장음표시 사용
271쪽
ao C CVLVS. Dico AB, CB latera trianguli producta contingere in B segmenta
Α Ngulus ABC tam eum angulo A B F quam
angulo segmenti residui in eodem circulo duobus rectis aequalis est; igitur angulus residui segmeta, angulo FB A aequalis est: quia vero ADB, ABC segmenta sunt similia adeoque & illorum anguli aequales, erit angulus F B A simul cum an gulo segmenti ADB duobusrectis aequalist qua re angulus ABF, aequatur angulo residui arcus circuli.ΑDB r unde FC eundem Contingit in B, ut ex elementis patet eodem modo ostenditur AB GQntingere in B circulum BEC. Quod erat demonstrandum. o hae conuersa undecima H .
Atis duobus circulis ABC, DEF , oporteat exhibere punctum G, per quod lineae ductae dividant circulos in similes partes. Θ-ctis o demon auo.
ACta per utriusque e traKL tecta A E. diuidatur in G, ut ratio AG ad GE, se eadem cum ratione Α C ad D E. Dico punctum G esse quod quaeritur. ducatur anim quaevis BGF occurrens perimetris in I M Hi quoniam AG ad GRaandem habet rationem quam o C ad DR ex constructione,
erit Α C ad C GAEt DE ad D G, ac proinde A G ad G Κvt EG, ad GL,& GK ad GL ut KAad LE, id est BR ad LRω- missis igitur perpendicularibus KN, LM ad FB lineam, crit simile triangulum Κ G N, triangulo GΜL. quare vi K G ad GL. hoc est A N ad EL,id est AC ad DE , ita est KN , ad LM i igitur B H ad I F, est ut
A C ad DE. cum eadem pro portione distent a centris qua inter se sunt diametri circulorum.quare similia segmenta subtendunt ta circulos Gmiliter diuidunt.perfecimus igitur quod imperatum fuit.
272쪽
De linearum in circuia potentia. PROPO ag TIO LX v II I. Contingant sese circuli duo in A puncto, per quod acta contingens
ΑΒ , occurrat cuiuis EBD secanti perimetros in B, G, H, D. Dico GBE rectangulum, rectangulo HB'D aequale esse. '
Demonstratio. . it. . . lΡAtet, cum utrumque quadrato continitatis A B, aequale siti
PRO Pos ITIO LXIX. SEgmento circuli ABC inscriptum sit triingulum ABC, ellius veriatice B, normalis demittatur B D.
PArallelogrammum ABC, duseam est tri figuli ABCi sed re AC, BD rectangii sum. eiusdem duis plum est, gum basim habeat eandem A C, Ee B D altitudinem ι igitur parallelogrammum ABC in angulo ABC , aequale est rectanguis ACBD. Quod erat
SI rursum segmento ABC inscriptum suerit triangulum, a cuius verutice demissa BD, aequidistet contingenti CE. Dico rectangulum ABC rectangulo A CB D aequale esse. C c 3 Demosis. Diqitigoo by Corale
273쪽
Cum enim EC, BD aequidistent,erunt anguli DBC, BCE. id est anguli DBC, BAC ob EC tangetitem aequales, similia igitur sunt trian. gula DBC, AB C. unde ut AC ad AB , ita a BC est ad BD patet igitur AB BC, M ACBD. rectangula esse aequalia.
SEcent inuicem circuli duo quorum unus per centrum alterius transeat sicut ducta A C quae puncta section pm coniungit, sit diameter ci culi tranteuntis per centrum alterius, ad quam erigatur per B, in perimetro ABC assumptum, normalis DBG, occurrens A D C perimetro in D & G, & AC in Fr λ
Dico rectangulo DBG aequari AC BF rectangulum. Dieo E G H rectangulumctangulo una cum quadrato IDemonseratio.
Ducta CBΗ, eum circulus ABC per alterius centrum transeat, erit v HB aequalis ΑΒ. unde ABC rectangulum aequale est roctangulo HBC, sed HB C aequale est rectania gulo DBG i igitur de DBG aequatur ΑΒ Cid est ι ACBF tectangulo. inoderat demo
PROPOSITIO: LXXII. DI metrum circuli ABC, secet AB,
normaliter in F, ponanturq; quae uis E H, occurrentes AB in G. una cum F G quadrato, aequari EG Hr 'Demonstratio.QVoniam AB normalis es ad diametrum C D. erit bifariam diuisa in F , 8t quia non bifariam diuisa est in G, erit AGB, rectangulum Una cum quadrato FG, d aequale quadrato A F. sed ΑGs rectangulo aequaIe est EGH e rectangulum;addito igitur FG quadrato, erit E GH rectangulum una cum quadrato FG, quadrato AF aequale. igitur M E GH rectangulum , una cum quadrato FG. aequale est E GH rectangulo una cum quadrato FG. Quod erat demonstrandum.
274쪽
, PRO RO SITIO LXXIII. Syt ABC segmentum circuli, cuius AC subtensia , secetur recta E
milia igitur e2istunt triangula AFE, AB C, unde ut . AP ad A B. se AB ad rectatim tum igitur C AF rectangulo E AB aequale est. quare M rectangu- ΞΑ B, inter se sunt aequalia. Quod fuit demonstrandum.
Egmento ABC in scripti trianguli ABC latera producta exhibeanti triangula ADC, CA E habentia angulos o AC ACE ssingulos
275쪽
c Vm enim anguli ad E recti sint, erunt qua drata AD, CB, aequalia quadratis Α Ε, E D. CE, E B, sed ijsdem a qualia quoquς sunt quadrata Α C, D B: igitur quadratis A C, B D, aequalia sunt AD, CB qu*diata.
TIsdem positis, I Dico rectangula ADCB, AC DB simul sumpta, dupla esse figu
PROPOSITIO LXXVI I. SEcent iterum sese ad rectos in circulo lineae AD, BE in C. Dico quatuor quadrata partium A C, C D, C B, C E, simul sum
pta, quadrato diametri esse aequalia. ' i Demonstratio.
TRanseat primo altera linearum, puta AD por C ntrua circuli, iunganturque AB, BD. cum igitur anguli, Α CB, DC B recti sint, erunt quadrata AB, BD, aequalia quadratis AC, CB, & CB, CD siue CE,CD, quia BE in C ab A D diametro diuisa est bifariam in sed quadratum AD, quadratis AB, B D quoque aequale est. cum ABD sit angulus semicireuli adeoque rectus, igitur eciam quadratum AD , squale est quatuor quadratis AC, CB, & CB, hoc est CE, CD: quod fuit primo demonstrandum. Quod si neutra linearum AD, BE transeat per Centrum, iuncta AB, describatur .semicirculus ACB . qui per C punctum transibit, cum angulus ACB rectus ponatur. ex A, vero diameter ducatur AG occurrens circulo ACB in F, por quod collocetur BFH r iunganturque H G, E D, erunt igitur H G, ED lineae adeoque quadrata inter ς se aequalia r quia vero quadrata A B, H G, sunt aequalia quadratis 1 F, FG, AF, FB. id est quadrato diametri AG ut prius ostensum est; igi tur& quadrata E D, AB,quadrato diametri AG aequalia sunt; sed quadrata ED, ΑΒ, aequalia sunt quadratis EC, CD, re AC, CB, igitur & quadrata EC, C D, A C, C B, q uadrato diametri sunt aequalia. QMdfuit demonstrandum.
276쪽
SEcent sese denuo in C ad rectos duae quaevis AB, D E, in circulo ΑΒ λ&superpartibus, circuli describantur. Dico illos simul sumptos aequales esse circulo A B D. Demonstratio.
Ireuli inter se eam rationem habent quam Madiametris a descripta quadrata: ostendimus autem praecedenti propositione quadrata AC, CD, CH, CE, aequar, quadrato diametri cireuli ADB ι igitur 6c circuli supelA C, C D, C B, C E,descripti aequales sum cireulo ADB. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXX in SEmicirculo ABC inscripta sine
triangula qu cunque AEC,A DC, actaque contingente Η Κ quae AC diametro atquidistet, ponantur EI, D Κ normales contingenti H Κ. Dico quadratum compositae ex A E, EC, ad quadratum compositae, ex A D, D C eam habere rationem quam continet Et ad D ΚιDemonstratio. Posita HB diametro dueantne ad istam
3 normaliter EF, DG,iunganturque EriD H,E B.D B,quoniam F E normaliter insistit rectet ΒΗ, erunt FH, HE, HB, lineae in Cotinua analogia,ut ex elementis patet .vnde rectangulo FHB, aequatur H E quadratum; eademque de causa quadrato H D, rectangulum GH Bi quate ut FH ad G H. hoc est EI, ad DK, sic EH quadratum ad DH quadratum : Rursum eum sit ut HEad H D, ita com posita , ex Α E, E C , ad Compositam ex A D, D C, erit ut quadratum HE, ad H D quadratum . se quadrais tum compositae ex Α E, E C, ad quadratum compositae ex AD , DC igitur ut EI ad DK, ita quadratum compositae ex Α REC, ad quadratum compositae ex AD , D C. Quod demonstrandum fuit.
Emicirculo ABC inseripta sint triangula duo ABC, ADCιxt- que ex C, ad opposita latera rectet ducantur CE, CF, Vtcunque. Daco si intra aream circuli occurrant rectis A B, A D, in E, F, quadra-D d taDiuitiam by Go le
277쪽
ta A E, F C, una cum rectangulo A EB bis sumpto, . equari quadratis A F, FC una eum rectangulo ΑFD bis sumpto: Si vero extra circulum occurrant, dico quadrata AE, EG , minus AEB rectangulo bis sumpto, aequari quadratis AF, FC minus AF bis sumpto
Quod si autem altera intra aream circuli cadat, altera extra, dico
quadrata A E, EC cum AEB rectangulo bis sumpto , aequari quadratis Λ F , FG minus rectangulo ΑFD bis sumpto. Dens onstratu
si enim ead i CE CF, intra aream semiis circuli, constituent angulos obtus bs, A EGA FC, cum ABC , ADC recti sint, unde per elementa quadiata ΑΕ, E C, cum rectan gulo AER , bio sampto,quadrato AC aequalia erunt i sed eidem AC quadrato aequalia sunt ΑF, FC , quadrata uua cum rectangulo A F D bis sumpto i igitur quadrata A E, E Ceum ΑΕΒ rectangulo bis sumpto aequalia sunt quadratis AF ι FC una cum rectangulo AFC bis sumpto.Quod erat primum. Si vero CE. CF extra cadant a patet angulos A EC , AF C esse acutos : quare ramquadrata ΑΕ , EC minus rectangulo AEBhis sumpto, aequabuntur quadrato AC, quam quadrata AF, FC minus AF D rectangulo
bis sumpto: unde veritas secundς partis qumque manifesta est. Pa is tertiae demonstratio ex ante dictis elare patet; igitur, dcc. Quod etat demonstrandum.
Smicirculo ABC triangulum inscribatur ABC, a cuius vertice ad diametrum demittatur perpendicularis B D. Dico ADC rectangulum, Sc rectangulum ABCι denique quadratum A C in continua esse proportione. Demonstratio.
Quadratum AC est ad rectangulum ABC, hoe est ACBD rectangulum vi , AC ad DB i sed derectangulum ACBD est ad quadratum BD e hoc
est rectangu Ium ADC, ut AC ad BD, igitur cone tinuant eandem rationem A C quadratum, rectan . . lum ABC, una cum rectangulo AD C. Quod fuit
278쪽
C. I R C v L v s. p ROPOSITIO LXXXII. PEr extrema diametri ΑΒ circuli ABC, circulus describatur AD B,
positaque AC, quae occurrat AD B perimetro in D, demittatur normaliter D E ad diametrum AB, iunganturque DB, CB. Dico rectangulum ex AB, D E, ad rectangulum A DB, eam rationem habere quae est inter rectas CB, DB.
QVoniam angulus A C B in semicirculo rectus est adeoque aequalis angulo AED ; & AED , ACB triangulis communis angulus D A E erunt Α D E, A C B triangula similia. unde ut AB ad CB sie AD ad DE & ABDE rectangulum aequale rectangulo ADCR: sed rectangulum ADC B est ad rectangulum ADB ut C B ad D Η , igitur de rectangulum A B D E ad rectangulum ADB est ut CB ad DE. Quod erat demon
PROPOSITIO LXXXIlI. OCcurrat circuli ABC diametro FG in E
orthogona A C, quam in D secet normali- , iter BD, iunganturque A B, BC. Dico rectangulum ABC ad rectangulum A C B D rationem obtinere eandem, quam F G diameter ad Α C lineam. Demonstratio. .
TVngantur AF C. quoniam A C line.i in E bifariam 3 adeoque ad rectos est diuisa erunt AF, FC linea: ae quales , dc AF C rectangulum aequale quadrato AF id est a tectangulo E F Gquia F E, F Α, F G sunt proportionales. Sed EFG rectangulum est ad rectangulum AC FE ut FG ad AC; igitur εἰ rectangulum ΑFCad Α CF E rectangulum id est , parallelogramum AF C, ut FG ad A C: quia vero est ΑFG rectansuiu ct recta-gulu AgCve AF C parallelogramum in anhulo' AFC. ad parallelograminum ABC, in eodem anguis ΑΒ Cc cu ex ijsdem rationes habeant compositas erit permutando ABC rectangulum ad parallelograinum A BC,ide rectangulum ACBD ut A FC rectangulum ad paralleIogrammu AF C id est ad . AC FE rectangulum, id est ex demonstratis 'δ 'ut FG ad AC. Quod erat demonstrandum,
ponantur C E H,CB G, occurrente s perimetris circulorum in B, E,G, H. iuriganturque Α Β, Α E. . Dico rectangulum A B C, ad A E C rectangulum eam rationem obtrurire, quam G B C, ad rectangulum HEC.
280쪽
C I R C v L V s. PROPOSITIO LXXXVI.
OCcKrrat iterum circulus ABC, cuius diameter A centro circuli A E C, ductaque ex A recta A B E, ponatur normalis B D F ad A C. Dico lineas AC, A E, &compositam ex AC & BF, in continua esse analogia. Demonseratio.
Quadratum A A, aequatur quadratis AB, B g. de
ABE rectangulo bis sumptor est autem quadratum BE aequale B C h quadrato , de ΑΒ E rectangulum bis sumptum aequale ABC rectangulo hoc este A C B Dὶ bis sumpto. hoc est rectangulo ACBF semel sumpto i igitur quadratum A E, aequale est quadratis AB, BC, hoc est quadrato A C.& rectagulo A C, B F, semel sumpto.Sed AC, qua-
ato una cum rςctangulo ACBF, aequatur rectan
gulum super AC & composita ex AC, B p; igitur quadratum A g , aequale est rectansplo super Α & composita ex ACBF. Vnde istieae AC, Α ε 3c composita ex ACBF in continua sunt analogia. Quod fuit demonstrandum.
E cera aream circuli ABC, silmpto puncto E, demittatur ad diameistrum AC normalis E D, pon turque qua Aia ali EI K.
Dico si D punctum communis linearum A C, D E intersectio cadat intra circulum , quod E D quadratum supet et rectangulum IE K r ctangulo ADC: si vero D, extra cadat,dico quod ED quadratum deficiat a rectangulo IE K, rectangulo AD C. DemonstratIO.
PRoducta D E, circuli perimetro occurrat in B: qua dratum D E aequale est quadratis PG, GL una eum D GE rectangulo bis sumpto id est tectangulo BGL semel sumpto. sed BGE rectangulum una cum quadrato G E aequatur rectangulo BEG , igitur An dratu n D E ae uale est quadrato D G, id est re- C tangulo CD A una cu rectangulo GEB id est IE K.
Quod si D extra circuli aream occurrat diametro
AG productae, ducatur ex η recta EA, Occutiens perimetro circuIi in F, iunilamurq*e C F: erunt itaque similia triangula AD E, & C AF, & DA, δε Elatera proportionalia lateribus A p, A ni unde & te-etangula CAD, FAE, sunt inter se aequalia; quia uero quadratum AE aequatur rectangulis AEF, E AF, eidemque AE quadrato sequantur quadrata A D, D E, qu dratum autem A D aequale est rectangulis ADC.D AC, erunt recrangula A E P, EA F, aequalia rectangulis Α D C, D A C una eum quadrato DE, ostensum autem est rectansulum D AC, rectangulo p AE aequale, quare re si sua quoque inter se aequalia sunt, id est C D A rectangulum auctum qu drato D E, aequale rectangulo FA Α, id est IE K. Quod erat demonstrandum.