장음표시 사용
321쪽
Ponatur H Κ parallela FG , quae producta occurrat EG in I, erit itaque H K aequalis K I. Ergo , cum rectangulum BKD ad BED, 3 eam habeat rationem, quam HK quadratum ad quadratum A E. erit quoqueBKD rectangulum ad rectangulum BED, ut 1Κ quadratum ad quadratum EC: unde punctum I est ad ellipsiun, dc HI linea perimetrum B IC , 8c E G rectam in eodem puncto intersecat. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XVIII. EAdem manente figura , sint ΑΒ C ellipseos
axes A C, B D, & H E diameter quaecunque, oportet ex E versus C diametrum educere, aequalem ipsi H E. Constructio re demonaratio.
FIat angulo AEΗ aequalis angulus BEI, dico rectam EI fatisfacere petitioni; productae enim lineae HE, EI, oecurrant actae per B contingenti in F de G. Iungantur puncta H, L quoniam anguli BEH, BEI ponuntur aequales , sunt autem M EB F, E B G anguli recti, & B E linea communis , patet F B E. G B Etriangula, adeoque & latera FB, B G inter se esse aequalia: unde dc HI b aequi di-b is ij. stat FG, estque ut FE ad GE , sic HE ad IE, quare HE,IE lineae aequales; mum. igitur ex E diamettum eduximus, &c. Quod erat faciendum.
Lineae in ellipsi coniungentes extrema quarumcunq; diametrorum inter se sunt aequales & parallelae. Demonstratio.
dico iunctas AB, CD, item AD, BC, esse inter se aequales & parallelas: cum DB . AC bilectae sint in E erit ut DE ad EB , sic CE ad AE , & permutando ut DE ad CE, sic BE ad AK sunt vero Et anguli alE aequales, similia igitur sunt triangula DEC, AEB; ergo ut D E ad E B , sic D C ad A B; quare cum D REB aequentur, etiam AB,DC aequales erunt. similiter' ostendemus AD, BC ςquales esse. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XX.LIne quet ad extremitates diametri, intra sectionem ςquidistantes
ponun fur, squales quoque erunt inter se.
322쪽
C et ABC ellipsim diameter quaecunque B D , ducan- turque ex B & D, intra sectionem parallelae AB, CD. dico illas inter se esse aequales. inuento . centro E , MA B bisecta in F, iunge FE, & produc in G, de quoniam EF diameter hisecat AB, bisecat etiam DC ipsi ΑΒ, parallelam. Deinde quia similia sint triangula FEB, DEG: erit D E ad D G, ut EB ad B Fi & permutando ut D E ad EB, sic DG ad BF. sed DE, EB aequantur. ergo MB F, D G, quς sunt, ut iam ostendi, ipsarum Α B, D C aimi. diet. Ergo de totς ΑΒ, D C aequales sunt. Quod erat demonstrandum. Corinarium.
HInc sequitur iunctas Α E, E C esse in directum: csim enim latera ARFE qualia sint duobus lateribus CG, GE Ze anguli aequalibus lateribus contenti, aequales. pacet AFE, CG E triangula esse inter se aequalia,S: angulum AEF a qualem angulo CEG, adeoque AE EC lineas in directum.
PROPOSITIO XXI. LIneς per extremitates duarum parallelarum inς qualium in ellipsi
ductet, conueniunt in eodem puncto cum diametro, ad quam O
dinatim positae sunt parallelet. Demonsratio.
sitam ad diametrum DB. dico iunctas EA, FC cum BD diametro quam secane ordinatim in eodem puncto conuenire. Quoniam ordinatim ponuntur lineae Α EF ad diametrum BD, ambae bisecantur in G & H. unde AG ad GC ut EAad HR de permutando ut AG ad EII, sic GC ad ΗF, concurrat iam EA cum diametro in I, altera vero FC in K. erit ergo ut 1 G ad I H, se I A ad I E. sed etiam si I G ad I H, sic ΚC ad KR est enim RG ad KF, ut CG ad FH, hoc est, ut ante ostendi, ut AG ad ΕΗ, hoc est vi I G ad I H. ergo puncta I dc Keadem sunt; ergo punctum I communis est intersectio rectarum EI, FLHI. Quod
323쪽
PROPOSITIO XXII. SIt ABC ellipseos diameter B D ad quam ordinatim posita sit Eri
ducanturque ex E & F lineae occurrentes diametro in puncto G, ellipsi vero in A & C. Dico iunctam AC, atqui distare E F. Demonstratio.
Ponatur AI parallela EF & producta oecurrat FG lineae in C. quoniam igitur ΕΗ aequalis est H F, erit & ΑΙ ipsi IC aequalis, sed quia AI aequi distat EF, erit B ID rectangulum ad rectangulum ΒΗD, ut AI quadratum ad quadratum ΕΗ. Ergo etiam, ut rectangulum B ID ad rectangulum B H D, ita quadratum IC ad quadratum H F. unde punctum C est ad ellipsim & communis in intersectio rectarum F G, ΑΙ cum perimetro B C F; ac proinde A C iungens puncta A, C, atquidistat EF. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXIII IN ellipsi ductae sint parallelae AC, EF, per quarum terminos ducantur E A , F C coeuntes in G. M per G ducta G IH bisecet parallelam AC. Dico etiam alteram bisecari. Demonstratio. V Τ HG ad I G, se ΕΗ ad AI, Se vi H G ad I G , sic FH ad CI..ergoeEΗ ad AI, ut H F ad I C. ergo permutando EΗ ad ΗF, ut AI ad IC ad AI, IC aequantur. ergo & ΕΗ, H F aequantur, adeoque tam EP quam ΑQsiunt bisectae.ergo G IH diameter est. quod erat demonstrandum. .
324쪽
SEeent A B C ellipsi in dia metti duae Α C, B D, iunctaque B C, agatur
per E centrum diameter Κ L, secans B C bifariam in M, & ex B &C rectae ducantur BF, CG, ad idem diametri punctum ην secantes AC, B D lineas in H dc l. Dico rectangulum AH C esse ad rectangulum DI B ut quadratum AC ad quadratum D B. Demonstratio.
Ponatue ex C linea CL parallela BD , occurrens diametro KL in L, x iunge B L. quoniam CLκ-ruidistat DE, erunt EMB , C ML triangula inter se milia:quia vero C M, M B aequales sunt,aequalia quoq; erunt triangula CM L, E M B & lateri EM, aequale latus LM igitur in triangulis B ML, C ME, duo 1atera C M. ME, aequalia fiant duobus lateribus B M, ML sed& anguli ijs contenti BM L, EMC aequantur. Ergo ad bases anguli LBM. ECB qiuantur . ergo B L. CEA sene parallelae. Ergo B Had HK , ut L E ad ΕΚ, hoc est quoniam ex constructione BI, C L sum parallelael ut C Iad IK. Ergo I I aequidistat CB,&est vi H EasEC, sic IE ad EB, 6e componendo ac permutando ut EC ad EB, sic HC ad BI, sed vi CE ad PE, sie AC est ad BD, cum utraque in centro diuisa sit bifariam: igitur
ad restangulum D IBration habeat compositam ex laterum rationibus AH, ad DI, de HC ad B Lquae ambae ostenis sent eaedem esse eum ratione AC ad BD, Exit rectata gulor vin ratio duplicata r/tionis AC ad BD, hoc est eadem quae quadratorum A C, B D. Quod erat demonstrandum.
DVae lineae C G,B F intra ellipsim ductet occurrant diametro ellipseos MK in eodem puncto K. Ductae fini deinde binae aliae diametri BD, CA quae ita secentura rectis CG, BF vitrectangula Bl D. CHA quadratis B D, A C proportionalia sine. t Gi, Dico iunctas I H, C R esse parallelas.
Demonstratio. , . QVoniam est ve quadratum BD ad quadratum C A, hoc er ut quadratu, EDad quadratum E A, sic restansulum. BID 4 -ngulum GH Α; er trirmutando ut quadratum ED,' hoc est rectansulum Bdia cum quadrato RI4 - elangulum B ID. ut quadratum EA i hoc qstr.ectangulum CH A cum MMMto E Hὶ ad rectangultian CHA. ergo diuidendo, rectangulum B ID est ad q/iffatu EI virectangulum CHA ad quadratu SH. Permutρ lo igitur rectangulani R ID est ad rectangu Ium CHA vi quadratu EI ad quadratu E H. sed etiam est rinan gulum B ID ad rectangultim CHA ut quadratum BD ad quadratum C At hoc est ut quadratum ED ad quadratum E A. Itaque quadratum EI est ad quadratu B HVt quadratum EB ad quadratum E A : adeoque tecta EI ad rectam E D , hoc est E B, ut recta E H ad rectam L A hoc est EC, parallelatiunt igitul III, C B. Quod
325쪽
Esto ABC ellipseos Hiimeter BD, ad quam ordinatim posita se re
cta AC i ductisq; ex A & C lineis quet diametrum in eodem puncto B secent, dueatur FG parallela A G, occurrens A B, C B in Id & I, dia.
Dim p iram lineas esse aequales.s Demonstratio.
r Uoniam FG aequi3 istae AC ordinatim postς ad BD, erit se F G. quoque ordinatim posita ad diametrum BD, I si adeoqi in Κ bifariam diuitiised&H1 in K diuisa est bifariam, ,hlgo vii AC in E , demptis igitur musibus ΗΚ, IK, reliquq Τ F H, I G aequales sunt. Quod erat demonstrandum.
' O CD, iunctisque AC, BD, ducatur EF parallela AB, secans A C, B D lineas in G & H. Dieo E G, F H rectas esse squalos.
dia ducatM EN M E parallela AB, &ex E S: F, semidiametri ponantur E G, F G, quq A D, B C lineas secent in H & Lc i 2 ut , Dico E G, FG in H & I pro potiionali icit essς diuisas. i. 1 l Demonstratio.
strandum. . Yίο baratim. TTInc patet iunctam HI aequi distane DC. adeoque I lineas AD, BC, in N At I proportionaliter esse
326쪽
' Llipsim, cuius diameter B C centrum O, contingat A D occurrens
x diametro in D, ductaque ex puncto A ordinatim AOE,& iuncta AC, per B ponarurrecta FBG parallela rectae Α C. Dico FB, BG aequales esse. Demonstratio.
CG occurrat ellipsi in H, iunganturque Ho , Aoquaea erunt in directum. Tum AC bisecta in I, du-eatur per I diameter I OL occurrens rectae ΑΕ in L, & itinsantur puncta LC,per rectam LC occurrentem ellipsi in Κ, c rectae F H in M, rectae vero H O in P. Quoniam AC ex constructione ordinatim posita est ad diametrum IL, rectaeque per Α & C duplae occurrunt diametro in eodem puncto L, erit EL pa. rallela AC. Est vero de AH paraIlela ipsi AC ex hypothesi: N semidiametra Ο Β, Ο Η secant A E, C Κ in N P. ergo QP aequi distat φ rectae B H , tres igiturA C, QP, E Κ sunt parallelae. Quare eum ex hypothesi A E bisecta sit in Q etit& C KInsecta in P, ac proinge ordinatim posta ad diametrum A H. Itaque 4 CK ae- . quidistat tangenti A D. est autem de F Mex hypothesi parallela ad AC, ergo FM aequalis est AC, sed i etiam B H aequalis est A C. igitur FM, B H aequales sunt. quare communi dempta B M aequantur F B, H M. Atqui etiam a GB , H M aequales sunt. itaque FB , aequales sunt. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXX. E Llipsim AB C cuius diameter BC contingat in A recta AD eonu
niens cum diametro in D: ductaque ex A sit linea A F ordinatim ad diametrum B D. Dico rectam D C in B de E diuisam esse extrema & media ratione proportionali, hoc est, ut C D est ad B D, se C Hest ad H Bi & si diuisa fuerit in B & E extrema fle media ratione proportionali agaturque per Eo
t uncti A c; agatur per B linea G H parallela rectae AC oeeuirens A F lineae in H 8e AD tangenti in G. Quoniam Re,BH Iineae aequi distant, erit ut A C ad B H, sic CE ad EB: sed ut AC ad ΒΗ, sie AC est ad G B, quia GB, ΕΗ sunt haequales) igitur ut AC ad B, GCE est ad BE: est autem ut AC ad G B, sic CD ad DB uia GB, A C aequidistant igitur ut CD ad DB,sseCE ad ΕΗ. Quod erat primum sitiam ut CD ad BD, sic CH ad HB , si persi ordinatim agatur AF dico iunctam A D sectionem eontingere in A. si enim A Drion tangit, ponatur per A tangens quae BD diametro occurrat in K, erit igitur vi CE ad EB, sic CK ad K B, sed est ut C E ad EB, sic CD ad D B, igitur ut CK ad KB, sie CD ad DB, 8e diuidendo ut CB ad B M sie CB ad B D, quod fieri non potest, cum punctum K supra vel infra D cadat. igitur AK non est tangens nec quaevis alia praeter A D. Quod fuit
327쪽
corollarium. DRopositiones 29. &φω etiam in circulo sunt verae, quamuis aute saepius contingat 1 vi quae hoc libro de ellipsi demonstramus locum etiam habeant in circulo, circa It tamen mentionem non facio nisi ad sequentes demonstrationes assumi debeat.
PROΡOSITIO XXXI. EAdem manente figura propositum sit a dato
extra sectionem puncto D, tangentem duis
constructio m demonstratio. Ducatur ex D diameter DBC, fiatque ut CD ad DB , sic CE ad EB, & per E ad BC , ordinatim
ponatur AF , iungamurque AD, patet per praecedentem A D lineam sectionem in A contingere; igixur a. dato extra ellipsim puncto, &c. Quod erat faciendum.
PROPOSITIO XXXII. ELlipsim ABC euius diameter A C contingat recta B D in B, conue
niens cum diametro in D: oc ex B ducatur B E ordinatim ad diametrum AC: centrum autem sectionis si F. Dico F E, F Α, F D lineas esse in continua ratione i&si FE,FΑ, FD fuerint continuae proportionales, x per Ε ordinatim recta agatut E B, dico iunctam B D lectionem contingero. Est Apolloni j.
CEntro P interuallo F A cireulus describatur
AG C, tum ex E puncto normalis educatur 'ad diametrum AC occurrens circulo in Gr dumis iturque recta GD. quoniam EB recta ponitur oriadinatim ad diametrum AC, M per B acta tangens conuenit cum eadem diametro in D, erit a ut CD ad D A sie CE ad EA restaute rhincireulo, recta EG normalis ad diametrum E G, igitur & h recta G D circulum contingit in ta quare in pirculo e erunt FE, F A, FD lineae continuae proportionalesa sunt autem eaedem lineae communes ellipsi, igitur& in ellipsi erunt F E, F A, F D in cotinua analogia. Quod si FE , FA, FD continuae proportionales sint, de per E ducatur ordinatim E B, dico iunctam BD ellipsim contingere in B. sin vero: ducatur ex D recta DK contingens ellipsim in K,ω ex K ordinatim ponatur ΚH; igitur per primam partem huius FH ad F Α, ut F A ad F D. sed etiam ex hypothesi, FE est ad PA. ut FAad FD. ergo FE est ad F A, ut FH est ad F Α, quod fieri non potest, cum F H sit maior aut minor quam FE. unde DK non est contingens, sed D B.Quod suit demonstrandum.
328쪽
ELLIPSI S. pROPOSITIO XX XIII. Esto A B C ellipseos axis A C, super quo ut diametro semicirculus de'
scribatur A D C, assiimptoq; in axe puncto F quod non sit centrum, erigatur ex Forthogona FD occurrens ellipsi in B. Dico contingentea per B & D actas, axi AC in uno eodemque puncto Demonstratio.
Gatur per B contingens BE, conueniens cum axe - in Ε, iunganturque ED. quoniam FB ordinatim I .,. '' posita est ad axem dc BE sectionem contingit, erit, C F d FA, ut C E ad E A: unde de iuncta ED circulum κν sab contingit; igiturcontingente per B dc D actae, con---F tueniunt cum axe in uno codemque puncto. Quod fuit I . ::: demonstrandum. l corrigarium. x IHInc facile etiam demonstrahimus si duae tangentes
in eodem puncto diametro occurrant normalem c di. FD, quae si per unum contactum D transeat, transire etiam per alterum.
PROPOSITIO XXXIV. ESto ABC ellipsis diameter BD, ad quam ordinatim ponatus A c
aganturq; per A & C contingentes. Dico illas diametro in uno eodemq; puncto occurrere. Demons tho. pri o
DEr I6.huius patet singulas contingentes per Α& C ductas cum diametro conuenire: si igitur non conueniant in eo- Is dem Puncto, occurxat A F contingens diametro in F, &CH I s In H e Quoniam tansens AF concurrit eum diametro in F, I erit cui DE ad EB, sic D F ad FB. rvrsum quoniam tangens Iu - 2 e , iCH Concurrit cum diametro in H, erit ut DE ad EB, hoe est ut DF ad FB, sic DΗ ad HBi &diuidendo ut DB ad BF, sic DB ad ΒΗ, quod Feri non potest'. quare tangentes Gnon occurrunt diametro in diuersis punctis. erg, in eodem. t Quoci erat demonstrandum
PROPOSITIO XXXV. ESeo ABC ellipsis, diameter B D producta uteunque in Ε, &exE .
demissat E A, E C sectionem contingant in Α & C. Dico iunctam AC, ordinatim esse positam ad diametrum B D.
329쪽
Donatur A F ordinatim ad B D sitque H cen-- trum ellipseos: erit igitur linea EH diuisa in B & F in tres continue proportiouales. deia mittatur quoque CG ordinatim ad BI b erit denuo EH diuisa in B,& G, in tres lineas in analogia continua: igitur F de G i puncta runt eadem . quare recta AF C est ordinatim posita id diamet tum B I. Quod fuit demonstrandum. corollarium. Iune sequit ut fi ellipsim AB C contingant. in Adt C, rectae duae AD, CD conuenien tes in D; iunctaque AC, bifariam secetur in Ε, tectam D E transire per centrum siue iunctam D Ee diametrum sectionis. si enim ED non sit diameter, ducatur ex D diameter D F, occurrens AC lineat in F. erat igitur per prςcedentem A C linea in F, diuisa bifariam. adeoque punctum Ridem cum E. Vnde DF recta eadem eum linea DE. quod est contra suppositum.quare D E se ctionis est diameter. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXXVI. SI ellipsim tangant binae rectae coeuntes in D, de
ex centro ducantur G A, GC, G D. Dico triangula G C D, G A D esse aequalia. Demonstratio.
- DUncta contactuum iungantur recta AC. quoniam φ ΑC bisecta est in E. trian. λ gula GAE, GEC, item DEC, DEA aequalia erunt i duo itaque triangula DEC, DEA. hoc est totum D C G, aequabuntur duobus triangulis DE Α, ΕΛ G. hoc est toti G AD. Quod erat demonstrandum.
PROPOsITIO XXXVII. ELlipsim ABC secent AC, D B: diametri quae uis agantur per C M.
D tangentes, quae per sq. huius conueniunt cum diametro HK in eodem puncto. . Dico lineas A G, BG ex Α . Se y ductas, ipsis D Κ, C Κ aequiliuinates, diametrum H Κ, in uno eodemque puncto Intersecare.
330쪽
ponatur A E occurrere diametro in G Ze B F in M; iunganturque D GA B,D A. C B. oniam
DC iungit tangentes DK, CK, bisecatura diametro H K in. L, est vero b A B parallela ad D C. ergo de haec a diametro bisecatur in 1. quare cli totae DC, AB sintς aequales, erunt di earum dimidiae DL, AI aequales. cum igitur etiam DL, KI, sint a parallelae, quae eas iungunt D A, II. paralle-Iae erunt. ergo figura AGKD parallelogrammum est, proindeque DR aequalis est GK. simili modo ostendemus BC aequalem esse ΜΚ. Quare cum DA, AC, sint . aequales, etiam ΚG, K M aequales erunt, unum igitur idemque punctum sunt G dc M, i a quo parallelet tangentibus D C , C Κ , ductae epunctis A, B, occurrunt diametro. Quod fuit demonsuandum. I
PROPOSITI Oi XXXViII I. ELlipsim cuius centrum Alctent quae uis duae diametri B D, C E, tun, ctitque BC, D Eponatui p G diameter, quae BC bifariam diuidat
in H, ipsi antem ED occurrat in I, tum per Coc B, item D&E, continia i=-m '
gentes agantur, qu ς ξ si diamqtros occurrent in ijsdem punctis F &G. Dico aequalia esse inter se; prim Θ triangula A C F, A B F, secundo triangula AC F, AD G, tersio triangula CBF, DEG.
Ccurrat FG aiameter ellipsi in K de L. Quoniam figitur BC ex hyp thesi in Id diuisa es/ bifariam, erit tam ACH triangulum aequale triangulo AH B, quam H CF aequalρ tr n Io II En via de totum trian-Fgulum ACF, aequalecu tois triangulo AFB, quod erat primum. Ruritim cum a B c, os quidisteri 3c BC in H diuisa si bifariam a diameteto F G, erit α' E D in L bifariam diuisa. quare cum btuti e B, DII it aequales, erunt rc harum dimissiae K ei lal aequales guare cui etiam fias parallelet, re , CD, Hi,uuae illas luti ut, fiunt 'parallelη; triangula istitiit. 1e H, AD I sunt inter easdem parallelas. Sunt adtem Se bases A H , ii, quales . cst enim A K. aqualis, AI ,&x i Hrpsi I L , ergo triangulam trianguIO AD I. iam vero A H, MCh. v, iterii luc AI, A L, A G mut i conΠnue. quare ratio AH ad Ar, duphcat, est laticini, AH ad kς in ratid si i sit AG Auplicata rationis A I ad A L. Cum igitur rationes AH, ad T c:' 'ad' ΑΚ eaedem sint f AH enim ipsi AI, & AK, ipsHYL aequalis estὶ erunt de rationes Α H ad AF, AI ad AG, earundena rationum duplicatae, eaedem inter se : acam A ID
FCH, GDI aequalia este, quibus si addas FB H, GEI, quae eodem prarie dil)ur, se ostcridemus aequalia, erunt tota triangula CB F, DEG; aequalia. Quod erat tertio loco demonstranduiu. Corol.