장음표시 사용
301쪽
axem habens B dc ratio maioris inaequalitatis Κ ad L. oporteat triangulum exhibere extra axem ad quod B E Dtriangulum per axem datam habeat rationem K ad L '.
πX puncto D ad B E normalem. ducito DL fiatque vi K ali, sic DI ad M. Tum quadra Μaequale fac rectangulum Sequoniam quadratum M minus est quadrato DI , hoc est quia ex angulo recto BD E ad basim ducta est normalis DIJ rectangulo BI E, erit quoque B N E rectangulum minus rectangulo BIS erigatur dC- inde ex puncto N normalis N Opar rectar M, iunganturq; B O, E Qu
302쪽
Quoniam igitur quadratu N Oaquatur quadrato in hoc est tectangulo BNE , erunt B NO , NE tres continuae. Angulus igitur BOE rectus est. Quare cum triangula BOE BDE nuper ea deui bali BE ν-traque sint rectangula, 6c unius nempe BOE altitudo NO minor ut altitudine alterius DI,patet alterutrum E lateribus B O, OE maius este alterius trianguli latere BD, quod idem ei cum axe coni. sit latus B O maius axe BD: eritqι hoc nihilominus minus latere coni BE, siue BC. Quoniam igitur latus B O maius est axe B D, ω minus latere B Ointra conum aptari poterit expuncto II ad diametrum AC, recta AG aequalis lateri BO. factum sit. de ex G ad B G normalem duc GF de iunge BF. Quandoquidem anguli BOE, BGF recti sunt, quadrata B E, BF quadratis BO, OE; BG, GF arquatia sunt; sed quadrata BE, BP aequantur, aequantur igitur quadrata BO, OE, quadratis
BG, GF. Cum igitur quadrata Bo, BG ob rectarum ex constructione aequalitatem, sint aequaIIa , reliqua etiam OE, GF aequalia erunt. aequantur igitur rectae
OE, GF: in triangulis ergo BO EI, B GF singula singulis latera sunt aequalia.Ergo ipsa quoque triangula sunt aequalia. Atqui triangulum per axem BED ad triangulum BOE eandem habet rationem quam normalis D I ad normalem N O. hoc est quam DI ad M, hoe est quam Κ ad L: ergo triangulum per axem B E D ad triangulum quoque BGF rationem eandem habet quam K ad L. Exhibuimus ergo trianguloper axem , &c. Quod erat faciendum.
IN cono recto triangula non per axem ducta, quorum bases in eodem puncto se interseeant, habent perpendiculares ad bases e vertice ductas, iri peripheria circuli cuius diameter est recta inter centrum basis conicaedi puncturi intersectionis interiecta.
303쪽
N cono recto ABC interk-- coni sese mutuo in E puncto quaevis hales F E G.IE K triangulorum non per axem FBG, IB Κ, S: circa DE, in et Cenistrum D de E punctum interiectum describe circulum D HLE i dico perpendiculares avertice B ductas ad FE G. IE K, incidere in peripheriam DLE. iungantur enim B L. B H, D L, D H. erit angulus DL E in semicircu Io reaus avnde. rectae IL Ec LΚ aequales erunt; est autem recta B I ae. qualis B Κ , igitur otiam BL normalis est aci rectam I K. 6- militer ostendemus L normale esse B H ad FG. ergo omnia triangula per E punctum M
verticem ducta normales suas inuenient in perimetro circeIli DLE. quod oportuit demonstrare.
intersectionis punctum E aut iκιν. basim dari ρσὰ,aut m perimetro basis, aut extra basim ι ut hic triplex caseis oriatur. Vimus, quo circestus D E H totus base comprehen dirurfecundin quo idem accurris pancto perimetri AIC eundem contingendo: in quo casequarta in pars circuli, qui sanitur basis vice tori ABC o renius meroqvi extra basim diffusus circulum basenserar in duobus panctio sed quia triplex bis casius diuersitatem necis isse constructione, nec in demon Iratione indueit, hine silentio tam in proposi ione quom demoν
IN cono recto exhibere triangulum quod per apicem coni & pun
ctum datum siue intra, siue extra coni baum transeat, habeat Vero ad triangulum per axem datam rationem. Confisustio demonstratio.
'Onus esto ABC reeius,5c per eius axem facto triangulo ABC detur punctum quoddam D. Oporteat vero per punctum D, & verticem coni constitia eretriangulum E B F quod ad triangulum per axem ABC rationem habeat I ad K datam. Inueniatur per duodecimam triangulum L B M. quod habeat ad triangulum ABC rationem I ad K. Deinde ex D puncto ducatur DFE, se ut FE sits ... a. aequalis ipsi LM. per ea quae de circulorum v proprietatibus conscripsi di & secun--ιωβι. dum EF N B, agatur planum, hoc ipsum exhibebit triangulum postulatum B E Rerit
304쪽
erit enim EBF aequale triangulo B L M, cum basis LM aequalis fit RFex con. structione, Et Iineae E B,F B non solum sint aequales inter se, sed etiam sine aequales tecus L B , B M. Igitur perfecimus quod imper tum fuit. Seboison. Hactenus conari utrunqueFumvisectiones coni explicare quaper vicem transeunt siue in
recto,siue in se aleno cono: quia vero apud antiquiores maxime Archimodem, alia nomen inciatura insignitin reperies reliqu- coni sectiones, quarum explana mnem sequentibus tibias prosequi μιendimus. nc opera pretium iaHeaui amitteres adrem hanepertinere via
In dubii disserentia conos esse posuimus alios sicitura rectos,alios Faunos antiqui ven eos in triplici disserentiaeposuerunt. Au tam diserunt conos rectangulos, nonnulus acutiangulos, alios denique obtusiangulos, denominationes ta ab angulis quos sectis per axe acta
contineres ad verticem coni; et de istis dimnctio tonorum rectoram es Faunorum ignota fisse videtur, cum salinin consu, omnis generis angulos admistat ad verticem , variat tum modo, sicundum diuersiostus, sectione ter axem. Rectangulam uaque conam vixerunt conum I telisis qui nullam admitteret varietatem in triangulis per axem exsergentibin, omnes alios angulos exeludens praeter rectum. Conam vero rectangulum prius ἀμscebant δῶ-Fone per axem, ortique inde trianguis latus abo plano secabant ad angulos rectos quod insuper si triangulo esset orthogonum: qua ectionem aveniant estnirectangati, retentures autem parabolam dicunt. Conam vero Matiangulum iEter Issebum partiebantur bifariam per axem, ac primo quidem siectionem per axem continuituebam; deind triangalam exsectione νer axem roductum, aliosecabant plano, quod tam plano quam ureri trianguli rectum essen, afflebat si alteri quoque erurum oecurrens, figuram alter forma proferrent, ct ερον booti longe iuuersam, quaestifices rota clauderesur intercapedune linearum rectarem triansul, per axemi sectione inde resul antem coniacutianguli dicebant I celem, derigae eonum obtusianguiam , eademyrari or per axem diuidebant, deinde plano ad unum laterum , es ad i mariangulam recto per conum acto figuram formabant quam coni obtustaneali morabant,quata idem recidit eum h perbola retenturam.Hac igitur antiquorum ratu diuid di conum , are. Atioribus maxime vero ab L 'Aonio, nonnihilus immutata: onmenim qualisianquesit
natu fatale corpuι est, ex quo singula harum siectionum eruiposnt quassuis enim trian
305쪽
rens magis mina e aturum aut obtusim. Infinitae auum varietates oriuntuν in quovis cono
super circati proprietares cum ex elemensusupponaAιαν omnibus noI , serviant reae o com mode demonstrationibus pro fissonum quae ex cono eruun/ώνr Ellipseos autem ttim accidensia Inora torustra ea aa sere ν ad theoremaram aut problemastim me Iates manifest-υ. mill a vero rario mihi mideran aia Elgi es in cons assignari queans e numero inferse Haesa alproinde pro singuis deleres marari axis coni : non enim ijdem esse possunt axes
pROPOSITIO XVI. IN cono quocunque omnis sectio basi parallela circulus est. Damon ratio.
DEtur conus ABC cuius basis BG C.,de sectio EF
equi distans plano baseos dico D EF elle circulum. ducantur enim AH per centrum & AL quaevis altera in plano trianguli per axem
BC diametrum, & iunctis AG, AI occurrentibus sectioni DEF in E & Κ, iungantur ME, NK: quoniam plana aequi sistantia sunt
306쪽
igitur ME, ad H G, ve AM ad AH, hoc est ut A N ad A L, hoe est ut v K ad I Lliaque permutando Μ E est ad N K. vi H G ad L I. adeoque fit quadratum M E ad quadratum N K vi quadratum H G ad quadratum L I. sed quadrato HG aequato est BHC rectangulum , Sc LI similiterquadratum aequale rectangulo B LC. Igitur ME quadratum est ad N K quadratum ut BHC rectangulum. ad rectanguinin BL C, est autetia vi H H C rectangulum aὸ BL C rectangulum, ita rectangulum D M F ad D N F rectangulum, cum ex ijsdem rationibus composita sint: igitur quadratum M E est ad N K quadratum, ut rectangulum D M Fad DN F, rectangulu. Iam vero D M est ad B H, ut A M ad AH, hoc est ut ME ad HG. ergo permutando D M .st ad ME, ut B H ad HG. sed B H, H G sunt aequales, ergo dc DM, ME aequa. les sunt. Igitur quadratum D M, hoc est rectangulum D MF snam cum B C sit bisecta in H, erit de DF in Mi ςquatur quadrato ME. Quare cum quadratum ME, ut supra ostendimus, iit ad quadratum N K, ut rectangulum D MF, ad rectangulum D N F,etiam rectangulum D N F,aequabitur quadrato N K. Denique cum D F, BC sitit parallelae itemque GH, EM,& una GH sit normalis ad unam BC, erit altera E M normalis ad alteram DF: similiter ostendam KN normalem elle aὸ DF. Itaque cum normalium E M, K N quadrata et qualia sint rectangu Iis D Μ F, DN F, sectio DE, E F circulus est. Quod fuit demonstrandum. Coroliarium.
HEX diseursu demon strationis liquet centrum circuli DEF esse in axis puncto 2,in
quo nimirum axis occurris Lectκ DF, quae est communis sectio trianguli per axem de circuli DEF.
PROPOSlTIO XVII. IN cono scaleno circulum exhibere qui basi aequid istans non sti
CCalenus conus ponatur ABC se-Octus plano per axem proferente trian lum ABC minimum illorum V ae Per axem fieri pollunt erit illud scalςnu . cum omne scalenum sit quod
per xeni fit praete in axiἡadmper cor. a. octauae: angulus ititur' ABC minor ponatur angulo Assi quare fiat an egulo ABC aequilis AC D oc pet tecta D C dueplanum tectum ad trianguluABC: Diςo sectionem inde nitam'
D L C esse circulum .' Ducantu estimi.
duo alia plana basi parallela'FLs,
H MK, quorum communes secti diae. cum plano DL C sint recta; EL, I M. ex γ. huius patet basi in coni ad mirumst triangulum ABC rectum esse.ergo tialia plana parallela FLO, HMκttiangulo ABC recta erunt: sed ZepIanum DL C triangulo rectum est. ergo Communzs sectiones LE, MI, rectae sunt triangulo,adeoque de lineae
D C. Quoniam autem FLG, HMΚ, circuli sunt pes praec dentem,& EL, IM ncirmales D C, eri tam rectangulum FEG aequale quadrato E L, quam rectangulum HI Κ, quadrato I Μ , quia vero similia scin triangula DI H. N I K C, cum angulum C D, sit ex constructione aeis quaiis A U C hoc est D HI: erunt puncta H D K C in eodem circulor similiter ostend m
307쪽
intndam in ui quoquo F D,G C esse ad circulum t quare rectangula DIC, HI K aequalia sunt,uti de rectangula F E G. 8e D EC : ac proinde aequalia etiam quadrari eis IM M EL perpendicularium ad DC. Igitur puncta D M L C, circulus est ei, intestae DC est illameter igitur,dcc.
PROPOsITIO XUIII. Osrendendum modo est in quovis cono staleno duos axes esse.
onus itaque scalenus ABC secetur plano pςr axem Bia quae ex vertice B ad centrum circuli ΑGC baseos protenditur: triangulum productum ABC 2Ceeur recta CD, quae angulum B C D sinuaIem exhibeat an is BAG&diuida- tue DC hiuriam in F, ω iungatur BF. Dico illam esse allem secundum huius coni: quod ita patebit, praecedenti proposition. cistensum est sectionem fictam petrectam DC, eo modo quo illle praeceptum fuit ia circulum produceret igitur recta ex apice B ad punctum F quod huius circuli est omissa axis nomen obtinere deis het ex ipsa axeos definitione i restat igitur ostensne B F E retiam non esse Iineam siue BF productam non incidere in E centium basis, M pioinde BF axem egealium ab axe BR quod inde patet, quod E 8 recta sit aequi distans lineae AB,cum secet duas rectas CD, C A bifariam. Igitur grina in linea EF B, sequetur dual parallelas sese intersecare,quod est absurdum.Conltat intur omnem conum scalenum duos axes admittere. Quod demonstrandum suu di
308쪽
Ll As proprietates dBusque naturam methodice propositura, rem tot an in sexparres aevidereplacuit. Aeprima quιdem e cono setitionem educit, a festionesque si in eisinnales, dein atridentaler reliquis neressariaεσfundamentales. .
Meunda ess m aeuirit issi quesctores . sigmenta comparat.
Tertia, amu' ac tametrorum toniugatarum tam aequanum quam inaequiarum amplurem continet considerationem. Ac illarum primo quidem contemplatur potentiam : deinde bneas, quae extrema diametrorum coniungunt.
AEuan monu polos eorumquepasones ae bneam breui imam a puncto in axe dato adperiberiam designat. quanta marivi et sis genesis quae tam ex tineis, tum e circulo, tum ex Ese et si
Sexta et sim cum circulo comparat, in qua bis etiam ordo tenetur , it primo lunearum proportiones ac potentiae cundo sigmenta in ipse mones, dein figura viri, instripta intersi constrantur. Carerum propositiones nonnulla butin b,riae siquentium duorumpunt sepol nii, sed ita longe aba a me demonstruae, paucis exceptu, quM nihιώmιnus cateris apponeremisium sim ne quid boe in opere quod ad Gnιcam doctrinam pertineat, Itudosius Geometria lictor desideraret. Caetera omnia, qua longe maximam atque praecipuam operis partem eonstituunt, a nobis F inuenta sint in demonstrata. quare si quis in
recentium quorundam Geometrarum tibia theoremata quaedam reperiat qua cum nostris conueniant, is me musigat, ea ab annis iam plurimis ae multo antes se a me reperta, quam aut borum disrum libra in lucem prodierint. aeua paucis lectorem meum docere mota, non it cin quam inuentu durabam, sedit plagis sius icionem
309쪽
Dyameter ellipseos est: recta linea intra ellipsim ducta , quae omnes lineas,r istae cuidan aequi distantes bifariam diuidit. 8c si quidem ad rectos illas secet angulos, axis dicetur : in quavis autem ellipsi bini esse axes,& quidem coniugatos qui extremae dicuntur diametri in hoc est qui mutuas parallelas bisecent ad angulos rectos, suo locq pMqbit. . Ii I. Ordinatim ad diametrum applicari dicitur unaquaeque linearum aequi distantium, ac bifariam diuisarum.
Centrum ellipseos est punctum quod diametrum bifariam diuidit. Quod autem lineat in ellipsi per centrum ductae bifariam secentur, propos septima huius libri demonstrabimus. IV. Di ametri coniug3xae dicuntur quae mutuas parallelas bifariam secant
Latus rechtam voco lineam,iuxta quam possimi ordinatim ad diametrum applicatae. siue, latus rectum est mensura iuxta quam comparantur potentiae linearum ordinatim ad diametrum positarum.
D Es in exemplo erit clarior: sit ABC ellipseos diameter BD illiusque latus rem frum repraesentet FBr iunctisque Fri sumantur in diametro puncta uuaeuis M dicitiantu tuue ΗG normales diametro BD, occurrentes FD in I t singula igitur quadrata ordinatim positarum aequalia erunt singulis rectangulis B HI, v propositione undecima huius demonstrabimus quae deficiant a rectangulis
P B H. rectangulo simili, ipsi FB D. ADiuili Oid by Gorale
310쪽
Atque ita quidem latus rectum tum Apollonius, tum caeteri illum hactenus secuti exposuere.Vetum mihi minime videtur necessarium vi latus rectum diametro ad rectos applicetur angulos : de quadratorum ac rectangulorum loco possunt Rhombi ac Rhomboides inter se comparari. itaque ad veterem lateris recti acceptionem, nouam aliam adiicio eiusmodi. ad ellipseos diametrum sine ordinatim positae quotuis rectae GH : & quaedam BP latus recturiv, aequi distans ponatur ordinatim
applicatis : snguli ordinatim politarum I bombi Il Gin angulis IH B aequales erunt singulis IH B Rhomabo idibus in iisdem angulis, qui deficiunt a Rhomboidi bus FB H per Rhomboides similes Rhomboidi FBD,
Demonstrationem huius vide Propos. .huius libri. Porro latus recta eo ab antiquis consilio inuentum est, ut certi aliquid α noti haberent , per quod r eliquas sectionum proprietatus intelligere ac notas sibi reddere facilius possenti x vi in singulis coni secti finibus illae plane diueri e sunt, ita de latera recta diuersas in singulis obtinent passiones I & re ctangula lateribus rectis ac diametrorum partibus inter verticem earundem dc pim-cta quibus ab ordinatim positis secanti ir interceptis contenta longὸ diuersam in sinispulis, ad quadrata ordinatim positarum habent proportionem; in ellipsi quidem quadrata illa deficiunt figura limili illi quae latcre recto dc transuerso continetur a reis elangulis praedictis; in parabola iisdem aequantisti in hyperbola vero excedunt fi- tura simili illi, Sce. Unde α nomenclaturam tingulae luam sortitae sunt. Caeterium uti potentiae ordinatim positarum ad diuersas diam ectos , diuersae quo isque sunt, ita de diametris singulis. proprium Sc unicum latus rectum allignatur: quae omn a, uti de lateris recti inuentionem,iuis locis demonstrata inuenies.
v I. Figura est rectangulum quod latere recto & transuei se id est diame.
tro, nam si la quoque transuersa vocari solet) continetur. VII. l
poli seu soci ellipseos, puncta sunt quae ex comparatione facta vocat .Apollonius) in quibus axis diutius rectas gulurn exhibet sub segmentis contentum aequale quartae parti s gura: de quo suo loco agendum.
Sectio subeoni talia es quando conus plano per axem sectus triangu- Ium producente , alio rursum secatur plano , quod abscindat striangulo producto triangulum simile quidem, sed ita positum ut anguli qui in utroque triangulo sunt aequales ad diuersa sint latera. t ti