'grammum igitur est EBFD. ergo FB hoc est FI aequalis est D E. Quare cum tota FE toti GD, dc pars FI, parti DE aequalis sie, residuum qsoque IE aequale erit residuo GE, hoe est circuli diametro GE, siue E FI. qua re punctum I, eommune est duabus peti pherijs GH N BIC siue puncta H dc I omnino eadem
sum inter se. Vnde cum EF per centra circulorum ducta per I punctum transeat, manifestum est in eo contactum fieri. eodem pacto de altero circulo centro F de scripto demonstratio procedet.
N triangulo ABC, sint in continua analogia B D, B A, B C: & per
puncta A, D, C describatur circulus. Dico eum rectam AB ςontingere.
moniam ADC, punista in perime- Biro sunt circuli, igitur si non contingat 'recta AB, circulum, ciceurrat eidem in altero puncto D igitur rectangulu AB E, aequaI: erit rectangulo DBC, hoc est per hypothesim quadrato B A, quod , est absiurdum: quare non occurret ΒΑ, Circulo nisi in A.
pta suerint, menta circulorum similia deseri- Cc x Dico Diuiti eo by Corale
257쪽
CIRCULUS. Dico AB, CB latera trianguli producta contingere in B segmenta A DB, B E C. Demonseratio.
A Ngillus ABC tam cum angulo ABF quama angulo segmenti residui in eodem cireulo duobus rectis aequalis est; igitur angulus residui segmeti, angulo F B A aequalis e str quia vero A D B, ABC segmenta sunt similia adeoque de illorum anguli aequales, erit angulus P B A simul cum an
gulo segmenti ADB duobus rectis aequalis ictu a. re angulus ABF, aequatur angulo residui areus circuli.ΑDB t unde FC eundem Contingit in B, ut ex elementis patet. eodem modo ostenditur ΑΒ contingere in B circulum BEC. Quod erat demonstrandum. EB hae conuersa undecima huius.
DAtis duobus circulis ABC, DEF , oporteat exhibere punctum G, per quod lineae ductae dividant circolos in similes partes.
ΘΗ vitio in demonstratis. ACta per utriusque e trax L tecti ΑΕ, diuidatur in G, veratio AG ad GE, sit eadem cum ratione A C ad D E. Dico punctum G esse quod
quaerituri ducatur enim quaevis
B G F occurrens perimetris in I M H: quoniam AG ad Gricandem habet rationem quam o C ad DR ex constructione,
missis igitur perpendicularibus KN, LM ad FB lineam, oriesimile triangulum Κ G N,ttiania
gulo G ML. quare vi K G ad GL. hoc est ΑΚ ad EL,id est AC ad DE , ita est KN , ad Μι igitur B H ad I F, est ut
A C ad DE. eum eadem pro portione distent a centris qua inter se sunt diametri circulorum.quare similia segmenta subtendunt δέ circulos si liter diuidunt.perfecimus igitur quod imperatum fuit.
258쪽
De linearum in circussi potentia. PRO Pori qTIO LX v III. Contingant sese circuli duci in A puncto, per quod acta contingens
AB , occurrat cuiuis EBD secanti perimetros in B, G, H, D. Dico GBE rectangulum, rectangulo HB D aequale esse.
I Ater, cum utrumque quadrato contingh uis A B, aequale sit.
Arallelogrammum ABC , dusam est thsahguli A B Ci sed de AC, BD rectangillum, masdem duis plum es , cum basim habeat eandem A C. & B D altitudinem , gitur parallelogrammum ABC in angulo ABC , aequale est tectangulo AG D. Quod erat
259쪽
Cum enim EC, BD aequidistent,erunt anguli DB BCE. id est anguli DBC, BAC ob
EC tangentem aequalesi similia igitur siunt trianis gula D B C, AB C. unde ut A C ad AB , ita B C est ad B D patet igitur A B B C, S: ACBD. rectangula esse aequalia.
SEcent inuicem circuli duo quorum unus per centrum alterius transeat sic ut ducta A quae puncta sectionpm coniungit, sit diameter ci culi tranteuntis pqr centrum alterius, ad quam erigatur per B, in perimetro ABC assumptum, normalis DBG, occurrens A DC perimetro in D & G, & AC in Fr .t i 'Dico rectangulo DBG aequari A C B F rectangulum. ' DemonstratIo.
secta CBΗ, cum ei reuius ABC per alte serius centrum transeat, erit , ΗΒ aequalis ΑΒ. unde ΑΒ C rectangulum aequale est i
ctangulo UBC, sed HBC aequale est rectangulo D B G i igitur N D B G aequatur ABC id est e A C B F tectangulo. Quod erat demo
. Iametrum circuli ABC, secet AB, normaliter in F, ponanturq; quae uis EH, occurrentes AB in G. Dieo EGH rectangulum una cum FG quadrato, aequari EG Hrectangulo una cum quadrato F G. Demonstratio.QVoniam ΑΒ normalis est ad diametrum C D,
erit bifariam diuisa in F , & quia non bifariam diuisia est in G, erit AGB, rectangulum una cum quadrato F G, d aequale quadrato A F. sed Α G Brectangulo aequale est EGH e rectangulum;additis igitur FG quadrato, erit E GH rectangulum una cum quadrato FG, quadrato AF aequale. igitur M E GH rectangulum , una cum quadrato FG. aequale est E GH rectangulo via cum quadrat FG. Quod erat demonstrandum.
260쪽
. M .l nil ori, uibro ' in QP Quoniam aequales sunt anguli ApE, Aste: 8t ec, Huni, angiihi, A AC milia igitur existunt triangula AFE, ABC, unde vi. AF ad AE. sie AB dA C, rectangulum igitur C AF re stangulo EAB aequale est. quare & rectangula EA B, inter se sunt aequalia. Quod fuit demonstrandum.
yROPOSITIO L X X I V. Egmento ABC inserinti trianguli ABC latdra producta exhibeantra triangula ADC, CAE habentia angulos D AC , ACE singulo,