장음표시 사용
311쪽
Sectionem e cono educi Aprima I ac essentiales eiusdem exhibetproprietates. PRO Pos ITIO PRIMA.COnus rectus AG C B sectus sit plano per axem faciente triangulum
AB C. Secetur alio deinde plano basi coni A G C non parallelo, cum utroque trianguli latere conueniente in D dc F : ex qua sectione producta) sit in cono figura DEFN , communis autem sectio illius plani secantis cum triangulo ABC sit DFl ι eiusdem vero sectio communis cum plano in quo est coni basis A G C , si recta lΚ, quam perpendicularem esse oportet ad AC diametrum basis coni, vel ad rectam quae diametro AC in directum constituitur. Dico figuram DEFN circulum non esse.
DErpunctuin aliquot M rectae DF dueatur NE - parallela ad I K, in plano figura: DEFN: sep et idem illud punctum M ducatur in sano trianguli ABC recta OP parallela ad ACI, per lineas autem N E, O P agatur planum. Erithoe a parallelum basi A G C, ac proinde b producet cieculum OEPN, cuius diameter erit OP. Quoniam igitur OP est parallela ad AC, triangula POP , BC A similia sunt. sed BCAis celes est,ergo & B O P i sceles est. Ergo e rectangulum FNID matu, est rectangulo OMI': sed rectangulum OMPd aequale est rectangulo NME ergo rectangulum FMD maius est rectangulo NME patet igitur ex 3 s. tertis figu
ram DR FN circulum non esse. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO II. DAtus iam sit conus Dalenus A B C, & planum secans quod producit in cono figuram DEF N, neque sit parallelum bali coni AG C,
neque subcontrarie positum Caetera vero omnia ponantur dc fiant cadem
312쪽
ELLIPSIS. Demonstratio.QVoni.im OP est parallela ad AC eamque secat F D in M non subcontrarie, hoc est angulum BFD non constituens aequalem angulo BAC, patet ex libri nostri primi rectangulum FMD inaequale esse rectangulo OMI'. se i rectangulum OMP aequatur rectangulo N ME. ergo rectangulum FMDrectangulo etiam NMI inaequale est i liquet igitur ex terti, figuram DEFN non esse circulum. Quod erat demonstrandu m.
PROPOSITIO m. DAtus sit conus quicunque siue re
eius siue se alenus,&caetera ponanturci fiant eadem quς supra: cst Dico rectam N Ei recta DF secari bifariam in M. κ,
PM ex hypothesi est parallela ad rectam AC, de ME parestela ad I K.
Quare PM,EM angulos comprehendunt aequales; atqui angulus A IK ex hypothesi rectus est, communis enim sectio IK posita fuit perpendicularis ad AC LPropositione prima ergo etiam PMErectus est. Itaque cum sectio ONPE sit circuliis , eiusque diameter OP, manifestum es EMN. a diametro circuli OP, ad quam normalis est, bisecari in M. sed ex hypothesi punctum M tribus rectis OP. NE. DF communis est. ergo NE a DF, bisecatur in M. Quod erat demonstranduim
313쪽
Corollarium. Irae patet si ducantur Quotcunque rectae ad IK side NE parallelae , omnes 4 DF bifatiam diu illi readem enim est in omnibus demonstratio. Ex quo ulterius fit manifestum sectionis D E FN. quam ellipsim deinceps nominabimus in diameistruma esse lineam DF, recta mucr4 NE . caeterasque huic parallelas ordinatim esse ad diametrum DF applicatas.
PROPOSITIO IV. Iisdem positis, ducatur in ellipsi DEFN linea quae uis RΤ, parallela
PErpunetiam H dueatur recta Q HS parallela rectat o P occurrens latetibus - trianguli ABC in De S. tum per rectas Q S , Τ R agatur planum, orithoce parallelum basi AG C ac d proinde sectionem producet circulum QRS, iam
vero ratio rectanguli DMF ad rectangulum D ΗF componitur ex ratione D Mad DH. I ioces , quia PM , Q Hsunt paralleIae ex const. ex ratione PMad RH ω ex ratione M P ad H F hoc es , quia MO, H Sex construci. sunt parallelae, ex ratione Μ Ο ad H F. Atqui ratio rectanguli P M o ad rectangulum Q H S componitur etiam ex rationibus PM ad Η,& Moad HS. ergo rectangulum D Μν est ad rectangulum D H F ut rectangulum P MO ad rectangulum H HS; hoc est quoniam sectiones P E O, QR S, circuli sunt. virectangulum E MN ad rectanis gulum RU T. hoc est, quia e EN, RT biseetae hunt a diametro DP in Μ re H, ut quadratum E M ad quadratum RH. Quod erat demonstrandum. sthabon.
314쪽
Α F quadratum,eis ad quadratum AF ad rectangulum B F D : eodem modo camordinatim reserasint addiametram IT, erit
gitur utraque sectioni eonuenit: eam esse proportio. quadrata ordinarimpositarum, qua rectangulorum est,
diametri ad qaam ordinatim sunt positAE : is hoc c=-----Γ imero disseruns, quod in circulo propistis rectangulorum μbs ementis diametri, ad quadrata ordinarim positarum sit aquati. iratis in ellis ire. ω easum diametrorum remugaram aqua fium excipias, de quo Harasas isto inaequalisarii. qu prim fcemnia huius planum fecimui. quo sequitur rim; in elli axem unum a. reo mMorem γ. p. quodsire ostenis si in HI K estis axis aliquM IL em Lordinatim secent H M agatur per bl centrum recta G Κ 'us aestarii 3HN. duo Maxesset quos. Um mv INL rectangulum ad rectangulum I M L. se quadrasum H N ad quadratum GM, oper----- INL rectan ubin, ad quadratum H Nyc IML rectangulum ad quadratum G M: siae rectangulum IN L quadrato H N.am inquasei ergo ore murum I ML Mein quadratum IM J quadrato G Μ inaequale es di ergo recta IM recta G Μ σιπquatu, ergo tota I L. nempe axis,toti G Κ hoe est axi aberi, in Ulu es.suoderas propositum. minis si axes in elli aquai s essene, iam non ἀν res eae sis a tiscula: eo quadrectanguis subsegmentisaxeos aquatia essent quadratis ordinari ristrarum. Sequirurseeando, si Νper axe AC egi eos ABC , desiniatur semiciremias ADC,
315쪽
N data ellipsi diametrum inuenire.
B H. Dieci hanc esse diametrum. Demonstratio est manifesta . si mim. PLAdiameter, sit L FIM, secans DE in k. Quouiam igitue I. Μ ponitiir esto iliam trier, α bisecate paralIelis unam AC, in I , bisecat alteram quoque D E in n. Quod fieri non potest cum ex construa. D si bisecta sit G. Noa igitur LM aut alia quiuis ducta per Fest diameter praeis xer eam. quae etiam transit per G, hoc est praeter ipsim B H. In data igitur ellipsi inuenimus diametrum. R Oderat faciendum.
DAtae ellipseos centrum reperite. j constructio or demonstratio.
Er praeced qntem quxere diametrum ellipseos B H, quam seca bisatiam in I. ix de-- finitione tertia patet ellipseos centrum esse I. t rotarum . 1 Atet ex hac propositione omnem diametrum transire pet centrum. Ea quo de - conuersiam facile deduces,omnes nimirum lineas per centrum transeuntes Me
PRO Pio SITIO VII. . DAta sit ellipsis A DB, euius diameter AB , recta vero LP, una sit ea
rum, quas propositione tertia huius demonstrauimus a diametro secari bifariam i centrum ellipseos sit C. Dieo omnes lineas per centrum ductas in centro diuidi bifariam. Demonstratio.
Vcta sit enim quaecunque recta DO. per centrum se C. ex D ducantur DFG parallela ad LP , GL arallela ad A B, ω E Η, C K parallelae ad GD, siue parallela ad A B, ω Em CK parallelae ad GD, siue et L P. Quoniam igitur FGEH paralIelograminum est, i ernnt GF, EII aequales : unde & quadrata GF. EH
Qqualia sunt. Atqui , ut quadratum GF est ad quadratum E H, ita rectangulum AFB est ad tectangulum AHB, aequantur igitur rectangula AFB, AH B. ergo ut AF ad AH, sic Bis ad BF i ergo diuidendo ut AP ad FH, sie B H ad FI F. aequantur igitur AF,AH. Quare cum tota quoque diameter AB bisectast in C. vi patet 4 ex definitione centri, reliqua etiam FH. bisecta est in C. Quoniam igitur KC ipsis GD, E H est parallela, recta quoque GE bisecatur in K. est vero . de D G bisecta in P, utpote ipsi L P parallela. Ergo est ve
316쪽
DG ad GF, hoc est ut DG ad CR, sic GE ad K ergo puncta DCE sunt
in atremam,sed etiam puncta DCO, sunt in directum, cum ex hypothesi DCO δ . ν - sit linea recta. Una igitur eademque recta sunt DCE, 3c DC O. Atqui DC E bisecta est in C, scdin cnim ex constr. GE, F C sint parallelae, erit ut DF ad FG, sic DC ad CE.ὶ Ergo etiam DC O bisecta est in C. Quod crat demonstrandum.
PROPOSITIO VIII. DAta sit ellipsis ABC H, cuius diameter sit B Hs, ordinatim vero ad
diamhtriam applicata LPR: centrum ellipseos G. Ducta autem sit per centrum G, recta A GC ordinatim applicatae parallela. Dico B H, A C diametros esse coniugatas.. DemonHratio.
CVmaturin AG quodvis punctum M per quod duc Otut KD diametro ΒΗ paraIlela, occurrens ellipsi in punctis D de Κ : ex quibus ducantur DFE, KN L,
logrammum est, rectae DF, KN, adeoque & quadrata D F, KN aequantur.Quare cum rectangulum B FH sit ad rectangulum B NH ut quadratum DF ad quadratum KN , rectangula BFΗ. BNH etiam sunt aequalia,ae proinde,ut ostensium in praecedenti, B F de N Haequantur. sunt vero & BG, HG aequales. Ergo dereliquet FG, N G aequales sunt, sue FN bisecta est in G. Ergo & KD parallela diametro B H bisecatur in M ab
A C. similiter ostendam quasvis alias diametro B H parallelas bisecari ab A C. Quare cum etiam b Αα bisecet DE, LRcetcrasque omnes quae sunt ordinatim positae ad B Η. & parallelae ex hypothesi ipsi AC; patet ex definitione o B H, AC diametros esse coniugatas.
Corollarium. Vae per centrum ad ellipseos axem datum perpendicularis ducitur, est axis dato axi coniugatus. Ex discursu iam allato facile sibi Iector demonstrationem huius rei eliciet.
PROPOSITIO IX. DAta sit ellipsis eiusque diameter B H.
Oporteat diametro B H coniugatam diametrum exhibere. Constructio demonstratio. DVcatur recta aliqua Κ D parallela ad B Η, x utraque D Κ, B H diuisa bifariam
in M& G, per Μ de G, ducatur AC, Dico AC, B H coniugatas este diametros. A cirimo quidem rectam AC esse diametrum patet ex s.huius. 3c B H diameterest ex Hypothesii ambae igitur sunt diametri. Quod autem sint coniustatae sic ostendo. Quoniam AC dianacter est &biseeat KD, eri KD ad AC Osdinatim appli- dcata. ergo & reliquae ipsi K D parallelae, erunt ad A C, ordinatim applicatae,hoc est ea diametro AC bifariam secabuntur. sed DK ex constructione cum sibi paralle. et iis, parallela est ad diametrum B H. ergo diameter AC hi secat diametro B II parallelas. Ducantur deinde Dri parallela diametro A C & E Q, parallela rectae D K. I i parat.
317쪽
ELLIPSIS parallelogrammum igitur est M D EQ, in quo quia v Gipsis D M,E ducta est parallela, erit DF ad FE, HMG ad G . latera quoque parallylogrammi DM,EQ adeoquet de quadrata B M , E Q, aequalia erunt. Iam v ro quia D M, E Q. sunt ad diametrum AC, ordinatim positae, ratio inter rectangula ΑM C, A QC erit eadem quae inter quadrata D M, E in hoc est aequalitatis r ac proinde ut patet ex demostratis in septima huius, aequales erunt ΑΜ, QC. Quare cum a Zc totae A G, CG te. quales sint est enim B centrum ellipseos ι quia bisecat diametrum B Hὶ etiam reliquae M G, Q o, aequales sunt. quoniam igitur est ut MG ad Ga, sic DF ad F E, etiam DF. FE aequantur, hoc est D E bisecta est in F. Ergci ex definitibDE est ad diametrum ΒΗ ordinatim posita, ergo & reliquet ipsi parallelae sunt ad B Hordinatim positae,hoc est bisecantur a B H. Atqui DE ex constructione, cum sibi parallelis, est alteri diametro A C parallela. Ergo diameter B H bisecat parallelas diametro A C. Quare cum sectiam prius ostenderim AC hi secare parallelas ad B H, erunt φ ΒΗ ΑΗ diametri coniugatae. Factum igitur est quod petebatur. Corollarium primum. D Aro ellipseos axi, axem coniugatum inuenies, si per centrum ellipseos duxeris rectam lineam dato axi perpendicularem. res patet ex corollario octauar. Corollariumsicundum. Ex hoc probIemate fit manifestum qua ratione ex dato in ellipsi puncto D, ad diametram B H, recta linea ordinatim debeat applicari. Inueniatur enim AC diameter coniugata diametro B Hi εc ex dato puncto D ducatur DFE ipsi AC parallela. Dico DFE ordinatim esse positam ad diametrum B H. Demonstratio patet ex propositione.
D E, &c.) illa maior est quae centro I Demonstratio.
D Ectangulum BGH maius est rectangulo BFAEL ut, patet ex quinta secundi. Atqui quadratum E G est ad in quadratum C F ut tectangulum B G H ad rectangulum B FH. Ergo quadratum EG maius est quadrato CF. ergo & ordinatim posita EG maior ordinatim posita C F. Quod erat demonstrandum. est
318쪽
ELLIPSIS. IIructio Gr daemonstratio.
a IAXi BD per E centrum ducatur ' coniugatus AC, Mntq; continuae B D,AC, BF r dico FB esse latus rectum. aequiat stet enim BF ipsi A C. ducanturque ,-- ordinatim lineae GH quae iunctae FD occurrant in Ir ipsa vero F D secet AC lineam in K. Quoniam EC, GH ordinatim positae fiant ad axem BD, erit ut , quadratum GH ad quadratum E C, sic BHD rectangulum ad rectangulum BED: sed vi BHD rectangulum adrectangulum BED, sic I HB rectangulum s est ad ex ν. n. rectangulum Κ EB quia ex ijsdem rationem habent compositam scilicet ex B Had BE, de ex H D ad ED, hoc est HI ad E Pigitur ut quadratum GH ad qua .dratum CE, sic I HB rectangulum est ad rectangulum KEB. de permutando invertendo vi KEB rectangulum ad quadratum CE, sic IΗB rectangulum est ad quadratum GH : sed cum d AC quadratum sit aequale rectangulo super FB BD a i cum ex construct. BD, AC, BF sint tres continuae) erit EC quadratum, inimirum quarta pars quadrati A C est enim s, ' A C bisecta in E in aequale rectangulo . .. , Κ EB quartae parti rectanguli super FB BD. igitur Sc quadratum H G aequale est rectangulo IH B : ergo HG potest spatium quod adiacet ipsi FB latitudinem ha- . bens HB. deficiens ab FBΗ rectangulo, similis figurae te Aangulo, quare I. FB flatus rectum est. exhibuimus ergo, dec. Quod erat faciendum. a. Corolgarium.
TIIne sequitur primo quatuor lineas, nimirum latus tectum axis minoris, axem maiorem, axem minorem , dc latus rectum axis maioris in continua esse analogia. Sequitur secundo qui datis lateribus rectis axium, ellipsin exhibuerit. quod inter hinas datas, duas medias inuenerit.
PROPOSITIO XII. Esto ABC ellipsis diameter quaecunque BD, oportet illius latus re
319쪽
Ducatur per E centrum diameter AC coniugata ipsi BD, fiantque continuae BD, A C, B F, ac B F quidem aequidis et diametro AC r ducaturque linea FD, quae AC rectim secet in Κ, ducanturque ordinatim Iineae GH,quae Folineae occurrant in I: Quoniam BD, AC, FB lineae sunt continuae, erit AC quadrato aequale rectangulum super FB, BD, igitur de quadrato AE nimirum quartae parti qua ii ii AC, est enim AC bisecta in S aequale rectangulum super KE,EB, quarta pars rectanguli FBD: quare, ut in praecedenti ostendimus , ita etiam hic ostendemus HG quadrato aequale esse rectanguIum IH HB. atqui Rhombus bIHin angulo IH B est ad Rhomboidem IH B in eodem angulo, ut quadratum IH ad rectangulum I HB, rationes enim Rhombi ad Rhomboidem & quadrati ad rectangulum ex ijsdem rationibus componuntur nempe ex I H, ad IH de IH adH B, in ergo eum quadratum IH aequale sit rectangulo I HB, etiam Rhombus IH, Rhomboidi I HB aequalis crit; recta igitur IH potest Rhomboidem in angulo ordinatim applicatae I HB. qui quod demonstratu est facile)a Rhomboide FB Hin eo em angulo , deficit Rhomboide simili et qui in eodem angulo fit a diametro DB & recta BF. igitur FB est latus erectum. Quod petebatur.
ΡROPOSITIO XIII. OMnis recta sB F,ὶ quae per terminum diametri B Dὶ ducitur ordinatim applicatae A Cὶ aequi distans, est ipsim contingit.
Et quae tangenti ducitur parallela,est ordinatim ad diametru applicata. Demonstratio.
CI enim recta BF non contingat ellipsim, secet illam in G: divisaque B G bifariam in H, agatur per H Λ Ο Ε, Κ I occurrens utrimque peripheriae in Ide K. Quo- niam recta B G per constructionem aequidistat A C,
utramque autem bifariam secet recta IK d erit I K. dia- neter Ac A C, B G lineae ordinatim ad illam positaei secat autem per constructionem recta A C ordinatim quoque diametrum BD, igitur una eademque tecta AC ordinatim secat duas diametros BD, I K. Quod fieri non potest alias enim qinet ipsi A C duceretur parallela,etiam ab utraque diametro B D, KI ac proinde in duobus pun.ctis bisecaretur igitur patet F B lineam , sectionem
320쪽
contingere e quod erat primum. Quod si tangenti B F paralIela ducatur quaevis AC, occurrens diametro in E, erit ordinatim ad diametrum posita. Si non ducatur ex A ordinatim ΑL: erit A L parallela contingenti BR quare& ipsi AC aequi distat, quod fieri non potest, cum eandem secet in Α r igitur AL non est ordinatim posita nec quaevis alia praeter AC, quod erat alterum. Patet igitur veritas propositionis.
PROPOSITIO XIV. I Er datum in peripheria punctum contingentem ducere.
Constructio edemonstratio. ΓSto ABC ellipsis 3e pumaum in peripheria datum B,
- - oportet per B rectam ducere quet sectionem contingat in B. inueni centrum, & per hoc ex dato puncto B duc diametrum B D, ad b quam ponatur ordinatim quaevis linea AC, cui per B agatur parallela BF. manifestum igittar este BF esse tangentem; igitur per datum in periphetia punctum, Acc. Quod erat faciendum.
LIneae quae per extremitates diametri ductae , ellipsim contingunt, inter se aequi distant. Demonstratio.
DVcatur enim qua uis AC ordinatim ad diametrurmanifestum est ex i3.huius tam B E quam D F lineas illa aequidistare, adeoque de inter se. od suit de
Contingentes ductae per extremitates ordinatim positae, conueniunt cum diametro extra sectionem.
Cli ABC ellipsis diametet BD , 3e ordinatim posita 'AEC. agaturque per A tangens AF, dico illam cum diametro conuenire in F. Inuenta enim ΗG 4 diametro coniugata ipsius BD, demittatur ex A linea AI aequi- distans B D. quoniam igitur AI, B D aequi distant , Et A F occurrat rectae AI, patet prodhistam quoque conuenire cum B D. Quod fuit den'nstrandum.
PROPOSITIO XVII. ELlipsim ABC cuius axis B D, contingat in B linea F G, suinpti sib
in contingente aequalibus partibus FB, B G, dem ittantur ex F & G diametri duae FE, GE occurrentes ellipsi in H & I. dico iunctam HI aequidi stare ipsi F G. I i , Demonis Duilirco by Cooste