장음표시 사용
261쪽
um enim anguli ad E recti sint, eruntqua. larata AD, CB, aequalia qua iratis A F, ED. CE, E B. sed iisdem aequalia quoquς lunt quadrata AC, iratis A C, B D, aequalia sunt A
Dico rectangula A D C B, A C D B sit .rae quadrilaterae ACBD A., Demonstratu F
D Ectangula duo ADCB, AC DB aequalia su et , o ABCD rectangulo aequalia sunt rectangula -- ν Γ
simul sumpta b dupla suus figura: AC BD A igitti m ---- - -- squalia sunt rectangulis AEC, AED, BEC, BED adeou uota oA C B D A. Quod tuit demonstrandum.
SEcent iterum sese ad rectos in circulo lineae A D, B E in C. Dico quatuor quadrara partium A C, C D, C B, C E, simul sumpta, quadrato diametri esse aequalia. i
I 'Ranseat primo altera linearum, puta AD pM Centeucirculi, iunganturque ΑΒ , BD. cum igitur anguli, ACB, DC B recti sint, erunt quadrata AB, BD, a qualia quadratis AC, CB,& CB, CD siue CE,CD, quia B E in C ab ΑD diametro diuisa est bifariamὶ sed qua- .dratum AD , quadratis AB, BD quoque aequale est. cum ABD sit angulus semicirculi adeoque rectus, igitur etiam quadratum AD , ςquale est quatuor quadratis AC, CB, dc CB, hoc est CE, CD: quod fuit primo demonstrandum. Quod si neutra Iinearum AD, BE transeat per Centrum, iuncta AB, describatur semicirculus ACB . qui per C punctum transibit, cum angulus ACB rectus ponatur. ex A, vero diameter ducatur AG occurrens circulo A C B in F, per quod collocetur B F H r iunganturque HG, E D, erunt igitur H G, E D lineae adeoque quadrata inter φ se aequalia r quia vero quadrata A B, H G, sunt aequa Ita quadratis H F, FG, AP, FB, id est quadrato diametri AG ut prius ostensum est; igitur Ac quadrata E D, AB,quadrato diametri AG aequalia sunt,sed quadrata ED, AB, aequalia sunt quadratis EC, CD,& AC, CB, igitur 3c quadrata EC, CD, AC, CB, quadrato diametri sunt aequalia. Quod fuit demonstrandum.
262쪽
SEcent sese denuo in C ad rectos duae quaevis AB, DE, in circulo Α Β D, & super partibus, circuli describantur. Dico illos simul sumptos aequales esse circulo A B D. Demonstratio.
Ireuli inter se eam rationem habent quam -- a diametris a descripta quadrata: ostendi. mus autem praecedenti propositione quadraista AC, CD, CB, C E, aequar, quadrato diametri cireuli ADB i igitur de circuli super A C, C D, C B, C E,descripti aequales sum citiaculo ADB. Quod fuit demorastrandum.
PROPOSITIO LXXIX. SEmicirculo ABC inscripta sint
trisngulaquetcunque AEC, A DC, actaque contingente H K quae Λ C diametro aequi distet, ponantur EI, D Κ normales contingenti H Κ. Dico quadratum compositae ex A E, EC, ad quadratum compositae, ex Α D, D C eam habere rationem quam continet Et ad D ΚιDemonstratio. Posita ΗΒ diametro dueantur ad istam
Cotinua analogia,ut ex elementis patet .vn
de rectangulo FHB, aequatur H E quadra. tum; eademque de causa quadrato H D, rectangulum GH Bi quare ut FH ad G H. hoc est EI, ad DK, sie EH quadratum ad D H quadratum : Rursum eum sie vi H Ead H D , ita composita , ex Α E, E C , ad compositam ex AD, DC, erit ut quadrarum HE, ad H D quadratum . se quadra. tum compositae ex A E, E C, ad quadratum Compositae ex AD , DCi igitur ut EI ad DK, ita quadratum compositae ex Α E,EC, ad quadratum eompositae ex AD , DC. Quod demonstrandum fuit.
qiae ex . ad opposita latera rectet ducantur CE, CF, Vtcunque. Dico si intra aream circuli occurrant rectis Α Β, Α D, in E, F, quadra-
263쪽
ex quo eductis C A, C B, sumantur puncta G, F, in singulorum arcubus ex quibus rectae ponantur G E, G D, F B, F A. Dico si lineae illae conueniant, angulos G I F, F H G aequales esse. DemonstratIs. Sint primo a & F, puncta vel sepra vel infia angulam ACB posita: qgoniam
anguli CBF, C AF, CF aleui insistentes aequales a sum, ut ob eandem causam, angat C EG, CDG. id est IEB, Η DA ad verticem positi, erunt anguli IEREBI simul siumpti, aequales angulis H DA, DAH; quare & tertiuSEI B, tertio D H Α aequalis erit. t .
Quod si utrumque punctorum P , & G , angulo
ACB, contineantur, hac raatione assertione d emostrabis mus: Cu anguli , ACB, A FB, duobus rems aequales sint, uti & anguli ECD, EG Di dempto igitur communi angulo ECD ' manet AFB, . angulo BGD , ac proinde reliquis A FI, reliquo DGI
. aequalis. siant autem ad ver
ticem anguli FK H , GKI aequaIes ι igitur reliqui FI FH G aequales quoque svnia Cadat iam alterutrum punctorum , puta P , intra , SI aliud extra angulum ACB: dico rumum angulos H, I esse inter se aequales, cum enim angulus FB Ctam cum angulo F ΑC,quam eum E BF duobus rectis fit e aequalis. dempto communi
264쪽
muni Fn C, erit angulus EB I aequalis angulo FAC id est D A H, sunt autem Ee anguli CE G, CDG eidem insisten
tes arcui aequales, igitur reliquus I, aequatur reliquo angulo 1 LQuod erat demonstrandum.
PROPOSITIO LIII. LVctae sint normales a terminis
Dico illas sese in eodem puncto decussa re. Demonstratio.
Ireumscribatur ABC triangulo circulus, & per A C pulicta alter circulus describaturAD C, aequalis Circulo ABC. productaque B I, occurrat perimetris in D, 8c R , dc per D quide mex Α &C, agantur CDF, A DE, iunganturq;Α F, CE, CK. erunt itaque anguli Α F C, A E Carcui AC insistentes aequale si quia vero angulus DAC , utrique circulorum aequalium communis est, arcus quoque DC,CE aequales fiunt, uti illorusubtense; ob eandem rationem quoque lineae AF, AD sunt aequales. Rursum eum angulo DKC,id est Κ D C ob circulos aequales duo anguli interni D CB, D B C, aequales sint, erunt duo arcus P B, KC id est DC aequales duobus areubus B E,EC; ablatis itaque aequalibus arcubus KC, C E, remanent quoque aequales arcus F A, B E; quare anguli PCB, BC E quoque sunt aequales. sicut & anguli FAB, BAD. unde cum AF, AD lineς, adeoque M anguli A F D, A D F aequales sint, erunt di reliqui F Η Α, D H A quoque inter se aequales, adeoque dc recti.eodem modo ostenditur angulos ad G poutos, esse rectos. quare patet normaIes BI, C H, Α G, sese in eodem puncto decussare. od fuit demonstrandum.
IN datum citculum ABG , a dato extra eum puncto D, ductae sint
DCE, D GF auferentes arcus F E, GC. Oportet ex alio puncto e tra circulum allignato, H, duas rectas in circulum immittere , quae arcus duos intercipiant, duobus F E, G C arcubus aequales.
265쪽
Dueantur ex II lineae H I, HA, . vi K I, B A. circu-Ulo interceptae, aeqiuiles sint rectis CE, GF;3c factum erit quod fuit imperatum .eum enim A B, F G sint aequales lineae , erunt arcus C EF, AIB aequales , uti&arcusCNE, ΚΜ I, ob IK , CE aequales lineas. ablatis igitur aequalibus arcubus K MI, CN E, remanebunt arcus ΚΒ, ΙΑ, arcubus GC, FE aequales. demisimus igitur ex II puncto lineas. &c. Quod praestandum fuit.
o eundem recta AB, oporteat alteram ducere ΑΕ, quae arcus auferat CF, B E, qui simul sumpti, angulum continea ut aequalem dato D.
mat angulo D, aequalis BC Gi Ac ex Α ponaturA AE. quae tectam PE, aequalem lineae C G.b exhi- at ; eritque peractum quod requiritur: cum euim C G, F E lineae aequentur, erit arcus F B E. aequalis arcui CBGi unde ablato communi CB, remanet arcus BG, aequalis duobus RE, CF. quare angulo D, aequalis est angulus, qui duobus arcubus C P. B E simul impiis continetur perfecimus igitur quod petcbatur.
266쪽
De mutua circulorum interfiectione π conta .PRopos ITIO LVI. Rξα As, contingat circulo BDC, sese in eodem B puncto,
contingentes,centroque Α, quo- vis interuallo circulus describatur, os A Lcurres perimetris circuloru sese contin-
gentium in D,pon nturi rectae A DE. Dico DE rectas inter se aequales esse, siue ad eundem este circulum. . - N ,
primae. inter se aequales& ΑΒ med munis, igitur etiam primarum & πἀifferentiae DE, aequales arunt. χdemonstrandum.
Super AB radio quadrantis circularis ABC, ei eulus deseripitin sit A E B; ductiscipe rectis AED, Occurrentibus circulo in E E, pel ES Ponantur DF notmales ad radium AB.oico sectis A F, aequales esse A E.
267쪽
Quod si tectae DF demittantur norma mei ad Halim AC, sic inendmur proposi- umrcum DF, siκt τqindistantes ΑΒ, igitur anguli B A D, A D F, aequales sunt:pro indent cit hc anguli Α EB AF D, recti lint .set, ita sunt de aequalia triangula AB E. ADF, de latera aqualibus angulis subtensa. scio fuit demonstrandum,
PEr duorum circulorum parallelo-
1Mn nDE, CFG centrum Hacha diametro D CE,ponatur Cli conungens minorem a pulicta quo
Dico circulum radio B C descriptum aequalem esse annulo duabus circumferentiis intercepto. Dimon ratio. DVeatur Asti ut AB quadrarum, a
duo quadrata BC, CA, ita circulus DBE, ad citetilo, Hs G, CFG: sed AB quadratum aequale est quadratis A C. C h. igitur de circulus D B E aequari est xiiculis HBG, CPGi simul summis.abis lato igitur communi circulo C p G, teis manebit annulus peti metris Equidistanatium circulorum interceptus . circulo B AG aequalis r quod fuit demonstrana
Uper trianguli ABC, lateribus segmenta circulorum similia eonsti- . tuamur, centroqoe cireuli,qui superbasi exstiustus est, circulus describatur qui alterutrum circulorum Λ E B, B F C conpingat.
G cetra circuloru A E B, BF C rectae DE, DF : de circulu3 ED radio descriptus contingat circulu ATR. in Rigitur recta iaHA piscintra I , ω H transensam curret virlq- in , punctucostac ius E. quia vero se gmenta iuper reianguli tat i I. ribus d cripta, similia sunt iuncta . B F i a vieinum erit ipsi EB , unde sum DR, a DF lineς sint quales, erit P punctum commune peri. pherijs circuloru EF. BF C.
268쪽
3c cum eadem DF centra D G utriusque coniungat, pMet circulum EF, a in F . . , . contingere circulum BF C. Quod erat demonstrandum. ' - .
Iisdem positis: si circulus centro D descriptus alterutrum circulorum A E B, B F C secuerit: Dico quod & alterum secabit. dc secures ab utroque auferet similes.
Ccurrat circulus centro D - descriptus, circulo AEB in M & N: cadet igitur insta E MED lineam secabit in I, quia Vero recta: DE, D F b aequales simi, patet circulum radio DI descriptum, quoque insta F cadere, adeoque dc circulum B F C secarem Lee o.Quod erat primum. Hoc posito dico secures ME LFO ablatas inter te esse similes. ducta M B occurrat circulo L FOin L,ostensum est propositione II. huius, iumstam DL, aequari rectae DΜ, quare cum punctum M in perimetro est circuli NL O, erit&punetiim Lineadem perimetro. eadem ratione ostendetur, iunctam OB communi occurrere in tersectioni circulotum M EB , MLO in N, unde cum N B M angulo ansulus L BO ad verticem insistens, ςqualis sit;similes erunt arcus MEN , L FO. Quod
PROPOSITIO L X I. SV per ABC trianguli lateribus semicirculi describantur Α LB, A R
BFC quos contingat circulus centro D, descriptus, in F & L. Dico F G diametrum circuli utrumque contingentis, aequalem esse diametris circulorum ALB, BF C.
Demonstratio. PEr centra D Ee H ponatur recta A FG, iunganturque centra D, E, quoniam segmenta runilia super trianguli lateribus descripta, semicirculi sunt, Ac A B B C a diametris D Η, D Ein circulo ABC bifariam diuita, erunt anguli DHB, DEB recti, unde ΑΒ, D H aequi distant de HE parallelogramum, adeoq; B E, H D, item B H,E DIineae aequales sunt. quare cum FG
dupla sit DF id est dupla duarum FH, H D. id est ΒΗ, BE, erit FG aequalis duabus diametris AB, BC. Quod erat demonstrandum.
269쪽
Terum similia segmenta constructa sint super singulis lateribus trianguli ABC centroque D circuli super basi descripti, circulus describa-ar KF li,qui circulum AGB contingat interius in E. i . Dico quod N alterum B LC continget in F.
DEr cetra circulorum AGB, B L C; L A rectae ponantur ex D, D G, DL Ee D G quidem producta occet ClI - l perimetro etteuli . A G B in puncto contactus E 1 DL vero in aliquo 3 puncto P circuli BL C, iungantur ' /0 que BF, FE, cum igitar DL, Dol , , , transeant per eontra circulorum AGB. ALC, erunt LB, G B ductae' . in directum, quia vero LMF diameter est circuli BL C, erit angulust / LBF adeoque & GBF rectus, acroinde BP pertinget in E. Rursum eum L D, DG lineae sint aequales, erlint Mnguli quoque BL BGD aequales; sunt autem anguli ad B ollensi recti , reli- suus igitur BED aequalis reliquo est L FB, id est EFD i unde M aequales lineaeant DE. DF dc punctum F perimetro circuli K PE commune: 8c cum MD, Ii- ι,-U ducta eentra domunpat D de Μ, patet eirculum KFE b in F contin-
SVper trianguli lateribus constructa sint segmenta similia A E BAD FC BL C. de ab intersectionum punistis D, F, ad punista A
C ductio linhis D A, FG, aptetur in circulo KH aequalis FC, dc parat tela rectie/DA: describatur deinde circulus IK. GH aequalis circulo BL CO, transiens per puncta Κ, H. Dico hunc tangere circulum ADI.
r Demonstratio. Rium circulorum A E B .
-- H rallelam. centrum igitur circuli
K GH est duoque in linea Q G. consdererer iam punctum I quatenus est intersectio circuli AEB ac rectae Q G. Quoniam Ni , est aequalis N P, Ac RLd aequalis DG etit N L aequalis N G. Est vero per demonstraea 6 huius, etiam ON aequalis I N'ergo O L squalis est I G,quae nempe posita est inter punctiam G, & punctu I,
270쪽
in quo cireulus ΑΕ, B secabat rectam Q G. Quare cum circuli ΚGH diametet aequalis sit rectae o L, diametro circuli B L C O, aequalis quoque erit rectae I G. circulus igitur ΚGH transit per I. Atqui etiam stipra ostenclimus centrum eius asse in recta QM transeunte per centrum circuli Α EB, ergo circulus ΚGH tangit circulum AE BC. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO L X I U. SUper A BC trianguli lateribus semicirculi describantur A BL,B IC,
AG C, quorum centra sint D, E,F, centris autem F vel E, circuli construantur H G, KN, qui circulum A GC contingant in G N Κ. Dico eosdem, quoque reliquos contingere in I, & L.
DVeantur FE, DEG, DRquoniam diametri AB, CB bisectae sunt iueentris E, de F. erit EF parallela AC, ergo ut AB ad EB se AG ad Ε F.quare cum A B dupla sit E B , erit ΑC dupla quoque EF. Ergo A D dimidia ipsius
AC, hoc est GD, aequalis erit EF.umi- AC, hoc est GD, aequalis erit EF.umiliter quoniam tres diametri A C, A B, B Chisectae sunt in centris D, E, F pateta ED, BC, &DF, AB esse parallelasiparallelogrammum igitur est EBFD. ergo FB hoc est FI aequalis est D E. Quare cum tota FE toti GD, de pars FI, parti DE aequalis sit, residuum quoque IE aequale erit residuo GE, hoe est circuli diametro GE, siue EH. qua re punctum I, Commune est duabus peripherijs GH dc BIC siue puncta H M I omnino eadem lint inter se. Vnde cum EF per centra circulorum ducta per I punctum trad eat, manifestum est in eo contactum fieri. eodem pacto de altero circulo centro F de scripto demonstratio procedet.
PROPOSITIO L X V. P triangulo ABC, sine in continua analogia BD, BA, BC:& per
puncta A, D, C deicribatur circulus. Dico eum rectam Λη ςontingere. Demonseratio.
Voniam ADC, puncta in perime- atro sunt circuli, igitur si non contingat ' π VTCcta AB, circulum, ciceurrat eidem in I xaltero puncto Ei igitur tectangulu A B E, I Iaeq ale erit rectangulo D BC., hoc est i l . .
per hypothesim quadrato B A, quod , est . I J
absurdum: quare non occurret ΒΑ, cir- st Culci nisi in A.
PROPOSITIO L X V I. SI Giper ABC trianguli lateribus segmenta circulorum similia descri