장음표시 사용
291쪽
at corollarium. HIne colligere licet facilem praxim cognoscen-- di latera triangulorum quae per axem lecti ἀne facta emergunt,& proportionem illorum inter se.ponatur enim lemicirculus ABC ἔ cui ABC triangulum sit inscriptum habens latera AB, BC aequalia lateribus maximi trianguli alicuius coniper axem lecti: Quoniam ergo quadrata latetum minimi trianguli per axem eiusdem coni aequantur quadratis laterum maxims AB, BC, hoc est
quadrato A Cὶ poterunt Se minimi latera inflecti in semicirculo, quae sint Α D, D C. quod si tertia quςdam sectio fiat per eundem axem , proportio laterum illius trianguli, reperietur necessario in aliquo triangulor'. quod habebit basim AC. α
vertice in uno punctorum quς sunt in parte perimetri BD. cum enim aequalia snt quadrata laterum unius trianguIi quadratis latorum alterius, quod per axem facta sectione resultat, sintque ΑΒ C trianguli quadrata AB, BC aequalia quadratis laterum maximi ιquadrata vero A D, D C aequalia sint quadratis laterum minimi; sequitur latera cuiuscunque alterius, quod per axem coni producitur, in aliquo triangulorum reperiri debere quod basim habeae AC de latera reliqua sest in aliquo punctorum decussantia quς in arcu B Massignari possunt, quod ex decursu sequentium propositionum magis elucidabitur.
IN cono scaleno a cuius vertice denuda perpendiculatis in perimetrum baseos cadit,si quod uis triangulum per axem sectione facta exhibeatur: Dico quod normalis a vertice coni ducta ad basim trianguli eadet in circuli perimetrum qui describetur diametro intercepta inter perpendi- cularem a vertice ad basim ducta & centrum baseos eiusdem.
It igitur ABC conus cetru baseos D. a coni vertice A recta AB demissa perpendiculariter, cadat in Rpunctum perimetri baseos BEC, descripto deinde circulo BGD, super diametro BD, agatur pIanum per axem quodcumque A E F,exhibens triangulum A E F; cuius basis primo secet circulii in punctis DGrad G ex A puncto verticis, demi latur Α G. Dico illam esse quae basi EF normaliter insistit i ducatur enim recta linea B G, iungaturque
BF. Quoniam igitur ex hypothesi A B teaia est plano basis B CF
angulus A BF rectus est: adeoque quadratum AF aequale quadratis AB, BF: hoc est, quoniam angulus B GF in semicirculo etiam rectus
292쪽
ad punctum contactus , quod idem est cum s Γ centro basis coni BHC: iunganturque Α E, V AF r quoniam ς anguli BDE, BDF recti sunt , & E D latus lateri D F, ac B D sibi ipsi
atquale est , etiam bases B E, BF aequales e- runt. ergo quadrata BE, BA, quadratis BF B A aequalia sunt. Atqui quadratum FA ae- Dquatur quadratis BF, BA, Ac quadratum EA quadratis BE, BA, quod recta AP plano basis coni sit recta , adeoque anguli / a ABF, ABE recti : quadrata igitur FA, IJ E A, ac proinde etiam rectae F A , E A qquantur .Quare cum in Isoscete FA E, basim bi- isecet AD , erit haec . perpendicularis ad
basim . Itaque in hoc etiam casu perpendicula- -- V ris AD est ad circulum BGD PTertio si triangulum per axem, transeat per ΑΒ normaIem a vertice ad basim coni duetam, ac proinde eius basis ea de n sit cum B D C: tum perpendiculatis a vertice ad basim manguli, eadem quoque cri ςum perpendiculari AB quς ducitura vertice ad basim coni. Quare etiam hoc casu tertio perpendicularis ad basim trianguli ad circuli periphoriam existet; m cono igitur scaleno, flec. Quod fuit demonstrandum.
Conus scalenus a cuius vertice perpendicularis cadit intra 'conum , si secetur per axem exhibens triangulum, ad euius basim normalis diueatur a vertice procedru i - i Dico illam perim etfo circuli occursuram cuius diameter aequalis erit lineae inter perpen dicularem a Dertice coni & centrum baseos eiusdem
293쪽
DG: erit igitur quadratum AG aequale quadratis AD, DS, hoc est quadratis AD, DE, HG: quadratum autem AH aequale est quadratis AD, D Hr igitue cedit AG quadratum, quadratum ΑΗ, quadrato HG: igitur quadrarum Λ G, quadratis AH, H G est aequale,adeoque recta AH normalis ad lineam FG. unde patet normales omnes a vertice Α hoc in casu ad bases triangulorum per axem demisias in circulum D HE cadere. Casus seeundi & tertii quando basis trianguli aut contingit circulum D H E, aut incidit in BEC, eadem est demonstratio, quae pro usdem casibus superiori propositione allata est , conusigitur scalenus, dec. Quod fuit demonstrandum.
in cono scaleno perpendicularis a vertice ad basim ducta extrao basim cadat, productum sit autem sectione per axem facta quodcunque triangulum: Dico normalem a vertice ad basim trianguli ductam, esse ad peripheriam circuli, cuius diameter est recta inter centrum basis coni de perpendicularem a vertice ad basim coni interiecta.
EXtra basim eoni scaleni ABC perpendicularis a vettiee cadat recta AD. actaque per Centrum baseos E , recta DE circa quam circulus deseribatur DHE, ponatur quodcunque triangulum per axem FAG: & protracta GF usque ad periphetiam circuli DHE ponimus enim primo basim EF secare cireulum D H E demittatur deinde recta AH ex puncto verticis Α, ad punctum quo secatur circulus D HE a linea GF. Dico illam fore normalem, ad recta m GF productam. ducantur enim D G, DH: erit igitur quadratum A Gaequale duobus quadratis A D. D G: quoniam A D normalis est ad planu haseos productum, adeoq; etiam ad DG bis
294쪽
hoe est tribus quadratis AD, DR Η G, cum D HE si in semicircnto angulus rectus; sed quadratum H A aequatur quadratis AD, D H, quod angulus ADH iterum rectus sin igitur quadratum AG excedit quadratum AH quadrato HG. . unde AG quadratum, duobus quadratis ΑΗ, HG aequale existit : quare angu- Ius tectus est ΑΗ . estque punitium H in perimetro circuli DHE ex constructione; manifestum igitu est in primo casu omnem normalem a vertice scaleni
ad trianguli per axem basim in circuli DHE perimetrum incidere. Secundi casias tertij que quando basis trianguli aut contingit circulum D HE, aut incidit in rectam DEC, demonstratio conuenit cum ea, quam propos . pro hi domcasibus attulimus. .
Si igitur in cono scaleno, &c. Quod suit demonstrandum. forestarium primum. TTInc patet in omni casu quo E vertice coni scaleni ad basim eiusdem protractam,
emittitur perpendicularis,extra basim coni, in triplici differentia producenda triangui mr δη- - ιsium liqearum quae a vertice ad bases triangulorum norm Iite dycu ur, qu dam ocέuprant punctis circuli DΗE, quae extra conum sunt, notanul ractis in raeum. Gqstitutis, duae autem numero ipsi perimetro basicos, videlicat I K,quqd p tqt ex pArtibus circuli DHEt quarum nonnullae extra baso o i Η, qvRd ni ver4 in , puricta vero I de Κ, Cum lint intersectionum necessuio, a vetemvn cuculorum Consistunt.
rossarium semiam. DExpendiculiaris incidens in perimetri DHE, punct- E, quod idem est cum
A cςmtob tac*M, Rommum maxima. sit enim alia quaevis AH. quae ipsa etiam iam Hiit in perimetr in D HL, M iunge DH: quadratum E A aequatur quadratis i. Utem si Di di Ueter circuli qua uis alia tecta ducta intra circulum ι- pqoιud: & re. . DII mi in esti erunt quadrata ED, D A maiora quadratis DA, luicen ii auo u A. Ru re quaseatum E A maius quoque est quadrato HA , & tecta EA ivvior quam HA. Quod autem EA maior etiam seculna Α L , manifestηm est, cum in triangulo EAD, opponatur EA recto, AD acuto, EA Maiorem esse qua gis alia v. g. HA: sic quoque Ac breuius ostendemus quoniam II A ex hypot si normalis est ad basim . GF trianguli F A G , angulus AHE ctus est, adeoqius alιer ΑEH acutus. Quare EA opposita angulo recto. maior est quam*Α quae acuto opponitur.
295쪽
Perpendicularis vero quae incidit in punctum D, ac proinde eadem est cum recta AD quae a vertice ad basim coni normalis ducitur, omnium perpendicularium est minima. Ducatur enim quaevis alia perpen dicularis AH, inam quod ΑD mino sit quam E A, iam ostensum est y erit haec etiam ad peripheriam D HE: Lungatur DH: in triangulo ADH, AD opponitur angulo acuto A H D; AH vero angulo ecto ΑDΗ. ergo minor est AD quam ΑΗ, Hoc corollarium verum quoque esse in casibus duarum praecedentium tueoromatum, eadem plane demonstratione probabitur.
PROPOSITIO VII. IN cono scaleno dato exhibere minimum triangulorum sectione per
axem facta. Construitio re demonstratio.
COnus scalenus ABC, daatus sit, cuius vertex B: sen trum baseos D r axis vero B D. demittatur ad basim eoni perpendicularis BF. & iungantur FD. quae continuetur usque ad perimetrum baseos utrimque iuA 3c C, faeta igitur sectione coni per apicem si , de lineam A C,producetur triangulum per axem AB C. Dico hoc esse
minimum eorum quae ex cono ABC possitnr educi per axem lectione facta.Demonstratio est manifesta ex corollario 2.propos praeced. fiat enim quaevis alia semo per axem, scilicet B G HrM E verilee B demittatur norma- litet B I ad diametrum GH, iunga-
296쪽
iungaturque recta FI. Cum BF recta sit plano AH C, angulus BFI rectus eriti quare angulus BIF acutus est. maior ergo est BI quam BR itaque cum triangula GBH, ABC aequales habeant bases GH, AC, erit ABC triangulum minorem habens altitudinem BF, minus triangulo GBH . maiorem habente altitudinem B L Similiter ostendemus triangulum ABC quouis alio minus esse ex hibuimus ergo, &c. Quod erat faciendum.
IN cono scaleno assignare maximum triangulorum quod sectione quae per axem faci a educi potest.
9,ummo in demonstranst. SIt conus scalenus ABCD,
per praecedentem vero propositionem inueniatur triangulam minimum eorum quae pCraxem fiunt,fiimirum A B D: deinde per centrum E collocetur CE G diameter numaliter ad rectam BD, secunia quam Beverticem A plano ducto statua. ut triangulum AC se. Dico hoc omnium esse maximum. ex casu enim secundo propositionis uuartae patet ΑΕ norma. Iem esse ad basim C G . x ex corollario secundo propositionis sextae patet perpendicularem A E, ad basim trianguli C Α G, esse maximam omnium peppendicularium,quae ad bases reliquorum per axem man. igulorum ducuntur.Quare cum omnium per axem triavulorum. bases sint diametati basis coni, aeproinde aequales, triangulam C AG maximam habens perpendicuci, larem, hoc est altitudinem, omnium est maximum; in cono igitur statςno exhibui.
mus, ctrc. Quod erat faciendum. γ. .
297쪽
corolgarium pomum. HInt 8c ex corollario secundo sextae huius patet triangulum maximum sectione per axem ad triangulum minimum, factum eadem iectione, esse in proportione, axis ad centrum basis ducti, ad perpendicularem AF, in fig. propositionis septimae: cum illς utriusque trianguli aequali basi insistentis perpendiculares sine. Corollarium sicundum. t Atet deinde in cono scplcns triangulum maximum facta sectione per axem naistum, I scelium esse, chm Α E perpendicularis ostens, sit secare lineam C G in Isreo aequales.
PROPOSITIO IX. PRopositum sit in cono scaleno triangulum per axem exhibere quod
cum minimo triangularum pes eundem facto datam obtineat rationem : quae tamen maior non existat illa quae est inter triangulorum maximum & minimum sectione per axem facta productorum. Constructio . demonstratio.
quam normalis cadat AFinis sit A E, centrum basis E. Ra . tio aut Ota G M ad te. Et quoniam 'la ponitur non m ior rationet maximi per axem trianguli ad minimum, ne qu malor erit ratione ipsius AH ad AF, H colligitur ex coroll.
praeced: Ducto iam per A, RE, puncta plano produςatur triangulum ABD quod per. 7.huius erit minimu per axeratriangul orum: a si umpi a desede recta G H, q usi sit aeq uali. EA, describatur semicirculin GI H. cuius diameter GH, & r. a: AF aequalem III inscribe semicirculo: donique vi N ad M, ita fiat HI ad H O, quae ex puncto H aptari poterit in semia circulo iliter puncta I, c L cum ratio dδ a Mad N, non sit maior r tione A E ad AF, hoc est iob linearum ex constr. aequalitatem, HGad III. Deinde iuncta OG quae cum H O angulum rectum constituet,utpote in semicirculo, fiant G L,GK aequales semidiametro EB, iungaturque H L, ΗΚ. Quoniam igitur bases B D, L K aequa -
298쪽
les sent, triangulum L HK erit ad triangulum B A D, ut perpendicularis Η Ο ad perpendicularem AF , hoc est vi H O ad HI, hoc est ut M ad N restat igitur visitum huius trianguli in eono ABCD assignemus, assumpta linea PQ quae sieaequalis HO, describatur interuallo P in semicirculus P RQ. deinde aptetur in semicircuIo PR aequalis HI, hoe est A F. 8c iungatur Riat tandem super baseFE fiat triangulum ex lineis o G, R in nimirum F S E , ut E S ipsi O G , se F Saequalis sit QR. tum per E & S agatur diameter Tu, ponanturque AT, AR& AS. Dico triangulum ΑΤ V, esse aequale triangulo Ι. ΗΚ & fiinile.Quoniam Α Fducta est normalis ad has m eoni,erit angulus AF s rectus, Ec quadratum ASaequaIe quadratis AF, FS, hoc est squia ex constructione AF est PR, de F SestR in quadratis PR, R Q. Atqui etiam quadratum P Q aequatur ijsdem quadratis P R, R Qi igitur quadratum AS aequale est quadrato PQ , adeoque derecta R Saequalis est rectet PQ. hoe est rectae Ho. Iam veris AS normalem esse basi TV,ve H Ο est basi LX, sie ostendo. Quadratum H G aeouatur quadratis H O, GO: quare cum ex constructione A E ipsi H G. M S E ipsi O G, de ex demonstr t. A Sipsi H o sit aequalis, aequabitur etiam quadratum A E quadratis A S, S E: ac proin inde angulus A SE tectus est, & AS perpendicularis basi. Quare cum in triangulis L H Κ, Τ Α V de bases Lx , T v ex constructione, & perpendiculares siue altitudines H O, A s, aequales sint, ipsa quoque triangula erunt aequalia. Insuper cum o G ipsi SE, de G R ipsi E v aequales sint, erit O K aeq ualis S v, sed de Ho ostenta est aequalis ΑS. angulique HOG, Α SV rectiunt&aequales. Ergo HK aequalis est A v. similiter osten tam H L, aequari A T. Itaque similia etiam sunt triangula L HK , TAU. Quare assignauimus in concis leno triangulum per axem Α TV quod ad trianguIum ABD, habet datam rationem M ad N. Quod erat faciendum.
SI eoni scaleni triangulum per axem, ad verticem angulum rectum
Dico omnia per axem facta angulum rectum continere.
299쪽
Calenus conus secetur per axem sectione ABC, quoditriangulum producat hahens angulum ad verticem B rectum: secetur autem quouis alio per axem plano exhibente triangulum BFE. Dico angulum FB Rre. ctum e1Ie. Quoniam angulus ABC est te.ctus, quadratum AC aequale est quadratis AB, B C ὲ sed sit pra. ostensum est quadrata AB, BC aequar quadratis FB, EB. Ergo quadratum AC aequatur quadratis FB,ΕB. est autem FE aequaIis rectae A C , ergo de FE quadratum ijsdem quadratis FB , BEaequale eriti quare , angulus FBE rectus. itaque si eoni scaIeni, S c. Quod fuit deis monstrandum. Scholson.
per verιicem quidem transeunt, minime vero per axem I quae cumsine numero ι, hinc determinarione exigunt vis alio sproblematum qua circa ea versamur, r
PRatre triangula qua eruuntur ex cono sectione per axem facta, alia quoq3 assignantur qua
PROPOSITIO XI. sono tacto acutangulo & rectangulo impossibile est triangulo per
:m facto, aequale triangulum exhibere non per axem . siue triangulu, per axem maius est quolibet non per axem. Demonstrauio. 'p Amsi fieri potest , ponatur triangulum
aliquod AEG non transiens per aXem A F,ςquale triangulo per axem ducto B A C,
quod ita in cono dumim concide, ut eius
basis BC sit parallela basi E G, quod fieri
posse constat, cum omnia ii, cono recto p axem triangula sint aequalia. Ducatur ex Centro F recta. F D bisecans basim EG , iunganturque A D. FE , 5e super tecta HKaequali ipsi A E , constitue bina triangula H IJ , HL Κ, aequalia de similia triangulis AER ADE. sic ut latera HI, IK, lateribus AF, F E, & latera H L, I, K, lateribus AD, DE qqualia sint, adeoqua angeli Ide L,angulis A F E, A D E situ aequales. Quoniam isitur axis A F ex hypot. rectus est plano basis, eritς angulus AF Erectus. Angulus
quoque ΑDE rectus est, ut colligitur ex demonstratis in secundo casia 'ii artae huius. Quare tecti etiam sunt anguli I Sc L, puncta igitur I, L, H, K lunt ad circulum cuius diameter HK. Et quoniam conus datus est rectangulus vel acutangulus, axis AF erit ei
300쪽
vel aequalis semidiametro F I, vel nisi . Quare cum ΑΙ ipsi A F, & IK ipsi F E AH
sint equales erit quoque HI aut aequalis IK,aut maior. Ergo vertex I trianguli AI Κ, vel hi lecabit Moum HI Κ, vel prit altetu ictum bisectionis versus K. Deinde quia Α D,hoc est A L,maior est qua AP hoc est H Iaerat arcus H L maior arcu H I, ac proinde vererat L trianguli H L x non istum cadet ultra punctum quo bisecatur arcus H L Κ, sed etiam pmpius adhuc anta et versus M quam ahemusarianguli ear gedi I. Minor igitur est altitudoit transula HL Κ, quam trianguli H IR , a docique mimus est ΑLΚ hoc est AD Ε, triangulisti, triangulo 1 I hoc est AFE. At. qui triangulum A FE aequatur triangulo AFB, cum omina viruis e lateta viscissim sint a qualia. Ergo mangulum ADE minus etiam est errangulo AFB t M.toinde triangulum EAG duplum ipsius ADE l est enim EG ex constructione iis M D in minus est triangula BAC duplo ipsius ΑFB. si maliter demon tabliamus au duis aliud mangulum quod per axemnoa fit tactum , minus esse etiantula Per axem. In cono .gitur recto, dcc. οι erat demonstrandum. Quod autem in demonstratione fuit assumptu, in recto) nem pe cono acutangulo axem semidiametro basis esse malarem, In eono vero recto restagulo aequalem, paucis si e demonstrabo. Sit conus rectus acutanguius sectus triangulo per axem BAC. quoniam in
triangulis BF Α. CF A, latera B A, C A, B F, FC aequalia sunt, Ni F A commu- me, amuli quoque F ΑΒ, F AC aequalia sunt, sed totus B A C est minor recto vi. poth acutus, angulus igitur F Α Β ipsius dimidius minor est semitecto. Quare cum augurus BFA rectus sic, erit reliquus ABF minor semirecto, hoeest maior angu νήρ D F A B. ergo axis A F minor est semidiametro F B. Quod si eonus fuerit rectus rectanguIus,tune angulus B AC erit rectus, ac proinde B Α F, dimidius totius B AC, semirectus est. Quare cum angulus BFΑ rectus sit, ne sie est, o reliquus FB A etiam sit semirectus,tadeoque aequalis angulo B ΑF. unde axis AF &semidiameter basis coni aequales erunt.