장음표시 사용
281쪽
PROPOSITIO L X X X U I I I. Circulo ABC. quodlibet polygonum inscribatur regulare; ductaque
ex G centro, G H quae lateri B C normaliter insiliat; ex H ponatur HI, ad rectos angulos ipsi B G. Dico totum polygonum, ad B G quadratum toties sumptum,quot laverum est polygonum, eam rationem Obtinere quam H l recta, ad B G. DemonstratIo.DVeantur ex G centro ad angulos polygoni, rectar AG, BG, CG, &c. Quoniam polygoni regularis latera aequalia sunt, erunt lingula triangula AGB, BG C, CGD,&c. inter se aequaIiar ac proinde duplicia trianguli B H G, cum BC in H diuisa sit bifariam: sed de B HG triania guli, duplum est rectangulum B H G , hoe est a BGH, igitur BCG triangulo aequale est BGHI rectangulum, est autem BGHI rectangulum, ad quadratum BG, vi H I,ad B G: igitur etiam BC G triangulum, est ad BG quadratum, ut HI ad BG: quia vero idem de singulis polygoni triangulis eodem modo demonia stratur, patet totum polygonum ad quadratum B G toties sumptum . quot laterum est polygonum eam proportionem habere quam HI linea, ad rectam BG. Quod fuit demonstrandum.
Dico duplum polygoni ad quadratum lineae, quae polygoni peri
metro sit aequalis, eam rationem habere , quam H G linea ad lineam polygoni perimetro aequalem. DemonHratis., NSi enim totum polygonum, aequale triangulo basim habenti aequalem b lineae Metoti perimetro aequali, altitudinem vero H G; igitur duplum polygoni aequatur triangulo illi, bis s. mpto, hoc est rectangulo balim habenti aequalem polygoni perimetro & ΗG altitudinem; sed rectangultim hoc ad quadratum lineae aequalis toti perimetro polygoni, eam obtinet proportionem , quam H G linea ad lineam aequalem toti peti metro: ergo polygonum bis sumptum ad quadratum line ἰ, quae perimetro sit aequalis, ea habet rationem, quam H G linea, ad tectam toti perimetro polygoni aequalem: quod erat demonstrandum. corollarium. TToe loco non videtur omittendum sequi ex li ac propositione per ea quae in li- Labro de progressionibus Geometricis diximus, circulum bis sumptum, ad quadratum suae peripheriae, eam seruare rationem,quam semidiameter ad perimetru m, circulum autem semel sumptum ad quadratum perimetri circularis, eam proportionem continere, quam quarta pars diametri ad cirsuti perimetrum, atque adeo propositio.
282쪽
propositionis Archimedear veritatem de comparatione circuli ad rectangulum & aequale aliter hinc posse demonstrati. '
Diametro circuli ABC insistat ad rem,s angulos recta B D, iungatutque DC. Dico rectangulu m A B D,ad A C D rectangulum triplicatam eius habere rationem, quani obtinet linea DB ad DC Iineam. Demonstratio.QVia DB normalis est ad diameiatrum AC rectae CB , BD , B Α, item CB, CD , C A per elementa
in continua sunt analogia i unde cum
prima BC verique seriei communis sit, erit ratio AC ad Α Β tertiae ad tertiam duplicata eius quam habet secunda CP, ad D A secundam, sed ratio rectanguli ABD, ad rectangulum Α CD composita est ex ratione AC ad AB, hoc est duplicata DC, ad DB, & ex ratione DC, ad DB, patet igitur rationem ABD rectanguli ad rectangulum AC D, triplicatam esse linea: D C ad D B. Quod suit demonstrandum.
PROPOSITIO XC i. SEmicireulo AB c triangulum inscribatur AB C, E cuius vertiee ad
basim demita sit normalis B D. Dico rectangulum D AB, ad D CB rectangulum, triplicatam rationam habere eius, quam linea AB ad BC.Demonstratio. CVm enim B D normalis sit ad diametrum AC, erunt denuo tres AC, AB, AD, 8t AC , CB , CD in continuata ratione: quia vero communem habent primam AC, erit AD ad DC, in triplicata ratione AB ad BC, D AB rectangulum ad D CB rectangulum ratio nem habet compositam ex ratione DA ad D C, id est dupli exta A B ad BC de ex AB ad BC, igitur rectangulum D AB, ad D CB triplicatam habet rationem AB ad BC. Quod e sat demonstrandum.
PROPOSITIO X C II. . C Emieitculi ABC diametro A C in
F D, iunganturque ΑΒ, A D. Dico E A B rectangulum , ad F A Diriplicatam rectae A B, ad A D. E & F oeeurtant normales E B, rectangulum, rationem habere
283쪽
DemonstraIIo.LInea A E ad AF duplicatam habet rationem AB ad AD, cum tam AC, AB, AE, quam A C. A D. A F continuὰ sint proportionales, ha
beantque communem primam A, unde cum ra
tio rectanguli E AB ad FAD composita sit ex ratione AE ad AF . & AB ad AD , patet Ε Α Β rectanstulum ad rectangulum FAD triplicatam habere rationem eius quam habet AB ad AD. Quod fuit demonstrandum.
Egmento cuiuis ABC triangulum inscribatur A si ductisque contingentibus A G, CF, ponantur ex B vertice trianguli duae B D, B E. contingentibus aequid istantes. Dico rectangulum D A B, ad E C B, triplicatam continere rationem Demonstratio.
CVm AG fit contingens , erit angulo GAB id est ABD ob AG, BD parallelas j aequalis angulus . ACB: ω quia PC quoque circulum contingit , angulo PCB id est EB C tob EB, FC parallelast aequalis est angulus BAC: triangulaisitur ABD, BEC similia sunt triangulo ABC: unde ut A C ad AB, sic A B ad ADi Ae ut A C ad C B, ita C B ad C Ei
duae igitur continue proportionalium series communem liabent primam AC; unde '. AD ad E C, tertia ad tertiam ἐν duplicatam habet rationem AB ad BC secundae ad secundam: ratio autem rectanguli DAB ad EC B, rectangulum, composita est ex ratione AD ad EC, de AB ad CB, triplicata igitur ratio est rectanguli DABad ECB tectangulum .Quod erat demonstrandum.
pROPO Si Τ Io XCIV.CIreuli ABC diameter secetur in D & Ε, punctis, aequaliter a centro semoti si ex quibus binae ad duo quaedam perimetri puncta B, Frectae deducantur D B, D F, E B, E F. Di eo quadrata D B, B E simul sumpta quadratis D F, F E esse aequalia.
Ungantur AB, BC, AF, FC. ex RF demittantur perpendiculares BG, FH ad diametrum AC, quae Cadant primo inter D de E: erunt igitur anguli ADF, C EF rectis maiores; de quadratum ς FC excedit quadra- eum FE , quadrato CE una cum rectangulo CEII bis sumpto, de quadra
284쪽
at tum I AF superat DF quadratum quadrato AD, una cum rectangulo ADH bis sumpto, est autem rectangulum C EH, bis sumptum, una cum rectangulo ADH . bis iumpto, aequale rectangulo C ED bis sumpto: additis igitur quadratis aequalibus EC, AD, erit CED rectangulum bis sumptum una cum quadratis AD, E C, hoc est rectangulum ECA semel sumptum, excessus quo AF, F C, quadrata superant quadrata duo DF, FE. Eodem modo ostendetur quadrata duo AB, BC excedere quadrata duo DB, BE, rectangulo DAC id est E C Aὲ igitur cum quadrata AF, FC aeqitalia sint quadratis AB, BE, de excessus D AC, ECA, super . quadratis DF, FE, D B, BR aequales quoque sint, illis ablatis manent DB, BEquadrata, a qualia quadratis AF, FE. Secundo normales ex B de F demissae radant intra puncta AD , EC: BG quidem inter Α &Dι FH vero inter E M C, cum angulus ADF recto maior sit, quadratum AF, superat quadrata AD , DF, rectangulo b Α DH, bis sumpto, hoc est rectangulo A D E, una cum rectangulo ADEΗ bis sumptis: quia Vero sti. s..... FEC angulus recto minor est, quadratum FC deficit a quadratis s EF , I C re. vi. ctangulo CEPI hoc est A DEH bis sumpto: igitur A DE rectangulum bis sum-Prum est excessus quo quadrata duo ΑF , FC superant quadrata quatuor AD, DF, CE, EF. demptis igitur aequalibus quadratis AD, CE, remanet ADE rein changulum bis sumptum excessus quo A F, F C, quadrata, excedunt quadrata DF, H F. eadem ratione ostenditur quadrata DB, BE, superaria quadratis ΑΒ, BC, Tectangulo CED bis sumpto. igitiir cum A B, BC, quadrata aequalia sint quadratis A F, FC, &ΑDE rectangulum i excessus quadratum A F, F C, super D TFE quadratis aequale sit CED rectangulo, sexcessiti quo A B, BC quadrata, su- Perant D B, B E quadrata in demptis excessibus, remanent D F , F E quadrata, κ-q ualia quadratis D B, B E.
coraxineatur: Ostendetur ut prius, CED rectangulum his sumprum, demptis aequa-libias quadratis AD, EC aequale esse excessui quo CB, BA quadrata superant EB, BD; item DF, F E, quadrata superaria quadratis A F, FC, rectangulo AD Risis stampto demptis quadratis AD, EC: igitur eum tota sint aequalia & excessus insci per aequales sine, residua quoque quadrata DF, FE, erunt residuis quadratis D R, B H aequalia. Quod fuit demonstrandum.
286쪽
carum fictionum aifo hones in accidentia indagaturi, abeno nonnihil; ab antiquis consilio rem aggressimur: ιδ etenιm proprietates quar pluribus Ustionibus communes esse aduerterunt, eo num quoque demonstratione inuoluerunt, nec ιmmeritὸ, exigente talem 'benssi rationem ipse doctrianae tenore, oriune ac nitore nos autem in ab Mopum col&mate ingratiam eorum, qui Geometriae afficiuntur, singillatimsingulas explanare intendimus, quo facibore meth dis in minus confusa, tyrones ad conicarum Veculationum eontemplationem inuiten- eur es alliciantur. Nam it Vcte Frederitus Commandinus ait, quod liqua pars ea Mathesias quae nostris incognita Phil μοι, interpretationu lumen E quodpostulis, ea prosecto est qua de Conicis appellatur: quanquam eπιm a meteribus diluenter re ita fit tamen eorum monumenta aut ad nos non peruenerunt,aut ιta peruenerum ut ovis propter metustatis mιurias mammasque dissicultates intelligantur.eonabimur oram i planat reddere quas prae manibuwhabemuae comωε materia/, it melleuueris elementis Euclidis mersari eas percipere queant, sine rigo lassio, ino mero cum orem ad viseriora tendendi bas lucubrationes in immensem extendenda. neque enim Geometria fientias termιnu contineri potest, multoque minus exhavinri, eum assus μι mas sima, omnem Oceanum quarumcumque Lyeculationum absisiens. Ordi mur staque abi in nominis notione, phaleras o Usis, exponentes , qui Com nome elatura m natura ex ipsisu deseriptione aut construenda ratione denotetur. I
Clonum appello corpus habens originem ex circumductu lineae a puncto in sublimi posito in infinitum protensae circa perimetrum circularem, quae in diuerso ab eodem puncto plano constituta sit.
287쪽
Oneipiatur in hunc finem circuliis quidam ABC, extra cuius planum in quo iacet , assii matur quodvis punctum D, a quo ducta sit linea A E contingens perimetrum circularem in puncto aliquo Ar agatur vero linea D E circa peripheriam integram ct culi ABC donec in A redeat , hac tamen conditione ut D punctu fixum permaneat, hoc est, ut extremum puti.
i ctum lineae DA, quod applicatum est
ὶe initio circumuolutionis puncto D, ab ipso numquam recedat,tali inquam citacumlatione lineae DE, orietur figura DABC binas habens superficies, una motu rectae DE etformatam, alteram vero circulum ΑΒ C. Priorem appellare solent superficiem praeter basim. secundam autem ipsam coni basim: punctum D vertex coni nuncupatur,axis vero linea a vertice D ad centru bal eos pertingens. 'Ex hac coni descriptione sequitura quo uis puncto in superficie conica assignat posse duei rectam linean, ad ipsum verticem D. cum enim per rectam D A circa basim ABC circulatione facta, producta sit coni superficies, necesse est ut a quouis puncto perimetri ABC duci possit recta ad verticem in Hin e superuacaneum credo demostra re quod rectat omnes sint Iinctae quae a vertice ad quodlibet punctum in conica superficie ducuntur ι proindeque istis este manifestum ex ipsa ratione construendi conum, omnem sectionem quae fit per verticem, triangulum exhibere cuius latera sint in coni superficie. Suppono quoque aeque notum , omnzm lineam a puncto in superficie coni as. 'sempto ductam ad quodvis aliud, quod inetecta non existat qαae ad verticem tendit intra conum ipsum penetrare si infinito utrimque producatur, licet haec omnia pi euerit Apollonio demonstrarer quarum demouiteatιones si lector desideras, in e
Hoc loco occurrit notandum pluribus alijs vijsennum describi posse ι puta citiscumducendo ex eodem puncto. D, in sublimi posito rectam AD circa figuram ellipticam aut quamlibet aliam e conicinis placuit nonsne causa antiquis circuloseis .lo uti,eo quod, ut in desu libri appetu ebit,comn odior figura sit ad demonstrationes formandas: adde quod figurarum aliarum efformatio conum prius supponat,ex quo fere solo ortum habent , praeter vilipsin, quae ut recte Serenus ostendit,o Cylindro quoque excludi potest.
x statellex est conus: alius se sectius est siue AEqui eruris, qui Sc rectus dicitur; alius Scalenus. AEquicruris est a cuius inertice linea ad basim normaliter demista in baseos centrum pertingit. Malenus autem omnis ille conus appellatur, qui perpe dicularem ductam a vetat e ad cn eularem basim . si reus est etiam extensam insatis te, extra centri punctum constitutam habet, quod hasis medium est. Unde rectum quoque dicunt conum qui aequicruris est, obliquum qui scale use discrimen inter utrumque in eo maxime situm, quod rectum conum si per axemplano dispestas, Isoscelium resultabit in partibus diuisis triangulum. cuilibet alteri aequale & simile quod per axem fit i scalenus autem sine numero varia producit trianguIa sectionibus per axem repetitis,quae inter se neque similia sint, neque aequalia; circa quae has sequentes propositiones praemittemus. Ad quas perlegendas priusquam accedas amice Lector,
288쪽
meraque theoremura, quae in hisce protegomenis adferemus, proponi etiam ας 1 demonstrari a Sereno Antin sensi Philosopho ac Geometra , libro secundo de sectione coni. Omnino mihi mumoria exciderat tractatam a Sereno eandem esse materiam: iam enim anni sunt viguiti Se amplius quod authorem illum non legetim Velim itaque, qui haec leget plagii reum me ne faciat: sed cogitet, si deinceps fortasse quaedam mihi cum Sereno communia occurrent, mihi eadam , quae Sereno olim, potuisse incidere, ' .
, PROPOSITIO PRIMA.IN pono scaleno si a vertice linea ad perpendiculum demittatur, & per
verticem,centrum basis , ac punctum a perpendiculo denotatum pla
Dico triangulum per hanc sectionem factum continere maximam ocminimam linearum quae in superficie conica exhiberi possunt. Demonstratio.
'Riplex est hic casus: vel punctum perpendiculo denotatum intra peripheriam baseos existit, vel in ipsa peripheria, vel denique extra ipsum circulu. Pro primo igitur cassi ponatur conus ABC&baseos centrum E: vertex autem B: a quo demissa perpendicularis , occurrat basiimra peripheriam in puncto D , per quod, dc per centrum, agatur planum quod pertingat usque ad B coni verticem; exhibebit haec sectio triangulum ABC nam ex coninstructione coni B A, BC sunt recta lineae; ostendendum est itaque AB esse minimam omnium linearum, B C vero maximam quae in superficie conica
Ducti quavis LG , ponitur ex G re
Gos, quoniam' AD Ct per centrum transit , erit AD minor , Mahi GD,& qqa8ratum' AD, Tmnus qRadrato GD. addimque communi quatiato DB k qua diata AD , DA , minora sint quadratist GD: DB. angulus aisem GDB ω rectus est, quemadmodum & angulus ADB sigi- 'tur quadratum ΑΒ , aequatur e qualiacis AD , D B , quadratum vero G Η sequatur quadratis GD, D B. ergo' quadratural iAU , minus est quadrato G B. ergo linea A Bantinor tecta B G.
Eodem pacto osteniletur recta BC om. Dium maxima : ex puncto quippe quouis v, si ducatur quaevis F B: 8c per D ponatur
ue ADC per centrum transit , d DC maior est quis DF. inde quadrii, 4 li VCD, DB maiora sunt quadratis FD, DB, sed eum rursum anstuli CDB FDRunt recta, quadratum CB quadratis CD. DB,&quadratum FB quadratis FD.
289쪽
DB aequale est. Ergo quadratum CB maius est quadrato FB, adeoque recta CB maior quam FB. unde maxima BC est earum quq insuperficie coni allignari possunt i ΑΒ vero minima. Quod demonstrari oportuit. Iam vero B D perpendicularis e coni vertice demissa cadat in perimetrum circuli AF Cidi eo iterum ΑΒ lineam esse minimam, Se BC maximam illarum quae in superficie coni existunt. Ducatur enim quaeuis BF , iungaturque A P. rursum igitur quadratum B Fa aequatur quadratis AF, AB, adeoque maius est quadrato ΑΒ. unde BF, linea maior est recta Α B: clarum est insiuper B C rectam omnium esse maximammam quadratum BC aequale quadratis C Α, ΑΒ maius est quadrato BF aequali quadratis FΑ, ΑΒ.
Reliquus casus est in quo dato scaleno eono A B C, linea diculariter ad planum BEC productum, extra ipsum conum sign Pquo casu ilico rursum ΑΒ minimam isse, AC vero maxima: Duc tur 'quaecunque recta AG ; , BD minor est DG , igitur quadratum RS aequλιο quadratis GD. D A maius est quadrato ΑΒ. ergo AB mmor est q- , . ramo Catur lam ququis A H;C De maior est quam H D, ergo quadratum ' '' drati, CD. DA , maius est quadrato HK, aequab qaadratis H D, DA- ο ῖ C A maior H λ ' . . In cono igitur scalmo dcc. quod ut demonstrandum .
PRO Pos IT Io II.c Ecetur conus scalenus cuius vertice linea ad basim perpendiculo
O demissa extra basim non caαὶ per eentrum de verticem, lactIone e igulum,ad cuius basim demittatur normaliter recta a Verhibente triance coni. Dico illam intra conum cadere.
290쪽
Vplex est casus; primus quo conus ABC cuius. basis BDC, habet B A perpendicularem a perimetro aliquo puncto ad ver icem ere stam; alterdum linea a νertice ad basim tructa perpendiculariter intra basim cadit. Igitur fiat lectio per centrum F, ω apicem A, exhibens triangulum AD Sostendere iκitur oportet, normalem ex A ad basim DE demisiam intra eonum , hoc est inter puncta D & Eoceuinuam diametria DE. Ducamur enim BD Se B R , deinde ex puncto B ponatur 11 G, noeinatis ad diamettum D E icadet iac necessario tuter puncta D, E Si iungantur AG. quoniam ΑΒ ex hyp. normalis est bali, recta AB in basi ad ipsam ciucta per .defin 3. II. normalis est.ergo qgadratum A E aequatur quadratis AB, B E: hoc est . quadratis A B, BG, G E. quadratum autem AG quod hiMLangitius ΑΒ GV etiam rectus sit aequatur quadratis AB, BG igitur quadratum A Eexcedit quadratuni A G, quadrato G E. unde quadratum A E aequale in quadratis A G. GR angvius ergo AGE, rectus est, M AG perpendicularis. Aequi haec ducta . est a verti ee coni & occurrit Mi trianguli intra conum. Perspicua est igitur verilas propositionis sti casu primo. 'Eodem modo procedet demonstratio si loco lineae A E. stimul linea AD. Quod si pereendiculatis a vertice coni ad coni ha- . sim demissa cadat intra conum ut A F. rursum ducatur FG normalis ad AD, iunga r pie AG. Eodem plane discursu demonstrabimus quadratum A E aequati quadratis A G, EG i adeoque angulum AGErectum esse, dc A G perpendicularem ad basim trianguli A D E, ex quo manifesta in boc etiam casu
in cono 1 caleno per axem facti aequalia Blsunt quadratis laterum cuiuscunque alterius trianguli per eundem axem:
SIe enim AB C eonus scalenus cuius axis B D: per quem fian quaevis sectio BDF : fiat autem ABC triangulum aliud sectum per axem BD. Dico quadrata AB, BC, quadratisi BF, BE esse aequalia , quadrata enim AB, BC ostensa sunt libro' quem de linearum potentiis scripsimus, aequalia esi se quadratis AD, DC. M BD bis sumpto i a tetiam eodem discursu ostensum est quadratis BF, B E aequari quadrata FD, DE vna eum quadrato BD bis sumptor igitur eum FE. AC lineae ea tumque dimidiae FD. DE, AD, CD sint se aequales, patet verita monstrationis. , corosi